(HOOFDSTUK 60, uit College Mthemtis, door Frnk Ares, Jr. nd Philip A. Shmidt, Shum s Series, MGrw-Hill, New York; dit is de voorereiding voor een uit te geven Nederlndse vertling). Krommen en oppervlkken in de ruimte DE VERZAMELING VAN PUNTEN, en uitsluitend dee punten, wrvn de oördinten voldoen n een vergelijking vn de vorm (1) F(,, ) = 0 wordt een oppervlk genoemd. Op enkele uitonderingen n, ullen we lleen oppervlkken eshouwen die vn de tweede grd ijn. De vermeling vn punten, en enkel dee punten, wrvn de oördinten teelfdertijd voldoen n een pr vergelijkingen vn de vorm (1) F(,, ) = 0, G(,, ) = 0 wordt een kromme in de ruimte genoemd. Bijvooreeld is + + = 5 de vergelijking vn een ol, terwijl + + = 5, = 4 de vergelijkingen ijn vn een irkel, nmelijk de doorsnede vn de sfeer en het vlk = 4. EEN CILINDER OF CILINDRISCH OPPERVLAK wordt voortgerht door een rehte die ih evenwijdig n ihelf verpltst en die steeds door een gegeven kromme gt. De rehte die ih verpltst heet de genertrie of voortrengende kromme, en de gegeven kromme heet de diretrie of rihtkromme. De voortrengende kromme in een vn ijn posities heet een element vn de ilinder. Als de rihtkromme in een vlk ligt en ls de voortrengende kromme loodreht stt op dt vlk, is de ilinder een rehte ilinder; ls drenoven de rihtkromme een kegelsnede is, wordt de ilinder een kwdrtish rehte ilinder genoemd. We eperken hier de espreking tot een rehte ilinder wrvn de voortrengende kromme loodreht stt op een oördintenvlk of evenwijdig is met een oördintenvlk. De vergelijkingen vn dergelijke ilinders ijn vn de vorm f(, ) = 0, g(, ) = 0 of h(, ) = 0; in elk gevl is de voortrengende vn de ilinder evenwijdig met de s vn vernderlijke die fweig is in de vergelijking. Omgekeerd, is de vermeling punten vn een vergelijking die slehts twee vrielen evt een ilinder wrvn de rihtlijn een kromme is in het vlk vn die vrielen. Dee heeft deelfde vergelijking, en de voortrengende kromme is evenwijdig met de s vn de ontrekende vriele. Vooreeld 1. Bestudeer de kwdrtishe rehte ilinder + - 4-1 = 0. Het is een irkelvormige rehte ilinder voortgerht door een rehte die ih steeds evenwijdig met de -s verpltst ( komt niet voor in de vergelijking) en die steeds door de irkel ( -) + = 16, = 0 in het vlk gt; ols geïllustreerd in Figuur. Zie oefening 1. Fig. 1
Krommen en oppervlkken in de ruimte Fig. RECHTE CIRKELVORMIGE CILINDER + - 4-1 = 0. Fig.3 OMWENTELINGSPARA- BOLOÏDE + =. EEN OMWENTELINGSOPPERVLAK wordt voortgerht door een vlkke kromme, de voortrengende kromme geheten, rondom een rehte (de s genoemd) die ehoort tot het vlk vn de kromme. Ntuurlijk is de doorsnede vn een dergelijk oppervlk met een vlk loodreht op de omwentelingss een of meerdere irkels. Vooreeld. Vind de vergelijking vn het oppervlk voortgerht door de omwenteling vn de prool =, = 0 rondom de -s. Zelfs l is het niet noodkelijk, toh is het soms eter om de oördinten te kieen ols ngegeven in de Fig. 3 om et oppervlk te illustreren. Stel dt P(,, ) een punt is vn dt oppervlk. Stel dt C het middelpunt is vn de irkel, die de doorsnede is verkregen door het oppervlk te snijden door P en loodreht op de -s (de s vn wenteling) en stel dt Q(0,, ') een punt vn doorsnede is vn die irkel en de prool. Stel R de voet vn de loodlijn is vnuit P op het vlk. Dn is CP = CQ wnt het ijn twee strlen vn deelfde irkel. Bovendien is CQ = ' = (), wnt Q ligt op de prool; in de rehthoekige driehoek CRP, is CP = CR RP =. Dus is = en de vergelijking vn het oppervlk is + =. Merk op dt men de vergelijking vn het oppervlk kn verkrijgen door gewoon in de vergelijking vn de prool te vervngen door. De vergelijking het omwentelingsoppervlk voortgerht door driing vn een kromme gelegen in een vn de oördintenvlkken rondom een vn de oördintenssen vn dt vlk kn ls volgt verkregen worden: ls de kromme drit rondom () de -s, vervng of in de vergelijking vn de kromme door ; () de -s, vervng of in de vergelijking vn de kromme door ; () de -s, vervng of in de vergelijking vn de kromme door ; Vooreeld 3. De vergelijking shrijven vn het omwentelingsoppervlk voortgerht door de kromme 9 + 16 = 144, = 0 driend rondom de -s. We vervngen door in de vergelijking 9 + 16 = 144 odt we verkrijgen 9 + 16( + ) = 144 of 9 + 16 + 16 = 144, en dt is de vergelijking vn het oppervlk. Vermits de rihtlijn een ellips is wordt het oppervlk een omwentelingsellipsoïde genoemd. Merk op dt twee vn de drie oëffiiënten gelijk ijn. Zie oefeningen -3. EEN BOL OF EEN SFERISCH OPPERVLAK is een omwentelingsoppervlk wrij een irkel drit over een vn ijn dimeters. Het is ook de vermeling punten die ligt op een vste fstnd (de strl vn de ol) vn een vst punt (het middelpunt vn de ol).
Krommen en oppervlkten in de ruimte 3 De vergelijking vn de ol met middelpunt in de oorsprong en strl r is + + = r. De vergelijking vn de ol met middelpunt in het punt C(,, ) met strl r is ( - ) + ( - ) + ( - ) = r. Zie oefeningen 4-5. EEN KEGEL OF EEN KEGELOPPERVLAK is een oppervlk voortgerht door een rehte (de voortrengende rehte) die ih verpltst volgens een gegeven kromme (de rihtkromme genmd) en die steeds gt door een vst punt (de top genoemd). De voortrengende rehte in een vn hr posities is een element vn de kegel. De top sheidt het oppervlk in twee delen, de lden genoemd. Wnneer de top vn de kegel de oorsprong is (ie Fig. 4: + = ) is de vergelijking homogeen in de drie vrielen dt wil eggen ls f(,, ) = 0 vn grd n de vergelijking is vn een kegel, dn is f(k, k, k) = k n f(,, ). Fïg. 4 Kegel Fig. 5 Kegel - = 0 Vooreeld 4. Identifieer en onstrueer het oppervlk met vergelijking - = 0. Zie Fig. 5. Zij f(,, ) = - ; dn is f(k, k, k) = (k) - (k)(k) = k [ - ] = k f(,, ). De vergelijking is homogeen; de vermeling punten is een kwdrtishe kegel (een vergelijking vn de tweede grd) met de top in de oorsprong. Om het oppervlk voort te rengen, geruiken we de prool =, = 1 ls rihtkromme (in het vlk = 1). N het tekenen vn de prool en enkele elementen (ols de rehten die de oorsprong verinden met de punten vn de prool), verkrijgen we een voldoening gevende illustrtie. Zie oefening 6. DE ALGEMENE VERGELIJKING VAN DE TWEEDE GRAAD IN DRIE VARIABELEN, () A + B + C + D + E + F + G + H + I + K = 0, wr ten minste een vn de oëffiiënten A, B, C, D, E, F vershillend is vn nul, stelt een kwdrtish oppervlk voor. Zols in het gevl vn de lgemene vergelijking vn de tweede grd met twee vernderlijken, kn een gepste keue vn een rottie en een trnsltie de oördinten odnig vernderen dt () in een geredueerde vorm verndert. We estuderen kort lk vn de kwdrtishe oppervlkken die we nog niet heen estudeerd door elk vorm tot de geredueerde vergelijking te herleiden.
4 Krommen en oppervlkken in de ruimte Hier ullen we de smmetrie, de snijpunten en de spreiding eshouwen, een eetje ols ij de studie vn kegelsneden. Toh l het voorl door de studie vn de snijdingen met de vlkken evenwijdig n de oördintenvlkken ijn dt we eter de ntuur vn het oppervlk ullen ien. EEN OPPERVLAK IS SYMMETRISCH met etrekking tot een oördintenvlk ls ijn vergelijking onvernderd lijft wnneer we het teken vn de vernderlijke vernderen die niet tot het vlk ehoort. Een oppervlk est smmetrish met etrekking tot een oördintens ls ijn vergelijking onvernderd lijft wnneer we de tekens vn de vrielen vernderen die niet to de s ehoren. Een oppervlk est smmetrish met etrekking tot de oorsprong ls ijn vergelijking onvernderd lijft wnneer we de tekens vn lle vrielen vernderen. Vooreeld 5. Het oppervlk met vergelijking + 4 + 3 4 + 5 = 0 is smmetrish met etrekking tot het vlk wnt ijn vergelijking verndert niet wnneer vervngen wordt door. Het is smmetrish met etrekking tot het vlk wnt de vergelijking lijft onvernderd wnneer wordt vervngen door -. Het is ehter niet smmetrish met etrekking tot het vlk wnt de vergelijking verndert wnneer we vervngen door -. Het oppervlk est smmetrish met etrekking tot -s wnt de vergelijking lijft onvernderd wnneer en vervngen worden door en. Ze is niet smmetrish met etrekking tot de -s noh met etrekking tot de -s. Het oppervlk is niet smmetrish met etrekking tot de oorsprong wnt de vergelijking wordt + 4 + 3 + 4 + 5 = 0 wnneer we,, vervngen door -, -, - in de vergelijking. DE SNIJPUNTEN VAN EEN OPPERVLAK met de ssen ijn de georiënteerde fstnden vn de oorsprong nr de punten wr de oördintenssen het oppervlk doorsnijden. De snijpunten lten ih verkrijgen door één pr vernderlijken gelijk n nul te nemen en op te lossen nr de ndere. Het spoor vn een oppervlk in een oördintenvlk is de kromme epld door de doorsnede vn het oppervlk met dit oördintenvlk. Het spoor in een oördintenvlk lt ih ekomen door een vn de vernderlijken nul te stellen. Vooreeld 6. De snijpunten vinden met de ssen en het spoor in de oördintenvlkken vn het oppervlk + 4-8 = 16. Door = = 0 te stellen, verkrijgen we = 16; de snijpunten met de -s ijn ±4. Door = = 0 te stellen, verkrijgen we 4 = 16; de snijpunten met de -s ijn ±. Door = = 0 te stellen, verkrijgen we het snijpunt - met de -s. Door te stellen = 0, wordt het spoor in het -vlk de ellips + 4 = 16, = 0. Het spoor in het vlk is de prool - 8 = 16, = 0; het spoor in het vlk is de prool - = 4, = 0. DE VERZAMELING PUNTEN VOOR DE VERGELIJKING 1 is een ellipsoïde. Als ten minste twee vn de onstnten, gelijk ijn is het een omwentelingsellipsoïde; ls = =, is het een ol. De ellipsoïde is smmetrish met etrekking tot de oördintenvlkken, de ssen en de oorsprong. De sporen in de oördintenvlkken ijn ellipsen of irkels: Fig. 4: ELLIPSOÏDE 1
Krommen en oppervlkten in de ruimte 5 1, = 0; 1, = 0; 1, = 0. Een doorsnede met het vlk = k is een ellips (of een irkel) 1 k. De grootte vn de ellips vermindert nrmte het vlk ih verwijdert vn het pln. De ellips herleidt ih tot een punt voor k = en is imginir voor k >. Er ijn nloge resultten voor de doorsneden met vlkken = k of = k. DE VERZAMELING PUNTEN VOOR DE VERGELIJKING 1 is een hperoloïde met één ld (ls = is het een omwentelingshperoloïde). Ze is smmetrish met etrekking tot de oördintenvlkken, de ssen en de oorsprong. Het spoor in het vlk is de ellips 1, = 0; de sporen met de vlkken en ijn de hperolen 1, = 0 en 1, = 0. Een doorsnede met een vlk = k is een ellips, en ijn grootte vermeerdert nrgelng het vlk ih verwijdert vn het vlk. De doorsneden met de vlkken = k en = k ijn hperolen. DE VERZAMELING PUNTEN VOOR DE VERGELIJKING 1 is een hperoloïde met twee lden. Als =, dn is de vermeling een omwentelingshperoloïde. Dee is smmetrish met etrekking tot de oördintenvlkken, de ssen en de oorsprong. De sporen in de -vlkken en -vlkken ijn de hperolen 1, = 0 en 1, = 0; het spoor in het vlk is imginir. De doorsneden in de vlkken = k en = k ijn hperolen; de doorsnede met het vlk = k is imginir voor k <, een punt voor k =, en een ellips (of een irkel) voor k >. HYPERBOLOÏDE MET TWEE BLADEN 1 HYPERBOLOÏDE MET EEN BLAD 1
6 Krommen en oppervlkken in de ruimte DE VERZAMELING PUNTEN VOOR DE VERGELIJKING is een elliptishe proloïde. Als =, is de vermeling een omwentelingsproloïde. Ze is smmetrish met etrekking tot de vlkken en, en de -s. Si > 0, ligt het oppervlk oven het vlk ; ls < 0, ligt het oppervlk onder het -vlk. De sporen in de vlkken en ijn de prolen;, = 0 en, =0; het spoor in het vlk is de oorsprong. De doorsneden met de vlkken = k en = k ijn prolen; de doorsnede met het vlk = k is imginir wnneer k < 0, een punt wnneer k = 0, en een ellips wnneer k > 0. ELLIPSTISCHE PARABOLOÏDE HYPERBOLISCHE PARABOLOIDE DE VERZAMELING VAN PUNTEN VOOR VERGELIJKING is een prolishe hperoloïde. Ze is smmetrish met etrekking tot de vlkken en en de -s. Het spoor in het vlk is het pr rehten 0 ; de sporen in de vlkken en ijn de prolen en. De doorsnede met een vlk = k is een hperool, uitgeonderd voor k = 0, wr het een pr rehten is ols reeds vermeld. De doorsnede met de vlkken = k en = k ijn prolen. BEHALVE DE BESCHREVEN OPPERVLAKKEN, estn er eplde ontrde vermelingen ols een pr vlkken, een vlk dt twee ml geteld wordt, een rehte (een ilinder met strl 0) en een punt. Zie oefening 7.
Krommen en oppervlkten in de ruimte 7 OPGELOSTE OEFENINGEN 1. Bestudeer en illustreer elk vn de volgende rehte ilinders: () + 4 = 16, () = 4 8, () = -1. () ELLIPTISCHE CILINDER () PARABOLISCHE CILINDER () HYPERBOLISCHE CILINDER + 4 = 16 = 4 8 = -1 () Dit is een elliptishe ilinder, voortgerht door een rehte die ih verpltst evenwijdig met de - s volgens de ellips + 4 = 16, = 0. () Dit is een prolishe ilinder, voortgerht door een rehte die ih verpltst evenwijdig met de -s volgens de prool = 4-8, = 0. () Dit is een hperolishe ilinder, voortgerht door een rehte die ih verpltst evenwijdig met de -s volgens de hperool = -1, = 0.. De vergelijking vinden vn het oppervlk voortgerht door de omwenteling vn de kromme om de gegeven s. () + = 4, = 0; rondom de -s. () 9 4 = 36, = 0; rondom de -s. () + + 4 = 0, = 0; rondom de -s. () Vervng door, dn is + + = 4. Dit is een sfeer. () Vervng door, dn is 9 + 9-4 = 36. Dit is een omwentelingshperoloïde. () Vervng door, dn is 4 0. Dus is + 4 = en door dit te kwdrteren wordt dee 4 + 4 ( + 4) = 0. Dit is een kegel. 3. Identifieer en illustreer: () + + = 9, () + 4 + = 4, () 4 4 = 4 (d) + - 8 = 0. () De vermeling is een ol, voortgerht door de omwenteling vn de irkel + = 9, = 0 rondom de -s of de -s, of door de rottie vn de irkel + = 9, = 0 rondom de -s of de - s. Zie figuur hierij. () De vermeling is een omwentelingsellipsoïde, voortgerht door de omwenteling vn de ellips + 4 = 4, = 0 rondom de -s, of door de rottie vn de ellips 4 + = 4, = 0 rondom de -s of de -s. Zie figuur (). () SFEER + + = 9
8 Krommen en oppervlkken in de ruimte () OMWENTELINGS- () OMWENTELINGS- (d) OMWENTELINGS- ELLIPSOÏDE HYPERBOLOÏDE PARABOLOÏDE + 4 + = 4 4 4 = 4 + - 8 = 0 () Dit is een omwentelingshperoloïde, voortgerht door omwenteling vn de hperool 4 = 4, = 0 rondom de -s, of door omwenteling vn de hperool 4 = 4, = 0 rondom de -s. (d) Dit is een omwentelingsproloïde, voortgerht door omwenteling vn de prool - 8 = 0, = 0 rondom de -s. 4. Vind de vergelijking vn de volgende sferen () C(, -3, -4), r = 5; () geentreerd op de -s, en gnde door A(, 3, 5) en B(6, -3, 3). () De vergelijking is ( - ) + ( + 3) + ( + 4) = 5. () Zij (, 0, 0) het middelpunt. Dn is (CA) = (CB) of ( -) + 9 + 5 = ( -6) + 9 + 9 en =. Het middelpunt is C(, 0, 0) en de strl in het kwdrt is r = ( -) + 9 + 5 = 34. De oplossing is ( - ) + + = 34. 5. Vind de oördinten vn het middelpunt vn de sfeer en de strl. () ( - ) + ( - 3) + ( + 4) = 36, () + + 6 8 10 + 5 = 0. () Het middelpunt is C(, 3, -4) en de strl is r = 36 = 6. () Door het kwdrt te vervolledigen, komt er ( - 3) + ( - 4) + ( - 5) = -5 + 9 + 16 + 5 = 5. Het middelpunt is C(3, -4, 5) en de strl r = 5. 6. Bestudeer en illustreer elk vn de volgende oppervlkken: () + - 4 = 0, () - + 4 = 0, () - - 4 = 0. () Het is een irkelvormige kegel, voortgerht door een rehte die gt door de oorsprong en die ih verpltst volgens de irkel + = 4, = 1 of + = 16, = -, enovoort. Het gevl vn de eerste irkel werd geïllustreerd in Fig. (). () Het is een elliptishe kegel, voortgerht door een rehte die gt door de oorsprong en die ih verpltst volgens de ellips + 4 =, = 1. Zie in Fig. ().
Krommen en oppervlkten in de ruimte 9 () EEN CIRKELVORMIGE KEGEL () EEN ELLIPTISCHE KEGEL () EEN ELLIPTISCHE KEGEL + - 4 = 0 - + 4 = 0, - - 4 = 0 () Het is een elliptishe kegel, voortgerht door een rehte die gt door de oorsprong en die ih verpltst volgens de ellips + 4 = 1, = 1. Zie in Fig. (). 7. Illustreer de volgende kwdrtishe oppervlkken: () 4 + 9 + 16 = 144, () + 4-9 = 36 () - 4-9 = 36, (d) 4 + 9 = 36 (e) 4-9 = 7. () Het is een ellipsoïde wrvn de sporen in de oördintenvlkken ellipsen ijn: 4 + 9 = 144, = 0; + 4 = 36, = 0; 9 + 16 = 144, = 0; Dee sporen volstn om het oppervlk te illustreren. () ELLIPSOÏDE () HYPERBOLOÏDE MET ÉÉN BLAD () HYPERBOLOÏDE MET TWEE BLADEN () Het is hperoloïde met één ld wrvn de sporen in de oördintenvlkken ellipsen ijn: + 4 = 36, = 0 en hperolen - 9 = 36, = 0 en 4-9 = 36, = 0. De Fig. () toont de sporen en de doorsneden + 4 = 180, = ±4. () Het is hperoloïde met twee lden wrvn de reële sporen hperolen ijn: - 4 = 36, = 0 en - 9 = 36, = 0. De Fig. () toont de sporen en de doorsneden 4 + 9 = 108, = ±1. (d) ELLIPTISCHE PARABOLOÏDE (e) HYPERBOLISCHE PARABOLOÏDE
10 Krommen en oppervlkken in de ruimte (d) Het is elliptishe proloïde wrvn de sporen de oorsprong en prolen ijn: = 9, = 0 en = 4, =0. De Fig. (d) toont de sporen en de doorsneden 4 + 9 = 7, =. (e) Het is hperolishe proloïde wrvn de sporen de rehten ijn: ± 3 = 0, = 0 en de prolen = 18, = 0 en = -8, = 0. De Fig. (e) toont de sporen en de doorsneden 4-9 = 7, = 1 en -4 + 9 = 7, = -1. SUPPLEMENTAIRE OEFENINGEN 8. Bestudeer en illustreer de volgende rehte ilinders. () + = 16 () 4 + 9 = 36 () - 4 = 36 (d) = 8-4 9. Bepl de vergelijking vn het omwentelingsoppervlk voortgerht door omwenteling vn de gegeven kromme rondom de gegeven s: () + = 4, = 0; rondom de -s. Antw.: + + = 4 () - 4 = 16, = 0; rondom de -s. Antw.: + - 4 = 16 () =, = 0; rondom de -s. Antw.: 4 - = 0 (d) + 3 = 6, = 0; rondom de -s. Antw.: + + 3-6 = 0 10. Bepl de s vn wenteling en de vergelijking vn de voortrengende kromme in het oördintenvlk dt de s evt. () 9 + + - 36 = 0 Antw.: de -s; 9 + = 36, = 0 of 9 + = 36, = 0 () + 3 + = 1 Antw.: de -s; + 3 = 1, = 0 of 3 + = 1, =0 () + = 4 Antw.: de -s; =, =0 of =, =0 (d) - 3-3 = 9 Antw.: de -s; - 3 = 9, =0 of - 3 = 9, =0 11. Bepl de vergelijking vn de sfeer () met middelpunt in ( 1,, -3) en strl. () met middelpunt in (, -1, 1) en die gt door (5,,-3). () met middelpunt in (3,, 4) en rkend n + + - 31 = 0. (d) die gt door (3, 5, 4), (4, 4, -8) en (-5, 0, 1). Antw.: () + + - - 4 + 6 +10 = 0 () + + - 6-4 - 8+4 = 0 () + + - 4+ - - 8 = 0 (d) + + - - 4 +4-40 = 0 1. Bepl de oördinten vn het middelpunt en de strl vn elke sfeer. () + + + 6 - -8 +10 = 0 Antw.: C(-3, 1, 4); r=4 () + + - 4 + 6-1 = 0 Antw.: C(, -3, 0); r = 5 () 4 + 4 + 4-4 - 1-16 - 10 = 0 Antw.: C(1/, 3/, ); r= 13. Bestudeer en illustreer de oppervlkken () 4 + 9 + 36 = 36 (g) + 4 = 16 () 4 + 4-5 = 100 (h) + + 4 = 0 () 36 + 9-4 = 36 (i) + 4 + 4 = 0 (d) + + - 8 + 6 = 0 (j) = 4 (e) 4-16 - 5 = 400 (k) + 4-9 = 0 (f) - 4-4 = 0 (l) l/ + l/ = l/