Dictaat Functies en Reeksen. E.P. van den Ban

Transcriptie

1 Dictt Functies en Reeksen E.P. vn den Bn c Mthemtisch Instituut Universiteit Utrecht Herzien, Juli 2019

2

3 Voorwoord Dit dictt is ontstn uit een npssing vn het dictt Functies en Reeksen vn Prof.dr. J.J. Duistermt, versie juni Dt dictt ws op zijn beurt ontstn uit eerdere teksten vn Dr. J.D. Stegemn, Dr. J.A.C. Kolk en mijzelf. De wijziging bestt er op de eerste plts uit dt er een selectie is gemkt uit de behndelde onderwerpen, nmelijk differentiëren in meer vribelen, verwisselingsstellingen en convergentie vn oneigenlijke integrlen, convergentie vn rijen en reeksen vn functies, mchtreeksen en complexe differentieerbrheid, en tenslotte Fourier-reeksen. Drbij is op sommige pltsen gekozen voor ndere gezichtspunten. Bij de behndeling vn totle differentitie is meer ndruk komen te liggen op het spect vn lineire bendering. In de theorie vn oneigenlijke integrlen is meer ndruk komen te liggen op het principe vn mjorntie. Op ndere pltsen, zols de behndeling vn de Dirichletkern in de theorie vn de Fourier-reeksen is gekozen voor een meer geleidelijke ontwikkeling vn de theorie. De structuur vn het nieuwe dictt is gebseerd op de opbouw vn de cursus wrmee in de jren ervring is opgedn. Grg bednk ik Heinz Hnßmnn voor een suggestie en een discussie, die geleid hebben tot het toevoegen vn Stelling 5.48, Gevolg 5.49 en Lemm Nottie Net ls in het dictt Inleiding Anlyse gebruiken we in dit dictt de volgende nottie, die fwijkt vn de nottie bij de cursus Wt is Wiskunde. () N = {0, 1, 2,...}; wij beschouwen dus ook 0 ls ntuurlijk getl. Drnst schrijven we N of Z + voor N\{0}. (b) Als A en B verzmelingen zijn, dn betekent A B dt ieder element vn A ook tot B behoort. Bij Wt is Wiskunde ws de nottie A B gebruikelijk. Verder gebruiken wij de nottie A B voor de uitsprk A B en A B. Bij Wt is Wiskunde ws hiervoor de nottie A B gebruikelijk. (c) Intervllen worden ls volgt genoteerd, voor, b R met < b : [, b ] = {x R x b}, ], b [ = {x R < x < b}. Verder gebruiken we bijvoorbeeld de nottie: [, [ = {x R x}. Tenslotte gebruiken we nog de nottie := b voor de uitsprk is per definitie gelijk n b.

4

5 Inhoudsopgve 1 Prtiële en totle fgeleiden Prtiële differentieerbrheid Richtingsdifferentieerbrheid De totle fgeleide Groei en fgeleide Rekenregels voor totle fgeleiden Verwisselingsstellingen en oneigenlijke integrlen Verwisseling vn de differentitievolgorde Integrlen met een prmeter, continuïteit Oneigenlijke integrlen Differentitie onder het integrlteken Verwisseling vn de integrtievolgorde Rijen en reeksen vn functies Uniforme convergentie vn een rij functies Reeksen in C Reeksen vn functies Mchtreeksen en complex differentieerbre functies Mchtreeksen Complex differentieerbre functies Differentieerbrheid vn mchtreeksen Fourier-reeksen Integrtie vn complexwrdige en vectorwrdige functies Motivtie en elementire theorie vn Fourier-coëfficiënten Elementire theorie vn Fourier-reeksen Abel Poisson bendering Differentiëren en Fourier-trnsformtie Functies met sprongen en de Dirichlet kern De gelijkheid vn Prsevl, orthonormle stelsels Orthonormle stelsels Uitbreiding nr lokl Riemnn-integreerbre functies Appendix: Riemnn-integreerbrheid voor vectorwrdige functies 123

6

7 1 Prtiële en totle fgeleiden 1.1 Prtiële differentieerbrheid In het vervolg is X een deelverzmeling vn R n. We zeggen dt X een omgeving is vn een punt ξ, indien ξ tot het inwendige inw(x) vn X behoort. Dit ltste betekent dt er een δ > 0 bestt zodt de open bol B(ξ; δ) met middelpunt ξ en strl δ bevt is in X. Veronderstel dt ξ inw(x) en lt f : X R een reëelwrdige functie zijn. Zij 1 j n. Fixeren we de coördinten met rngnummer ongelijk j, en lten we de j-de coördint nog vrij bewegen, dn krijgen we de reëelwrdige functie φ: t f (ξ 1,..., ξ j 1, t, ξ j+1,..., ξ n ) (1.1) vn één reële vribele t. Deze functie is gedefinieerd op de verzmeling I j (ξ) := {t R (ξ 1,..., ξ j 1, t, ξ j+1,..., ξ n ) X}, Hierbij is gemkkelijk n te gn dt I j (ξ) een omgeving is vn het punt ξ j in R. Immers, er is een δ > 0 zodnig dt B(ξ; δ) X. Voor t ] ξ j δ, ξ j + δ [ geldt nu dt (ξ 1,..., ξ j 1, t, ξ j+1,..., ξ n ) B(ξ; δ), en we zien dt ] ξ j δ, ξ j + δ [ I j (ξ). Definitie 1.1 De functie f heet prtieel differentieerbr nr de j-de vribele (1 j n), in het punt ξ inw(x), ls de functie (1.1) differentieerbr is in het punt t = ξ j. Is dit het gevl, dn wordt de fgeleide vn de functie (1.1) in het punt t = ξ j de prtiële fgeleide vn f nr de j-de vribele in het punt ξ genoemd en genoteerd met D j f(ξ). Is f in het punt ξ inw(x) prtieel differentieerbr nr de j-de vribele, dn geldt volgens de bovenstnde definitie dus D j f(ξ) = φ (ξ j ) = d dt f(ξ 1,..., ξ j 1, t, ξ j+1,..., ξ n ). t=ξj Is X open, dn zegt men dt f op X prtieel differentieerbr is nr de j-de vribele ls f prtieel differentieerbr is nr de j-de vribele in ieder punt vn X. In dt gevl kunnen we prtiële fgeleide D j f(ξ) beschouwen ls een functie vn ξ X. Deze functie heet de prtiële fgeleide vn f nr de j-de vribele en wordt genoteerd met: D j f : X R, x D j f(x). In de litertuur komt men ook de nottie j f voor D j f tegen. De klssieke nottie voor de prtiële fgeleide D j f(x) vn f nr de j-de vribele is f(x) x j, (1.2) wrin we de nottie x = (x 1,..., x j 1, x j, x j+1,..., x n ) hebben gebruikt en wrbij lle coördinten ls vribelen worden opgevt. (Deze vribelen mogen met willekeurige ndere letters genoteerd worden, zols bijvoorbeeld (x, y) voor de coördinten in het vlk.) Opmerking 1.2 Men schrijft in plts vn (1.2) ook wel f(x)/ x j, of x j f(x) 1

8 ls de formule voor f(x) te groot is om boven een breukstreep te zetten. Het gebruik om prtiële fgeleiden met het symbool n te duiden is omstreeks 1840 door Jcobi ingevoerd. In het Engels wordt dit symbool, de kromme d, uitgesproken ls prtil of del. Als men, voor een gegeven ξ X, de prtiële fgeleide in het punt ξ n wil geven, dn betekent dit dt we vn de functie in (1.2) de wrde in het punt x = ξ dienen te nemen, dus D j f(ξ) = f(x) x j. x=ξ Het is ook gebruikelijk (en verleidelijk) om de functie D j f n te duiden ls f/ x j. Dit leidt dn tot de nottie f x j (ξ) voor de prtiële fgeleide vn f in het punt ξ. Deze nottie is echter verwrrend omdt het symbool x j niet onder de coördinten vn ξ voorkomt. Bijvoorbeeld, ls f(y, t) een functie is vn de twee vribelen y en t, dn leidt dit tot de nottie f (0, 0) y voor de prtiële fgeleide vn f nr de eerste vribele in het punt (0, 0). Men kn zich hier terecht fvrgen of met de vribele y, wrnr gedifferentieerd wordt, de eerste of de tweede vribele bedoeld wordt. Nog verwrrender is een uitdrukking ls met ls voor de hnd liggende interpretties of f(x, y) x f(y, x) x f (x, x), x = (D 1 f) (x, x), y=x = (D 2 f) (x, x), y=x of d f(x, x), dx hetgeen weer iets heel nders is. We willen niet pietluttig doen, mr het is wel nbevelenswrdig om notties zó te kiezen dt duidelijk is wt er bedoeld wordt. Omdt prtiële differentitie in feite differentitie is vn een functie vn één reële vribele (nmelijk de j-de coördint), zijn de volgende rekenregels een direct gevolg vn de corresponderende bekende rekenregels voor functies vn één vribele. 2

9 Lemm 1.3 Zij f, g een tweetl functies X R, en zij ξ inw(x). Zijn f en g in ξ prtieel differentieerbr nr de j-de vribele, dn zijn f + g en f g dt ook en er geldt dt D j (f + g)(ξ) = D j f(ξ) + D j g(ξ), (1.3) D j (f g)(ξ) = D j f(ξ)g(ξ) + f(ξ)d j g(ξ). (1.4) Is bovendien f(ξ) 0, dn is de functie 1/f in ξ prtieel differentieerbr nr de j-de vribele en er geldt dt ( ) 1 D j (ξ) = D jf(ξ) f f(ξ) 2. (1.5) Is X open, en zijn f, g : X R prtieel differentieerbr nr de j-de vribele, dn leidt het bovenstnde lemm in de klssieke nottie tot de formules: (f(x) + g(x)) = f(x) + g(x), x j x j x j (f(x) g(x)) = f(x) g(x) + f(x) g(x). x j x j x j Is bovendien f(x) 0, dn is 1/f prtieel differentieerbr nr de j-de vribele in het punt x en hebben we volgens het lemm in de klssieke nottie (1/f(x)) x j = 1 f(x) 2 f(x) x j. Op precies dezelfde mnier ls hierboven kn men spreken over prtiële differentieerbrheid vn vectorwrdige functies f : R n X R p. Voor een dergelijke functie noteren we de componenten met f i, voor 1 i p, zo dt f(x) = (f 1 (x),..., f p (x)). Op grond vn het nloge lemm voor functies vn één vribele geldt het volgende. Lemm 1.4 Zij X R n, f : X R p en ξ inw(x). Lt 1 j n. De volgende beweringen zijn gelijkwrdig. () De functie f is in ξ prtieel differentieerbr nr de j-de vribele. (b) Voor iedere 1 i p is de component f i prtieel differentieerbr nr de j-de vribele in het punt ξ. Is een vn de bovenstnde condities () en (b) vervuld (dus ook de ndere), dn geldt dt D j f(ξ) = (D j f 1 (ξ),..., D j f p (ξ)). Prtiële fgeleiden zijn een belngrijk hulpmiddel om lokle extrem vn functies vn meer vribelen te vinden. Lemm 1.5 Zij X een open deelverzmeling vn R n, ξ een inwendig punt vn X en f : X R prtieel differentieerbr nr de j-de vribele. Als f een lokl mximum, resp. minimum heeft in het punt ξ, dn is de prtiële fgeleide vn f nr de j-de vribele in het punt ξ gelijk n nul. 3

10 Bewijs Het gegeven impliceert dt de functie φ vn één vribele, die gedefinieerd is in (1.1), een lokl mximum, resp. minimum heeft in het punt t = ξ j. Uit de theorie vn differentieerbre functies vn één vribele is bekend dt hieruit volgt dt φ (ξ j ) = 0. Zij X een open deelverzmeling vn R n en neem nu n dt voor iedere 1 j n de functie f : X R prtieel differentieerbr is nr de j-de vribele. In dit gevl is de grdiënt vn f in het punt x de vector in R n die is gedefinieerd door ( f(x) grd f(x) :=,..., f(x) ). (1.6) x 1 x n Lter zullen we zien dt de grdiënt in het kder vn mtrix-rekening beter opgevt kn worden ls kolomvector. Op dit moment speelt dt nog geen rol. Definitie 1.6 Lt de functie f : X R prtieel differentieerbr zijn nr elk vn zijn vribelen. Men zegt dt ξ X een sttionir (of ook wel kritiek) punt is vn f ls grd f(ξ) = 0, dt wil zeggen: voor iedere 1 j n geldt dt f(x)/ x j = 0 ls x = ξ. Het vritieprincipe vn Lemm 1.5 zegt dt ls f een lokl mximum of minimum in het punt ξ heeft, dn is ξ een sttionir punt vn f. Voorbeeld 1.7 Zij nu X = R 2 en f(x, y) = x 2 + y 2. Dn heeft f een minimum in (0, 0), dus is grd f(0, 0) = 0. Dit kn ook door een berekening vn de prtiële fgeleiden geverifieerd worden: Neem nu f(x, y) = x 2 y 2. Dn is f(x, y)/ x = 2x = 0 ls x = 0 en f(x, y)/ y = 2y = 0 ls y = 0. grdf(x, y) = (2x, 2y) T. Dus ook in dit gevl is grdf(0, 0) = 0, dus is (0, 0) een sttionir punt vn f. Echter, f heeft geen lokl minimum in (0, 0) omdt er willekeurig dicht bij (0, 0) punten (x, y) zijn met f(x, y) < 0 = f(0, 0), neem bijvoorbeeld x = 0 en y 0. Anderzijds zien we, door punten (x, y) te beschouwen met met y = 0 en x 0, dt f ook geen lokl mximum heeft in (0, 0). Een sttionir punt vn f wrin f geen lokl minimum en ook geen lokl mximum heeft, wordt ook wel een zdelpunt vn f genoemd. 1.2 Richtingsdifferentieerbrheid Het in de vorige prgrf geïntroduceerde begrip prtiële fgeleide kn worden gezien ls een specil gevl vn het begrip richtingsfgeleide. Dit ltste begrip definiëren we ls volgt. In het vervolg is X R n en f : X R p een fbeelding. Definitie 1.8 Zij ξ inw(x) en v R n. De fbeelding f heet in het punt ξ richtingsdifferentieerbr in de richting v indien de functie t f(ξ + tv) differentieerbr is in t = 0. De fgeleide D v f(ξ) := d dt f(ξ + tv) t=0 wordt in dt gevl de richtingsfgeleide vn f in het punt ξ in de richting v genoemd. 4

11 Opmerking 1.9 We merken op dt de richtingsdifferentieerbrheid vn f in ξ in de richting v gelijkwrdig is met het bestn vn de limiet lim t 0 f(ξ + tv) f(ξ). t Indien deze limiet bestt is zijn wrde gelijk n de richtingsfgeleide D v f(ξ). Ook voor de richtingsfgeleide geldt het principe vn componentsgewijs differentiëren. Vergelijk met Lemm 1.4. Lemm 1.10 Zij ξ inw(x) en v R n. Zij f : X R p. Dn zijn de volgende beweringen gelijkwrdig: () de functie f is in ξ richtingsdifferentieerbr in de richting v; (b) voor iedere 1 i p is de componentsfunctie f i : X R in ξ richtingsdifferentieerbr in de richting v. Zijn condities () en (b) vervuld, dn is D v f(ξ) = ( D v f 1 (ξ),..., D v f p (ξ) ). Prtieel differentiëren kn opgevt worden ls richtingsdifferentiëren in specifieke richtingen. Lemm 1.11 Zij e j de j-de stndrdbsis vector in R n. Dn zijn de volgende beweringen gelijkwrdig. () De prtiële fgeleide D j f(ξ) bestt. (b) De functie f is in ξ richtingsdifferentieerbr in de richting e j. Bovendien geldt in het gevl dt () en (b) wr zijn dt D j f(ξ) = D ej f(ξ). (1.7) Bewijs Er bestt een δ > 0 zo dt B(ξ; δ) X. We introduceren het open intervl I := ] ξ j δ, ξ j + δ [ en definiëren de functie ϕ : I R p door ϕ(s) = f(ξ 1,..., ξ j 1, s, ξ j+1,..., ξ n ), (s I). Voor de (gewone) fgeleide vn ϕ nr de vribele s geldt wegens de kettingregel voor (gewone) differentitie dt ϕ differentieerbr is in ξ j dn en slechts dn ls de functie t ϕ(ξ j + t) differentieerbr is in 0. De eerste bewering is per definitie gelijkwrdig met (). De tweede bewering is gelijkwrdig met (b) omdt voor lle t ] δ, δ [ geldt dt ϕ(ξ j + t) = f(ξ + te j ). Bovendien geldt vnwege de kettingregel voor gewone differentitie in gevl de beweringen wr zijn dt D j f(ξ) = ϕ (ξ j ) = d dt ϕ(ξ j + t) = d t=0 dt f(ξ + te j) = D ej f(ξ). t=0 Dit geeft (1.7). 5

12 1.3 De totle fgeleide In deze prgrf behndelen we een nieuw begrip vn differentieerbrheid, wrbij de fgeleide de rol zl spelen vn de lineire (of eerste orde) bendering vn de groei vn een functie. In het vervolg veronderstellen we weer dt X R n en dt f : X R p. Definitie 1.12 Zij ξ inw(x). De functie f heet (totl) differentieerbr in ξ indien er een lineire fbeelding A : R n R p bestt zo dt f(x) f(ξ) A(x ξ) lim = 0. (1.8) x ξ x ξ In het onderstnde lemm wordt een verbnd gelegd met richtingsdifferentieerbrheid. Hieruit zl blijken dt de lineire fbeelding A : R n R p uniek vstgelegd is door de eigenschp (1.8). Drn kunnen we een geschikte nottie voor A fspreken. Lemm 1.13 Lt de functie f differentieerbr zijn in ξ en lt A voldoen n (1.8). Dn geldt voor iedere v R n dt de functie f richtingsdifferentieerbr is in ξ in de richting v. De bijbehorende richtingsfgeleide wordt gegeven door In het bijzonder is A uniek bepld. D v f(ξ) = A(v). (1.9) Bewijs De bewering is duidelijk voor v = 0. We veronderstellen drom dt v 0. Door x = ξ + tv te substitueren in (1.8) vinden we dt f(ξ + tv) f(ξ) A(tv) lim = 0. t 0 t v Uit de lineriteit vn A volgt dt A(tv) = ta(v), dus ook lim t 0 v 1 f(ξ + tv) f(ξ) A(v) t = 0 en we concluderen dt dus (1.9). lim t 0 ( f(ξ + tv) f(ξ) t ) A(v) = 0, De uniciteit vn A mkt de volgende definitie mogelijk. Definitie 1.14 Lt f totl differentieerbr zijn in ξ. De unieke lineire fbeelding A : R n R p die voldoet n (1.8) wordt genoteerd met Df(ξ) en heet de totle fgeleide vn f in ξ. Opmerking 1.15 Is f totl differentieerbr in ξ dn geldt wegens Lemm 1.13 dt f richtingsdifferentieerbr is in ξ en dt Df(ξ)(v) = D v f(ξ), v R n. (1.10) 6

13 In het bijzonder zien we dt de richtingsfgeleide D v f(ξ) lineir fhnkelijk is vn de richting v R n. In het bijzonder is een totl differentieerbre functie ook prtieel differentieerbr, zie Lemm Uit het volgende voorbeeld blijkt dt het omgekeerde niet het gevl hoeft te zijn. Voorbeeld 1.16 Definieer f : R 2 R door f(x, y) := x y 2 / ( x 2 + y 4) ls (x, y) (0, 0) en door f(0, 0) := 0. Dn is f prtieel differentieerbr met continue prtiële fgeleiden f/ x en f/ y op R 2 \ {(0, 0)} f(x, y) = x y 2 / ( x 2 + y 4) voor 1 < x < 1, 1 < y < 1. Neem v = (, b) R 2 met 0. Dn is f(t v) f(0) t = t 3 b 2 t (t t 4 b 4 ) = b t 2 b 4 b2 2 = b2 ls t 0 en t 0. Is nderzijds b 0 en t 0, dn is (f(t 0, t b) f(0, 0))/t = 0. Dus in het punt (0, 0) is f richtingsdifferentieerbr in de richting vn iedere vector, met D v f(0, 0) = b 2 / ls v = (, b) en 0 en D v f(0, 0) = 0 ls v = (0, b). In het bijzonder geldt dus dt f prtieel differentieerbr is in (0, 0) met prtiële fgeleiden D 1 f(0, 0) = D 2 f(0, 0) = 0. Het is duidelijk dt de richtingsfgeleide D v f(0, 0) niet op een lineire mnier vn de richtingsvector v = (, b) fhngt. Met het oog op Opmerking 1.15 concluderen we dt f niet totl differentieerbr kn zijn in het punt (0, 0). Het is wellicht verrssend dt de functie f ondnks het bestn vn de prtiële fgeleiden in (0, 0) niet continu is in dt punt. Dit zien we ls volgt. Voor iedere c R en y 0 is f(c y 2, y) = c y 4 c 2 y 4 + y 4 = c c Stel dt de functie f continu is in het punt (0, 0). Als y 0, dn (c y 2, y) (0, 0) en dn zou de continuïteit vn f in het punt (0, 0) impliceren dt f(c y 2, y) nr 0 convergeert ls y 0. Echter, ls c 0 dn is f(c y 2, y) voor iedere y 0 gelijk n de constnte c/ ( c ) 0 en we krijgen een tegensprk. 7

14 Smenvttend, dit is een voorbeeld vn een functie die in ieder punt differentieerbr is met betrekking tot iedere vribele, mr die in de oorsprong niet continu is. Gevolg 1.17 Lt f totl differentieerbr zijn in ξ. Dn wordt de mtrix vn Df(ξ) (ten nzien vn de stndrdbses) gegeven door Df(ξ) ij = D j f i (ξ) (1 j n, 1 i p). De n p mtrix (D j f i (ξ)) ij stt bekend ls de Jcobi-mtrix vn de functie f in het punt ξ. Bewijs De fgeleide Df(ξ) is een lineire fbeelding R n R p en heeft dus een mtrix met p rijen en n-kolommen. Het element in de i-de rij en de j-de kolom wordt genoteerd met Df(ξ) ij. Het wordt gegeven door Df(ξ) ij = (Df(ξ)e j ) i = (D ej f(ξ)) i wegens Opmerking Door toepssing vn (1.7) en Lemm 1.4 vinden we dt Df(ξ) ij = (D j f(ξ)) i = D j f i (ξ). Opmerking 1.18 Voordt we verder gn met de ontwikkeling vn de theorie vermelden we nog dt de conditie (1.8) in Definitie 1.12 ook ls volgt geformuleerd kn worden: R(h) f(ξ + h) = f(ξ) + A(h) + R(h), met lim = 0. (1.11) h 0 h Immers, definieer ρ : X R p door ρ(x) = f(x) f(ξ) A(x ξ). Dn is (1.8) gelijkwrdig met lim x ξ ρ(x) x ξ. Schrijven we R(h) = ρ(ξ + h), en pssen we de substitutieregel voor limieten toe, dn volgt de gelijkwrdigheid met (1.11). De eerste uitdrukking in (1.11) kn opgevt worden ls de multi-vribele eerste orde Tylor ontwikkeling vn f rond ξ. Om ruimte te bespren zullen we in het vervolg kolomvectoren ls volgt noteren: ( 1,..., k ) T := 1. k. Voorbeeld 1.19 We beschouwen de functie f : R 2 R gedefinieerd door f(x) = x 1 x 2. Lt ξ R 2 een vst punt zijn. Dn geldt voor lle h R 2 dt f(ξ + h) f(ξ) = (ξ 1 + h 1 )(ξ 2 + h 2 ) ξ 1 ξ 2 = ξ 2 h 1 + ξ 1 h 2 + h 1 h 2 = A(h) + R(h), 8

15 met A(h) = (ξ 2 ξ 1 )(h 1, h 2 ) T, R(h) = h 1 h 2. De gedefinieerde fbeelding A is lineir, en voor R geldt dt R(h) h 1 h 2 h 2, dus R(h) lim h 0 h = 0. We zien dt de fbeelding f totl differentieerbr is in ξ, met fgeleide Df(ξ) : R 2 R die gegeven wordt door de rij-mtrix (ξ 2 ξ 1 ). Met Gevolg 1.17 volgt hieruit dt D 1 f(ξ) = ξ 2 en D 2 f(ξ) = ξ 1. Dit is uiterrd ook direct f te leiden door de rekenregels voor prtiële differentitie toe te pssen. We zullen het nieuw geïntroduceerde begrip totle fgeleide in het gevl n = 1 vergelijken met de gewone fgeleide. In het bewijs vn het onderstnde resultt zullen we gebruik mken vn Gevolg Lemm 1.20 Zij I R een open intervl en f : I R p een functie. Lt τ I. Dn zijn de volgende twee uitsprken equivlent. () De functie f is differentieerbr in τ in de oude zin (vn Inleiding Anlyse). (b) De functie f is totl differentieerbr in τ. Is f differentieerbr in τ, dn wordt het verbnd tussen de twee fgeleiden gegeven door f (τ) = Df(τ)(1). Bewijs Veronderstel eerst dt (b) geldt. Dn volgt uit Gevolg 1.17 dt f prtieel differentieerbr is, dus gewoon differentieerbr, terwijl de mtrix vn Df(τ) gegeven wordt door mt Df(τ) = (f 1(τ),..., f p(τ)) T. Lten we de lineire fbeelding Df(τ) : R R p werken op het punt 1 R (op te vtten ls de stndrdbsis vector e 1 voor R) dn vinden we dt Df(τ)(1) = f (τ). Veronderstel nu omgekeerd dt () geldt, dus dt f differentieerbr is in τ met fgeleide f (τ) R n. Dn geldt dt f(t) f(τ) lim = f (τ). t τ t τ Definieer de lineire fbeelding A : R R p door A(v) = vf (τ), voor v R. Dn geldt dt dus ook f(t) f(τ) (t τ)f (τ) lim = 0, t τ t τ f(t) f(τ) A(t τ) lim = 0. t τ t τ) 9

16 Hieruit blijkt dt f totl differentieerbr is in τ met totle fgeleide Df(τ) = A : h hf (τ). In het bijzonder geldt dus f (τ) = Df(τ)(1). Hiermee is (b) ngetoond. In het vervolg vn onze behndeling vn de totle fgeleide zullen we schttingen nodig hebben voor lineire fbeeldingen vn R n nr R p. Voor een lineire fbeelding L : R n R p definiëren we de norm L door p L := i=1 j=1 n (L ij ) 2 1/2, (1.12) wrin de L ij de mtrixcoëfficiënten vn L voorstellen. Anders gezegd, de norm vn L is gelijk n de Euclidische norm vn de vector in R np wrvn de coördinten de mtrixcoëfficiënten vn L zijn (genomen in een beplde gekozen volgorde, het doet er niet toe welke). We noteren met Lin(R n, R p ) de verzmeling vn lle lineire fbeeldingen R n R p. Deze verzmeling voorzien we vn de puntsgewijze optelling en sclrvermenigvuldiging. Dus ls L, M Lin(R n, R p ) en λ R, dn worden de elementen L + M en λl vn Lin(R n, R p ) gegeven door (L + M)(x) = L(x) + M(x), (λl)(x) = λl(x), (x R n ). De mtrixcoefficiënt-fbeelding L (L ij ), gezien ls fbeelding Lin(R n, R p ) R np is nu bijectief en lineir, dus een lineir isomorfisme. Vi dit isomorfisme correspondeert de in (1.12) gedefinieerde norm op Lin(R n, R p ) met de Euclidische norm op R np. Dit lt ook zien dt ook inderdd een norm is, d.w.z., is een fbeelding Lin(R n, R p ) R zo dt voor lle L, M Lin(R n, R p ) en lle λ R geldt: () L 0 en L = 0 = L = 0; (b) λl = λ L ; (c) L + M L + M (driehoeksongelijkheid). Zols we in Inleiding Anlyse gezien hebben, is er nu een ntuurlijke fstnd of metriek d op de ruimte Lin(R n, R p ), die gegeven wordt door d(l, M) := L M, (L, M Lin(R n, R p )). Het volgende lemm zl zeer nuttig blijken voor het schtten vn vn uitdrukkingen wrin lineire fbeeldingen voorkomen. Lemm 1.21 Zij L : R n R p lineir en v R n. Dn geldt dt L v L v. (1.13) Is M een lineire fbeelding R p R q, dn geldt voor de smenstelling M L : R n R q dt M L M L. (1.14) 10

17 Bewijs In het bewijs zl steeds gebruik gemkt worden vn de volgende ongelijkheid, voor reële getllen 1,..., s, b 1,..., b s : s ( 1 b s b s ) 2 s. Dit is in feite de ongelijkheid vn Cuchy Schwrz voor het stndrdinproduct in R s vn de vectoren = ( 1,..., s ) en b = (b 1,..., b s ). Toepssing vn deze Cuchy Schwrz-ongelijkheid levert voor iedere 1 i p dt n ((L v) i ) 2 = L ij v j j=1 2 j=1 2 j j=1 b 2 j n (L ij ) 2 v 2. Sommtie hiervn over i geeft dt L v 2 L 2 v 2, wruit door worteltrekken (1.13) volgt. Het bewijs vn (1.14) is nloog. Door toepssen vn de Cuchy-Schwrz-ongelijkheid vinden we ( p ) 2 ( p ( p ) ((M L) hj ) 2 = M hi L ij hi ) i=1 i=1(m 2) (L ij ) 2. i=1 j=1 Sommtie over lle h en j geeft vervolgens de gewenste schtting. Opmerking 1.22 Een oefening in het werken met normen vn lineire fbeeldingen. Lt v, v 0 R n en L, L 0 Lin (R n, R p ). Gebruikmkend vn (1.13) krijgen we uit dt Lv L 0 v 0 = L v L v 0 + L v 0 L 0 v 0 = L (v v 0 ) + (L L 0 ) v 0 = L 0 (v v 0 ) + (L L 0 ) v 0 + (L L 0 ) (v v 0 ) Lv L 0 v 0 L 0 v v 0 + L L 0 v 0 + L L 0 v v 0. (1.15) Met deze schtting is gemkkelijk in te zien dt de fbeelding (L, v) Lv, Lin(R n, R p ) R n R p continu is in elke (L 0, v 0 ). Uiterrd kn men deze continuïteit ook fleiden door lle voorkomende uitdrukkingen in componenten uit te schrijven. Op een soortgelijke mnier kn men lten zien dt de smenstelling (L, M) M L een continue fbeelding Lin(R n, R p ) Lin(R p, R q ) Lin(R n, R q ) definieert. Als toepssing vn de behndelde schttingen bewijzen we nu eerst het volgende lemm. We veronderstellen weer dt X R n en dt f : X R p. Lemm 1.23 Zij ξ inw(x), en veronderstel dt f totl differentieerbr is in ξ. Dn is f continu in het punt ξ. Bewijs We schrijven ρ(x) := f(x) f(ξ) Df(ξ)(x ξ). 11

18 Dn geldt voor lle x X dt f(x) f(ξ) = Df(ξ)(x ξ) + ρ(x) Df(ξ)(x ξ) + ρ(x) Df(ξ) (x ξ) + ρ(x). (1.16) Uit de definitie vn differentieerbrheid volgt dt ρ(x) x ξ 1 limiet 0 heeft voor x ξ. Dus er bestt een δ > 0 zo dt B(ξ; δ) X en zo dt voor lle x B(ξ; δ) \ {ξ} geldt dt ρ(x) x ξ 1 1. Hieruit volgt ρ(x) x ξ, (x B(ξ; δ)). Combineren we dit met (1.16), dn zien we dt voor lle x B(ξ; δ) geldt dt f(x) f(ξ) ( Df(ξ) + 1) x ξ. Hieruit volgt weer dt dt f(x) f(ξ) 0 voor x ξ, dus f is continu in ξ. Het volgende resultt geeft een veelvuldig gebruikt criterium om tot de totle differentieerbrheid vn fbeeldingen te besluiten. Stelling 1.24 Lt X R n een open verzmeling zijn, en f : X R p een fbeelding. Zij ξ X. Veronderstel dt f prtieel differentieerbr is, terwijl de prtiële fgeleiden D j f continu zijn in ξ. Dn is f totl differentieerbr in ξ. Opmerking 1.25 Wegens Gevolg 1.17 wordt de totle fgeleide Df(ξ) in de bovenstnde stelling gegeven door de Jcobi-mtrix. Het bewijs vn Stelling 1.24 vergt enige voorbereiding. Dit is het onderwerp vn de volgende prgrf. 1.4 Groei en fgeleide De groei vn een differentieerbre functie vn één vribele kn beschreven worden in termen vn zijn fgeleide, met behulp vn de middelwrdestelling. Dit resultt zullen we coördintsgewijs toepssen op prtieel differentieerbre functies vn meer vribelen. De volgende nottie zl ons drbij vn ps komen. Voor twee punten, b R n definiëren we het gesloten lijnstuk [, b] in R n met eindpunten en b door [, b] := { + t(b ) 0 t 1}. Merk op dt deze definitie in het bijzonder betekenis heeft in het eendimensionle gevl n = 1. Is b < dn komt het zo boven gedefinieerde lijnstuk [b, ] overeen met het intervl [, b]. Als = b dn betekent de bovenstnde definitie dt [, b] = {}. Wij zullen de volgende vrint vn de middelwrdestelling gebruiken. Lemm 1.26 (Middelwrdestelling) Zij I R een intervl en ϕ : I R een differentieerbre functie. Dn bestt er voor lle, b I een c [, b] zo dt ϕ(b) ϕ() = ϕ (c) (b ). (1.17) 12

19 Bewijs Voor < b is dit resultt een gevolg vn de in het dictt Inleiding Anlyse bewezen middelwrdestelling (de identiteit (1.17) geldt dn zelfs voor een c ], b [ ). Voor = b is het resultt evident. Voor > b het resultt een gevolg vn de middelwrdestelling toegepst op het intervl [b, ]. We veronderstellen nu dt X R n een open deel is en dt f : X R prtieel differentieerbr is op X. Lemm 1.27 Lt p, q X en veronderstel dt [p, q] X. Veronderstel verder dt 1 j n en dt p en q hooguit in de j-de coordint verschillen (dus p i = q i voor elke i j). Dn bestt er een η [p, q] zo dt f(q) f(p) = D j f(η) (q j p j ). (1.18) Bewijs We beschouwen de functie ϕ : [p j, q j ] R gedefinieerd door ϕ(t) = f(p 1,..., p j 1, t, p j+1,..., p n ). Dn is de functie ϕ differentieerbr, terwijl ϕ(p j ) = f(p) en ϕ(q j ) = f(q). Wegens de middelwrdestelling bestt er een c [p j, q j ] zo dt f(q) f(p) = ϕ(q j ) ϕ(p j ) = ϕ (c) (q j p j ) = D j f(η) (q j p j ), wrbij η := (p 1,..., p j 1, c, p j+1,... p n ). Uit c [p j, q j ] volgt het bestn vn een τ [0, 1] zo dt c = p j + τ(q j p j ). Het is nu gemkkelijk in te zien dt η = p + τ(q p). Dus η [p, q] en het resultt volgt. In het vervolg veronderstellen we dt ξ een vst punt in X is. Er bestt een δ > 0 zo dt B(ξ; δ) X. We zullen het verschil (de groei) f(x) f(ξ) voor x B(ξ; δ) uitdrukken in de prtiële fgeleiden vn f. Om dit mogelijk te mken splitsen we eerst f(x) f(ξ) in een som vn verschillen vn functiewrden, wrbij steeds slechts één vn de vribelen gevrieerd wordt. Voor x B(ξ; δ) definiëren we drtoe p (0) (x) = ξ, en, voor 1 j n, p (j) (x) := (x 1,..., x j, ξ j+1,..., ξ n ). (1.19) Dit vtten we zo op dt p (n) (x) = x. Als 1 j n, dn verschillen de opeenvolgende punten p (j 1) (x) en p (j) (x) hooguit in de j-de coordint vn elkr. De verbindende lijnstukken [p (j 1) (x), p (j) (x)], voor 1 j n, geven smen een pd vn ξ nr x, wrbij stuksgewijs steeds slechts één vn de coördinten vrieert. Uit (1.19) leiden we f dt ( j ) 1/2 p (j) (x) ξ = (x k ξ k ) 2 x ξ. k=1 De punten p (j) (x) liggen dus in B(ξ; x ξ ) B(ξ; δ) en hetzelfde geldt drom voor de verbindende lijnstukken, voor 1 j n : [p (j 1) (x), p (j) (x)] B(ξ; x ξ ) B(ξ; δ). (1.20) 13

20 p (2) (x) = x p (0) (x) = ξ η (1) (x) p (1) (x) η (2) (x) Het pd vn het punt ξ nr het punt x in het vlk (n = 2). Het verschil f(x) f(ξ) kn geschreven worden ls f(x) f(ξ) = f(p (n) (x)) f(p (0) (x)) n = (f(p (j) (x)) f(p (j 1) (x)). (1.21) j=1 We concentreren ons op herschrijven vn de j-de term, voor 1 j n. De punten p (j 1) (x) en p (j) (x) verschillen wegens (1.19) hooguit in de j-de coordint, en er geldt dt p (j) (x) j p (j 1) (x) j = (x j ξ j ). Het lijnstuk [p (j 1) (x), p (j) (x)] ligt geheel in B(ξ; δ) en dus in X. Door toepssing vn het bovenstnde lemm zien we nu dt er een η (j) (x) [p (j 1) (x), p (j) (x)] bestt zo dt Schrijf f(p (j) (x)) f(p (j 1) (x) = D j f(η (j) (x)) (x j ξ j ). (1.22) Dn volgt door combintie vn (1.21), (1.22) en (1.23) dt Dit leidt tot het volgende resultt. L j (x) := D j f(η (j) (x)). (1.23) f(x) f(ξ) = n L j (x) (x j ξ j ). (1.24) j=1 Stelling 1.28 Zij X een open deelverzmeling vn R n en ξ X. Lt f : X R een functie zijn zo dt voor iedere 1 j n de functie f prtieel differentieerbr is nr de j-de vribele terwijl de prtiële fgeleide functie functie D j f : X R continu is in het punt ξ. Dn is er een omgeving U vn ξ in X en zijn er functies L j : U R, voor 1 j n, wrvoor geldt dt f(x) f(ξ) = n j=1 L j (x) (x j ξ j ), (x U) en lim x ξ L j (x) = D j f(ξ). (1.25) 14

21 Bewijs Kies δ > 0 ls boven, schrijf U = B(ξ; δ) en definieer functies L j : U R ls in (1.23). Dn geldt (1.24). Wegens (1.20) geldt η (j) (x) ξ x ξ, voor 1 j n, en dus η (j) (x) ξ ls x ξ. Anderzijds is de prtiële fgeleide D j f continu in ξ. Met de substitutiestelling volgt drom dt L j (x) = D j f(η (j) (x)) D j f(ξ), (x ξ). In de bovenstnde context definiëren we de vn x fhnkelijke lineire fbeelding L(x) : R n R door n L(x)(v) = L j (x)v j. Dn kunnen we (1.24) herschrijven ls j=1 f(x) f(ξ) = L(x)(x ξ). We beschouwen nu lgemener het gevl vn een vectorwrdige functie f : X R p en veronderstellen dt deze functie prtieel differentieerbr is op X, met prtiële fgeleiden die continu zijn in ξ. Dn kunnen we Stelling 1.28 toepssen op ieder vn de componentsfuncties f i : X R. Aldus vinden we het volgende. Gevolg 1.29 Zij X een open deelverzmeling vn R n, f : X R p en ξ X. Veronderstel dt voor iedere 1 i p en iedere 1 j n de functie f i prtieel differentieerbr is nr de j-de vribele en dt de functie D j f i : X R continu is in het punt ξ. Dn is er een omgeving U vn ξ in X en bestt er een functie L : U Lin(R n, R p ), wrvoor geldt dt f(x) f(ξ) = L(x) (x ξ), x U en lim x ξ L(x) ij = D j f i (ξ), (1.26) voor lle 1 i p en 1 j n. Bewijs Ieder vn de componentsfuncties f i, voor 1 i p, voldoet n de voorwrden vn Stelling Hieruit volgt het bestn vn een omgeving U vn ξ in X en reëelwrdige functies L ij : U R, voor 1 i p en 1 j n zo dt f i (x) f i (ξ) = n L ij (x)(x j ξ j ) voor lle x U, en zo dt bovendien voor lle i, j geldt dt L ij (x) D j f i (ξ), voor x ξ. Voor x U definiëren we de lineire fbeelding L(x) : R n R p door j=1 n (L(x)v) i = L ij (x)v j, j=1 (v R n, 1 i p). Dn geldt voor lle x U dt f(x) f(ξ) = L(x)(x ξ). De lineire fbeelding L(x) : R n R p heeft ls mtrix coefficiënten L(x) ij = L ij (x). Het resultt volgt. Stelling 1.24 kunnen we nu ls volgt uit het bovenstnde resultt fleiden. 15

22 Bewijs vn Stelling 1.24 Volgens Gevolg 1.29 bestn er een open omgeving U vn ξ en een fbeelding L : U Lin(R n, R p ) ls in het genoemde gevolg. Schrijf L ij voor de functie x L(x) ij, dn geldt voor lle 1 i p en 1 j n dt L ij (x) D j f i (ξ) voor x ξ. In het bijzonder is elk vn de functies L ij continu in het punt ξ. Derhlve is de fbeelding L : X Lin(R n, R p ) continu in ξ. Voor lle x U geldt dt f(x) f(ξ) = L(x)(x ξ). Hieruit leiden we f dt f(x) f(ξ) L(ξ)(x ξ) = L(x)(x ξ) L(ξ)(x ξ) Is x U \ {ξ}, dn vinden we dt = [L(x) L(ξ)](x ξ) L(x) L(ξ) (x ξ). f(x) f(ξ) L(ξ)(x ξ) x ξ L(x) L(ξ). Uit de continuïteit vn L in ξ volgt nu dt f(x) f(ξ) L(ξ)(x ξ) lim = 0. x ξ x ξ Hieruit concluderen we dt f totl differentieerbr is in ξ, met fgeleide Df(ξ) = L(ξ). Uit het bovenstnde volgt een interessnte herformulering vn totle differentieerbrheid, fkomstig vn de Frnse wiskundige J. Hdmrd, uit het begin vn de 20-ste eeuw. Die zl ons lter vn ps komen bij een snel bewijs vn de kettingregel. Stelling 1.30 Zij X R n, f : X R p en ξ inw(x). Dn zijn de volgende beweringen gelijkwrdig. () De fbeelding f is totl differentieerbr in ξ. (b) Er is een fbeelding L : X Lin(R n, R p ), continu in ξ, met f(x) f(ξ) = L(x)(x ξ), (x X). Indien de beweringen () en (b) wr zijn, dn is Df(ξ) = L(ξ). Bewijs Het bewijs vn de implictie (b) () is ngenoeg identiek n het bovenstnde bewijs vn Stelling We richten ons dus op de omgekeerde implictie, en veronderstellen dt () geldt, dwz. er bestt een lineire fbeelding A : R n R p (ook genoteerd met Df(ξ)) zo dt f(x) f(ξ) A(x ξ) lim = 0. x ξ x ξ Schrijf r(x) = f(x) f(ξ) A(x ξ), voor x X. Dn geldt wegens het bovenstnde dus dt lim x ξ r(x) x ξ = 0. 16

23 We definiëren de fbeelding L : X Lin(R n, R p ) door L(ξ) = A, en voor x X \ {ξ} door L(x) = A + x ξ 2 r(x)(x ξ) T. Deze formule moet ls volgt gelezen worden: (x ξ) T stt voor de rij mtrix met componenten (x j ξ j ), voor 1 j n. Op deze mnier kn (x ξ) T opgevt worden ls lineire fbeelding R n R. We merken op dt (x ξ) T (v) = x ξ, v (v R n ). Verder moet r(x) gelezen worden ls lineire fbeelding R R p, λ λr(x), en r(x)(x ξ) T ls compositie, dus ls de lineire fbeelding R n R p, v (x ξ) T (v) r(x). Voor lle x X \ {ξ} geldt nu L(x)(x ξ) = A(x ξ) + x ξ 2 r(x)(x ξ) T (x ξ) = A(x ξ) + x ξ 2 x ξ, x ξ r(x) = A(x ξ) + r(x) = f(x) f(ξ). Uiterrd geldt ook voor x = ξ dt L(x)(x ξ) = f(x) f(ξ). Verder merken we op dt voor x X \ {ξ} geldt dt L(x) L(ξ) = x ξ 2 r(x)(x ξ) T x ξ 2 r(x) (x ξ) T = r(x) x ξ. De ltste uitdrukking heeft limiet nul voor x ξ, en we concluderen dt lim x ξ L(x) = L(ξ). Tenslotte merken we op dt in het voorgnde geldt dt L(ξ) = A = Df(ξ). 1.5 Rekenregels voor totle fgeleiden We veronderstellen weer dt X R n en dt ξ inw(x). Lemm 1.31 Lten f, g : X R totl differentieerbr in het punt ξ zijn. Dn zijn f + g en f g totl differentieerbr in ξ en D(f + g)(ξ) = Df(ξ) + Dg(ξ), (1.27) D(f g)(ξ) = g(ξ) Df(ξ) + f(ξ) Dg(ξ). (1.28) Is bovendien f(ξ) 0, dn is 1/f totl differentieerbr in het punt x en is D(1/f)(ξ) = 1 Df(ξ). (1.29) f(ξ) 2 17

24 Merk op dt we in de producten steeds de scliren (reële getllen) vóór de lineire fbeeldingen hebben gezet, hetgeen de gebruikelijke volgorde is. Het opschrijven in de verkeerde volgorde zou kunnen suggereren dt men denkt dt Df(ξ) een getl is (de fgeleide vn f in het punt ξ), in plts vn een lineire fbeelding R n R. Als f en g continu differentieerbr zijn op een open deelverzmeling vn R n, dn volgt Lemm 1.31 met het oog op Stelling 1.24 uit Lemm 1.3. Men kn Lemm 1.31 echter ook zonder l te veel moeite direct uit Definitie 1.12 bewijzen. Rekenregels voor vectorwrdige totl differentieerbre functies volgen door Lemm 1.31 op de coördintfuncties toe te pssen. Zeer belngrijk is de nu volgende kettingregel voor totle fgeleiden. Stelling 1.32 Lt X een open deel zijn vn R n en Y een open deel vn R p. Zij f : X Y een fbeelding die totl differentieerbr is in het punt ξ X. Zij g : Y R q totl differentieerbr in f(ξ). Dn is de smengestelde fbeelding g f : X R q totl differentieerbr in ξ, en er geldt dt D(g f)(ξ) = Dg(f(ξ)) Df(ξ). (1.30) Opmerking 1.33 De formule (1.30) is equivlent met de formules g h (f(x)) x j = x=ξ p i=1 g h (y) y i y=f(ξ) f i (x) x j (1.31) x=ξ voor de mtrixcoëfficiënten, voor 1 h q, 1 j n. Bewijs We bewijzen dit door herhlde toepssing vn Stelling Wegens die stelling bestt er een fbeelding L : X Lin(R n, R p ) zo dt f(x) f(ξ) = L(x) (x ξ), (x X), en L(x) Df(ξ) ls x ξ. Wegens dezelfde stelling bestt er een fbeelding M : Y Lin(R p, R q ) zo dt g(y) g(f(ξ)) = M(y)(y f(ξ)), (y Y ), en M(y) Dg(f(ξ)) ls y f(ξ). Lt nu x X. Dn is f(x) Y en door substitutie vn f(x) voor y vinden we g(f(x)) g(f(ξ)) = M(f(x)) (f(x) f(ξ)) = M(f(x)) (L(x) (x ξ)) = M(f(x)) L(x) (x ξ). Schrijf h := g f en defineer de fbeelding N : X Lin(R n, R q ) door N(x) := M(f(x)) L(x), (x X). Dn kunnen we het bovenstnde herschrijven ls h(x) h(ξ) = N(x)(x ξ). 18

25 met h = g f. Wegens Lemm 1.23 is f continu in ξ. Wegens de substitutiestelling voor continuïteit is x M(f(x)) continu in ξ. Bovendien is ook L continu in ξ, en derhlve is ook het product x N(x) continu in het punt ξ (gebruik Opmerking 1.22). Door wederom toepssen vn Stelling 1.30 concluderen we nu dt h totl differentieerbr is in het punt ξ. Voor de totle fgeleide geldt dt Dh(ξ) = N(ξ) = M(f(ξ)) L(ξ) = Dg(f(ξ)) Df(ξ). De formule (1.31) komt ook voor in het college Infinitesimlrekening. De reltie met de eenvoudiger ogende formule (1.30) kn gezien worden ls een oefening in de interprettie vn de totle fgeleide ls een lineire fbeelding. Een belngrijk specil gevl vn de kettingregel ontstt ls een functie gedifferentieerd wordt lngs een kromme. Om precies te zijn, lt X R n een open deelverzmeling zijn en g : X R q de functie in kwestie. Zij I R een intervl, en γ : I X een differentieerbre fbeelding. Zols bekend wordt de fbeelding γ in dit gevl ook wel een kromme in de n-dimensionle ruimte genoemd. Als t I ls de tijd wordt geïnterpreteerd en γ(t) R n ls de positie, dn wordt de fbeelding γ, de positie ls functie vn de tijd, ook wel ls een beweging in de n-dimensionle ruimte opgevt. In dit gevl heet de fgeleide γ (τ) R n de snelheidsvector vn de beweging op het tijdstip τ. De smenstelling g γ : I R q noemt men ook wel de functie g lngs de kromme γ. Merk op dt dit een vectorwrdige functie vn één reële vribele is. Veronderstel nu dt τ I en dt g totl differentieerbr is in het punt ξ = γ(τ). Dn geeft de kettingregel (1.30) dt D(g γ)(τ) = Dg(ξ) Dγ(τ). Toepssen vn het linker- en rechterlid op 1 R leidt nu met het oog op Lemm 1.20 tot de formule (g γ) (τ) = Dg(ξ) γ (τ) (1.32) voor de fgeleide vn de functie g vn n vribelen lngs de kromme γ. Merk op dt Dg(ξ) een lineire fbeelding is vn R n nr R q ; het beeld hieronder vn de snelheidsvector γ (τ) R n is blijkbr gelijk n de vector (g γ) (τ) R q. In het specile gevl q = 1 lt de bovenstnde formule zich herschrijven ls (g γ) (τ) = n j=1 g(x) x j γ j(τ) (1.33) x=ξ Het rechterlid in deze formule is ook te zien ls het inproduct vn de vectoren grd g(ξ) R n en γ (τ) R n, zie (1.6); ofwel (g γ) (τ) = grd g(ξ), γ (τ). (1.34) Als we nemen γ(t) = ξ + t v en τ = 0, dn zien we dt het linkerlid in (1.32) gelijk is n de richtingsfgeleide D v g(ξ), terwijl γ (τ) = v. We merken op dt (1.32) correspondeert met de vroeger fgeleide formule (1.10). De identiteit (1.34) geeft nu dt D v g(ξ) = grd g(ξ), v. Uit (1.34) kunnen we ook het onderstnde resultt fleiden. 19

26 Lemm 1.34 (somregel voor differentitie) Zij I R een open intervl, τ I en n 1. Veronderstel dt h : I n R differentieerbr is in (τ,..., τ). Dn is d h(t, t,..., t) dt = t=τ n j=1 d (j) h(τ,..., t,..., τ) dt. t=τ Bewijs Definieer X = I n en γ : I X, t (t, t,..., t). Dn is γ (t) = (1, 1,..., 1) en uit (1.34) met ξ = (τ,..., τ) en met h in plts vn g leiden we f dt d h(t, t,..., t) dt = t=τ n D j h(τ,..., τ). Het bewijs wordt voltooid met de opmerking dt D j h(τ,..., τ) = d (j) h(τ,..., t,..., τ) dt. t=τ Omgekeerd kn de kettingregel voor totle differentitie fgeleid worden uit de bovenstnde somregel. In de setting vn Stelling 1.32 geldt dt de componenten vn de smengestelde functie g f gegeven worden door (g f) h (x) = g h (f 1 (x 1,..., x j,..., x n ),..., f p (x 1,..., x j,..., x n )). De prtiële fgeleide in ξ nr de j-de vribele wordt nu gegeven door g h (f(x)) x j = d ( ( ) ( )) x=ξ dt g h f 1 ξ 1,..., (j) t..., ξ n,..., f p ξ 1,..., (j) t,..., ξ n t=ξj j=1 Door toepssing vn de somregel (met τ = ξ j ) vinden we g h (f(x)) x j = x=ξ n ( ( ) ) d dt g h f 1 (ξ),..., f i ξ 1,..., (j) t,..., ξ n,..., f p (ξ). t=ξj i=1 Door toepssing vn de kettingregel in één vribele zien we dt de i-de term vn de bovenstnde som gelijk is n g h (y) f i (x) y i x j. x=ξ y=f(ξ) Dit leidt weer tot de formule (1.31) en lt zien dt de somregel equivlent is met de kettingregel. Het bovenstnde geeft bovendien een ndere mnier om nr de kettingregel te kijken. 20

27 2 Verwisselingsstellingen en oneigenlijke integrlen 2.1 Verwisseling vn de differentitievolgorde Lt V een open deelverzmeling vn R 2 zijn, en f : V R een reëelwrdige functie op V die prtieel differentieerbr is nr de eerste vribele. Neem n dt de functie D 1 f : V R op zijn beurt prtieel differentieerbr is nr de tweede vribele. We kunnen dn de gemengde tweede orde prtiële fgeleide D 2 D 1 f = D 2 (D 1 f) vormen, de prtiële fgeleide nr de tweede vribele vn de prtiële fgeleide vn f nr de eerste vribele. Men noteert deze ook wel ls 2 f(x, y) y x := y ( f(x, y) x ). (2.1) We hebben nu de volgende stelling over de verwisselbrheid vn de differentitievolgorde. Stelling 2.1 Lt V R 2 een open deelverzmeling zijn, en f : V R een prtieel differentieerbre functie. Lt (ξ, η) V, en veronderstel dt n de volgende voorwrden voldn is: () D 1 f is prtieel differentieerbr nr de tweede vribele; (b) D 2 f is prtieel differentieerbr nr de eerste vribele; (c) D 2 D 1 f en D 1 D 2 f zijn continu in (ξ, η). Dn is D 1 D 2 f(ξ, η) = D 2 D 1 f(ξ, η). (2.2) Bewijs Omdt V open is, bestt er een δ > 0 zo dt B((ξ, η); 2δ) V. Voor h, k R met h, k < δ geldt dt (ξ + h, η + k) tot B((ξ, η); 2δ) en dus tot V behoort. Voor dergelijke h, k die bovendien ongelijk nul zijn definiëren we: Q(h, k) = (hk) 1 (f(ξ + h, η + k) f(ξ + h, η) f(ξ, η + k) + f(ξ, η)). (2.3) Ons eerste doel is om te bewijzen dt lim Q(h, k) = D 2D 1 f(ξ, η). (2.4) (h,k) (0,0) Hiertoe introduceren we voor k 0 de hulpfunctie v k :] ξ δ, ξ + δ [ R door v k (x) := f(x, η + k) f(x, η). k Het is nu gemkkelijk te controleren dt voor 0 < k, h < δ geldt dt De functie v k is differentieerbr met fgeleide Q(h, k) = v k(ξ + h) v k (ξ). h v k (x) = D 1f(x, η + k) D 1 f(x, η) k 21

28 Door toepssing vn de middelwrdestelling vinden we dt er een tussen ξ en ξ + h gelegen getl ξ(h, k) bestt zo dt Q(h, k) = v k (ξ(h, k)) = D 1f(ξ(h, k), η + k) D 1 f(ξ(h, k), η). k Door toepssing vn de middelwrdestelling op de differentieerbre functie ϕ : ] η δ, η + δ [ R, y D 1 f(ξ(h, k), y) volgt dt er en tussen η en η + k gelegen getl η(h, k) bestt zo dt Uit het bovenstnde volgt dt Q(h, k) = ϕ (η(h, k)) = D 2 D 1 f(ξ(h, k), η(h, k)). (2.5) (ξ(h, k), η(h, k)) (ξ, η) ξ(h, k) ξ + η(h, k) η h + k, dus met de insluitstelling volgt dt lim (ξ(h, k), η(h, k)) = (ξ, η). (h,k) (0,0) Combineren we dit met de continuiteit vn D 2 D 1 f in (ξ, η), dn vinden we door toepssing vn de substitutiestelling voor limieten op (2.5) dt (2.4) inderdd geldt. We merken nu op dt de eerste en de tweede vribele in de definitie vn Q precies dezelfde rol spelen. Bovendien zijn de eisen ()-(c) symmetrisch in de eerste en de tweede vribele. Hieruit volgt dt (2.4) ook geldt met verwisseling vn de volgorde vn de prtiële fgeleiden. Dus: lim Q(h, k) = D 1D 2 f(ξ, η). (2.6) (h,k) (0,0) Wegens de unicititeit vn limieten leiden we uit (2.4) en (2.6) f dt (2.2) geldt. Met het bovenstnde resultt kunnen we nu lgemener herhld prtieel differentiëren behndelen in n 2 vribelen. Zij X een open deelverzmeling vn R n en f : X R p een functie. Met inductie over k zegt men dt de functie f k keer differentieerbr is, indien f k 1 keer differentieerbr is en voor iedere keuze vn indices j(1),..., j(k 1) de fbeelding D j(k 1)... D j(1) f : X R p totl differentieerbr is. (Wegens Lemm 1.23 is deze fbeelding dn ook continu.) Hierbij is D j(k 1)... D j(1) f de herhlde prtiële fgeleide, die met inductie over k wordt gedefinieerd ls D j(k) D j(k 1)... D j(1) f = D j(k) ( Dj(k 1)... D j(1) f ), 1 j(k) n. Men zegt dt f k keer continu differentieerbr is, nottie f C k (X, R p ) of f C k, ls bovendien lle k-de orde prtiële fgeleiden D j(k) D j(k 1)... D j(1) f continu zijn. Wegens Stelling 2.1 kn men de differentitievolgorde hierin nr believen verwisselen, door een willekeurige permuttie vn de indices te schrijven ls een smenstelling vn buursverwisselingen (dwz. verwisselingen vn indices die nst elkr stn). Als α j het ntl der rngnummers l voorstelt wrvoor j(l) = j, dt wil zeggen het ntl keren dt D j in de herhlde prtiële fgeleide voorkomt, dn kunnen we dus schrijven D j(k) D j(k 1)... D j(1) f(x) = D α Dαn n f(x) = 22 k f(x) x 1 α 1... xn α n.

29 Hierin schrijven we α j = 0 ls de prtiële fgeleide nr de j-de vribele niet voorkomt. Als veel vn deze uitdrukkingen voorkomen, dn kort men dit ook wel f tot D α f(x), wrin α = (α 1,..., α n ) een rij vn niet-negtieve gehele getllen voorstelt. Het getl k = α := n α j (2.7) heet de orde vn de differentilopertor D α. Men zegt dt f willekeurig vk differentieerbr of gld is, nottie f C (X, R p ) of f C, ls voor ieder positief geheel getl k geldt dt f C k. Uit Lemm 1.3 en de rekenregels voor limieten volgt dt ls f, g C k (X, R), dn is f + g C k (X, R) en f g C k (X, R), terwijl f/g C k (X, R) ls bovendien g(x) 0 voor iedere x R. Vervolgens geeft Stelling 1.32 met inductie over k dt g f C k ls f C k en g C k. 2.2 Integrlen met een prmeter, continuïteit In de nlyse komt het dikwijls voor dt men een integrl beschouwt vn een functie, die behlve vn de integrtievribele nog vn een ntl ndere vribelen fhngt. Preciezer, zij V R n,, b R, < b en lt een functie f : V [, b] R gegeven zijn. Voor iedere x V is f x : t f(x, t) een reëelwrdige functie op [, b]. Als de functie f x voor iedere x V Riemnn-integreerbr is over [, b], dn wordt door F (x) := j=1 f x (t) dt = f(x, t) dt (2.8) een functie F : V R gedefinieerd. Men zegt ook wel dt de integrl in (2.8) nog fhngt vn de prmeters (x 1,..., x n ). De volgende stelling zegt dt ls de functie f continu is ls functie vn lle vribelen (x 1,..., x n, t), dn hngt de integrl over t [, b] continu f vn de prmeters (x 1,..., x n ). Stelling 2.2 Zij V R n en, b R, < b. Veronderstel dt de functie f : V [, b] R continu is op de deelverzmeling V [, b] vn R n+1. Dn is de functie F : V R, gedefinieerd door middel vn (2.8), continu. De continuïteit vn de functie F betekent dt F in ieder punt ξ V continu is. Dit ltste betekent weer dt lim F (x) = F (ξ). x ξ Vullen we in het bovenstnde de definitie vn F in, en gebruiken we dt f continu is in (ξ, t), voor iedere t [, b], zodt f(x, t) f(ξ, t) voor x ξ, dn vinden we dt ( ) lim f(x, t) dt = f(ξ, t) dt = lim f(x, t) dt, (2.9) x ξ x ξ De formule (2.9) zegt dt we limieten en integrlen mogen verwisselen. Volgens Stelling 2.2 is dit geoorloofd indien de functie f continu is ls functie vn lle vribelen. Het bewijs vn Stelling 2.2 berust op de volgende, op zichzelf interessnte, toepssing vn de stelling vn Bolzno Weierstrss, die bekend is uit het college Inleiding Anlyse. 23

30 Lemm 2.3 Zij K een begrensde en gesloten deelverzmeling vn R p, V R n en ξ V. Veronderstel dt f : V K R q continu is in lle punten vn de verzmeling {ξ} K. Dn is er bij iedere ɛ > 0 een δ > 0, zo dt voor lle x V B(ξ; δ) en lle y K geldt dt f(x, y) f(ξ, y) < ɛ. Opmerking 2.4 Omdt in het bovenstnde bij iedere ɛ > 0 een δ > 0 gevonden kn worden die tot de gegeven schtting leidt voor lle y K, zeggen we ook wel dt f(x, y) f(ξ, y), voor x ξ, uniform ten nzien vn y K. Bewijs We veronderstellen dt de conclusie niet geldt en zullen lten zien dt dit tot een tegensprk leidt. De ontkenning vn de conclusie in Lemm 2.3 geeft dt er een ɛ > 0 bestt zo dt er voor iedere δ > 0 een x V B(ξ; δ) bestt en een y K die niet voldoen n de schtting f(x, y) f(ξ, y) < ɛ, dus wrvoor f(x, y) f(ξ, y) ɛ. Door hierin δ = 1/j te nemen, met j een positief geheel getl, krjgen we een rij (x (j) ) j 1 in V en een rij (y (j) ) j 1 in K, met de eigenschp dt voor iedere j 1 geldt dt x (j) ξ < 1/j en f(x (j), y (j) ) f(ξ, y (j) ) ɛ. (2.10) Uit y (j) K en de begrensdheid vn K volgt dt de rij (y (j) ) j 1 begrensd is in R p. Hieruit volgt wegens de stelling vn Bolzno Weierstrss dt de rij (y (j) ) j 1 een convergente deelrij heeft. Met ndere woorden, er is een deelrij vn rngnummers j k, met j k ls k, met de eigenschp dt de rij (y (j k) ) k 1 voor k convergeert nr een punt η R p. In het bijzonder is η een limietpunt vn K, en omdt K gesloten is, geldt η K. Omdt x (j k) ξ < 1/j k en j k ls k, zien we dt x (j k) ξ ls k. We concluderen dt de rij (x (j k), y (j k) ) in R n+p voor k convergeert nr het punt (ξ, η). Tevens convergeert de rij (ξ, y (j k) ) nr (ξ, η). Uit de continuïteit vn f in het punt (ξ, η) concluderen we dt f(x (j k), y (j k) ) f(ξ, y (j k) ) f(x (j k), y (j k) ) f(ξ, η) + f(ξ, η) f(ξ, y (j k) ) = 0 ls k. Dit leidt tot een tegensprk met de tweede schtting in (2.10). Bewijs vn Stelling 2.2 Omdt [, b] een begrensde en gesloten deelverzmeling is vn R, mogen we Lemm 2.3 toepssen met p = 1 en K = [, b]. Zij ξ V en µ > 0. Dn is er een δ > 0 met de eigenschp dt voor x V met x ξ δ, en voor iedere t [, b] geldt dt Dit leidt tot de schtting f(x, t) f(ξ, t) ɛ := µ/(b ). F (x) F (ξ) = 24 (f(x, t) f(ξ, t)) dt f(x, t) f(ξ, t) dt ɛ dt = ɛ (b ) = µ,

31 voor iedere x V met x ξ < δ. Hieruit volgt dt F (x) F (ξ) ls x ξ. Voorbeeld 2.5 We beschouwen de functie f : R [ 1, 1] R gegeven door f(x, t) = e xt. Door toepssen vn het bovenstnde resultt met V = R en [, b] = [ 1, 1] zien we dt de functie F : R R, gedefinieerd door F (x) = 1 1 e xt dt continu is. Als x 0, dn heeft de integrnd de functie t e xt /x ls primitieve, wruit volgt dt F (x) = (e x e x )/x. Anderzijds is de integrnd voor x = 0 constnt 1, en we zien dt F (0) = 2. De continuïteit vn F geeft dt F (x) F (0) = 2 voor x 0. Uiterrd kunnen we dit resultt ook fleiden door gebruik te mken vn de stelling vn de l Hopitl, zie het dictt Inleiding Anlyse. Voorbeeld 2.6 Het bovenstnde resultt is niet direct toepsbr op functies die gedefinieerd worden door zogenmde oneigenlijke integrlen. Als voorbeeld beschouwen we de Gmm-functie Γ : ] 0, [ R vn Euler, gedefinieerd door Γ(x) = 0 t x 1 e t dt. (2.11) Dit is een functie vn de vorm F (x) = 0 f(x, t) dt, met f(x, t) = t x 1 e t. Er zijn hier twee problemen. In de eerste plts is het intervl vn integrtie onbegrensd nr boven. In de tweede plts is de functie f x : t f(x, t) niet gedefinieerd in 0 voor 0 < x < 1. In de volgende prgrf zullen we lgemene theorie ontwikkelen wrmee we kunnen lten zien dt de zo gedefinieerde Gmm functie continu, en zelfs C is op het intervl ]0, [. 2.3 Oneigenlijke integrlen In deze prgrf zullen we het begrip oneigenlijke integrl precies invoeren. Drn zullen we deze integrlen met een prmeter beschouwen, zodt we in het bijzonder het gedrg vn de integrl voor de Gmm-functie zullen kunnen nlyseren, zie Voorbeeld 2.6. Het begrip oneigenlijke Riemnn-integrl is een verruiming vn het begrip Riemnn-integrl vn gesloten en begrensde intervllen nr willekeurige intervllen. Voorbeeld 2.7 Als eerste motiverende voorbeeld beschouwen we de integrl 0 e x dx. De functie f : [0, [ R, x e x is continu, en dus Riemnn-integreerbr over ieder gesloten en begrensd intervl vn de vorm [0, β], met 0 β <. Met de hoofdstelling vn de integrlrekening vinden we β e x = [ e x] β 0 = 1 e β. Hiern zien we dt 0 β lim e x dx = 1. β 0 25