Voorblad bij Tentamen

Transcriptie

1 Studentnaam: Studentnummer: Voorblad bij Tentamen (in te vullen door de examinator) Vaknaam: Metingen en Modellen in de liniek Vakcode: 8VB10 Datum: Begintijd: 13:30 Eindtijd: 16:30 Aantal pagina s: 6 Aantal vragen: 3 Aantal te behalen punten/normering per vraag: 46, voor normering zie vragen Wijze van vaststellen eindcijfer: EC = SCORE/4.6 Wijze van beantwoording vragen : open vragen Inzage: dr.ir. R.G.P. Lopata Overige opmerkingen: Tentamenopgavenblad mag meegenomen worden Noteer deelstappen en argumentatie! Alleen een antwoord (zonder argumentatie) levert geen punten op. Het formuleblad bevindt zich op pagina 2. Instructies voor studenten en surveillanten Toegestane hulpmiddelen (mee te nemen door student): Notebook Rekenmachine Grafische rekenmachine Dictaat/boek 1 A4-tje met aantekeningen Woordenboek(en). Zo ja, welke: Anders, namelijk: Notebook enkel voor het gebruik van Matlab. Matlab en grafische rekenmachine enkel voor het maken van berekeningen toegestaan. Let op: toiletbezoek is alleen onder begeleiding toegestaan binnen 15 minuten na aanvang en 15 minuten voor het einde mag de tentamenruimte niet worden verlaten, tenzij anders aangegeven er dient altijd tentamenwerk (volledig ingevuld tentamenpapier: naam, studentnummer e.d.) te worden ingeleverd tijdens het tentamen dienen de huisregels in acht te worden genomen aanwijzingen van examinatoren en surveillanten dienen opgevolgd te worden etui ligt niet op tafel onderling worden geen hulpmiddelen geleend / uitgewisseld Tijdens het maken van schriftelijke tentamens wordt onder (poging tot) fraude in ieder geval verstaan: gebruik van andermans ID-bewijs/campuskaart mobiele telefoon of enige andere media dragende devices liggen op tafel of zijn opgeborgen in de kleding (poging tot) gebruik van ongeoorloofde bronnen en hulpmiddelen, zoals internet, mobiele telefoon e.d. het gebruik van een clicker die niet je eigen clicker is ander papier voor handen hebben dan door de TU/e is verstrekt, tenzij anders aangegeven toiletbezoek (of naar buiten lopen) zonder toestemming of begeleiding

2 Eindtoets Metingen en Modellen in de liniek (8VB10) pagina 2/6 Algebraische elementen F (t) = x (t) T (t) = θ (t) V R (t) = RI R (t) p R (t) = Rq R (t) F B (t) = Bv B (t) T B (t) = Bω B (t) C V C (t) = I C (t) Cṗ C (t) = q C (t) V L = LI L (t) p L = L q L (t) Toestandsbeschrijving & uitgangsvergelijking: ẋ (t) = Ax (t) + Bũ(t) y(t) = Cx (t) + Dũ(t) S(ω) = ŷ ˆx = C ( iωi A) 1B + D Vergelijking van Euler re iθ = r cos (θ) + ir sin (θ) Homogene oplossing voor 2 e orde systemen: { } x hom (t) = Re 1 e λ1t + 2 e λ 2t { [ ]} = Re e γ 1t d 1 cos γ 2 t + d 2 sin γ 2 t { } x hom (t) = Re 1 te λ1t + 2 e λ 1t voor twee verschillende roots voor twee verschillende complexe roots voor twee dezelfde roots Doppler & Transit Time Flow measurements: f = 2v cos(θ) f c v = c2 t c 2d cos(θ) SNR & Aliasing: SNR db = log P signal P ruis f alias = F max Nf s Fourier series: x(t) = + k=0 [a k cos(kωt) + b k sin(kωt)] ˆx(t) N = N k=0 [a k cos(kωt) + b k sin(kωt)] t=t+t a 0 = 1 T t=t x(t)dt c ±k = 1 2 (a k ib k ) a k = 2 t=t+t T t=t x(t) cos(kωt)dt b k = 2 t=t+t T t=t x(t) sin(kωt)dt A k = a 2 k + b2 k = 2 c k ψ k = arctan( b k a k ) Foutpropagatie 100% & 68% intervallen: y = N j=1 xj f(x 1,..., x N ) x j S m,ȳ = N ( f(x 1,t,..., x N,t ) ) x 2 Sm, x 2 i. i i=1

3 Eindtoets Metingen en Modellen in de liniek (8VB10) pagina 3/6 1. Supersonic shearwave imaging (SSI) is een techniek voor de bepaling van de mechanische eigenschappen van weefsel op basis van ultrageluid. In een studie wordt SSI gebruikt om levercirrose te detecteren. Met ultrageluid wordt een shear wave opgewekt, waarvan de golfvoortplantingssnelheid wordt bepaald. De Young s modulus van het weefsel kan uit de golfvoortplantingssnelheid v sw bepaald worden met: E = 2(1 + µ)g met G = ρv 2 sw Uit analyse blijkt dat in gezonde personen v sw = 2.5 ± 0.4 [m/s]. Bij patiënten met levercirrose wordt een v sw = 5.3 ± 0.5 [m/s] gevonden. Er wordt aangenomen dat ρ = [kg/m 3 ] en µ = 0.5 [-], maar op beide zit vermoedelijk een fout van 20%. a. Bereken de Young s modulus voor de gezonde personen. Wat is het bijbehorende betrouwbaarheidsinterval? Neem 100% intervallen aan voor de gemeten grootheden. b. Idem voor de leverpatiënten. Bereken ook hier het bijbehorende 100% betrouwbaarheidsinterval. c. unnen we met SSI patiënten met levercirrose onderscheiden van gezonde individuen? d. Bespreek de praktische verschillen rondom SSI, MRI-bepaling van mechanische eigenschappen en biopsie/leverpuncties. Betrek hierin ook mogelijke ethische aspecten. Tijdens het onderzoek is de druk gemeten met een volume clamp drukmeter aan de vinger. Het drukverloop is gegeven in onderstaande figuur. De eerste tien harmonischen van een bloeddruksignaal hebben een significante bijdrage aan het totale bloeddruksignaal (f 1 - f 10 ). In dit geval is het bloeddruksignaal verstoord door de ademhaling. De ademhalingsbijdrage wordt beschreven door p(t) = cos (2πf at). e. Identificeer de frequentie van de ademhaling (f a ) èn de frequenties die horen bij de amplitudecoëfficienten A 0 en A 1 van het bloeddruksignaal zonder ademhaling. f. Wat zijn de aliasing-frequenties als dit signaal bemonsterd wordt met f s = 5 Hz? Druk (mmhg) Tijd (s)

4 Eindtoets Metingen en Modellen in de liniek (8VB10) pagina 4/6 2. Voor de SSI metingen uit opgave 1 is een lineaire transducent met een midden zendfrequentie van f c = 7.5 MHz gebruikt. Zie in de figuur hierboven de rechterhelft van het power-spectrum (tot f nyq ) dat hoort bij de ontvangen ruwe ultrageluidsdata (zwarte lijn). De data worden gefilterd en gedigitaliseerd (blauwe lijn). 3 pnt a. Wat is de bemonsteringsfrequentie van de ultrageluiddata? Is dit voldoende voor de gebruikte transducent? Leg uit! b. Wat voor type filter is hier gebruikt? Bepaal de kantelfrequentie(s) van dit filter uit de figuur. c. Hoeveel signaalamplitude is er nog over van de DC-offset (=gelijkspanning) t.o.v. de ruwe data? d. Geef een mogelijke systeem responsefunctie voor een filter geschikt om de lage, niet relevante frequenties te verwijderen. Bereken de waarde van het tweede element (C of L) voor R = 10kΩ. Indien u geen antwoord had bij (b): f kantel = 4 MHz. Het power-spectrum van de gefilterde data is gedigitaliseerd met een N-bits bipolaire AD converter. De converter was ingesteld op een range van -75 tot 75 db. De MSB is gereserveerd voor het teken van het getal (+/-). e. Bepaal de stapgrootte uit de figuur. Wat is de resolutie? f. Bereken het aantal bits, N, en de afrondfout voor deze converter. g. Geef de spectrumwaarde in db die hoort bij het binaire getal dat uiterst links en uiterst rechts een 0 heeft en verder uit 1 -en bestaat. Indien het antwoord bij (f) niet is gevonden, neem N = 4.

5 Eindtoets Metingen en Modellen in de liniek (8VB10) pagina 5/6 v d = 2r R ρ, η 3. In de figuur hierboven is het evenwichtsorgaan afgebeeld (links). Dit orgaan bestaat uit een drietal kanalen (één voor elke richting), waarin zich een visceuze vloeistof bevindt. Deze vloeistof kan in beweging gebracht worden door een rotatie om de as van het hoofd. Als gevolg hiervan zal de zogenaamde cupula, een elastisch orgaantje () in het midden van het kanaal, ook bewogen worden (zie figuur rechts). De verplaatsing van dit orgaan wordt omgezet in prikkels richting het brein. We modelleren dit orgaan als een rotationeel systeem: θ(t) + B θ(t) + θ(t) = v(t) en S(ω) = ˆθ ˆv Met θ de relatieve verplaatsing van de vloeistof t.o.v. het kanaal. Het kanaal zit vast aan de schedel. Ingang v(t) is de hoekversnelling van het hoofd (en dus kanaal) tijdens beweging. 3 pnt a. Leid de systeem frequentie response functie S(ω), en de bijbehorende amplitude en fase response functies A(ω) en ϕ(ω), af (+ tussenstappen!). b. Leid een symbolische uitdrukking voor de natuurlijke resonantiefrequentie, dempingsratio, en gedempte resonantiefrequentie af. De parameters kunnen worden berekend door gebruik te maken van de binnenradius van het kanaal r = [m], de kromtestraal R = [m] en de volgende formules: = M( 3 4 r2 + R 2 ) met: M = 2ρ v π 2 r 2 R B = 16ηπ 2 R met viscositeit η = 10 3 [Pa s] en dichtheid ρ v = 10 3 [kg/m 3 ]. 3 pnt 3 pnt c. Is dit systeem ongedempt, ondergedempt, kritisch gedempt of overgedempt? Leg uit en schets de globale vorm van het inschakeleffect θ trans (t) voor θ(0) = θ 0 [rad] en θ(0) = 0 [rad/s]. d. Bereken de steady state response θ ss (t) voor v(t) = v 0 cos (ωt) met ω = 1 [rad/s] en v 0 = 1.5 [m/s]. e. Bereken de totale response θ tot (t) voor θ(0) = 0 [rad] en θ(0) = 0 [rad/s], gebruik de antwoorden van opgave (c) en (d) en vind numerieke waarden voor de constanten. Z.O.Z.

6 Eindtoets Metingen en Modellen in de liniek (8VB10) pagina 6/6 Twee studenten van de faculteit Biomedische Technologie staan samen op de dansvloer. Eén student drinkt niet, maar heeft aanzienlijke moeite om recht op te blijven staan en is duizelig. Na medisch onderzoek blijkt dit te wijten aan een verwijding van de semi-circulaire kanalen. Bij deze student is r = r [m], waardoor J = [kg m 2 ]. f. Verklaar waarom in dit geval het systeem tot duizeligheid leidt. Betrek hierbij in je antwoord de dempingsratio voor deze student. De andere student werd juist na thuiskomst duizelig. Deze student staat bekend om zijn overmatig drankgebruik. Ongeveer 5 uur na alcoholinname trekt de alcohol in de cupula (het membraan dat als sensor dient). Als gevolg hiervan, zal de dichtheid van de cupula afnemen. De nieuwe dichtheid is ongeveer gelijk aan die van alcohol, ρ alcohol = [kg/m 3 ]. Dit leidt ertoe dat de zwaartekracht een rol gaat spelen en in de systeemvergelijking een extra versnelling komt: θ(t) + B θ(t) + θ(t) = v(t) + a extra met a extra = (ρ alcohol ρ v )gv cupula R met V cupula = m 3 en g = 9.81 m/s 2. g. Laat zien dat deze vergelijking ook beschreven wordt door het volgende stelsel: [ ] [ ] [θ ] [ ] θ ( = + v(t) + a ω ω 1 extra). B h. Implementeer het stelsel in MATLAB door gebruik te maken van de Euler solver en odenum = 4 in de m-files die uitgereikt zijn tijdens het vak en bovenstaande gegevens. Simuleer de output voor a extra = 0 [rad/s 2 ] en v(t) = 10π [rad/s 2 ], t = 10 3 [s] en de begincondities x = [0, 0] T. Bepaal de maximale uitwijking van de cupula θ max in [rad] na 100 s. i. Herhaal opgave (h), maar nu voor a extra = (ρ alcohol ρ v)gv cupula R. Wat is nu de uiteindelijke uitwijking van de cupula, θ max, in [rad]? j. Beredeneer met behulp van bovenstaande simulaties waarom de dronken student in bed misselijk wordt als hij zijn hoofd draait. k. Gegeven dat de versterkingsfactor van de Euler solver gegeven is door Q E = 1 + tλ i. Beredeneer met behulp van de versterkingsfactor voor welke tijdstap t de oplossing numeriek instabiel wordt?

7 Antwoorden Eindtoets Metingen en Modellen in de liniek (8VB10) 1. Antwoorden opgave 1 a. E = 2(1 + µ)ρv 2 sw = 2( ) (2 1 2 )2 = Pa E = Σ 3 j=1 j f) x j = µ 2ρvsw 2 + ρ 2(1 + µ)vsw 2 + v 4(1 + µ)ρv = 0.1 ( ) (2 + 1) (4 + 2) ( ) = Pa. E = (2 ± 1) 10 4 Pa. b. E = 2(1 + µ)ρv 2 sw = 2( ) (5.3) 2 = Pa E = 0.1 ( ) (2 + 1) (4 + 2) ( ) = Pa. E = (8 ± 4) 10 4 Pa. c. Voor gezonden personen is het 100% interval [ ], voor patiënten [ ] Pa. Ondanks de grote onzekerheid, kunnen patiënten wel van gezonde proefpersonen onderscheiden worden. d. MRI is een goed alternatief alhoewel hier geen data gegeven zijn over de nauwkeurigheid en resolutie hiervan. Echter, MRI is een stuk duurder, de scantijd is lang (met name voor gezonde proefpersonen) en niet voor iedereen toegankelijk (door metalen implantaten). Biopsies zijn uiterst invasief, dus wordt pas na een positieve indicatie (door bijv. US) aangevraagd. Normaaldata van gezonde proefpersonen zullen niet snel verkregen worden, laat staan toestemming van de METC hiervoor. d. De periodetijd van de ademhaling is 6s (zie figuur), dus f a = 1 T = Hz. De frequentie horende bij A 0, de DC-component, is 0 Hz. De frequentie horende bij A 1, de grondtoon, is f 1 = 1 T = 1 1 = 1 Hz. e. f 10 = 10 Hz. De aliasing frequenties zullen liggen tussen 0 Hz en 5-10 = 5 Hz. 2. Antwoorden opgave 2 a. f nyq = 25 MHz, dus f s = 2 25 = 50 MHz. De grootste frequentieinhoud ligt onder 12 MHz, dus de sampling is voldoende. b. Aan weerszijden van de midden-frequentie zijn frequenties weggefilterd, dus een banddoorlaat (bandpass) filter. f co,1 = MHz (op - 3 db, want grafiek geeft vermogen) f co,2 = MHz (op - 3 db)

8 c. Uit figuur blijkt dat de verzwakking in vermogen -16 db is. Hieruit volgt dat log ( A A 0 ) = 16, dus A A 0 = (of 16%). d. Indien RC-schakeling, S(ω) = iωrc iωrc+1, dus f co = 1 2πRC, en C = 1 2πRf co = F (voor f co,1 = 5.3 MHz). Indien een RL-schakeling, S(ω) = f co = R 2πL, en L = iω, dus iω+ R L R 2πf co = H. e. Uit de figuur blijkt een discretisatie van 5 db/stap, dus s = 0.2 stap / db. f. De MSB is het plus/min-teken. Er volgen verder /5 = = 16 = 2 4 stappen uit de figuur, ofwel N = 5. De afrondfout is 1 2LSB, dus 2.5 db/stap. g = = 70 db. 3. Antwoorden opgave 3 [ a. ω 2 + B iω + ] θ = iωṽ S(ω) = A(ω) = iω ω 2 + B Jeq iω+ Jeq ω ( ( ) Jeq ω2 ) 2 +( B Jeq ω)2 ϕ(ω) = arg(s(ω)) = arg(iω) arg( ω 2 + B iω + ) = π 2 arctan ( b. ω 2 + B iω + = ω 2 + 2ζω 0 iω + ω 2 0 ω 0 = ζ = Jeq B 2 ω d = ω 0 1 ζ 2 = 1 B2 Jeq 4 = B2 Jeq 4Jeq 2 B Jeq ω ) Jeq ω2 c. M = 2ρ v π 2 r 2 R = π 2 ( ) = kg. = M( 3 4 r2 + R 2 ) = ( 3 4 ( ) 2 + ( ) 2 ) = kg m 2. = 30 = = Nm/rad. B = 16ηπ 2 R 3 = π 2 ( ) 3 = Nsm/rad. ζ = Het systeem is overgedempt, dus θ trans = 1 e λ 1t + 2 e λ 2t. De homogene oplossing (inschakeleffect) zal vanaf θ 0 traag naar 0 afnemen (afhankelijk van de waarden van λ 1 en λ 2 ).

9 d. A(1) = 1 ((30 1) 2 +(300) 2 ) = = , ϕ(1) = π 2 arctan ( ) = θ ss (t) = cos (ωt ) = cos (t ) e. λ 1,2 = ζω 0 ± ω 0 ζ 2 1, dus λ 1 = 0.1 en λ 2 = 300. θ(t) = 1 e λ1t + 2 e λ2t cos (t ) θ(0) = cos ( ) 0 = cos ( ) θ(t) = λ 1 1 e λ1t + λ 2 2 e λ2t sin (t ) 0 = Substitutie geeft ons 1 = en 2 = θ(t) = e 0.1t e 300t cos (t ) f. J = [kg m 2 ], dus = [Nm/rad]. Dit geeft een dempingsratio ζ = Het systeem is nu ondergedempt. Bij elke dancemove zal het totale systeem (transient) gaan oscilleren (met een nieuwe gedempte resonantiefrequentie van 2.9 rad/s = 0.5 Hz), hetgeen tot sensaties van beweging leiden die niet kloppen bij de daadwerkelijke beweging. Dit leidt tot de duizeligheid. g. ω = θ, en θ(t) + B θ(t) + θ(t) = v(t) + a extra ω + B ω + θ = v + a extra ω = θ B ω + v + a extra en dus [ ] [ θ = ω 0 1 B h. De code is bijv. gegeven door: ] [θ ] + ω [ ] 0 ( v + a 1 extra) % Constants r = 0.163e-3; R = 3e-3; n = 1e-3; rho = 1e3; J = rho*2*pi^2*r^2*r*(0.75*r^2+r^2); B = 16*n*pi^2*R^3; = 30*J;

10 % Applied acceleration a_ext = 10*pi; % RHS f k1 = B/J; k2 = /J; f = [0 1; -k2 -k1]*y + [0;1]*(a_ext); De maximale uitwijking is max(y_euler(1,:)) = , ofwel 60 o. i. Toevoeging aan code: % Alcohol rho_f = 0.7e3; g = 9.81; Vcanal= 2*pi^2*r^2*R; Vcup = 0.05*Vcanal; % Archimedes Law: a_alc = (rho_f - rho)*g*vcup*r/j; % RHS f f = [0 1; -k2 -k1]*y + [0;1]*(a_ext+a_alc); De maximale uitwijking is min(y_euler(1,:)) = , ofwel o. j. Als het hoofd omlaag roteert, zal de cupula juist gaan drijven. Hierdoor wordt een rotatie omhoog gedetecteerd. Als het hoofd omlaagt roteert, zal de cupula extra bewegen/vervormen. Dit leidt tot duizeligheid. k. Euler is gebruikt, dus Q E < 1. In dit geval geldt: t < t < 1 t < t < s, dus de eerder gebruikte stapgrootte van s was prima.