INHOUDSTABEL 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3 2. TEKENREGELS (fiche 2)... 5 2b. TEGENGESTELDE GETAL - TEGENGESTELDE SOM (verschil) - TEGENSTELDE PRODUCT (fiche 2b)... 6 2c. OMGEKEERDE GETAL - OMGEKEERDE PRODUCT (fiche 2c)... 7 2d. DISTRIBUTIEVE EIGENSCHAP VAN DE VERMENIGVULDIGING t.o.v. DE OPTELLING IN (fiche 2d)... 8 3. VERGELIJKINGEN VAN DE EERSTE GRAAD MET 1 ONBEKENDE (fiche 3)... 9 4. VRAAGSTUKKEN MET één ONBEKENDE (fiche 4)... 10 5. GEHELE MACHTEN VAN RATIONALE GETALLEN (fiche 5)... 11 6. BEWERKINGEN MET ALGEBRAÏSCHE VORMEN - BEWERKINGEN MET EENTERMEN (fiche 6)... 12 6b. BEWERKINGEN MET EENTERMEN... 13 7. BEWERKINGEN MET ALGEBRAÏSCHE VORMEN - BEWERKINGEN MET VEELTERMEN (fiche 7)... 14 8. MERKWAARDIGE PRODUCTEN (fiche 8)... 15 9. ONTBINDING IN FACTOREN (fiche 9)... 16 10. VERHOUDINGEN en EVENREDIGHEDEN (fiche 10)... 17 11. SYMBOLENLIJST... 18
Fiche 1 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1) G= { b A) BREUKEN VEREENVOUDIGEN P en b P 0 ` Teller en noemer delen door hun grootste gemene deler. B) BREUKEN GELIJKNAMIG MAKEN 1 Breuken zover mogelijk fzonderlijk vereenvoudigen.(zie A) 2 Alle noemers gelijk stellen n hun kleinste gemeen veelvoud. 3 Tellers npssen. C) BREUKEN OPTELLEN EN AFTREKKEN 1 Alle breuken zover mogelijk fzonderlijk vereenvoudigen. (zie A) 2 Noemers gelijknmig mken.(zie B) 3 Tellers optellen / ftrekken. 4 Noemers behouden. 5 Resultt zover mogelijk vereenvoudigen. c d cb + = + b d bd D) BREUKEN VERMENIGVULDIGEN 1 Alle breuken zover mogelijk fzonderlijk vereenvoudigen. (Zie A) 2 Breuken kruislings vereenvoudigen. 3 Tellers met elkr vermenigvuldigen. 4 Noemers met elkr vermenigvuldigen. E) BREUKEN DELEN DOOR ELKAAR b c d = c bd Eerste breuk vermenigvuldigen met het omgekeerde vn de tweede breuk. (Zie D) b : c d d = b c 3
Fiche 1b F) BREUKEN VERHEFFEN TOT EEN MACHT 1 Breuk zover mogelijk vereenvoudigen.(zie A) 2 Teller verheffen tot die mcht. 3 Noemer verheffen tot die mcht. n = n b b Opmerkingen 1 ELK GEHEEL GETAL kn geschreven worden onder de vorm vn EEN BREUK, met ls NOEMER 1. n = 1 2 NOOIT WERKEN MET NEGATIEVE NOEMERS. NOEMERS STEEDS POSITIEF MAKEN. b = b 3 Om het TEGENGESTELDE vn een BREUK te nemen, neem je het TEGENGESTELDE vn de TELLER OF TEGENGESTELDE vn de NOEMER = b b = b 4 Om het OMGEKEERDE vn een BREUK te nemen, TELLER EN NOEMER VAN PLAATS VERWISSELLEN. b b = G) VOLGORDE VAN DE BEWERKINGEN BIJ DE BREUKEN 1 In een vorm zonder hkjes 1 De mchtsverheffingen en worteltrekkingen zols ze vn links nr rechts voorkomen 2 De vermenigvuldigingen en de delingen zols ze vn links nr rechts voorkomen 3 De optellingen en de ftrekkingen zols ze vn links nr rechts voorkomen 2 In een vorm met hkjes. Eerst de bewerkingen binnen de hkjes in de 1 4
Fiche 2 SOM zelfde tekens 2. TEKENREGELS (fiche 2) Bewerking Absolute wrden Teken Optellen met elkr. Behouden verschillende tekens PRODUCT zelfde tekens verschillende tekens QUOTIËNT Aftrekken vn elkr. Vermenigvuldigen met elkr. Vermenigvuldigen met elkr. Grootste bsolute wrde Positief Negtief (+). (+) = + (-). (-) = + (+). (-) = - (-). (+) = - zelfde tekens verschillende tekens Delen door elkr. Delen door elkr. Positief Negtief (+) : (+) = + (-) : (-) = + (+) : (-) = - (-) : (+) = - 5
Fiche 2b 2b. TEGENGESTELDE GETAL - TEGENGESTELDE SOM (verschil) - TEGENSTELDE PRODUCT (fiche 2b) Tegengestelde vn GETAL SOM tegengesteld TEKEN nemen - () = - tegengestelde nemen vn ALLE TERMEN Het tegengestelde vn een som is gelijk n de som vn de tegengestelden. - ( + b ) = - - b PRODUCT tegengestelde nemen vn EEN FACTOR. Het tegengestelde vn een product is gelijk n het product vn het tegengestelde vn één fctor met de ndere fctoren. - (b) = - b = (- b) 6
Fiche 2c 2c. OMGEKEERDE GETAL - OMGEKEERDE PRODUCT (fiche 2c) Omgekeerde vn RATIONAAL GETAL TELLER en NOEMER vn PLAATS VERWISSELEN b 1 = b PRODUCT PRODUCT vn de OMGEKEERDEN vn ALLE FACTOREN 1 1 1 (. b) =. b 7
Fiche 2d 2d. DISTRIBUTIEVE EIGENSCHAP VAN DE VERMENIGVULDIGING t.o.v. DE OPTELLING IN G/(fiche 2d) GETAL vermenigvuldigen met een SOM Som vermenigvuldigen met een GETAL ELKE TERM SOM vermenigvuldigen met dit GETAL. ( b + c ) =.b +.c ( b + c ). =.b +.c Som vermenigvuldigen met een SOM ELKE TERM EERSTE SOM vermenigvuldigen met ELKE TERM TWEEDE SOM ( + b ). ( c + d ) =.c +.d + b.c +b.d 8
Fiche 3 3.VERGELIJKINGEN VAN DE EERSTE GRAAD MET 1 ONBEKENDE (fiche 3) A. Term vn lid vernderen Tegengestelde vn de term nemen. B. Fctor vn lid vernderen Omgekeerde vn de fctor nemen. C. Soorten vergelijkingen Vergelijking Antl oplossingen Oplossingenverzmeling Echte vergelijking G 0, b,c G:x+b = c Vlse vergelijking 0x = c c 0 één geen c b x = { } = φ Onbeplde vergelijking 0x = 0 oneindig veel G D. Vergelijkingen oplossen Werkwijze 1 ) Hkjes verdrijven (gebruik distributieve eigenschp vn. t.o.v. +). 2 ) Noemers verdrijven (Al de termen op gelijke noemers brengen - Al de tellers npssen). 3 ) Al de termen die een onbekende bevtten in éénzelfde lid brengen. 4 ) Al de termen die geen onbekende bevtten in het ndere lid brengen. 5 ) Beide leden zover mogelijk uitwerken. 6 ) Fctor bij de onbekende nr het ndere lid brengen. 7 ) Zover mogelijk uitwerken. 8 ) Oplossingenverzmeling beplen. 9 ) Soort vergelijking beplen. 9
Fiche 4 Vrgstukken oplossen Werkwijze 4. VRAAGSTUKKEN MET één ONBEKENDE (fiche 4) 1 ) Keuze vn de onbekende x is het gevrgde element. Een gevrgd element uit de opgve stel je voor door x. 2 ) De vergelijking opstellen. De tekst vn het vrgstuk zet je om in een vergelijking. 3 ) De vergelijking oplossen. 4 ) Antwoord. Geef het ntwoord op de gestelde vrg. 5 ) Proef. Toets de oplossing n de werkelijkheid. 10
Fiche 5 5. GEHELE MACHTEN VAN RATIONALE GETALLEN (fiche 5) Definitie Mcht Regels n =....... ( n fctoren ) G, n N \ { 0,1} Product verheffen tot een mcht Breuk verheffen tot een mcht Mcht verheffen tot een mcht Eke fctor verheffen tot die mcht. Teller verheffen tot die mcht. Noemer verheffen tot die mcht. Grondtl Behouden. Exponenten Vermenigvuldigen. x x x (. b) =. b b x = b x x x y x. y ( ) = Gelijksoortige mchten: mchten met zelfde grondtl Eigenschppen bij gelijksoortige mchten Bewerking Grondtl Exponenten Gelijksoortige mchten vermenigvuldigen Behouden Optellen x y. x+ y = Gelijksoortige mchten delen Behouden Aftrekken x y : x y = Gelijknmige mchten: mchten met zelfde exponent Eigenschppen bij gelijknmige mchten Bewerking Grondtllen Exponent Gelijknmige mchten vermenigvuldigen Gelijknmige mchten delen Te onthouden Vermenigvuldigen Behouden n n ( ) n b = b Delen Behouden n n ( ) n 1 = G 0 = 1 1 n 1 = 1 = n G 0 G 0 G 0, n N : b = : b 11
Fiche 6 6. BEWERKINGEN MET ALGEBRAÏSCHE VORMEN - BEWERKINGEN MET EENTERMEN (fiche 6) EENTERM: Product vn getllen en letters. GELIJKSOORTIGE EENTERMEN: Eentermen met hetzelfde lettergedeelte. BEWERKING COËFFICIËNTEN (getllengedeelte) LETTERGEDEELTE (product vn lle letterfctoren) SOM(verschil) (lleen gelijksoortige eentermen) OPTELLEN BEHOUDEN PRODUCT VERMENIGVULDIGEN BEHOUDEN en de EXPONENTEN gelijksoortige mchten OPTELLEN 12
Fiche 6b 6b. BEWERKINGEN MET EENTERMEN BEWERKING COËFFICIËNTEN (getllengedeelte) LETTERGEDEELTE (product vn lle letterfctoren) MACHTSVERHEFFING VERHEFFEN TOT DIE MACHT BEHOUDEN en de EXPONENTEN VERMENIGVULDIGEN MET DIE MACHT QUOTIËNT DELEN DOOR ELKAAR BEHOUDEN en de EXPONENTEN gelijksoortige mchten AFTREKKEN 13
Fiche 7 7. BEWERKINGEN MET ALGEBRAÏSCHE VORMEN - BEWERKINGEN MET VEELTERMEN (fiche 7) VEELTERM: Som vn (ongelijksoortige) eentermen. BEWERKING WERKWIJZE SOM (verschil) PRODUCT: EENTERM met VEELTERM (veelterm met eenterm) PRODUCT:VEELTERM met VEELTERM QUOTIËNT:VEELTERM door EENTERM Hkjes verdrijven GELIJKSOORTIGE EENTERMEN HERLEIDEN (optellen). ELKE TERM VEELTERM VERMENIGVULDIGEN MET EENTERM (distributieve eigenschp. t.o.v. + toepssen). Gelijksoortige eentermen herleiden (optellen). ELKE TERM EERSTE VEELTERM VERMENIGVULDIGEN MET ELKE TERM TWEEDE VEELTERM (distributieve eigenschp. t.o.v. + toepssen). Gelijksoortige eentermen herleiden (optellen). ELKE TERM VEELTERM DELEN DOOR EENTERM. 14
Fiche 8 TOEGEVOEGDE TWEETERMEN 8. MERKWAARDIGE PRODUCTEN (fiche 8) toegevoegde tweetermen zijn: twee tweetermen die slechts vn elkr verschillen in het teken vn één term. PRODUCT TOEGEVOEGDE TWEETERMEN Het product vn toegevoegde tweetermen is gelijk n: kwdrt gelijke term min kwdrt vn tegengestelde term. ( + b ). ( - b ) = ² - b ² KWADRAAT VAN EEN TWEETERM Het kwdrt vn een tweeterm is gelijk n : een drieterm bestnde uit: het kwdrt vn de eerste term het dubbelproduct vn beide termen het kwdrt vn de tweede term. ( + b ) ² = ² + 2b + b² 15
Fiche 9 9. ONTBINDING IN FACTOREN (fiche 9) Ontbinden in fctoren betekent een veelterm schrijven ls een product. WERKWIJZE 1 ) GEMEENSCHAPPELIJKE FACTOREN AFZONDEREN Distributieve eigenschp toepssen. ( vóór de hkjes: de fctoren die in elke term vn de veelterm voorkomen d.w.z. de g.g.d. vn de coëfficiënten lle gemeenschppelijke letters,met hun kleinste exponent. tussen de hkjes: het quotiënt vn de veelterm en de fgezonderde eenterm.). b +. c =. ( b + c ). ( c + d) + b. ( c + d )= ( + b ). ( c + d ) 2 ) TWEETERM: VERSCHIL VAN TWEE KWADRATEN Formule merkwrdig product toepssen. (Verschil vn twee kwdrten is gelijk n het product vn toegevoegde tweetermen.) ² - b ² = ( + b ). ( - b ) 3 ) DRIETERM: KWADRAAT VAN EEN TWEETERM Formule merkwrdig product toepssen. ² + 2b + b² = ( + b ) ² 4 ) VIERTERM Smennemen vn termen met gemeenschppelijke fctoren..c +.d + b.c + b.d =.( c + d ) + b.( c + d ) = ( + b ). ( c + d ) 16
Fiche 10 10. VERHOUDINGEN en EVENREDIGHEDEN (fiche 10) 1 ) VERHOUDING De verhouding vn twee rtionle getllen, wrbij het tweede getl veschillend is vn nul, is het nuwkeurig quotiënt vn deze getllen. G en b G 0 is de verhouding vn tot b gelijk n b 2 ) EVENREDIGHEDEN Een evenredigheid is een gelijkheid vn twee verhoudingen., c G en b, d G 0 is c = een evenredigheid b d we lezen: stt tot b zols c stt tot d wrbij en d de uitersten b en c de middelsten en c de voorgnden en b en d de volgenden zijn. Recht evenredige grootheden (R) Twee grootheden zijn recht evenredig ls de verhouding vn de wrden vn de eerste grootheid gelijk is n de verhouding vn de wrden vn de tweede grootheid. Omgekeerd evenredige grootheden (O.R.) Twee grootheden zijn omgekeerd evenredig ls de verhouding vn de wrden vn de eerste grootheid gelijk is n het omgekeerde vn de verhouding vn de wrden vn de tweede grootheid. HOOFDEIGENSCHAP In een evenredigheid is het product vn de uitersten gelijk n het product vn de middelsten. c, c Gen b, d G 0 : = d = bc b d 17
Symbolenlijst 11. SYMBOLENLIJST Symbool Betekenis B Verzmeling vn l de ntuurlijke getllen B 0 Verzmeling vn l de ntuurlijke getllen uitgezonderd nul P Verzmeling vn l de gehele getllen P 0 Verzmeling vn l de gehele getllen uitgezonderd nul P Verzmeling vn l de positieve gehele getllen P Verzmeling vn l de negtieve gehele getllen P + 0 Verzmeling vn l de positieve gehele getllen uitgezonderd nul P 0 Verzmeling vn l de negtieve gehele getllen uitgezonderd nul G Verzmeling vn l de rtionle getllen G 0 Verzmeling vn l de rtionle getllen uitgezonderd nul G Verzmeling vn l de positieve rtionle getllen G Verzmeling vn l de negtieve rtionle getllen 18
Symbolenlijst G + 0 Verzmeling vn l de positieve rtionle getllen uitgezonderd nul G 0 Verzmeling vn l de negtieve rtionle getllen uitgezonderd nul :...... wrvoor geldt is element vn...... is geen element vn k.g.v. kleinste gemeen veelvoud g.g.d. grootste gemene deler - () tegengestelde vn - b min b - negtief toestndsteken -1 omgekeerde vn voor lle = is gelijk n is niet gelijk n φ fie: de lege verzmeling \ min 19