ANALYSE 1A, Ivoerig Elemetaire Speciale Fucties p.1 Elemetaire speciale fucties 1. Differetieerbaarheid zie syll. Calculus Ia, II.1.1 of Browder, Ch. 4). Zij I ee iterval, a ee iwedig put va I e f: I R ee fuctie op I. Da heet f differetieerbaar i a met afgeleide f a) als oderstaade limiet bestaat: f fx) fa) a) : lim. x a x a We brege ee paar resultate i herierig die al behadeld zij i syll. Calculus Ia. 2. Propositie syll. Calculus Ia, II.1.2 of Browder, 4.3) Als f differetieerbaar is i a da is f cotiu i a. 3. Stellig Middelwaardestellig) zie syll. Calculus Ia, II.3.1, II.3.2 of Browder, Theorem 4.22) Laat f: [a, b] R cotiu zo dat f differetieerbaar is op a, b). Da is er ee ξ a, b) zo dat fb) fa) b a) f ξ). 4. Gevolg zie syll. Calculus Ia, II.3.1 of Browder, Corollary 4.23) Laat f: [a, b] R cotiu zo dat f differetieerbaar is op a, b) e f x) 0 voor alle x a, b). Da is f costat op [a, b]. Stellig 3 volgt vrij sel uit de stellig dat ee cotiue fuctie op ee geslote begresd iterval ee absoluut maximum e ee absoluut miimum aaeemt zie Browder, Theorem 3.14). 5. Machtreekse Zij a ) 0 ee rij i R zo dat R : 1/ lim sup a 1/ > 0. Als de lim sup gelijk aa 0 is, da eme we R :.) Da is R de covergetiestraal va oderstaade reeks: fx) : a k x k x < R). 1) De reeks covergeert dus absoluut voor x < R e de fuctie x fx) is dus goed gedefiieerd voor x < R. We probere u de afgeleide va f uit te rekee. Daartoe moete we de reeks aa de rechterkat va 1) aar x differetiëre. Als probeersel doe we dit termsgewijs we verwissele dus oeidige sommatie e differetiatie; dit is iet zodermeer gerechtvaardigd). De termsgewijze differetiatie va de machtreeks i 1) levert ee ieuwe machtreeks gx) : k a k x k 1 k1 l + 1) a l+1 x l. 2) Omdat lim sup + 1) a +1 1/ ) ) lim + 1)1/ lim sup a +1 1/ 1 R 1 R 1,
ANALYSE 1A, Ivoerig Elemetaire Speciale Fucties p.2 zie we dat de ieuwe machtreeks dezelfde covergetiestraal heeft als de oude machtreeks. Dus de fuctie x gx) i 2) is goed gedefiieerd voor x < R. Er ka beweze worde zie Browder, Theorem 4.36) dat g x) fx) als x < R. Dus f is differetieerbaar e i het bijzoder cotiu als x < R. Nu kue we de termsgewijze differetiatie herhale voor de machtreeks i 2), e dit willekeurig vaak. Zo zie we i dat de fuctie f willekeurig vaak differetieerbaar is op R, R) e dat alle afgeleide f j) dus ook cotiu zij. Hiermee is f ee zogeaamde C -fuctie op R, R). Samevatted: 6. Stellig Laat de fuctie f op ee iterval R, R) gedefiieerd zij door ee machtreeks 1) met covergetiestraal R. Da is f willekeurig vaak differetieerbaar op R, R) e f e al zij afgeleide f j) j N) zij cotiu op R, R) m.a.w., f is C op R, R)). Verder is voor elke j N de afgeleide f j) gegeve door de machtreeks f j) x) kk 1)...k j + 1) a k x k j kj l + j)l + j 1)...l + 1) a l+j x l 3) met covergetiestraal R. 7. Verbad met Taylor-beaderige Laat f weer gegeve door de machtreeks 1) met covergetiestraal R. Da volgt uit 3) dat f j) 0) j! a j. 4) Dus de -de orde Taylor-beaderig f va f om 0 zie syll. Calculus Ia, II.4.1) wordt gegeve door f k) 0) f x) : x k a k x k, 5) dus juist het begistuk tot/met de -de graads term va de machtreeks va f. I syll. Calculus Ia, II.5.1 werd opgemerkt dat we algemee bij ee Taylor-beaderig) f f kue afschatte door fx) f x) Ox +1 ), x 0, d.w.z. dat er ee C > 0 e ρ > 0 zij zo dat fx) f x) C x +1 als 0 < x < ρ. I os geval va ee machtreeks kue we dit ook izie door fx) f x) als de restsom va de machtreeks 1) schrijve: fx) f x) a k x k x +1 a +1+l x l x +1 h x) k+1 x < R), waarbij de machtreeks h x) : a +1+l x l weer covergetiestraal R heeft, dus cotiu is op R, R) dus begresd is op elk iterval [ ρ, ρ] met 0 < ρ < R zie Browder, 3.14). Hieruit volgt dat er voor elke ρ met 0 < ρ < R ee C > 0 is zo dat fx) f x) C x +1 als x < ρ. 8. De expoetiële reeks We defiiëre de expoetiële reeks door expx) : x k x R). 6)
ANALYSE 1A, Ivoerig Elemetaire Speciale Fucties p.3 Omdat voor a : 1/! geldt dat lim a +1 / a 0, heeft de machtreeks i 6) covergetiestraal. Met behulp va Stellig 6 zie we dat de fuctie exp ee C - fuctie is e dat zij afgeleide exp door dezelfde machtreeks i 6) gegeve wordt, dus exp x) expx), dus exp j) x) expx) voor alle j N 7) Er volgt uit 7) dat de afgeleide aar x va expx) exp x) gelijk aa 0 is. Dus weges Gevolg 4 is expx) exp x) costat, dus idetiek gelijk aa zij waarde 1 voor x 0, dus: exp0) 1, expx) exp x) 1, expx)) 1 exp x). 8) Uit 6) zie we dat expx) > 0 als x 0. Combiatie met 8) geeft da dat expx) > 0 voor alle x R. 9. Fuctioaalvergelijkig voor exp We wille u ee formule afleide voor expx + y) x, y R). Merk op dat er uit 6) e de biomiaalformule volgt dat x + y) expx + y)! 0 1!! k)! xk y k x k y k k)! 0 x k y l ) l! x k ) y l expx) expy). l! 0 k, Dus expx + y) expx) expy) 9) Bovegeoemde afleidig is iet rigoureus e ka daarom iet als bewijs gelde voor 9). I het bijzoder zoude we preciezer moete zegge wat we met de dubbelsom k, xk x l l! bedoele e zoude we de overgag va deze dubbelsom aar het product va twee ekelsomme moete motivere. Ee rigoureus bewijs va 9) ka verkrege worde met behulp va Defiitio 2.59 e Theorem 2.60 i Browder. Ee tweede bewijs va 9) gaat als volgt. Neem y vast e schrijf fx) : expx + y), gx) : expx) expy). Da: f x) fx), f0) y; g x) gx), g0) y. 10) Dus f e g zij oplossige va dezelfde differetiaalvergelijkig va orde 1 met dezelfde begiwaarde bij x 0. Uit de uiciteitsstellig voor oplossige va zulke differetiaalvergelijkige zie syll. Calculus Ib, VI.1.1) volgt da dat fx) gx) om te begie i ee voldoede kleie omgevig va 0, maar dit ka worde voortgezet tot alle x R). Ee elemetair bewijs uitgaade va 10) is als volgt. Merk op dat d dx ) fx) f x)gx) fx)g x) gx) gx) 2 fx)gx) fx)gx) gx) 2 0 we gebruikte dat gx) 0 voor alle x R) e dat f0)/g0) 1. Dus weges Gevolg 4 is fx)/gx) 1 voor alle x R.
ANALYSE 1A, Ivoerig Elemetaire Speciale Fucties p.4 10. We zage i 8 dat expx) > 0 voor alle x R. I combiatie met 7) levert dit dat exp x) > 0 x R), dus dat de fuctie exp strikt stijged is op R. Er volgt uit 6) dat voor elke N geldt dat expx) > x /! als x > 0, dus expx) lim expx) e algemeer lim x x x 0, 1, 2,...). 11) Dus expx) stijgt seller da elke positieve macht va x als x. Combiatie va de eerste limiet i 11) met 8) levert dat lim x expx) 0. Same met de cotiuïteit va exp levert dit met gebruik va Browder, Theorem 3.16 het volgede. 11. Stellig De strikt stijgede cotiue fuctie exp: R R is ee bijectieve afbeeldig exp: R 0, ). Schrijf log : exp 1 voor de iverse afbeeldig. Da is de afbeeldig log: 0, ) R bijectief e log is ee strikt stijgede cotiue fuctie op 0, ). De formules 9) e 8) voor exp leide u tot formules voor log: logxy) logx) + logy) x, y > 0); log1) 0; logx 1 ) logx) x > 0); logx) < x 1 x > 1). 12) Als we, als aavullig op het vermelde i Stellig 11 ook gebruike dat exp x) > 0 voor alle x R, da kue we cocludere dat log ook differetieerbaar is door gebruik te make va Browder, Theorem 4.26: 12. Stellig Late I e J ope itervalle zij e laat f: I J bijectief e differetieerbaar op I zo dat f x) > 0 voor allle x I. Schrijf g : f 1 voor de iverse afbeeldig va f. Da is g: J I differetieerbaar op J e g y) 1 f gy)) y J). 13) Formule 13) volgt door gfx)) x aar x te differetiëre e de kettigregel toe te passe zie syll. Calculus Ia, II.2.1). Waeer we f : exp, g : log substituere i 13), vide we dat log x) 1 x. 14) 13. De machtreeks va log1 + x) Uit 14) volgt dat fx) : log1 + x) als j-de afgeleide heeft: f j) x) 1) j 1 j 1)! 1+x) j, dus fj) 0) j! 1)j j machtreeks. Dus als log1 + x) als machtreeks te schrijve is, da moet dit de gx) : 1) k 1 x k 15) k k1
ANALYSE 1A, Ivoerig Elemetaire Speciale Fucties p.5 zij dit volgt uit 4)). De machtreeks i 15) heeft covergetiestraal 1 ga a), dus de fuctie g is goed gedefiieerd door 15) op 1, 1). Uit Stellig 6 volgt dat g ee C -fuctie is op 1, 1) e dat g x) 1) l x l 1 1 + x f x) x < 1). Bovedie is f0) 0 g0). Da volgt uit Gevolg 4 dat fx) gx) voor alle x 1, 1). We hebbe dus beweze dat 1) k 1 log1 + x) x k x < 1). 16) k k1 14. Ee limietformule voor expx). We wete dat e : lim 1 + 1 ) exp1) 17) zie Browder, Example 2.12 e Propositio 3.29 e syll. Abstracte Aalyse). We bewijze u algemeer: lim 1 + x ) expx) x R). 18) Bewijs Het geval x 0 is eveidet. Laat u x > 0. Da geve we ee bewijs aaloog aa dat voor 17). Uit de biomiaalformule volgt dat ) 1 + x x k ) ) 1 + x + 1 1... 1 k 1 x k < < expx). 19) k2 Hieruit zie we dat de rij 1+ x )) stijged e aar bove begresd is, dus ee limiet 1 heeft e dat lim 1 + x ) expx). Ook zie we uit 19) dat voor elke vaste m 2 geldt: ) m 1 + x + 1 + x Dus geldt voor elke m dat k2 lim x k 1 1 ) 1 + x m ) )... 1 k 1 x k. m). De ogelijkheid blijft ) behoude als we i het rechter lid de limiet eme voor m, dus lim 1 + x expx). We hadde al gezie dat lim 1 + x ) expx), dus 18) geldt voor x 0. Om 18) voor x < 0 te bewijze, vervage we x door x e schrijve we voor x > 0 dat 1 x ) 1 x2 ) /1 + x 2 ) e 1 x2 1 x2 2 ) 1 > x 2 ). 20) Hierbij gebruikte we dat 1 + t) 1 + t als t > 1 oefeig i Browder, Lemma 2.5). Nu volgt uit 20) dat 1 x2 1 + x ) 1 x ) 1 1 + x ) > x 2, x > 0). 21) Het liker lid e het rechter lid va 21) covergere aar 1/ expx) voor, dus met de kijpstellig covergeert ook 1 x ) aar deze limiet als.
ANALYSE 1A, Ivoerig Elemetaire Speciale Fucties p.6 15. expx) als ee macht va e. We late u zie dat expx) e x x Q), d.w.z. exp p q) e p ) 1 q p Z, q N). 22) Bewijs Er volgt uit 9) e 8) dat exppx) expx)) p p Z), dus expx/q) expx)) 1/q q N), dus expp/q) exp1)) p/q e p/q p Z, q N). Formule 22) suggereert om e x u te defiiëre als expx) voor willekeurige x R iet oodzakelijk i Q). Met deze defiitie volgt uit de cotiuïteit e mootoie va de fuctie exp dat e x sup e y. 23) y Q; y<x 16. Reële machte va willekeurig positief grodtal Laat a > 0. Voor p Z, q N hebbe we a p q explog a)) p q exp p q Dit suggereert voor a > 0 e x R de defiitie log a). a x : expx loga), dus a x sup a y als a > 1. 24) y<x; y Q 17. expz) voor complexe z. De theorie va machtreekse fz) : a k z k 25) gaat door als de coëfficiëte a k e het argumet z i C ligge. De covergetiestraal wordt ook da gegeve door R : 1/ lim sup a 1/, 26) e de machtreeks 25) covergeert da absoluut voor z C met z < R, d.w.z. a k z k a k z k < z < R). Absolute covergetie impliceert gewoe covergetie va de reeks i 25) voor z < R, d.w.z. dat de reële reekse Re fz) : Re a k z k ) e Im fz) : Im a k z k ) covergere als z < R. I het bijzoder covergeert de expoetiële reeks expz) : voor alle z C. We defiiëre e z : expz) voor alle z C. z k
ANALYSE 1A, Ivoerig Elemetaire Speciale Fucties p.7 18. De trigoometrische fucties We zulle u de trigoometrische fucties op ee rigoureuze maier ivoere i terme va de fuctie e iz i ) )! z 1 z2 2! + z4 z 4! + i 1! z3 3! + z5 5!. 27) We defiiëre: 0 cos z : 1 2 eiz + e iz ) si z : 1 2i eiz e iz ) 1) k 2k)! z2k 1 z2 2! + z4 4! 1) k 2k + 1)! z2k+1 z z3 3! + z5 5! z C), 28) z C). 29) Merk op dat de machtreekse i 28) e 29) covergetiestraal hebbe. Dit volgt bijv. omdat de reeks i 27) absoluut covergeert voor alle z. Er volgt omiddellijk uit 27), 28) e 29) dat Waeer we z reëel eme i 28), 29) volgt er dat Ook is het evidet dat e iz cos z + i si z. 30) cos x Re e ix ), si x Im e ix ) x R). 31) cos z) cos z, si z) si z z C), cos 0 1, si 0 0. 19. Opgave Bewijs, uitgaade va de defiities 28), 29), e gebruik maked va de eerder beweze formules voor de expoetiële fuctie, de volgede formules voor de cosius- e sius-fucties: cosz + w) cos z cos w si z si w z, w C), 32) siz + w) si z cos w + cos z si w z, w C), 33) si 2 z + cos 2 z 1 z C), 34) 1 six 1, 1 cos x 1 x R), 35) d dx eix ) i e ix x R), 36) d si x cos x x R), 37) dx d dx lim x 0 cos x si x x R), 38) si x x 1. 39) Vreemd als het lijkt, zal u beweze moete worde dat cos x de waarde 0 aaeemt voor zekere reële waarde va x. Dit resultaat zal vervolges leide tot de rigoureuze defiitie va het getal π tot u toe slechts meetkudig gedefiieerd) e tot ee bewijs dat de sius- e cosiusfucties periodiek zij.
ANALYSE 1A, Ivoerig Elemetaire Speciale Fucties p.8 20. Propositie Er bestaat ee x > 0 zo dat cos x 0. Bewijs Stel dat cos x 0 voor alle x > 0. Omdat cos 0 1, volgt er met behulp va de cotiuïteit va cos e de tussewaardestellig dat cos x > 0 voor alle x > 0. Dit resultaat, same met 37), laat zie dat de fuctie x si x strikt stijged is op [0, ). Aagezie si 0 0, is si x > 0 als x > 0. Laat u 0 < x < y. Da volgt er uit de middelwaardestellig Stellig 3) same met 38) dat er ee z x, y) bestaat zo dat cos x cos y y x) si z, dus weges geoemde eigeschappe va de sius-fuctie e weges 35) volgt er dat 0 < y x) si x < y x) siz cos x cos y 2. Neem x > 0 vast. Da geldt er voor alle y > x dat 0 < si x < 2/y x). Dit is omogelijk. 21. Defiitie Laat x 0 het ifimum zij va de iet-lege e aar beede begresde) verzamelig va positieve ulpute va cos. Da is cosx 0 0 waarom?), dus x 0 > 0. Defiieer π : 2x 0. Weges 34) geldt u dat siπ/2) ±1. Echter, omdat si 0 0 e si mootoo stijged is op [0, π/2] zie het bewijs va Propositie 20), zal siπ/2) > 0, dus 1. Dus er volgt met behulp va 30) dat e 1 2 πi i. 40) 22. Opgave Bewijs, door gebruik te make va 40), 9), 28) e 29), het volgede: e πi 1, e 2πi 1, 41) e z+2πi e z z C), 42) siz + π) si z, cosz + π) cos z z C), 43) si 1 2 π z) cos z, cos1 2π z) siz z C). 44) 23. Opgave a) Zij x R. Bewijs dat cos x 0 desda x k + 1 2 )π voor zekere k Z e dat six 0 desda x kπ voor zekere k Z. b) Zij a R. Bewijs dat cosx + a) cos x voor alle x R desda a 2kπ voor zekere k Z. Bewijs dat evezo six+a) si x voor alle x R desda a 2kπ voor zekere k Z. 24. Opgave Bewijs dat de afbeeldig θ e iθ : [0, 2π) {z C z 1} bijectief is.