Hoofdstuk - Wortels Hoofdstuk - Wortels Voorkennis V- zijde vierkant in m oppervlakte vierkant in m 9 V- = = = = = 7 = 9 = 7 = 89 = 9 8 = = 9 8 = = 9 = 8 = 9 9 = = 0 = 00 = 0 = 00 V-a = 9 = b 7 = 9 = 9 ( ) = ( ) = = d 9 = 9 = 9 7 = 0 e 8 + 8 = 8 + 8 = 8 + 00 = 08 f = 9 = 8 = g ( ) = h = 9 i + ( ) = + = 0 V- De manieren a, b en geven = en dat is niet goed. Manier d geeft ( ) = en dat is goed. V-a ( ) = = e,8 =,0 9 b () = = 0, 0 d ( ) = 0, 98 f ( ) = 0, 7 9 8 7 9 V-a ( ) = = 7 b (,,) = ( 0,) = 0,0 (,) =, 9 =, 9 =, d ( ) = = = 8 V-7a x 0 8 7 8 b 0 8 x O 7 8 = x + De grafiek is geen rehte lijn. Moderne wiskunde 9e editie A vwo
V-8a Voor punten op de vertiale as geldt t = 0. Dit invullen in de gegeven formule geeft a = ( 0+ ) + = + = + =. De grafiek snijdt de vertiale as in het punt (0, ). b Invullen van t = 8 geeft a = ( 8+ ) + = 9 + = 8+ = 8. Riardo heeft gelijk. a = ( + ) + = + = 9 + = 00 V-9a = 0 a g = n m g = h b kan niet h l = 0 j n kan niet s= g+ h i z= v o r = d d kan niet j m= p w= 0a+ 7a + e = 9x+ k k = t q b= a f a = q+ p l a = b r s= k - Wortels a De oppervlakte van vierkant is = m. De oppervlakte van vierkant is 9 9 = 8 m. b Je berekent de oppervlakte van een vierkant door de lengte van een zijde met zihzelf te vermenigvuldigen. Van een vierkant met zijden van m is de oppervlakte = m. d De zijden van dat vierkant zijn 7 m, want de oppervlakte is dan 7 7 = 9 m. e De zijden van dat vierkant zijn m, want de oppervlakte is dan = 9 m. 9 =, = en 8 = 9 a b Van een vierkante tegel met een oppervlakte van m zijn de zijden m. Van zo n tegel met een oppervlakte van 9 m zijn de zijden m. Bij een tegel met zijden van m is de oppervlakte 9 m en bij een tegel met zijden van m is de oppervlakte m. Voor een tegel met een oppervlakte van 0 m moet de lengte van de zijden ergens tussen de m en de m liggen. a De oppervlakte van het vierkant met hoekpunten (0, 0), (, 0), (, ) en (0, ) is = m. De oppervlakte van de driehoek met hoekpunten (0, 0), (, 0) en (0, ) is : =, m. De oppervlakte van het getekende vierkant is, = = 0 m. b Bij een vierkant met zijden van m is de oppervlakte 9 m en bij een vierkant met zijden van m is de oppervlakte m. De lengte van de zijden van het vierkant zijn ongeveer, m. d Bij zijden van, m is de oppervlakte,, = 0, m. Bij zijden van, m is de oppervlakte 9,98 m. Het antwoord van Yoeri is nauwkeuriger, want dat zit dihter bij 0 m. e Bij zijden van, m is de oppervlakte,, = 9,998 m. f Nog nauwkeuriger antwoorden zijn, of,8 of,78 of 0 intoetsen. Hoofdstuk - Wortels Moderne wiskunde 9e editie A vwo
Hoofdstuk - Wortels a 89 = 7,, =, en 009, = 0, b 00,, = 99,99 d Je hebt 00 afgerond tot, en het was niet preies,. a De zijden van dit vierkant zijn m lang. In twee deimalen is dat, m. b De oppervlakte van het vierkant is = m. Als je de wortel van een getal met zihzelf vermenigvuldigt, dan komt er dat getal weer uit. ( 9) = 9 en ( ) = d De oppervlakte van het vierkant is ( a) m en dat is a m. 7a 7, b 9 = 7 omdat 7 = 9 = omdat = d Ze heeft geen gelijk want ( 7) = 9 en geen 9. e De rekenmahine zal error geven, want de wortel van een negatief getal bestaat niet. 8a, d, =, b bestaat niet e 8 = 9 ( ) = 9 = f ( 8) = = 8 - Rekenen met wortels 9a De exate lengte van de zijden van het gekleurde vierkantje is m. b De omtrek van dit vierkantje is 89, m. De lengte van AD is twee keer zo lang als de zijden van het gekleurde vierkantje. d De lengte van AB is m. e De omtrek van ABCD is 0 m. 0a 7+ 7 = 7 d + 8 = b + = 7 e 7 + 7 = 7 7 7 + = 0 f + = 8 a u= w + a d = b b= a d z= x + a 0 0 = 0 en ( ) = b ( ) = = = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) = = d Het kwadraat van is gelijk aan, dus is gelijk aan. Moderne wiskunde 9e editie A vwo
a 7 = b a b = a b Neem bijvoorbeeld a = 9 en b =. Dan is a + b = 9 + = + = 7en a+ b = 9+ = = en dat is niet hetzelfde. a = b = = = In moet je één keer meer met vier vermenigvuldigen dan in. d = = = 8 = 8 a De lengte van één kleine rehthoek is en er liggen vier kleine rehthoeken naast elkaar, dus de lengte van de grote rehthoek is =. b De breedte van de grote rehthoek is 7 = 7. De oppervlakte van een kleine rehthoek is 7 =. d De oppervlakte van de grote rehthoek is lengte keer breedte is 7. In de grote rehthoek passen aht kleine rehthoeken die ieder een oppervlakte van hebben. De oppervlakte van de grote rehthoek is gelijk aan 8 = 8. Beide oppervlakten zijn gelijk, dus 7 = 8 e De zijden van het grote vierkant zijn lang en de oppervlakte van het grote vierkant is ( ). Het grote vierkant bestaat in de lengte uit twee kleine vierkanten en in de breedte uit twee kleine vierkanten, ieder met een oppervlakte van ( ), dus de oppervlakte van het grote vierkant is ( ) = ( ). De oppervlakte van een klein vierkant is ( ) =. Er passen vier kleine vierkanten in het grote vierkant, dus de oppervlakte van het grote vierkant is =. Hoofdstuk - Wortels Moderne wiskunde 9e editie A vwo
Hoofdstuk - Wortels a = 0 b = = = = d ( ) = = = 9 = e = = 0 = 0 f 0 = 0 = 00 = 0 = 0 g 7 = 7 = = h ( ) = = = = 0 i + = + = j ( 7) ( 7 ) = 7 7 7 7 = 9 7 9 = 7 = 8 k 0 = 0 = 0 0 = 7 0 l ( ) = = = = 7 7a k = a d v= u u w k = a v= u w b g = r r e h= a a + a g = r h= a + a p= q q f b= a a a p= q b= a - Wortels vereenvoudigen 8a De berekening van Erkan geeft = = en dat klopt. De berekening van Sonja geeft = = 0 en dat klopt. b = = = = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 d Er geldt dat groter is dan 0, want is groter dan 0. 9a 7 = 7 = 9 = 9 d = = = b = = = 0 e = = = 8 7 = 7 = 9 7 = f = = = 7 Van klein naar groot krijg je 0,, 8,, 7 en 9 en dat geeft van klein naar groot,,, 7, en 7. 0a = 0 = 00 = 00 en = 0 = 0 = 0, dus is het grootst. b ( ) = = = = = 9 en ( ) = = = 0, dus ( ) is het grootst. = 8 = 8 = 7 en 7 = 7 = 9 7 =, dus is het grootst. d ( ) 7 = 7 = 7 = 7 = 7 = en = = = 80, dus ( ) 7 is het grootst. Moderne wiskunde 9e editie A vwo
De oppervlakte van de rehthoek is = = = 8. De breedte van de rehthoek is = = = 8. De lengte van de rehthoek moet dan zijn, want 8 = 8. a Omdat 8 = 9 geldt 8 = 9 oftewel 8 =. b 8 kun je eenvoudiger shrijven, want 8 =, dus 8 = = 7 kun je eenvoudiger shrijven, want 7 =, dus 7 = = 00 = 00 = 0 en 0 = = a 00 = 00 = 0 d 0 = = b = 9 7 = 7 e 8 = 9 = 08 = = f = = a Beide antwoorden kun je nog verder vereenvoudigen. b Het juiste antwoord is 7 = =. a 0 = 0 = = b = = 8 = 7 = d = 90 = 9 0 = 0 e 0 = 0 = = = f = 9 = 9 = 7 = 7 De oppervlakte van figuur a klopt, want 0 = 80 = = =. De oppervlakte van figuur b klopt ook want + 0 = 7 + 0 = + = + =. 8a + 9 = + = + = b = 9 = = 7 = = = d + 7 8 = + 9 = + = + e + = + = f + = + = 7 Hoofdstuk - Wortels Moderne wiskunde 9e editie A vwo 7
8 Hoofdstuk - Wortels - Wortelformules 9a oppervlakte vierkant A 0 9 zijde vierkant z 0 b d 0a zijde vierkant z 7 0 0 8 0 8 0 oppervlakte vierkant A Voor iedere waarde van A kun je de waarde van z vinden door de wortel uit A te nemen. Je kunt voor A alleen getallen groter of gelijk aan 0 invullen omdat er geen negatieve oppervlakte bestaat. Links van de vertiale as bestaat de grafiek niet omdat de wortel uit een negatief getal niet bestaat. b x 0 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,7 0,8 0,9 0,8,,7,,,87,8,7,7 O 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,7 0,8 0,9 x x 0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,07 0,08 0,09 0, 0 0, 0,7 0,87,,,,,,8,7,0, 0,7 0,0 0, O 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,07 0,08 0,09 0, x Moderne wiskunde 9e editie A vwo
a 0 9 8 7 O 7 8 9 x = + x = x = x = + x = x b De grafiek van = + x ontstaat uit de grafiek van = x door deze grafiek één hokje naar boven te vershuiven. De grafiek van = + x ontstaat uit de grafiek van = x door deze grafiek drie hokjes naar beneden te vershuiven. d Zie de tekening hierboven. e De grafiek van = x ontstaat uit de grafiek van = x door alle uitkomsten van deze grafiek twee keer zo ver van de horizontale as af te tekenen. f De grafiek van = x ontstaat uit de grafiek van = x door alle uitkomsten van deze grafiek drie keer zo ver van de horizontale as af te tekenen. a Invullen van x = geeft = = en de wortel uit een negatief getal bestaat niet. b Het kleinste getal dat ze kan invullen is x =, want invullen van x = geeft = = 0 = 0 x 7 8 9 0 0,,7,,,,8 = x O 7 8 9 0 x d De grafiek begint in het punt (, 0). e De grafiek van = x ontstaat uit de grafiek van = x door deze grafiek drie hokjes naar rehts te vershuiven. Hoofdstuk - Wortels Moderne wiskunde 9e editie A vwo 9
0 Hoofdstuk - Wortels a Bij formule A zijn er uitkomsten als x, bij formule B zijn er uitkomsten als x, bij formule C zijn er uitkomsten als x 0 en bij formule D zijn er uitkomsten als x 0. b De oördinaten van het randpunt zijn bij formule A (, 0), bij formule B (, 0), bij formule C (0, ) en bij formule D (0, 0). 7 = x = + x O 7 8 9 0 x d De oördinaten van het snijpunt S zijn (, ). e Van formule A ontstaat de grafiek uit de grafiek bij de formule = x door deze grafiek één hokje naar rehts te vershuiven. Van formule B ontstaat de grafiek uit de grafiek bij de formule = x door deze grafiek twee hokjes naar links te vershuiven. Van formule C ontstaat de grafiek uit de grafiek bij de formule = x door deze grafiek twee hokjes naar boven te vershuiven. a De grafiek bij de formule = x+8 ontstaat uit de grafiek bij de formule = x door deze grafiek aht hokjes naar links te vershuiven. Het randpunt is ( 8, 0). b De grafiek bij de formule = + x ontstaat uit de grafiek bij de formule = x door deze grafiek vijf hokjes naar beneden te vershuiven. Het randpunt is (0, ). De grafiek bij de formule = x ontstaat uit de grafiek bij de formule = x door deze grafiek hokje naar rehts te vershuiven. Het randpunt is (, 0 ). d De grafiek bij de formule = x ontstaat uit de grafiek bij de formule = x door alle uitkomsten van deze grafiek onder in plaats van boven de horizontale as te tekenen. Het randpunt is (0, 0). a Invullen van x = 9 geeft = 9 = =, dus Ali doet het goed. De fout die Mo maakt is dat hij = 9 = = berekent. b x 0,8,8,7 x 0 - - - - - 0 d De oördinaten van het randpunt van de grafiek van = x zijn (0, ). De oördinaten van het randpunt van de grafiek van = x zijn (, 0). Moderne wiskunde 9e editie A vwo
a De oördinaten van het randpunt zijn (, 0). b Ja, want invullen van x = geeft = = = 9 = =. = 9 = 7 = = = 7a Voor a = krijg je de formule = x. b/ a = a = a = x O 7 8 d Invullen van x = en = geeft = a oftewel a =, dus a =. Invullen van x = en = geeft = a en dat kan niet. - Gemengde opdrahten 8a + = b 8 = 7 7 + 7 = 9 7 0 d + 8 = e 7 = f + 8 = + 8 = 0 g = = = = 9 h ( ) ( 7) = 7= 7= 9a Invullen van x = geeft = + + = + = + =. b x 0 -,7, 0, 0,0 0,9 O x = + x + d De oördinaten van het randpunt zijn (, ). 0a u= 0 w+ v d = x + 0 b b= a e t = s 9 s oftewel t = s r = p f g = k oftewel g = k Hoofdstuk - Wortels Moderne wiskunde 9e editie A vwo
Hoofdstuk - Wortels a = + = + 8+ = + 9 = + = b Ella krijgt de formule = + x. De oördinaten van het randpunt zijn (, ). Invullen van x = 0 en = geeft = a+ 0 b. Voor het randpunt geldt 0 b = 0, dus b = 0 en a =. Je kunt de figuur verdelen in een rehthoek links met zijden van 7 en, een rehthoek rehts met zijden van 7 en en een rehthoek er tussen met zijden van 7 en. De oppervlakte van de figuur is dan 7 + 7 + 7 = + 9 + = 7. 0 a Invullen van l = 0 geeft T = 0, = 0, = 0,. b l in m 0 0 0 0 0 0 T in s 0, 0,89,09,,, d T in s,7,0, 0,7 0,0 0, T = 0, l 0 0 0 0 0 0 0 0 0 70 80 l in m 0 De slinger moet ongeveer m lang zijn. Zie de stippellijn in de tekening hierboven. Invullen van l = geeft T = 0, 0, 99 en dat klopt. 0 a Invullen van r = 0 geeft v = 0 = 7, 8... 77 km per uur. b r in meters 0 0 0 0 0 0 0 70 v in km per uur 0,7, 7,8 88, 98,99 08, 7, d e v in km per uur 0 00 80 0 0 0 v = r 0 0 0 0 0 0 0 0 70 80 r in meters De grafiek stijgt steeds langzamer. Bij een snelheid van km per uur is de remweg ongeveer meter lang. Zie de stippellijn in de grafiek hierboven. Moderne wiskunde 9e editie A vwo
a = = = = = 0 b 8 0 = 8 0 = 0 8 0 = 0 8 8 = = 0 = 0 d 8 + ( ) = 8 + = + 0 = = = = = e 7 7 ( ) = 7 7 = 0 9 = 9 f 0 8 = 0 8 = = 0 7 0 = 0 = = = 9 a Bij zijn nieuwe grafiek hoort de formule = + x of = x +. b De formule van haar nieuwe grafiek wordt = x. De grafiek van Kris ontstaat uit de grafiek van = x door alle uitkomsten van deze grafiek vier keer zo ver van de horizontale as af te tekenen. d Je moet dan a = nemen, want = x kun je shrijven als = x en dat is gelijk aan = x. ICT Wortelformules I-a oppervlakte vierkant A 0 9 zijde vierkant z 0 b d zijde vierkant z 7 0 0 8 0 8 0 oppervlakte vierkant A Voor iedere waarde van A kun je de waarde van z vinden door de wortel uit A te nemen. Je kunt voor A alleen getallen groter of gelijk aan 0 invullen omdat er geen negatieve oppervlakte bestaat. I-a Links van de vertiale as bestaat de grafiek niet omdat de wortel uit een negatief getal niet bestaat. b - Ja, de grafiek loopt vertiaal in het punt (0, 0). I-a - b De grafiek van = + x ontstaat uit de grafiek van = x door deze grafiek één hokje naar boven te vershuiven. De grafiek van = + x ontstaat uit de grafiek van = x door deze grafiek drie hokjes naar beneden te vershuiven. Hoofdstuk - Wortels Moderne wiskunde 9e editie A vwo
Hoofdstuk - Wortels d - e De grafiek van = x ontstaat uit de grafiek van = x door alle uitkomsten van deze grafiek twee keer zo ver van de horizontale as af te tekenen. f De grafiek van = x ontstaat uit de grafiek van = x door alle uitkomsten van deze grafiek drie keer zo ver van de horizontale as af te tekenen. I-a - b x 7 8 9 0 0,,7,,,,8 De sterretjes in de tabel betekenen dat de grafiek hier niet bestaat. d De grafiek begint in het punt (, 0). e De grafiek van = x ontstaat uit de grafiek van = x door deze grafiek drie hokjes naar rehts te vershuiven. I-a = x, =, + x, = x, =, + x en = x+, b (, 0), (0;,), (0, 0), (0;,) en (,; 0) I-a De grafiek bij de formule = x+8 ontstaat uit de grafiek bij de formule = x door deze grafiek aht hokjes naar links te vershuiven. Het randpunt is ( 8, 0). b De grafiek bij de formule = + x ontstaat uit de grafiek bij de formule = x door deze grafiek vijf hokjes naar beneden te vershuiven. Het randpunt is (0, ). De grafiek bij de formule = x ontstaat uit de grafiek bij de formule = x door deze grafiek hokje naar rehts te vershuiven. Het randpunt is (, 0 ). d De grafiek bij de formule = x ontstaat uit de grafiek bij de formule = x door alle uitkomsten van deze grafiek onder in plaats van boven de horizontale as te tekenen. Het randpunt is (0, 0). I-7a - b Invullen van x = 9 geeft = 9 = =, dus Ali doet het goed. De fout die Mo maakt is dat hij = 9 = = berekent. De oördinaten van het randpunt van de grafiek van = x zijn (0, ). De oördinaten van het randpunt van de grafiek van = x zijn (, 0). I-8a - b Als je a groter maakt vershuift de grafiek naar rehts. Als je a kleiner maakt vershuift de grafiek naar links. Invullen van x = en = geeft = a oftewel a =, dus a =. Invullen van x = en = geeft = a en dat kan niet. I-9a In de getekende grafiek is a = 0 en b = 0. b - Als je a groter maakt vershuift de grafiek naar rehts. Als je a kleiner maakt vershuift de grafiek naar links. d Als je b groter maakt vershuift de grafiek naar boven. Als je b kleiner maakt vershuift de grafiek naar beneden. e De formule = + x heeft een grafiek met randpunt (, ). Moderne wiskunde 9e editie A vwo
Test jezelf T-a ligt tussen en, ligt tussen en, ligt tussen en 7, 99 ligt tussen 9 en 0, 0, ligt tussen en en ligt tussen 8 en 9. b =, 7, 0, 0, = 0,, kan niet en 87, 9, T-a + = b + = 7 = d = = 0 e 9 7 8 7+ = 7+ f 7 0 = 7 0 = 0 0 7 0 = 0 g ( ) = = = 9 = 99 h 89 7 + = T-a 90 = 9 0 = 0, 98 = 9 = 7, 8 = = 8 en 7 = = b 7 = 9 = 9, 9 8 = 8 8 = 8, 0 7 = 00 7 = 700 en 9 = = 80. Ze staan al op volgorde van klein naar groot. 8 7 = 9 = = ( 7) = 7 7 = 7 7 = 7= 8 9 7 = 9 7 9 7 = 9 7 7 = 7 7 = 7 + 0 = + 0 = 0 + 0 = 0 ( ) = 8 8 = 8 8 8 = 8 8 9 = 9 T-a b d Bij formule A is (0, 0) het randpunt, bij formule B is (, 0) het randpunt, bij formule C is (0, ) het randpunt en bij formule D is (, ) het randpunt. B x O 7 8 9 0 D De grafiek van formule B ontstaat uit de grafiek van formule A door deze drie hokjes naar links te vershuiven. De grafiek van formule C ontstaat uit de grafiek van formule A door deze één hokje naar boven te vershuiven. C A Hoofdstuk - Wortels Moderne wiskunde 9e editie A vwo
Hoofdstuk - Wortels T- De oppervlakte van het bovenblad van haar tafel is = dm. Het kleed bedekt de helft van het bovenblad van haar tafel. De oppervlakte van het kleed is : = 8 dm. De zijden van het kleed moeten 8, 8 dm zijn en dat is 8, m. T-a h= a a w= 7 q q q h= a a w= q q h= a w= q b k = r + d g = u+ u g = u+ u g = u+ u g = 7 u T-7a De oördinaten van het randpunt van de grafiek zijn (, ). b x 7 8 9,,7, Invullen van x = 0 geeft = + 0 = + = + = 8. Het punt (0, 9) ligt niet op de grafiek. d Ja, Joram heeft gelijk. T-8a De zijden van een vakje zijn, =, m. b Eén vakje van het andere shaakbord heeft een oppervlakte van, : =,7 m. De zijden van een vakje zijn 7, =, m. Een dambord met een oppervlakte van 00 m heeft zijden van 00, m. De omtrek van dit dambord is 00 8, m. Het tweede dambord met een omtrek van 0 m is groter. Of: Een dambord met een omtrek van 0 m heeft zijden van 0 : = m. De oppervlakte van dit dambord is = m. Het eerste dambord heeft een oppervlakte van 00 m. Het tweede dambord is groter. Moderne wiskunde 9e editie A vwo