Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 5 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 5 / 25

Inhoud Reële vectorruimten 2 Lineaire deelruimten 3 Nulruimte 4 Lineaire combinaties 5 Opspansel J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 5 2 / 25

Eigenschappen van vectoren in het vlak en de ruimte Stelling Als u, v en w vectoren in R 2 of R 3 of R n zijn, en c, d R, dan (a) u + v = v + u (vectoroptelling is commutatief) (b) u + (v + w) = (u + v) + w (vectoroptelling is associatief) (c) u + = + u = u (d) u + ( u) = (e) c(u + v) = cu + cv (f) (c + d)u = cu + du (g) c(du) = (cd)u (h) u = u Bewijs: dit zijn eerder bewezen eigenschappen van matrixoperaties. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 5 3 / 25

Reële vectorruimten Definitie Een reële vectorruimte is een verzameling V met daarop twee operaties (vectoroptelling) en (scalaire vermenigvuldiging) gedefiniëerd die de volgende eigenschappen hebben: (a) u v V voor alle u, v V (V is gesloten onder de operatie ) () u v = v u voor alle u, v V (commutativiteit). (2) u (v w) = (u v) w voor alle u, v V (associativiteit). (3) Er bestaat een (uniek) element (nulvector) in V zodat u = u = u voor alle u, v V. (4) Voor elke u in V bestaat er een (uniek) element u in V (tegengestelde) zodat u u = u u =. (b) c u V voor alle u V en alle c R (V is gesloten onder de operatie ). (5) c (u v) = (c u) (c v) voor alle u, v V en alle c R. (6) (c + d) u = (c u) (d u) voor alle u, v V en alle c R. (7) c (d u) = (cd) u voor alle u V en alle c, d R. (8) u = u voor alle u V. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 5 4 / 25

R 2 en R 3 en R n zijn reële vectorruimten als voor optelling van vectoren en voor scalaire vermenigvuldiging van een vector met een reëel getal genomen wordt. Neem V = M mn, de verzameling van alle m n matrices, optelling van matrices, en scalaire vermenigvuldiging van een matrix met een reëel getal. I.h.b. is R n, de verzameling van alle n matrices met reële elementen, met deze operaties een vectorruimte. Neem V = R, gewone optelling en gewone vermenigvuldiging van reële getallen. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 5 5 / 25

Neem V = P n, de verzameling polynomen in t van graad n, optelling van polynomen en scalaire vermenigvuldiging van polynomen: als p, q P n dan voor zekere a i R, en p(t) = a n t n + a n t n + + a t + a o q(t) = b n t n + b n t n + + b t + b o voor zekere b i R. Dan is de som p q het polynoom (p q)(t) = (a n + b n )t n + (a + b )t + (a + b ) en voor c R is het scalaire product c p het polynoom (c p)(t) = (ca n )t n + (ca n )t n + + (ca )t + (ca o ) J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 5 6 / 25

Neem V = C(, ), de verzameling continue functies gedefinieerd op R, optelling van functies en scalaire vermenigvuldiging van functies: (f g)(t) = f (t) + g(t) (c f )(t) = cf (t) Neem V = R met gedefinieerd door u v = u v en de gewone vermenigvuldiging van reële getallen. Dan is V met deze operaties geen vectorruimte, want voor u = 3 en v = : u v v u 3 = 2 2 = 3 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 5 7 / 25

Definitie Laat V een vectorruimte zijn, en W een niet lege deelverzameling van V. Dan is W een lineaire deelruimte van V als W een vectorruimte is met betrekking tot de operaties en gedefinieerd op V. {} is een lineaire deelruimte van elke vectorruimte V, net als de hele ruimte V. Dit zijn de zgn. triviale deelruimten. P 2 (de polynomen van graad hoogstens 2) is een deelruimte van P 3, en algemener is P n een deelruimte van P n+. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 5 8 / 25

De verzameling W van polynomen van graad precies 3 vormt geen deelruimte van P 3 omdat de som van de polynomen p(t) = t 3 + 3t en q(t) = t 3 + 4t 2 + 6 graad 2 heeft en dus niet tot W behoort. Ook behoort de nulvector van P 3, het nulpolynoom niet tot W. Stelling n(t) = Als W een deelruimte is van de vectorruimte V dan behoort de nulvector van V tot W (en is ook de nulvector van W ). J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 5 9 / 25

Stelling Als V een vectorruimte met operaties en is en W een niet lege deelverzameling van V. Dan is W een lineaire deelruimte van V dan en slechts dan als: (a) u v W voor alle u, v W (W is gesloten onder ). (b) c u W voor alle u W en c R (W is gesloten onder ). Laat v V, dan vormt de verzameling van alle vectoren die een scalair veelvoud zijn van v een lineaire deelruimte van V. Een lijn door de oorsprong is dus een deelruimte van R 2 of R 3 want deze kan worden geparametriseerd als x = λv, λ R voor een vector v in R 2 of R 3. NB: lijnen door de oorsprong zijn de enige niet-triviale deelruimtes van R 2. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 5 / 25

Nulruimte Definitie Voor een m n matrix A is de verzameling van oplossingen x van het homogene stelsel Ax = een deelruimte van R n. Deze ruimte heet de oplossingsruimte van het stelsel Ax = of de nulruimte van de matrix A. Notatie: Null(A) Bewijs dat Null(A) een lineaire deelruimte van R n is: dan ook en voor c R: Als Ax = en Ay = A(x + y) = Ax + Ay = + = A(cx) = c(ax) = c = NB: de oplossingsverzameling van Ax = b met b is geen deelruimte. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 5 / 25

De oplossingsverzameling van het homogene stelsel Ax =, met A = 2 2 2 5 3 4 4 9 is een deelruimte van R 4. De gereduceerde trapvorm van de uitgebreide matrix is 2 en dus wordt de algemene oplossing gegeven door x = r 2s, x 2 = r,, x 3 = s, x 4 = s, r, s R J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 5 2 / 25

ofwel door x = r + s 2, r, s R De oplossingsruimte bestaat uit alle vectoren x van de vorm x = ru + sv, met r, s R, 2 u = en v =. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 5 3 / 25

We schrijven vanaf nu simpelweg v + w voor v w en cv voor c v. Laat v en v 2 vectoren zijn in een vectorruimte V. Laat W de verzameling van alle vectoren van de vorm a v + a 2 v 2 met a, a 2 R zijn. Dan is W een deelruimte van V. Immers kies w, w 2 W, dan en dus w = a v + a 2 v 2 en w 2 = b v + b 2 v 2 w + w 2 = (a + b )v + (a 2 + b 2 )v 2 W. Bovendien geldt voor c R dat cw = c(a v + a 2 v 2 ) = (ca )v + (ca 2 )v 2 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 5 4 / 25

NB: dus vlakken door de oorsprong zijn lineaire deelruimtes van R 3, want deze kunnen worden geparametriseerd als voor zekere 3-vectoren u en w. v = λu + µw, λ, µ R NB: lijnen en vlakken door de oorsprong zijn de enige niet-triviale lineaire deelruimtes van R 3. NB: een vlak in R 3 dat niet door de oorsprong gaat kan worden geparametriseerd als v = v + λu + µw, λ, µ R voor zekere 3-vectoren v, u en w en is geen lineaire deelruimte. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 5 5 / 25

Lineaire combinaties Definitie Als v, v 2,... v k vectoren in een vectorruimte V zijn, dan is een vector v V een lineaire combinatie van v, v 2,... v k als v = a v + a 2 v 2 + + a k v k voor zekere reële getallen a, a 2,... a k. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 5 6 / 25

In R 3 is de vector v = een lineaire combinatie van de vectoren v = 2, v 2 =, en v 3 = 2 Immers a, a 2 en a 3 oplossen uit a 2 + a 2 leidt tot het stelsel 2 2 5 + a 3 = 2 5. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 5 7 / 25

a + a 2 + a 3 = 2 2a + a 3 = a + 2a 2 = 5 wat als oplossing a =, a 2 = 2, a 3 = heeft. Dus 2 2 + 2 = 2 5 ofwel v = v + 2v 2 v 3 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 5 8 / 25

Opspansel Definitie Laat S = {v, v 2,... v k } een verzameling vectoren in een vectorruimte V zijn. Dan is het (lineair) opspansel van S per definitie de verzameling van alle lineaire combinaties van de vectoren in S. Notatie: span S, of span{v, v 2,... v k } v = behoort in R 3 tot het opspansel van v = 2, v 2 = 2 2 5, en v 3 = J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 5 9 / 25.

Stelling Laat S = {v, v 2,... v k } een verzameling vectoren in een vectorruimte V zijn. Dan is span S een deelruimte van V. Bewijs: als v = a v + a 2 v 2 + + a k v k, en w = b v + b 2 v 2 + + b k v k, dan is v + w = (a + b )v + (a 2 + b 2 )v 2 + + (a k + b k )v k span S en voor c R: cv = ca v + ca 2 v 2 + + ca k v k span S Als v, v 2,... v k vectoren in R 3 zijn, dan is het opspansel gelijk aan een lijn of een vlak door de oorsprong, of aan {}, of aan R 3. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 5 2 / 25

De nulruimte van A = 2 2 2 5 3 4 4 9 is een deelruimte van R 4. De gereduceerde trapvorm van de uitgebreide matrix [A ] is 2 en dus wordt de algemene oplossing van Ax = gegeven door x = r 2s, x 2 = r,, x 3 = s, x 4 = s, r, s R J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 5 2 / 25

ofwel door Er geldt x = r + s null(a) = span 2,, r, s R 2. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 5 22 / 25

Opspannen Definitie De vectoren v, v 2,..., v k in een vectorruimte V spannen V op als elke v V een lineaire combinatie is van v, v 2,..., v k. Notatie: span S = V (met S = {v, v 2,..., v k }). v = 2 spannen R 3 op, want laat, v 2 = 2 v =, en v 3 = een willekeurige vector in R 3 zijn, dan geeft a v + a 2 v 2 + a 3 v 3 = v a b c. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 5 23 / 25

een stelsel lineaire vergelijkingen met uitgebreide matrix a a a 2 b 2 b 2a a + c 2 c c a 2 2a + b a a + c 3 4a + b + 2c a a + c 4a b 2c 3 Dit stelsel heeft voor elke a, b, c een oplossing, namelijk a = 2a + 2b + c 3, a 2 = a b + c, a 3 = 3 Dus elke v V is een lineaire combinatie van v, v 2, v 3. 4a b 2c. 3 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 5 24 / 25

Dit stelsel is consistent (heeft zelfs voor elke a, b, c oneindig veel oplossingen). Dus elke v V is (op meerdere manieren) een lineaire combinatie van v, v 2, v 3, v 4. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 5 25 / 25 v = 2, v 2 = spannen R 3 op, want laat 2, v 3 = v = a b c, en v 4 = een willekeurige vector in R 3 zijn, dan geeft a v + a 2 v 2 + a 3 v 3 + a 4 v 4 = v het stelsel met uitgebreide matrix a a 2 b a + c 4a b 2c 2 c 3 3.