MODELBOUW eindopdrachten 2007
|
|
- Elias Smeets
- 6 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 MODELBOUW eindopdrachten 2007 Stefan problemen voor het bevriezen van water Als stilstaand water van een bepaalde constante temperatuur T m > 0 in een meer plotseling (zeg op tijdstip t = 0) wordt blootgesteld aan vriescondities boven het wateroppervlak (dus T 0 < 0 in graden Celsius aan het wateroppervlak), spreken we in warmtevergelijkingtermen van een Stefan probleem. Vragen die je bij dit probleem kunt stellen zijn o.a. Hoe snel groeit de ijslaag die op het water ontstaat? Zal al het water uiteindelijk bevriezen? Zo ja, hoeveel tijd kost dat? z T = T 0 < 0 ijs water model x, y T = T 0 < 0 ijs water bodem z = 0 z = s(t) z = l T = T (z, t) a) Beredeneer dat, als het meer groot genoeg is, en het bodemprofiel vrij vlak, het redelijk is om aan te nemen dat de temperatuur in het water alleen zal afhangen van de verticale coördinaat, ofwel van de afstand tot het oppervlak. Zie het plaatje. Dit betekent dat je aanneemt dat het proces homogeen is in de horizontale x, y-coördinaten (en daaraan is voldaan als je aanneemt dat x, y onbegrensd zijn). Zodra T < 0 verwacht je dat het water zal bevriezen. Dit betekent dat er voor t > 0 een bovenste laag van het meer, met 0 < z < s(t), bevroren zal zijn, terwijl het onderste deel van het meer, met s(t) < z < l nog niet bevroren is. Beredeneer dat de notatie s = s(t) voor de rand tussen deze delen nodig is, ofwel, dat te verwachten valt dat deze rand beweegt in de tijd. Zo n rand heet een zogenaamde vrije rand, en het Stefan probleem is een vrije rand probleem waarbij een onderdeel van het probleem is om de vrije rand te bepalen. b) Stel warmtevergelijkingen op voor de twee afzonderlijke gebieden met ijs en water, waarbij je er aanvankelijk vanuit gaat dat ijs en water verschillende warmtediffusieconstanten K i en K w hebben. Een belangrijk onderdeel van het probleem zijn de bijbehorende randvoorwaarden op z = 0, z = s en z = l. Bepaal de voorwaarden op z = 0 en z = s die volgen uit het plaatje. (Wat is de temperatuur op de rand tussen ijs en water, i.e., de bevriezingstemperatuur?) Als je ervan uitgaat dat de bodem isolerend is, betekent dat dat het water geen warmte kan afgeven aan of ontvangen uit de bodem. Wat is de bijbehorende randvoorwaarde? Nog een benodigd onderdeel om een goed gesteld probleem te krijgen is een beginvoorwaarde op tijdstip t = 0. Stel deze op, uitgaande van het gegeven dat de watertemperatuur in het meer tot t = 0 wordt gegeven door T = T m > 0 en dat al het water tot tijdstip t = 0 dus nog niet bevroren is. c) Beredeneer dat het probleem nu voor een vaste rand s wel goed gesteld is, maar dat dat met de vrije rand s = s(t) (die onbekend is) niet het geval is. Het bevriezingsproces dat plaatsvindt bij z = s kan gelukkig een extra vergelijking leveren, omdat er bij bevriezen een energie-uitwisseling plaatsvindt. Dat dit wel nodig is, kun je op verschillende manieren beredeneren. Probeer een uitleg te vinden, uitgaande van het feit dat een mengsel van water en ijs 0 C is, ongeacht de hoeveelheden ijs en water, en/of uitgaande van het feit dat moleculen in water meer bewegen dan in ijs. 1
2 Bovenstaande heeft te maken met de zogenaamde latente warmte L per massaeenheid van water, die uit het water wordt verwijderd bij bevriezing. De netto warmteverandering in het water bij bevriezing blijkt gelijk te zijn aan een sprong die de warmteflux J = k T = k T z (met k de warmtegeleidingscoëfficiënt) in z = s maakt. Schrijf deze sprong als [ k T ] ( T := k T z z z s z ) z s en beredeneer met de net gevonden uitleg dat moet gelden [ ] k T z < 0. z ijs water s s Met bovenstaande definitie van de latente warmte L is de hoeveelheid warmte in een volume s gelijk aan ρl s, waarbij ρ de massadichtheid van water is. Als de grens s(t) dus in een tijdsinterval t met verschuift zodanig dat een hoeveelheid s aan water wordt omgezet in ijs (zie plaatje), betekent dit dat de (positieve) hoeveelheid warmte die wordt verwijderd gedurende t tijd enerzijds gelijk is aan [ k T z s(t) levert dit in de limiet waarin t, s 0? ] t, en anderzijds aan ρl s. Welke differentiaalvergelijking voor d) Onder de vereenvoudigende aanname dat K i = K w = K kunnen de vergelijkingen in dimensievrije vorm worden geschreven. Hiervoor schaal je T met een typische temperatuur, z met een typische lengte en t met een typische tijd in het systeem. Vind geschikte schalingsfactoren α, β en γ die via schalingen T = α T, z = β z, t = γ t en de bijbehorende schaling s = β s het volgende resulterende stelsel vergelijkingen geven: T t = 2 T z 2 voor 0 < z < s( t) en s( t) < z < 1 T = 1 in z = 0 T = 0 T z in z = s( t) = 0 in z = 1 Hiermee wordt de vergelijking voor s gelijk aan [ S d s d t = T ] z met S = ρkl k T het Stefan getal. Laat zien dat de bijbehorende beginvoorwaarden op 0 t = 0 gegeven worden door T = θ := T l T 0 en s = 0. e) In het algemeen is dit probleem moeilijk op te lossen, maar in de limieten (i) S 1 ( 1 S 1) en (ii) S 1 kun je asymptotische analyse toepassen. Laat in het vervolg de tildes weg. (i) Stel ε = 1 ds S zodat dt = O(ε), ofwel, zodat je te maken hebt met een langzaam bevriezingsproces. Wat betekent dit in leidende orde O(ε 0 ) voor de rand s? Los het resulterende leidende orde probleem voor T in water en in ijs op. Laat zien dat de resultaten voor T in ijs en in water tot de sprongconditie [ ] T = T T 1 z z ijs z water s 0 2
3 leidt, zodat de differentiaalvergelijking voor s benaderd kan worden door S ds dt 1 s. Los deze differentiaalvergelijking op door gebruik te maken van de beginvoorwaarde op s. Leg uit wat je wiskundige resultaten betekenen voor het bevriezingsproces. [ ] (ii) Stel ε = S en leidt uit de vergelijking voor s af dat dit in leidende orde voor de sprong betekent dat deze nul moet zijn. Dit betekent vervolgens, dat je de twee problemen in de gebieden met ijs en met water in één keer kunt oplossen voor 0 < z < 1. Dit kan m.b.v. scheiden van variabelen, waarmee je door de randvoorwaarden op te leggen eigenfuncties vindt, en vervolgens door de beginvoorwaarde T (t = 0) = θ op te leggen de oplossing vindt. Laat zien dat dit leidt tot met T (z, t) = 1 n=0 a n e (2n1)2 π 2 4 t sin 1 (2n 1)πz 2 a n = 4(1 θ) (2n 1)π Herinner dat s = s(t) in feite bepaald wordt door de positie van T = 0 op tijdstip t en leidt hiermee af waaraan s moet voldoen. Geef vervolgens een impliciete formule voor het tijdstip t waarop al het water bevroren is, i.e., waarvoor geldt dat T (t = t, z = 1) = 0. Laat zien dat dit tijdstip t benaderd kan worden door t 4 ( ) 4(1 θ) π 2 log π Leg in je eigen woorden uit wat de wiskundige resultaten betekenen voor het bevriezingsproces. T z 3
4 Dynamica van ijslagen Op een lange tijdschaal gedragen ijslagen zich als langzaam bewegende viskeuze vloeistoffen; ze zijn een voorbeeld van vaste stoffen die onder hun eigen gewicht vervormen als gevolg van de zwaartekracht. Op eilanden in de poolgebieden, zoals Antarctica, Groenland en de Canadese eilanden, betekent dit dat de ijslagen op het land langzaam richting de kust bewegen, waar ze uiteindelijk in het water zullen smelten. Tegelijkertijd zorgt sneeuwval ervoor dat de ijslagen ook van boven aangroeien. Zie onderstaand plaatje voor een schets in wiskundige termen, met wat typische lengteschalen voor dergelijke ijslagen. y sneeuw onbekend profiel y = h(x, t) smelten ijs m. smelten zee 0 x 1000 km. De vraag die in deze opgave centraal staat is, of er een evenwichtsprofiel h mogelijk is, waarbij er onder aanname van een constante hoeveelheid sneeuw per jaar dus evenwicht is tussen de groeien smeltprocessen. a) Voor een viskeuze vloeistof ligt het voor de hand om de Navier-Stokes vergelijkingen te gebruiken. Deze zijn in standaardvorm, zonder aanwezigheid van extra krachten, u t ( u ) u = p 1 Re u u = 0 (1) Beschouw het probleem als een 2D probleem en voeg de zwaartekracht toe in de vorm van een term ρg(0, 1) in de eerste vergelijking. (Waarom ligt deze term voor de hand?) Schrijf de vergelijkingen expliciet uit in 2 dimensies, i.e., voor x = (x, y), u = (u, v). b) Om in te zien welke termen in de drie vergelijkingen van belang zijn en welke minder belangrijk zijn voor de dynamica, zijn de lengte- en tijdschalen en de eigenschappen van het ijs van belang. IJs heeft een dichtheid ρ 10 3 kg/m 3 en een viscositeitscoëfficiënt µ 10 6 N jaar/m 2. De horizontale lengte is typisch van de orde L 10 6 m, de horizontale snelheid van de orde U 10 2 m/jaar. De typische hoogte is van de orde 10 2 tot 10 3 m, en is daarmee dus veel kleiner dan de typische breedte. Hetzelfde geldt voor de verticale snelheid. Introduceer dus nieuwe geschaalde verticale variabelen ỹ en ṽ die voldoen aan y = εỹ en v = εṽ met 0 < ε 1 (in de praktijk ε 10 3 ). Schaal ook het profiel h mee met y. Herschrijf de vergelijkingen uit (a) in termen van de nieuwe variabelen. c) Eén van de vergelijkingen is nu, onder aanname dat ε 2 Re 1, in leidende orde van de vorm 1 ε 2 Re u ỹỹ = 0. Het fysische idee is echter, dat verticale veranderingen in u in balans moeten zijn met de druk. Daarom moet p wel van gelijke orde zijn als uỹỹ. Herschaal p met behulp van een geschikte schalingsfactor tot p om dit voor elkaar te krijgen. Vermenigvuldig vervolgens twee van de drie vergelijkingen met ε 2 Re om overal termen van O(1) als leidende orde termen te krijgen. Onder dezelfde aanname als net (ε 2 Re 1) blijven er nu in iedere vergelijking twee termen van O(1) of van nog onbekende orde over als (mogelijke) leidende orde termen. Welke term is van onbekende orde? d) Leidt uit de gegeven waarden voor µ en ρ en de benadering g = 10 m/s 2 af dat de gemaakte aanname over het Reynoldsgetal terecht is, en dat de term van onbekende orde in feite van O(1) 4
5 is omdat ρgre 10 9 kg/(m 2 jaar 2 ). (Gebruik hierbij de definitie van 1 Newton: 1 N=1 kg.m/s 2.) Overtuig jezelf dat deze constante term exact op 1 geschaald kan worden door de vergelijkingen dimensieloos te maken. Doe dit (of neem simpelweg ε 3 ρgre = 1 als het niet lukt). De resulterende vergelijkingen zijn nu, met de tildes weggelaten: u x v y = 0 p x u yy = 0 h.o.t p y 1 = 0 h.o.t e) Om de vergelijkingen op de lossen zijn voldoende randvoorwaarden nodig. Vanwege wrijving tussen ijs en land ligt het voor de hand om op y = 0 standaardrandvoorwaarden op u en v op te leggen. Doe dit. Op y = h (met de herschaalde h) is u a priori niet gelijk aan nul. Maar omdat er alleen verwaarloosbare schuifspanningen optreden tussen ijs en lucht is het wel logisch om u y = 0 op te leggen op y = h. Er is nog een voorwaarde op y = h nodig, die kan worden afgeleid door een deeltje in het ijs of op het ijs te beschouwen gedurende het (langzame) stromingsproces. Beredeneer dat, als er geen sneeuw op het ijs valt, een deeltje op het ijsoppervlak altijd op dat oppervlak blijft en daar meestroomt met het ijs. Dit betekent dat de afstand h y gelijk blijft aan h y = 0 op y = h, en dat in afwezigheid van sneeuw de kinematische randvoorwaarde D [h(x, t) y] = 0 op y = h Dt kan worden opgelegd. Leg uit waarom hier de zogenaamde Langrangiaanse of materiaalafgeleide moet worden gebruikt, en niet slechts t. Als er wel sneeuw valt, beweegt het zojuist beschouwde deeltje nog steeds met de stroming mee, maar zal het oppervlak h(x, t) (relatief) hoger worden gedurende de tijd. Leg uit dat de net geformuleerde randvoorwaarde daarom moet veranderen in D [h(x, t) y] = const. op y = h Dt als de hoeveelheid gevallen sneeuw per jaar constant wordt aangenomen. Neem ook voor deze constante de waarde 1 aan (ook hier kan dat netjes m.b.v. schaling) en schrijf de resulterende kinematische randvoorwaarde voor de vrije rand y = h(x, t) uit. Leg uit dat er geen randvoorwaarde voor v op y = h nodig is. Wel is er ergens een keuze voor de waarde van p nodig: kies als ijking in y = h dat de standaard luchtdruk (1 atm.) correspondeert met p = 0. Leg verder op dat h(x ±, t) = 0. Met wat voor aanname correspondeert dit? f) Los de vergelijkingen voor p(x, y, t), u(x, y, t) in deze volgorde (deels) op, door herhaaldelijk naar y te integreren en randvoorwaarden te gebruiken. Integreer met de gevonden uitdrukking voor u de vergelijking u x v y = 0 wederom naar y tussen de randen y = 0 en y = h. Laat zien dat en leidt daarmee de vergelijking v(h) = h t uh x 1. h t h 0 u x dy uh x = 1 af. Neem hierin vervolgens twee termen aan de linkerkant samen om de vergelijking te vereenvoudigen. Met behulp van de al eerder gevonden uitdrukking voor u vind je uiteindelijk een niet-lineaire PDV voor het profiel h(x, t): h t = x [ 1 3 h3 h x ] 1. g) Voor het gezochte evenwichtsprofiel moet gelden dat h = h(x) onafhankelijk van t. De PDV wordt dan een gewone differentiaalvergelijking voor h. Los deze op, en leg daarbij op dat h 5
6 symmetrisch (even) is in x (dus ook x = x. De laatste integratieconstante kun je bepalen door op te leggen dat h(x ) = h(x ) = 0. Hoe ziet de functie h(x) eruit rond de randen waar de ijskap het water raakt? Vind je dit realistisch? Waarom wel/niet? Een belangrijke vervolgvraag, die je niet hoeft uit te werken, is of dit profiel ook stabiel is onder kleine verstoringen in tijd of plaats. Blijft het bijvoorbeeld bestaan als er lokaal of tijdelijk wat meer of minder sneeuw valt? M.b.v. lineaire stabiliteitsanalyse kun je laten zien dat het antwoord hierop JA is. 6
7 Dichtheidsverschillen van water in oceanen Het water in een oceaan is onderhevig aan grote oceaanstromingen die o.a. te maken hebben met rotatie van de aarde en temperatuurs- en dichtheidsverschillen tussen verschillende lagen in de oceaan. Deze opgave gaat over de dichtheid, die varieert met de diepte van het water en die de oceaan een gelaagde (Engels: stratified) structuur geeft. Het lijkt natuurlijk om te verwachten dat de dichtheid onder invloed van de zwaartekracht in diepere lagen groter is dan in hogere lagen. In deze opgave bekijken we of dit inderdaad zo is. Op oceaanschalen speelt de viscositeit geen belangrijke rol, dus als er geen externe kracht is, kan het gedrag van het water worden beschreven door de vergelijkingen { ρ( ut ( u ) u) = p (2) ρ t (ρ u) = 0 die in feite de wet van behoud van impuls en de wet van behoud van massa zijn. In diepe oceanen speelt de zwaartekracht een rol. Voeg deze daarom toe in de vorm van een (geschaalde, met g = 1) term ρ k met k een naar beneden gerichte eenheidsvector. a) In de praktijk zijn de dichtheidsverschillen voornamelijk het gevolg van temperatuursverschillen, en ontstaan ze niet zozeer doordat het water door de zwaartekracht wordt samengedrukt. Hoe hangt de dichtheid van water af van de temperatuur? Neem in het vervolg aan dat het water niet-samendrukbaar (Engels: incompressible) is, ofwel dat alle energie bestaat uit kinetische energie, ofwel dat D ρ = 0. (3) Dt Beredeneer waarom dit voor een gelaagde vloeistof niet meteen gesimplificeerd kan (en ook niet hoeft vanwege de fysica) worden tot ρ ρ 0. Combineer vervolgens (2), de zwaartekracht en (3) tot de Euler vergelijkingen voor een gelaagde vloeistof: ρ( u t ( u ) u) = p ρ k u = 0 ρ t ( u )ρ = 0 b) Beredeneer dat het redelijk is om op grote schaal aan te nemen dat het bodemprofiel en het oceaanoppervlak vlak zijn en dat de processen a priori in de horizontale coördinaten hetzelfde zijn. In het vervolg zullen we daarom een gelaagde stroming tussen twee horizontale platen bekijken, en een versimpeld twee-dimensionaal systeem beschouwen. Schrijf x = (x, y), u = (u, v) en bekijk de vergelijkingen (4) voor (x, y) R (0, 1), i.e., schaal de diepte op 1. Neem k = (0, 1). Er zijn randvoorwaarden nodig op y = 0 en y = 1. Wat zijn de meest voor de hand liggende randvoorwaarden op v? Leg deze op. c) We willen de gelaagdheid in rust beschouwen. Neem dus u 0 en laat zien dat (4) reduceert tot p x = 0, p z = ρ, ρ t = 0 (5) voor de onbekende druk p en dichtheid ρ. Laat zien dat (5) impliceert dat p = p(y), ρ = ρ(y) en dat u 0, ρ(y) = S(y), p(y) = y 0 (4) S(η)dη (6) voor een willekeurige, gladde functie S(y) een oplossing is van (4) met de randvoorwaarden uit (b). De conclusie is dus, dat de dichtheid in rust een hele algemene structuur mag hebben; de enige voorwaarde is dat hij slechts mag variëren in de verticale richting. De vraag is nu, of iedere ρ = S(y) een realistische oplossing is. Als S(y) bijvoorbeeld een stijgende functie is, betekent 7
8 dit dat er zwaar water bovenop licht water ligt, waardoor er waarschijnlijk een stroming onder invloed van de zwaartekracht zou ontstaan. Met andere woorden, van zo n oplossing verwachten we dat hij instabiel is. d) We bestuderen nu de stabiliteit van de (fundamentele) oplossing (6) door hem te verstoren. Introduceer daartoe 0 < ε 1 en schrijf u(x, y, t) = ε(ũ(x, y, t), ṽ(x, y, t)) ρ(x, y, t) = S(y) ε ρ(x, y, t) p(x, y, t) = y 0 S(η)dη ε p(x, y, t) Substitueer dit in (4) en lineariseer, i.e., negeer alle termen van O(ε 2 ) en kleiner. Laat zien dat dit leidt tot de vergelijkingen Sũ t = p x Sṽ t = p y ρ ũ x ṽ y = 0 ρ t ds dy ṽ = 0 Wat zijn de randvoorwaarden? De lineaire stabiliteitsanalyse kan gedaan worden met een normal modes methode. Neem daarvoor de volgende structuur voor (ũ, ṽ, ρ, p): voor k R, ω C. (ũ(x, y, t), ṽ(x, y, t), ρ(x, y, t), p(x, y, t)) = (U(y), V (y), R(y), P (y))e ikxωt e) Leidt de vergelijkingen voor U, V, R en P af, laat zien dat U, R en P in V uitgedrukt kunnen worden en leidt de volgende vergelijking af voor V (y): ( d S dv ) ( ) 1 k 2 ds dy dy ω 2 dy S V = 0 (7) met randvoorwaarden V (0) = V (1) = 0. Hierin speelt ω = ω(k 2 ) de rol van eigenwaarde. f) Als voorbeeld bekijken we een profiel S(y) = e ay voor een waarde a R. Welke waarden van a corresponderen met een intuïtief instabiel profiel? Laat zien dat (7) vereenvoudigt tot de expliciet oplosbare vergelijking d 2 V ( dy 2 adv dy a ) k2 ω 2 1 V = 0 en bepaal de eigenwaarden ω j = ω j (k 2 ; a), j = 1, 2,... Leg uit waarom hieruit volgt dat de oplossing (6) van (4) instabiel is als a > 0. Geef een schets van de stroming die wordt geïnduceerd door de instabiele eigenfuncties voor a > 0, i.e., bepaal (U j (y), V j (y), R j (y), P j (y)) en schets u j (x, y, t) = ε(u j (y), V j (y))e ikxωj (k2 )t voor j = 1 en j = 2 als functie van x en y voor zekere vaste waarden van t, k en ε. g) Keer terug naar algemene profielen S(y). Laat zien dat er voor iedere S(y) met ds dy > 0 voor alle y (0, 1) instabiele eigenwaarden ω j bestaan. Wat is dus je conclusie voor de dichtheidsprofielen in gelaagde vloeistoffen? 8
MODELBOUW eindopdrachten 6 november 2006
MODELBOUW eindopdrachten 6 november 2006 Stefan problemen voor het bevriezen van water Als stilstaand water van een bepaalde constante temperatuur T m > 0 in een meer plotseling (zeg op tijdstip t = 0)
Nadere informatietentamen stromingsleer (wb1225), Faculteit 3mE, TU Delft, 28 juni 2011, u
Dit tentamen bestaat uit twee delen: deel I bestaat uit 7 meerkeuzevragen en deel II bestaat uit twee open vragen. Deel I staat voor 40% van uw eindcijfer. Deel I invullen op het bijgeleverde formulier.
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT WERKTUIGBOUWKUNDE DIVISIE COMPUTATIONAL AND EXPERIMENTAL MECHANICS
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT WERKTUIGBOUWKUNDE DIVISIE COMPUTATIONAL AND EXPERIMENTAL MECHANICS Tentamen Polymeerverwerking (4K550) vrijdag 2 juli 2004, 14:00-17:00. Bij het tentamen mag
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT WERKTUIGBOUWKUNDE DIVISIE COMPUTATIONAL AND EXPERIMENTAL MECHANICS
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT WERKTUIGBOUWKUNDE DIVISIE COMPUTATIONAL AND EXPERIMENTAL MECHANICS Tentamen Polymeerverwerking (4K550) donderdag 5 juli 2007, 14:00-17:00. Bij het tentamen mag
Nadere informatieUitwerkingen Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen
Uitwerkingen Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen Maandag 4 januari 216, 1: - 13: uur 1. Beschouw voor t > de inhomogene singuliere tweede orde vergelijking, t 2 ẍ + 4tẋ + 2x = f(t, (1 waarin f
Nadere informatieTechnische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015,
Technische Universiteit Delft Faculteit EWI ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW23 Vrijdag 3 januari 25, 4.-7. Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven. Alle antwoorden dienen beargumenteerd
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT WERKTUIGBOUWKUNDE DIVISIE COMPUTATIONAL AND EXPERIMENTAL MECHANICS
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT WERKTUIGBOUWKUNDE DIVISIE COMPUTATIONAL AND EXPERIMENTAL MECHANICS Tentamen Polymeerverwerking (4K550) dinsdag 4 juli 2006, 14:00-17:00. Bij het tentamen mag
Nadere informatieUitwerkingen van het Tentamen Moleculaire Simulaties - 8C Januari uur
Uitwerkingen van het Tentamen Moleculaire Simulaties - 8C030 25 Januari 2007-4.00-7.00 uur Vier algemene opmerkingen: Het tentamen bestaat uit 6 opgaven verdeeld over 3 pagina s. Op pagina 3 staat voor
Nadere informatieTentamen Statistische Thermodynamica MST 19/6/2014
Tentamen Statistische Thermodynamica MST 19/6/214 Vraag 1. Soortelijke warmte ( heat capacity or specific heat ) De soortelijke warmte geeft het vermogen weer van een systeem om warmte op te nemen. Dit
Nadere informatieTentamen Klassieke Mechanica, 29 Augustus 2007
Tentamen Klassieke Mechanica, 9 Augustus 7 Dit tentamen bestaat uit vijf vragen, met in totaal negen onderdelen. Alle onderdelen, met uitzondering van 5.3, zijn onafhankelijk van elkaar te maken. Mocht
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, groep Cardiovasculaire Biomechanica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, groep Cardiovasculaire Biomechanica Tentamen Fysica in de Fysiologie (8N7) deel A1, blad 1/4 maandag 1 oktober 27, 9.-1.3 uur Het tentamen
Nadere informatieOpgaven bij het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman
Opgaven bij het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman Roland van der Veen Inleiding Deze reeks opgaven is bedoeld voor de werkcolleges van de vakantiecursus Wiskunde in Wording, Augustus 2013. 1
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT WERKTUIGBOUWKUNDE DIVISIE COMPUTATIONAL AND EXPERIMENTAL MECHANICS
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT WERKTUIGBOUWKUNDE DIVISIE COMPUTATIONAL AND EXPERIMENTAL MECHANICS Tentamen Polymeerverwerking (4K550) maandag 11 augustus 2003, 09:00-12:00. Bij het tentamen
Nadere informatieHoofdstuk 10: Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen
Hoofdstuk : Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen Partiële differentiaalvergelijkingen zijn vergelijkingen waarin een onbekende functie van twee of meer variabelen en z n partiële afgeleide(n)
Nadere informatieOF (vermits y = dy. dx ) P (x, y) dy + Q(x, y) dx = 0
Algemeen kunnen we een eerste orde differentiaalvergelijking schrijven als: y = Φ(x, y) OF (vermits y = dy dx ) P (x, y) dy + Q(x, y) dx = 0 Indien we dan P (x, y) en Q(x, y) kunnen schrijven als P (x,
Nadere informatie5.8. De Bessel differentiaalvergelijking. Een differentiaalvergelijking van de vorm
5.8. De Bessel differentiaalvergelijking. Een differentiaalvergelijking van de vorm x y + xy + (x ν )y = met ν R (1) heet een Bessel (differentiaal)vergelijking. De waarde van ν noemt men ook wel de orde
Nadere informatie34 HOOFDSTUK 1. EERSTE ORDE DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN
34 HOOFDSTUK 1. EERSTE ORDE DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 1.11 Vraagstukken Vraagstuk 1.11.1 Beschouw het beginwaardeprobleem = 2x (y 1), y(0) = y 0. Los dit beginwaardeprobleem op voor y 0 R en maak een
Nadere informatieSVP AANGEVEN: het practicum FTV is uitgevoerd in jaar...
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT DER TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA Tentamen Fysische Transportverschijnselen voor W (3B47) op dinsdag 17 april 1, 9.-1. uur. Het tentamen levert
Nadere informatieHet tentamen levert maximaal 30 punten op, waarvan de verdeling hieronder is aangegeven.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT DER TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA Tentamen Fysische Transportverschijnselen voor W (3B47) op donderdag 8 april 5, 14.-17. uur. Het tentamen levert
Nadere informatieStelsels lineaire differentiaalvergelijkingen (homogeen)
Stelsels lineaire differentiaalvergelijkingen (homogeen) Voorbeeld Voorbeeld ( 7., Opgave 22) Op t = 0 bevatten de vaten respectievelijk 25 en 5 oz (ounces) zout. 3 september 206 Onderzoeken we hoeveel
Nadere informatieDifferentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft
Differentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft Roelof Koekoek wi23wbmt Roelof Koekoek (TU Delft Differentiaalvergelijkingen wi23wbmt 1 / 12 Fourierreeksen van even en oneven functies a 2 + (
Nadere informatieSchuifbanden in vloeistoffen (Engelse titel: Shear bands in fluids)
Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Schuifbanden in vloeistoffen (Engelse titel: Shear bands in fluids Verslag ten behoeve
Nadere informatieHoofdstuk 9: Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen en stabiliteit
Hoofdstuk 9: Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen en stabiliteit Hoewel we reeds vele methoden gezien hebben om allerlei typen differentiaalvergelijkingen op te lossen, zijn er toch nog veel differentiaalvergelijkingen
Nadere informatieFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie
FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De
Nadere informatieENKELE VOORBEELDEN UIT TE WERKEN MET ICT
Differentiaalvergelijkingen kunnen we ook oplossen met behulp van ICT. In dit geval zijn de oplossingen uitgewerkt met behulp van Derive. dy De differentiaalvergelijking = ky, met k een reëel getal Voorbeeld
Nadere informatieInhoud college 4 Basiswiskunde. 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie
Inhoud college 4 Basiswiskunde 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie 2 Basiswiskunde_College_4.nb 2.6 Hogere afgeleiden De afgeleide f beschrijft
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit der Civiele Techniek en Geowetenschappen
TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit der Civiele Techniek en Geowetenschappen TENTAMEN CTB1210 DYNAMICA en MODELVORMING d.d. 28 januari 2015 van 9:00-12:00 uur Let op: Voor de antwoorden op de conceptuele
Nadere informatieFysica. Een voorwerp wordt op de hoofdas van een dunne bolle lens geplaatst op 30 cm van de lens. De brandpuntsafstand f van de lens is 10 cm.
Vraag 1 Een voorwerp wordt op de hoofdas van een dunne bolle lens geplaatst op 30 cm van de lens. De brandpuntsafstand f van de lens is 10 cm. Hulptekening: f f Het beeld van het voorwerp gevormd door
Nadere informatieModellen en Simulatie Recursies
Utrecht, 3 mei 3 Modellen en Simulatie Recursies Program Management voorbeeld (affien) Economisch voorbeeld (affien) Rupsen-wespen (niet lineair) Niet-lineaire modellen, evenwicht, stabiliteit Gerard Sleijpen
Nadere informatieEerste orde partiële differentiaalvergelijkingen
Eerste orde partiële differentiaalvergelijkingen Vakgroep Differentiaalvergelijkingen 1995, 2001, 2002 1 Eerste orde golf-vergelijking De vergelijking au x + u t = 0, u = u(x, t), a ɛ IR (1.1) beschrijft
Nadere informatieEindronde Natuurkunde Olympiade 2014 theorietoets deel 1
Eindronde Natuurkunde Olympiade 2014 theorietoets deel 1 Opgave 1 Fata Morgana (3p) We hebben een planparallelle plaat met een brekingsindex n(z), die met de afstand z varieert. Zie ook de figuur. a. Toon
Nadere informatieTentamen Warmte-overdracht
Tentamen Warmte-overdracht vakcode: 4B680 datum: 11 november 08 tijd: 14.00-17.00 uur LET OP Er zijn in totaal 4 opgaven waarvan de eerste opgave bestaat uit losse vragen. Alle opgaven tellen even zwaar
Nadere informatieNotatie Voor een functie y = y(t) schrijven we. Definitie Een differentiaalvergelijking is een vergelijking van de vorm
college 3: differentiaalvergelijkingen Notatie Voor een functie y = y(t) schrijven we y = y (t) of y (1) = y (1) (t) voor de afgeleide dy dt, en y = y (t) of y (2) = y (2) (t) voor de tweede afgeleide
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT WERKTUIGBOUWKUNDE
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT WERKTUIGBOUWKUNDE Tentamen Polymeerverwerking (4K550) vrijdag 16 november 2007, 9:00-12:00. Bij het tentamen mag het boek Modeling in Materials Processing van
Nadere informatieTentamen Warmte-overdracht
Tentamen Warmte-overdracht vakcode: 4B680 datum: 25 juni 07 tijd: 9.00-12.00 uur LET OP Er zijn in totaal 4 opgaven waarvan de eerste opgave bestaat uit losse vragen. Ieder onderdeel wordt (indien nodig)
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, groep Cardiovasculaire Biomechanica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, groep Cardiovasculaire Biomechanica Tentamen Fysica in de Fysiologie (8N070) deel AB herkansing, blad /5 woensdag 23 januari 2008, 9.00-2.00
Nadere informatie168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN
168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN 5.7 Vraagstukken Vraagstuk 5.7.1 Beschouw de differentiaalvergelijking d2 y d 2 = 2 y. (i) Schrijf y = a k k. Geef een recurrente betrekking voor de coëfficienten a
Nadere informatieV A D E M E C U M M E C H A N I C A. 2 e 3 e graad. Willy Cochet Pagina 1
V A D E M E C U M M E C H A N I C A e 3 e graad Willy Cochet Pagina 1 Vooraf 1. Dit is een basiswerk waarbij de vakleerkracht eventuele aanpassingen kan doen voor zijn specifieke studierichting : vectoren
Nadere informatieTentamen Mechanica ( )
Tentamen Mechanica (20-12-2006) Achter iedere opgave is een indicatie van de tijdsbesteding in minuten gegeven. correspondeert ook met de te behalen punten, in totaal 150. Gebruik van rekenapparaat en
Nadere informatieDe vergelijking van Antoine
De vergelijking van Antoine Als een vloeistof een gesloten ruimte niet geheel opvult, dan verdampt een deel van de vloeistof. De damp oefent druk uit op de wanden van de gesloten ruimte: de dampdruk. De
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT WERKTUIGBOUWKUNDE DIVISIE COMPUTATIONAL AND EXPERIMENTAL MECHANICS
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT WERKTUIGBOUWKUNDE DIVISIE COMPUTATIONAL AND EXPERIMENTAL MECHANICS Tentamen Polymeerverwerking (4K550) vrijdag 8 oktober 2004, 09:00-12:00. Bij het tentamen
Nadere informatietentamen stromingsleer (wb1225), Faculteit 3mE, TU Delft, 12 april 2011, u
Dit tentamen bestaat uit twee delen: deel I bestaat uit 7 meerkeuzevragen en deel II bestaat uit twee open vragen. Deel I staat voor 40% van uw eindcijfer. Deel I invullen op het bijgeleverde formulier.
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT DER TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT DER TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA Tentamen Fysische Transportverschijnselen voor W (3B470) op maandag 19 maart 007, 14.00-17.00 uur. Het tentamen
Nadere informatieTechnische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 2601 Maandag 11 januari 2010, 9.00-12.00
Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 6 Maandag januari, 9- Faculteit EWI Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven Alle antwoorden dienen beargumenteerd te worden Normering: punten
Nadere informatieOplossing examenoefening 2 :
Oplossing examenoefening 2 : Opgave (a) : Een geleidende draad is 50 cm lang en heeft een doorsnede van 1 cm 2. De weerstand van de draad bedraagt 2.5 mω. Wat is de geleidbaarheid van het materiaal waaruit
Nadere informatieHoofdstuk 1: Inleiding
Hoofdstuk 1: Inleiding 1.1. Richtingsvelden. Zie Stewart, 9.2. 1.2. Oplossingen van enkele differentiaalvergelijkingen. Zelf doorlezen. 1.3. Classificatie van differentiaalvergelijkingen. Differentiaalvergelijkingen
Nadere informatieProefexamen Thermodynamica, april 2017 Oplossingen
Proefexamen Thermodynamica, april 017 Oplossingen 1 (In)exacte differentialen De eerste differentiaal is niet exact aangezien V Nk V NkT T V De tweede differentiaal is echter wel exact. Het voorschrift
Nadere informatieInleiding tot de dynamica van atmosferen Krachten
Inleiding tot de dynamica van atmosferen Krachten P. Termonia vakgroep wiskundige natuurkunde en sterrenkunde, UGent Inleiding tot de dynamica van atmosferen p.1/35 Inhoud 1. conventies: notatie 2. luchtdeeltjes
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA Tentamen Stroming & Diffusie (3D030) op donderdag 7 augustus 2008, 14.00-17.00 uur. 1. Beantwoord de volgende vragen
Nadere informatieHet drie-reservoirs probleem
Modelleren A WH01 Het drie-reservoirs probleem Michiel Schipperen (0751733) Stephan van den Berkmortel (077098) Begeleider: Arris Tijsseling juni 01 Inhoudsopgave 1 Samenvatting Inleiding.1 De probleemstelling.................................
Nadere informatieAanvullingen van de Wiskunde
1ste semester 23 januari 2007 Aanvullingen van de Wiskunde 1. Gegeven zijn twee normen 1 en 2 op een vectorruimte V. Wanneer zegt men dat de 1 fijner is dan 2? Wat is dan het verband tussen convergentie
Nadere informatieDifferentiaalvergelijkingen Wi1909TH. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 november 2018
Differentiaalvergelijkingen Wi1909TH, 12 november 2018 Inleiding van Mourik Broekmanweg 6, kamer 3.W.700 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/ goddijn
Nadere informatieHet tentamen levert maximaal 30 punten op, waarvan de verdeling hieronder is aangegeven.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT DER TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA Tentamen Fysische Transportverschijnselen voor W (3B470) op donderdag 5 juli 2012, 09.00-12.00 uur. Het tentamen
Nadere informatieKwantummechanica HOVO cursus. Jo van den Brand Lecture 4: 13 oktober 2016
Kwantummechanica HOVO cursus Jo van den Brand Lecture 4: 13 oktober 2016 Copyright (C) VU University Amsterdam 2016 Overzicht Algemene informatie Jo van den Brand Email: jo@nikhef.nl 0620 539 484 / 020
Nadere informatieTentamen Simulaties van biochemische systemen - 8C110 3 juli uur
Tentamen Simulaties van biochemische systemen - 8C0 3 juli 0-4.00-7.00 uur Vier algemene opmerkingen: Het tentamen bestaat uit 6 opgaven verdeeld over 3 pagina s. Op pagina 3 staat voor iedere opgave het
Nadere informatie1 WAAM - Differentiaalvergelijkingen
1 WAAM - Differentiaalvergelijkingen 1.1 Algemene begrippen Een (gewone) differentiaalvergelijking heeft naast de onafhankelijke veranderlijke (bijvoorbeeld genoteerd als x), eveneens een onbekende functie
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT WERKTUIGBOUWKUNDE DIVISIE COMPUTATIONAL AND EXPERIMENTAL MECHANICS
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT WERKTUIGBOUWKUNDE DIVISIE COMPUTATIONAL AND EXPERIMENTAL MECHANICS Tentamen Polymeerverwerking (4K550) dinsdag 21 juni 2005, 09:00-12:00. Bij het tentamen mag
Nadere informatieExamen Wiskundige Analyse I 1ste bach ir wet. dinsdag 5 januari Vraag 1.1. Waar of vals (1pt) Het beginvoorwaardenprobleem
Examen Wiskundige Analyse I ste bach ir wet dinsdag 5 januari 206 Vraag.. Waar of vals (pt) Het beginvoorwaardenprobleem 32x 3 y = (y ) 3, y() = 2, y () = 4 bezit een unieke oplossing, die geldig is in
Nadere informatieWISB134 Modellen & Simulatie. Lecture 11 - Dynamica van lineaire differentiaalvergelijkingen in twee dimensies
WISB134 Modellen & Simulatie Lecture 11 - Dynamica van lineaire differentiaalvergelijkingen in twee dimensies Overzicht van ModSim Meeste aandacht (t/m 1 apr.) Basisbegrippen dynamische modellen Definities
Nadere informatieDifferentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft
Differentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft Roelof Koekoek wi2030wbmt Roelof Koekoek (TU Delft) Differentiaalvergelijkingen wi2030wbmt 1 / 15 Even voorstellen... Dr. Roelof Koekoek Gebouw
Nadere informatie11.3. Inhomogene randwaardeproblemen. We beschouwen eerst inhomogene Sturm- Liouville randwaardeproblemen van de vorm :
11.3. Inhomogene randwaardeproblemen. We beschouwen eerst inhomogene Sturm- Liouville randwaardeproblemen van de vorm : L[y] := [p(x)y ] + q(x)y = µr(x)y + f(x), < x < 1 (1) a 1 y() + a 2 y () =, b 1 y(1)
Nadere informatieExamen G0O17D Wiskunde II (6sp) maandag 10 juni 2013, 8:30-12:30 uur
Examen GO7D Wiskunde II (6sp maandag juni 3, 8:3-:3 uur Bachelor Biochemie & Biotechnologie Bachelor hemie, Bachelor Geologie Schakelprogramma Master Biochemie & Biotechnologie en Schakelprogramma Master
Nadere informatie7. Hamiltoniaanse systemen
7. Hamiltoniaanse systemen In de moleculaire dynamica, maar ook in andere gebieden zoals de hemelmechanica of klassieke mechanica, worden oplossingen gezocht van het Hamiltoniaanse systeem van differentiaalvergelijkingen
Nadere informatieTentamen Statistische Thermodynamica MS&T 27/6/08
Tentamen Statistische Thermodynamica MS&T 27/6/08 Vraag 1. Toestandssom De toestandssom van een systeem is in het algemeen gegeven door de volgende uitdrukking: Z(T, V, N) = e E i/k B T. i a. Hoe is de
Nadere informatie1e bachelor ingenieurswetenschappen Modeloplossing examen oefeningen analyse I, januari y = u sin(vt) dt. wordt voorgesteld door de matrix
e bachelor ingenieurswetenschappen Modeloplossing examen oefeningen analyse I, januari 9. Opgave: Bereken dt ( q) als p = (, ), q = (, ) en p u+v x = e t dt T : (u, v) (x, y) : u y = u sin(vt) dt Oplossing:
Nadere informatieIJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica september 2018: algemene feedback
IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica september 8 - reeks - p. IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica september 8: algemene feedback Positionering ten opzichte van andere deelnemers In totaal namen
Nadere informatieEindronde Natuurkunde Olympiade 2018 theorietoets deel 1
Eindronde Natuurkunde Olympiade 2018 theorietoets deel 1 1. Spelen met water (3 punten) Water wordt aan de bovenkant met een verwaarloosbare snelheid in een dakgoot met lengte L = 100 cm gegoten en dat
Nadere informatieVerbanden en functies
Verbanden en functies 0. voorkennis Stelsels vergelijkingen Je kunt een stelsel van twee lineaire vergelijkingen met twee variabelen oplossen. De oplossing van het stelsel is het snijpunt van twee lijnen.
Nadere informatie2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak. Veronderstel dat een kromme in het vlak gegeven is door een parametervoorstelling
TU/e technische universiteit eindhoven Kromming Extra leerstof bij het vak Wiskunde voor Bouwkunde (DB00) 1 Inleiding De begrippen kromming en kromtestraal worden in het boek Calculus behandeld in hoofdstuk
Nadere informatieTentamen Modellen en Simulatie (WISB134)
Tentamen Modellen en Simulatie (WISB4) Vrijdag, 7 april 5, :-6:, Educatorium Gamma Zaal Schrijf op elk vel dat je inlevert je naam en op het eerste vel je studentnummer en het totaal aantal ingeleverde
Nadere informatieTentamen GASDYNAMICA, Maandag 1 april 2014, HG (HG extra tijd) ( extra tijd) Prof. dr. A.
Tentamen GASDYNAMICA, Maandag 1 april 2014, HG 00.071 (HG 02.032 extra tijd) 12.30-15.30 (12.30-16.30 extra tijd) Prof. dr. A. Achterberg Let op: Vraag 4 is een vraag over schokken, stof die dit jaar niet
Nadere informatie1 Eigenwaarden en eigenvectoren
Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan
Nadere informatieTENTAMEN DYNAMICA (140302) 29 januari 2010, 9:00-12:30
TENTAMEN DYNAMICA (14030) 9 januari 010, 9:00-1:30 Verzoek: begin de beantwoording van een nieuwe vraag op een nieuwe pagina. En schrijf duidelijk: alleen leesbaar en verzorgd werk kan worden nagekeken.
Nadere informatieDe dynamica van een hertenpopulatie. Verslag 1 Modellen en Simulatie
De dynamica van een hertenpopulatie Verslag Modellen en Simulatie 8 februari 04 Inleiding Om de groei van een populatie te beschrijven, kunnen vele verschillende modellen worden gebruikt, en welke meer
Nadere informatieUitwerkingen van de opgaven bij het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman
Uitwerkingen van de opgaven bij het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman Roland van der Veen Inleiding Deze reeks opgaven is bedoeld voor de werkcolleges van de vakantiecursus Wiskunde in Wording,
Nadere informatiex(t + T ) = x(t) Voorbeeld 1. Beschouw het niet-lineaire autonome stelsel . (1) y x + y y(x 2 + y 2 )
97 Periodieke oplossingen en limit ccles We beschouwen weer autonome stelsels van de vorm x (t) = f(x(t)), waarbij het rechterlid dus niet expliciet van t afhangt We gaan onderzoeken wanneer er periodieke
Nadere informatieTentamen Gewone Differentiaal Vergelijkingen II
Tentamen Gewone Differentiaal Vergelijkingen II.0.007 Jullie mogen een willekeurige van de vier opgaven als bonusopgave bekijken. (Dus drie opgaven volledig en goed gedaan is al een 10.) Opgave 1 Bekijk
Nadere informatieWiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Tentamen 4 november 2013
Wiskundige Technieken Uitwerkingen Tentamen 4 november 0 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato): 4pt pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met of onbelangrijke rekenfoutjes
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA Tentamen Stroming & Diffusie 3D030) op vrijdag 26 augustus 2005, 4.00-7.00 uur. Opgave Beantwoord de volgende vragen
Nadere informatieSnelle glijbanen. Masterclass VWO-leerlingen juni Emiel van Elderen en Joost de Groot NWD Faculteit EWI, Toegepaste Wiskunde
Masterclass VWO-leerlingen juni 2008 Snelle glijbanen Emiel van Elderen en Joost de Groot NWD 2009 1 Technische Universiteit Delft Probleemstelling Gegeven: een punt A(0,a) en een punt B(b, 0) met a 0.
Nadere informatieFormule afleiding opgaven bij de cursus Algemene relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek
Formule afleiding opgaven bij de cursus Algemene relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Dit document bevat aanwijzingen/aanmoedigingen voor het zelf doen van de afleidingen uit het curusmateriaal.
Nadere informatieGeleid herontdekken van de golffunctie
Geleid herontdekken van de golffunctie Nascholingscursus Quantumwereld Lodewijk Koopman lkoopman@dds.nl januari-maart 2013 1 Dubbel-spleet experiment Er wordt wel eens gezegd dat elektronen interfereren.
Nadere informatiekoper hout water Als de bovenkant van het blokje hout zich net aan het wateroppervlak bevindt, is de massa van het blokje koper gelijk aan:
Fysica Vraag 1 Een blokje koper ligt bovenop een blokje hout (massa mhout = 0,60 kg ; dichtheid ρhout = 0,60 10³ kg.m -3 ). Het blokje hout drijft in water. koper hout water Als de bovenkant van het blokje
Nadere informatieUitwerking Tentamen Klassieke Mechanica I Dinsdag 10 juni 2003
Uitwerking Tentamen Klassieke Mechanica I Dinsdag juni 3 OPGAE : de horizontale slinger θ T = mg cosθ mg m mg tanθ mg a) Op de massa werken twee krachten, namelijk de zwaartekracht, ter grootte mg, en
Nadere informatieHERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D. Datum: Vrijdag juli 3. Tijd: 9.. uur. Plaats: AUD 5. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je naam en studentnummer
Nadere informatieTENTAMEN DYNAMICA ( )
TENTAMEN DYNAMICA (1914001) 8 januari 011, 08:45 1:15 Verzoek: Begin de beantwoording van een nieuwe opgave op een nieuwe pagina. Alleen leesbaar en verzorgd werk kan worden beoordeeld. Opgave 1 (norm:
Nadere informatie4. Maak een tekening:
. De versnelling van elk deel van de trein is hetzelfde, dus wordt de kracht op de koppeling tussen de 3e en 4e wagon bepaald door de fractie van de massa die er achter hangt, en wordt dus gegeven door
Nadere informatieCalculus I, 23/11/2015
Calculus I, /11/015 1. Beschouw de functie met a, b R 0. f = a + b + lne a Benoem het domein van de functie f. b Bepaal a en b zodat de rechte y = 1 een schuine asymptoot is voor f. c Voor a = en b = 1,
Nadere informatieTentamen Simulaties van biochemische systemen - 8C Juni uur
Tentamen Simulaties van biochemische systemen - 8C110 8 Juni 010-900-100 uur Vier algemene opmerkingen: Het tentamen bestaat uit 7 opgaven verdeeld over 3 pagina s Op pagina 3 staat voor iedere opgave
Nadere informatieVectoranalyse voor TG
college 2 Ruimte en oppervlakken collegejaar : 18-19 college : 2 build : 5 september 2018 slides : 25 Vandaag Ruimte 1 Vectoren in R 3 recap 2 Oppervlakken 3 Ruimte 4 1 intro VA Voorkennis uit Ruimtewiskunde
Nadere informatieOpgaven bij het college Kwantummechanica 3 Week 9
Opgaven bij het college Kwantummechanica 3 Week 9 Je kan dit keer kiezen uit twee sets van twee opgaven. Opgaven 16 en 18. Deze opgaven hebben betrekking op de kernfysicatoepassing die in 2.5.4 van het
Nadere informatieTentamen Warmte-overdracht
Tentamen Warmte-overdracht vakcode: 4B680 datum: 20 juni 2011 tijd: 14.00-17.00 uur LET OP Er zijn in totaal 4 opgaven waarvan de eerste opgave bestaat uit losse vragen. Alle opgaven tellen even zwaar
Nadere informatietoelatingsexamen-geneeskunde.be
Fysica juli 2009 Laatste update: 31/07/2009. Vragen gebaseerd op het ingangsexamen juli 2009. Vraag 1 Een landingsbaan is 500 lang. Een vliegtuig heeft de volledige lengte van de startbaan nodig om op
Nadere informatieIndicatie van voorkennis per les Algemene relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek
Indicatie van voorkennis per les Algemene relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Dit document bevat niet alleen voorkennis in de zin dat moet u al gehad hebben en kennen, maar ook in de
Nadere informatieWiskundige functies. x is het argument of de (onafhankelijke) variabele
Wiskundige functies Een (wiskundige) functie voegt aan ieder getal een ander getal toe. Bekijk bijv. de functie f() = 2 1 Aan het getal 2, d.w.z. = 2, wordt het getal 3 toegevoegd, want f(2) = 2 2 1 =
Nadere informatie10.6. Andere warmteproblemen. We hebben warmteproblemen bekeken van de vorm. 0 < x < L, t > 0. w(0, t) = 0, w(l, t) = 0, t 0. u(x, 0) = f(x), 0 x L,
.6. Andere warmteproblem. We hebb warmteproblem bekek van de vorm α 2 u xx = u t, < x u(, t) =, u(, t) =, t u(x, ) = f(x), x, waarbij de temperatuur aan de beide uiteind constant bovdi gelijk is.
Nadere informatieNATIONALE NATUURKUNDE OLYMPIADE. Tweede ronde - theorie toets. 21 juni beschikbare tijd : 2 x 2 uur
NATIONALE NATUURKUNDE OLYMPIADE Tweede ronde - theorie toets 21 juni 2000 beschikbare tijd : 2 x 2 uur 52 --- 12 de tweede ronde DEEL I 1. Eugenia. Onlangs is met een telescoop vanaf de Aarde de ongeveer
Nadere informatieProgrammeren en Wetenschappelijk Rekenen in Python. Wi1205AE I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 6 mei 2014
Programmeren en Wetenschappelijk Rekenen in Python Wi1205AE, 6 mei 2014 Bijeenkomst 5 Onderwerpen Het maken van een model Numerieke integratie Grafische weergave 6 mei 2014 1 Voorbeeld: sprong van een
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT WERKTUIGBOUWKUNDE DIVISIE COMPUTATIONAL AND EXPERIMENTAL MECHANICS
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT WERKTUIGBOUWKUNDE DIVISIE COMPUTATIONAL AND EXPERIMENTAL MECHANICS Tentamen Polymeerverwerking (4K550 vrijdag 4 juli, 14:00-17:00. Bij het tentamen mag het boek
Nadere informatiewiskunde B havo 2019-I
Formule van Wilson maximumscore Uitgaande van gelijke temperatuur en diepte wordt het verschil in snelheid dus bepaald door het verschil in zoutgehalte Er geldt: v =,9( 7 5),9( 5) Het gevraagde verschil
Nadere informatie