Opgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Uitwerkingen worden beschikbaar gesteld op de dinsdagavond voorafgaande aan het volgende college (donderdag). Inhoudsopgave 1 Goniometrie 2 1.1 Sinus tot de derde......................... 2 1.2 Standaard driehoeken....................... 2 2 Vectoren en matrixes 3 2.1 Matrix vermenigvuldiging.................... 3 2.2 Rotaties.............................. 3 2.3 Inverse matrix........................... 3 2.4 Praktijk geval........................... 4 2.5 Uitproduct twee vectoren..................... 5 2.6 1-vorm: beeld van 0 is 0..................... 6 2.7 Bilineaire vormen......................... 6 2.8 Inproduct formule met niet orthognale coördinaten...... 7 3 Analyse 8 3.1 Afgeleide van x n voor n = 1.................. 8 3.2 Afgeleide van tangens....................... 8 3.3 Afgeleide van arctangens..................... 8 3.4 Afgeleide van ln x......................... 8 3.5 Leibnitz regel........................... 8 3.6 Kettingregel met partiële afgeleiden............... 9 1
1 Goniometrie 1.1 Sinus tot de derde Bekijk de functie f(x) = sin 3 x. Deze is duidelijk periodiek. a. Laat zien dat je deze functie kunt schrijven als een som van sinusachtige functies. Sinusachtige functies zijn functies van het type A sin(nx) of A cos(nx), met n een natuurlijk getal (n = 1, 2, 3,... ). Hint: Bekijk de formules: cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β cos(α β) = cos α cos β + sin α sin β Optellen van deze twee vergelijkingen geeft een vergelijking voor cos α cos β. Aftrekken geeft een vergelijking voor sin α sin β. Op een dergelijke manier kunnen we ook een formule voor cos α sin β vinden en met dit soort formules moet het te doen zijn. 1.2 Standaard driehoeken Verifieer de juistheid van de Cosinusregel in de volgende driehoeken: Figuur 1: Standaard driehoeken 2
2 Vectoren en matrixes 2.1 Matrix vermenigvuldiging Bereken het product: 1 a 0 1 2 3 2a 2 2.2 Rotaties Voor een hoek α definiëren we de volgende matrix: cos α sin α M α = sin α cos α a. Bereken het matrixproduct M α M β Herkent u de elementen van deze productmatrix? (Hint: denk aan de somformules voor de sinus en de cosinus). Zo ja, dan: b. Laat zien dat het matrixpoduct M α M β geschreven kan worden als M γ. Wat is γ in termen van α en β? Het resultaat van deze opgave is goed te interpreteren als men bedenkt dat M α een rotatie over een hoek α in het platte vlak representeert. 2.3 Inverse matrix Gegeven is de matrix 1 1 A = 2 2 1 2 a. Bepaal de inverse A 1 van de matrix A door middel van de veegmethode. b. Controleer het antwoord door matrix vermenigvuldiging. c. Bepaal in het algemeen de inverse van de matrix: a b A = c d 3
2.4 Praktijk geval Gegeven zijn de volgende matrices: γ γ v 0 0 0 E c 2 x E y E z M = γv γ 0 0 0 0 1 0 en F = E x 0 B z B y E y B z 0 B x 0 0 0 1 E z B y B x 0 Voor deze opgave is het niet van belang, maar de achtergrond van deze matrixen is als volgt: M is de zogenaamde Lorentz transformatie. In de matrix F staan de getallen E x, E y en E z (de componenten van het elektrische veld) en de getallen B x, B y en B z (de componenten van het magnetische veld). Verder is v een snelheid en c de lichtsnelheid. De letter γ is een afkorting voor een uitdrukking die in de speciale relativiteitstheorie heel veel voorkomt namelijk: 1 γ = 1 v2 /c en dus 2 γ2 (1 v2 c ) = 1 2 De laatste uitdrukking zult u nodig hebben. We hebben ook nog de gespiegelde matrix van M: γ γv 0 0 M = γ v γ 0 0 c 2 0 0 1 0 0 0 0 1 Nogmaals het gaat er nu niet om wat het allemaal betekent, de oefening gaat puur om het vermenigvuldigen van matrixes. a. bereken de 4 bij 4 matrix M F M. Dit is erg veel schrijfwerk. U kunt ook proberen of het op de volgende manier lukt, namelijk met 2 bij 2 matrixen. We kunnen de betrokken 4 bij vier matrixen namelijk zijn als 2 bij 2 matrixen van 2 bij twee matrixen. Voor M gaat dit als volgt: 1 v γ c 0 0 2 M = ( v 1 0 0 ) M 0 0 0 1 0 = 0 I 0 0 0 1 4
We hebben dan ook: Hierbij is dus: M = γ M = 1 v c 2 v 1 M 0 0 I en I = 1 0 0 1 Ook voor F kunnen we dit doen: 0 Ex Ey E z ( F = ( E x 0 B z B y ) Ey B z 0 Bx = Ex J H E z B y B x 0 ) H B x J waarbij dus: Ey E H = z B z B y en J = ( 0 ) 1 1 0 b. bereken de 2 bij 2 matrix M F M. Waarbij de elementen dus zelf 2 bij 2 matrixen zijn. In (b.) gebruikt u dus de volgende matrixen: Ex J H F = H en M = B x J M 0 0 I De elementen van dit resultaat zijn dus zelf 2 bij 2 matrixen. c. Bereken deze 4 matrixen ook expliciet en check het resultaat aan de hand van onderdeel a. 2.5 Uitproduct twee vectoren We bekijken de 3-dimensionale vectorruimte. Stel we hebben hierin twee vectoren a = OA en b = OB. Stel deze zijn onafhankelijk. Met andere woorden: het gemeenschappelijke voetpunt O en twee eindpunten A en B liggen niet op één lijn. Dan is er dus een vlak (twee dimensionele deelruimte) waarin deze drie punten O, A en B (en dus de twee vectoren) liggen. Intuitief is duidelijk dat er één lijn door O gaat die loodrecht staat op dit vlak (en dus op a en b). 5
Stel we hebben een orthonormale basis. Dan hebben we dus coördinaten voor a en b, namelijk (a 1, a 2, a 3 ) respectivelijk (b 1, b 2, b 3 ). We nemen eerst eens een concreet voorbeeld: 1 a = 1 en 5 b = 3 (1) 0 7 a. Bepaal de coördinaten (x 1, x 2, x 3 ) van een vector x, zodanig dat x a en x b en wel voor het concrete voorbeeld (1). Hint: U kunt twee lineare vergelijkingen opstellen voor de 3 onbekenden x 1, x 2 en x 3. Merk op dat uw antwoord slechts op een factor na uniek is. b. Bepaal de coördinaten (x 1, x 2, x 3 ) van een vector x, zodanig dat x a en x b en maar nu het het algemeen (dus in termen van a i en b i ). 2.6 1-vorm: beeld van 0 is 0 Stel α : V R is een 1-vorm op de een vectorruimte V. Dat wil zeggen dat α voldoet aan: α( x + y) = α( x) + α( y) α(λ x) = λα( x) a. Bewijs hiermee dat α( 0) = 0. 2.7 Bilineaire vormen Een bilineaire vorm kan (na keuze van een basis) worden gerepresenteerd door een n n -matrix. Dat betekent dat n 2 getallen nodig zijn om hem te specificeren. In een vierdimensionale ruimte zij dat er dus 16. a. Hoeveel getallen zijn nodig om in een vierdimensionale ruimte een symmetrische bilineaire vorm te specificeren? b. Zelfde vraag voor een scheef symmetrische bilineaire vorm. 6
c. Kunt u de antwoorden op a en b ook geven voor en n-dimensionale ruimte? (formules met n erin). Opmerking: als we twee vectoren in de driedimensionale ruimte hebben, bijvoorbeeld E en B (elektrische- en magnetische veld!), dan is er dus sprake van 6 getallen om deze te karakeriseren. Vergelijk dit met de uitkomst van onderdeel b. Geheimpje: dit is geen toeval! 2.8 Inproduct formule met niet orthognale coördinaten Zoals in het college is uitgelegd (slide 33 eerste college 1.2.4) kan het inproduct van twee vectoren x en y eenvoudig kan worden uitgerekend als we de coördinaten van deze vectoren hebben in een orthonormaal stelsel: (x 1, x 2 ) voor x en (y 1, y 2 ) voor y dan: x y = x 1 y 1 + x 2 y 2 (2) Stel dat we nu de volgende nieuwe coördinaten hebben: x 1 = x 1 + x 2 (3) x 2 = x 2 (4) NB. Deze nieuwe coördinaten zijn nu niet orthogonaal. a. Geef een uitdrukking voor het inproduct van x en y en termen van deze nieuwe coördinaten (x 1, x 2) en (y 1, y 2). Hint: Druk eerst mbv (3) en (4) x 1 en x 2 uit in x 1 en x 2 en vul dat in in (2). Als het goed is zult u gemerkt hebben dat uw antwoord van de volgende vorm is (of kan worden geschreven): g 11 x 1y 1 + g 12 x 1y 2 + g 21 x 2y 1 + g 22 x 2y 2 = g11 g b. Geef de matrix 12 g 21 g 22 2 g ij x iy j (5) i,j=1 7
3 Analyse 3.1 Afgeleide van x n voor n = 1 Bepaal de afgeleide functie van 1 = x x 1 rechtstreeks met de definitie van afgeleide. 3.2 Afgeleide van tangens Bepaal d dx tan(x). 3.3 Afgeleide van arctangens d Bepaal arctan(x). Het is mogelijk om een uitdrukking te vinden die geen dx goniometrische functies meer bevat, probeer deze te vinden. Hint: kijk ook naar het voorbeeld van arcsin(x) op de slides. 3.4 Afgeleide van ln x Bepaal d dx ln(x) waarbij ln(x) de inverse is van ex. 3.5 Leibnitz regel Opgave: Check de regel van Leibnitz voor x y. 8
3.6 Kettingregel met partiële afgeleiden We maken een concreet voorbeeld voor de kettingregel van slide 21. We nemen: f(x, y) := xy 2 (6) Verder definieren we en u(t) := t 5 (7) v(t) := t 2 (8) h(t) := f(u(t), v(t)) (9) a. Geef een explicite uitdrukking voor h(t) door (6), (7) en (8) in te vullen in (9). Bepaal dan h (t) = d dt h. b. Bepaal f x en f y meer van x af). als functies van x en y (toevallig hangt f x niet c. Neem weer x = u(t) en y = v(t) en vul dat in bij de resultaten van b. Op deze manier worden f f en functies van t. x y d. Bepaal ook du dt en dv dt. e. Bereken met behulp van de resultaten van c en d de uitdrukking f du + f dv en check dat dit hetzelfde is als bij a verkregen x dt y dt voor h (t). NB. Op de slide staat de uitdrukking f u verwarrend. du + f dt v dv. Dat is misschien wat dt 9