Tentamen GASDYNAMICA, Maandag 1 april 2014, HG (HG extra tijd) ( extra tijd) Prof. dr. A.

Transcriptie

1 Tentamen GASDYNAMICA, Maandag 1 april 2014, HG (HG extra tijd) ( extra tijd) Prof. dr. A. Achterberg Let op: Vraag 4 is een vraag over schokken, stof die dit jaar niet is behandeld. Daarom is vraag 5 uit het hertentamen 2014 toegevoegd. 1

2 Formuleblad In de formules hieronder zijn A en B vectoren, en is f een functie van de coördinaten (een scalar). f = 0, ( f) = 2 f, (A B) = B ( A) A ( B), (A B) = A ( B) B ( A) + (B ) A (A ) B, A B = ˆx ŷ ẑ A x A y A z B x B y B z ; 2 = 2 x y z 2 (Laplaciaan in cartestische coördinaten). 2

3 1 Kennis- & methodiekvragen Let op: Ik verwacht een kort en bondig antwoord op iedere vraag, dus géén lange essay s! a. Zowel geluidsgolven in een gas als oppervlaktegolven op een vijver of kanaal worden beschreven met de volgende bewegingsvergelijking voor de verplaatsingsvector ξ(x, t) in de golf: 2 ξ t 2 δp = ρ, (1.1) met δp de drukvariatie in de golf. Toch is het gedrag van beide golven heel verschillend en heeft de drukvariatie een andere oorsprong. Leg uit waarom dat zo is, en waardoor de drukvariatie in beide golfsoorten wordt veroorzaakt. b. De wet van Bernoulli in een tijds-onafhankelijke stroming ( / t = 0) zonder zwaartekracht en met stroomsnelheid V (x) luidt: V ( 1 V 2 + γp ) 2 (γ 1)ρ Wat zegt dit over de variatie van de specifieke energie, = 0. (1.2) E 1 2 V 2 + γp (γ 1)ρ (1.3) langs, en loodrecht op de stroomlijnen van een dergelijke stroming? c. Bekijk een atmosfeer met een constante temperatuur T en een uniforme zwaartekrachtsversnelling g = g ẑ. In een dergelijke atmosfeer vallen druk en dichtheid exponentïeel af in de verticale (z-)richting: ρ(z) = ρ 0 exp( z/h), P (z) = P 0 exp( z/h), (1.4) met ρ 0 en P 0 = ρ 0 RT/µ de dichtheid en druk op z = 0 en H = RT/µg de constante schaalhoogte. Beantwoord nu de volgende twee vragen: (zie volgende pagina) 3

4 1. Bekijk een kleine verplaatsing in de verticale richting: ξ = ξ ẑ. Als door die verplaatsing de dichtheid varieert, wat is dan het verband tussen de Lagrangiaanse dichtheidsvariatie ρ en de Euleriaanse dichtheidsvariatie δρ? 2. Stel dat de atmosfeer in zijn geheel in de z-richting wordt opgetild over een afstand ξ. Dit is een redelijke benadering voor wat er gebeurd bij golven met een zeer grote golflengte (λ H) in de horizontale richting. Beredeneer dat in dit geval moet gelden dat ρ = 0, en laat zien dat geldt δρ = ( ) ξ H ρ. (1.5) 4

5 2 Incompressibele en visceuze stroming boven een eenparig bewegende plaat Een incompressibele vloeistof met constante dichtheid, waarin geldt V = 0, (2.1) vult de halfruimte z > 0. Op z = 0 bevindt zich een plaat die zich met constante snelheid U in de x-richting beweegt, zie onderstaande figuur. De plaat is ondoordringbaar, en bovendien geldt (vanwege het visceuze karakter van de vloeistof) op de plaat de plak conditie (no slip condition) tussen vloeistof en plaat. De beweging van de plaat induceert een stroming in de bovenliggende vloeistof in het x z vlak: V (x, t) = u(z, t) ˆx + w(z, t) ẑ. (2.2) Deze stroming is uniform in de x- en de y-richting zodat P (x, t) = P (z, t). Zwaartekracht wordt verwaarloosd. We gaan er op fysische gronden van uit dat de stroming ver van de plaat asymptotisch verdwijnt: De bewegingsvergelijking is met ν = η/ρ de specifieke viscositeit. V z = 0. (2.3) ( ) dv P dt = + ν 2 V, (2.4) ρ 5

6 Figure 1: De stroming in een visceuze vloeistof boven een eenparig bewegende plaat (snelheid U in de x-richting). De hoogte boven de plaat is z en u(z, t) is de x-component van de vloeistofsnelheid. a. Laat zien dat aan de randvoorwaarden op z = 0 en z = alleen kan worden voldaan voor een incompressibele stroming als w(z, t) = 0. (2.5) De stroming is dus ééndimensionaal! b. Neem aan dat de druk net als de dichtheid overal constant is. Laat met behulp van de bewegingsvergelijking zien dat het onmogelijk is een tijds-onafhankelijke stroming 1 met w = 0 te vinden die voldoet aan alle randvoorwaarden, behalve in het triviale geval U = 0. (Opgave gaat door op volgende pagina!) 1 D.w.z. Steady flow, waarin / t = 0. 6

7 Bovenstaande resultaten dwingen ons een oplossing te zoeken in de vorm van een tijdsafhankelijke stroming langs de x-as met snelheid u(z, t). De stroming is een oplossing van de x-component van de bewegingsvergelijking: u t = ν 2 u z 2. (2.6) Het blijkt mogelijk de oplossing voor t > 0 te vinden in termen van de dimensieloze variabele ζ(z, t) z 2 νt. (2.7) Wij schrijven de gezochte oplossing als u(z, t) = U F (ζ). (2.8) c. Wat zijn de randvoorwaarden voor F (ζ) op ζ = 0 en voor ζ =? d. Laat zien dat F (ζ) moet voldoen aan de volgende gewone differentiaalvergelijking: d 2 F df + 2ζ dζ2 dζ = 0. (2.9) e. Construeer eerst de formele oplossing voor F (ζ) df/dζ en vervolgens de formele oplossing voor F (ζ) in de vorm van een integraal. Laat dan zien dat de snelheid -gegeven de randvoorwaarden- gelijk is aan u(z, t) = U ( 1 2 ) ( ) z/2 νt z d ζ exp( ζ 2 ) = U erfc π 0 2 νt. (2.10) De functie erfc(ζ) staat bekend als de complementaire foutenintegraal. Je mag bij de laatste vraag gebruik maken van 0 d ζ exp( ζ 2 ) = π 2. (2.11) 7

8 3 Golven in een incompressibele vloeistof met een entropiegradiënt We bekijken een stilstaande vloeistof met een uniforme dichtheid ρ en een druk P (z) in een gravitatieveld g = g ẑ. In de ongestoorde vloeistof heerst hydrostatisch evenwicht: dp dz = ρg. (3.1) Omdat de dichtheid constant is maar de druk variëert is de specifieke entropie s van het gas een fuctie van de hoogte z: s(x) = s(z). (3.2) Dan moet men toestaan dat zelfs in een incompressibele vloeistof de dichtheid verandert ten gevolge van een entropieverandering. Voor kleine veranderingen, en in de notatie die ingeburgerd is in het dictaat, geldt dan dat de storingen in dichtheid en entropie gerelateerd zijn volgens δρ = ( ) dρ ds De specifieke entropie s(x, t) voldoet aan de entropiebehoudswet: δs. (3.3) ( ) + (V ) s(x, t) = 0. (3.4) t Deze situatie leidt tot het bestaan van een nieuwe golfmodus. We bekijken golven van kleine amplitude in een dergelijke vloeistof met verplaatsingsvector ξ(x, t). Het feit dat de vloeistof incompressibel is betekent dat ξ voldoet aan ξ = 0. (3.5) In deze opgave wordt je gevraagd de golfeigenschappen af te leiden. 8

9 a. Gebruik de reken- en commutatieregels voor de Euleriaanse en Lagrangiaanse variatie om af te leiden dat uit (3.4) volgt dat voor kleine storingen, waarin de entropie op een vaste positie verandert volgens het recept s = s + δs, de entropiestoring δs gelijk is aan ( ) ds δs = ξ z dz. (3.6) b. Kleine storingen met x x + ξ(x, t) en P P + δp voldoen aan de bewegingsvergelijking 2 ξ t 2 = δp ρ + P ( ) δρ ρ 2. (3.7) (Dit hoef je niet zelf af te leiden!) Laat zien dat deze vergelijking kan worden geschreven als: 2 ξ t 2 = δp ρ + gξ z ( d ln ρ ds ) ( ) ds dz ẑ. (3.8) We bekijken nu vlakke golven die zich voortplanten in het x z vlak. De verplaatsingsvector ξ(x, t) en drukvariatie δp (x, t) in de golf voldoen daarom aan: ξ(x, t) δp (x, t) = a P exp (ik sin θ x + ik cos θ z iωt). (3.9) Zowel a als P zijn vaste (complexe) amplitudes, en θ is de hoek tussen de k-vector en de z-as zodat k x = k sin θ en k z = k cos θ. Vanaf nu mag de grootheid (d ln ρ/ds)(ds/dz) als constant worden verondersteld. Opgave gaat door op de volgende pagina! 9

10 c. Laat zien dat vanwege incompressibiliteit voor vlakke golven moet gelden dat k a = 0, (3.10) en dat ten gevolge hiervan ook geldt P ρ = ig cos θ a z k ( d ln ρ ds ) ( ) ds dz. (3.11) d. Laat zien dat aan de z-component van de bewegingsvergelijking voor de storingen alleen kan worden voldaan als de golffrequentie ω gegeven is door ω 2 = g ( d ln ρ ds ) ( ) ds dz sin 2 θ. (3.12) 10

11 4 Supersone stroming langs een solide kegel Een simpel model voor de stroming langs de neus van een supersonisch vliegend vliegtuig is de stroming langs een solide kegel (zie onderstaande figuur). In een dergelijke stroming vormt zich een eveneens kegelvormige schok met zijn apex aan de punt van de solide kegel. Figure 2: De supersone stroming langs een kegel met openingshoek α c. De figuur is in het ruststelsel van de kegel waarin het gas de kegel nadert met snelheid V 1 lans de symmetrieas. De kegelvormige schok die zich vormt aan de neuspunt heeft een openingshoek α s. De schokcompressie is r = ρ 2 /ρ 1, de verhouding van dichtheden achter en vóór de schok. Het kleine pijltje aan de bovenkant van de schok is de schoknormaal. a. Bereken de normale en tangentiële component van de snelheid ten opzichte van de schok,v n1 en V t1, van de inkomende stroming. b. Laat zien dat als de schokcompressie r is de stroomsnelheid achter de schok gelijk is aan V 2 = V 1 cos 2 α s + sin2 α s r 2. (4.1) 11

12 c. Bereken de tangentiele snelheid V t2 achter de schok in termen van V 2 en de twee openingshoeken α s en α c. Maak gebruik van het feit dat achter de schok de kegel een ondoordringbaar oppervlak vormt. d. Laat zien dat de algemene voorwaarde voor het gedrag van de tangentiele snelheid V t bij een schok voor deze schok met deze geometrie de volgende relatie oplevert: tan2 α s r 2 = cos (α s α c ). (4.2) We beschouwen nu het geval waarin de kegel erg scherp is zodat α c 1 (in radialen!). Als de inkomende stroming bovendien erg supersoon is (d.w.z. V 1 C s1, hoog Machgetal) is ook de openingshoek van de schokkegel klein: α s 1. In dat geval is de schokcompressie maximaal: r (γ + 1)/(γ 1). Voor kleine hoeken α en β zijn de volgende benaderingen van kracht: Bovendien geldt: tan α α, cos β β2. (4.3) (1 + x) n 1 + nx voor x 1. (4.4) e. Gebruik bovenstaande benaderingen en de resultaten van a t/m d om te laten zien dat de openingshoek van de schokkegel bij hoog Machgetal gelijk is aan α s = γ α c. (4.5) 12

13 5 Analyze van een twee-dimensionale stroming Beschouw een stroming in twee dimensies in het x y vlak, met stroomsnelheid V = (V x, V y, 0). De stroming is incompressibel: V = 0. (5.1) In deze opgave wordt je gevraagd de eigenschappen van zo n stroming te analyseren. a. Laat zien dat het invoeren van een stroomfunctie ψ(x, y, t), waaruit de snelheidscomponenten volgen als V = ẑ ψ V x = ψ y, V y = ψ x, (5.2) garandeert dat aan de incompressibiliteitsconditie (5.1) is voldaan. b. Laat zien dat de met de stroming meebewegende tijdsafgeleide van de functie ψ(x, y, t) voldoet aan: dψ dt = ψ t (5.3) Wat betekent deze relatie in het geval van een tijds-onafhankelijke stroming voor de variatie van ψ(x, y) langs stroomlijnen? Vraag gaat door op volgende pagina! 13

14 We bekijken in de rest van de opgave een tijds-onafhankelijke twee-dimensionale stroming zodat ψ = ψ(x, y) en niets van de tijd afhangt. Viscositeit (interne wrijving) wordt verwaarloosd. De bewegingsvergelijking is dan: (V )V = ( ) P ρ. (5.4) c. Laat (op wat voor manier ook) zien dat voor een dergelijke stroming de volgende relatie van Bernoulli geldt: ( 1 2 V 2 + P ρ ) = V ( V ). (5.5) Indien gewenst kun je gebruik maken van de relaties uit de vectoranalyse in de Appendix op het laatste blad van dit tentamen. d. Wanneer is de grootheid H(x, y) 1 2 V 2 + P ρ (5.6) een globale constante, en wanneer is H(x, y) alleen behouden langs stroomlijnen? e. Laat zien dat er een klasse oplossingen is van bewegingsvergelijking (5.4) als aan de twee volgende voorwaarden is voldaan: 1. De grootheid H(x, y) is een zuivere functie van ψ(x, y), dat wil zeggen: H(x, y) = H(ψ), 2. De stroomfunctie ψ(x, y) voldoet aan 2 ψ = 2 ψ x ψ y 2 = dh dψ. 14