Prof.dr. A. Achterberg, IMAPP

Transcriptie

1 Prof.dr. A. Achterberg, IMAPP

2 Schaalfactor R(t) Ω 0 <1 Ω 0 =1 Ω 0 >1 dichtheid kromming evolutie H 0 t

3 1. Vlakke ruimte-tijd. Afstandsrecept tussen gebeurtenissen: ds = c dt d x +d y +dz ( ) tijdsdeel ruimtedeel

4 Afstand tussen punten in de ruimte: l Afstand tussen twee gebeurtenissen: s

5 ds = c dt d x +d y +dz = 0 ( ) tijdsdeel ruimtedeel ds = cdt d = 0 d =± ct d

6 t Baan van een sterrenstelsel y x

7 Rt () () = () = D t ar t D0 R 0 Slimme keuze: Meebewegende coördinaten die niet veranderen tijdens expansie

8 s = c t () t x y +dz = c dt d ( ) R d d d +d tijdsdeel Effect Expansie mbw ruimtedeel

9 Fotonbaan in Speciale Relativiteit: ds = c dt dx = 0 foton Fotonbaan voor vlak heelal in Algemene Relativiteit: ds = c d t R ()d t x = 0 foton cm

10 ds = c d t R ()d t x = 0 foton cm ( ) ( ) xyz,, = Rt () xyz,,, d x = Rt () dx phys cm phys cm Schaaltransformatie!

11 ds = c d t R ()d t x = 0 foton cm ds = c dt dx = 0 foton phys ( ) ( ) xyz,, = Rt () xyz,,, d x = Rt () dx phys cm phys cm Schaaltransformatie!

12 Toepassing 1: Afstand tot een ver object (sterrenstelsel) object ( ) dt = 0, ds = d = R ( t) d x +d y +d z = R ( t)dr d = Rt ()d r = Rt () d r= Rtr () r 0 object

13 d d d +d +d d d 0 s = c t x y z = c t = ( ) R () t tijdsdeel Effect Expansie mbw ruimtedeel dr d x +d y +dz d ct d Rt () Rt () ± =± =±

14 0 ct d ct d' d r rt ( ) rt ( ) ( ) Rt ( ') =± 0 em Rt =± t t em Formele integratie Fysische afstand BRON op moment van ontvangst: Dt ( 0) = Rt ( 0) r= Rt ( 0) t t 0 em ct d' Rt ( ')

15 Foton op tijdstip t Waarnemer ct d Bron op tijdstip t Foton op tijdstip t 0 R0 ct d Rt () Waarnemer Bron op ontvangstijdstip t 0

16 t0 R0 foton ( em 0) = d Rt () t D t t ct em [ ] ct d = afgelegde weg in tijdsinterval t, t+ dt R 0 Rt () = universele "oprekfactor" in tijdspanne t t t.g.v. Hubble-expansie 0

17 D H = Horizonafstand

18

19 (Friedmann)-Robertson-Walker metriek dr ds c dt r kr 1 c = R () t + d + r sin θ θ dφ

20 Friedmann Heelal met Rt () t /3

21 Rt () t /3 Fysische afstand

22 Comoving afstand Hier en nu!

23 t0 R0 hor = foton (0 0) = d Rt () 0 D D t ct Alle informatie over HOE het heelal expandeert zit verborgen in het gedrag van R(t)!

24 t0 R0 hor = foton (0 0) = d Rt () 0 D D t ct /3 0 /3 t t R() t = R D = cdt = 3ct 0 hor 0 t0 t 0 0 t

25 t0 R0 H = foton (0 0) = d Rt () 0 D D t ct Λ 8πGρ Rt ( ) = R0exp ( HΛ( t t0) ), HΛ = = 3 3 t 0 c c D = exp H ( t t) cdt = exp( H t ) 1 exp( H t ) ( ) ( ) H Λ 0 Λ 0 Λ 0 H H 0 Λ Λ vac

26 Licht in een De-Sitter heelal met R(t) ~ exp(h Λ t): de foton inhaalrace tijd H Λ t Dt ( ) c = D = H Λ 0 0 tijd H Λ t foton verre bron Fysische afstand D/D 0 Meebewegende afstand r cm /D 0

27 Licht in een De-Sitter heelal met R(t) ~ exp(h Λ t): de foton inhaalrace tijd H Λ t c Dt ( 0) = D0 = H Λ tijd H Λ t foton verre bron Fysische afstand D/D 0 Meebewegende afstand r cm /D 0

28 Kies R 0 = 1 (dwz: meebewegende afstand = huidige afstand) c Rt ( ) = exp HΛ( t t0), DH( t) = exp( HΛt) 1 H ( ) ( ) D ( t) c exp( H t) 1 c r ( t > t ) = = voor t t H Λ cm 0 0 Rt ( ) HΛ exp ( HΛ( t t0) ) HΛ Λ

29 Bronafstand: Foton 1: t0 R0 1 = foton ( em 0) = d Rt () t D D t t ct em Foton : t + t 0 0 R D= ct d = D+ H t D D ( ) Rt () tem + t em verwaarloosbaar

30 t + t t t + t t + t R0 R0 ct d ct d ct d = ct d = Rt () Rt () Rt () Rt () em em 0 0 t + t t t t em em em em 0

31 tem + tem t0 + t0 ct d ct d c tem c t 0 = = (Kleine intervallen!) Rt () Rt () Rt ( em ) R t t 0 em 0

32 c t Rt ( ) = c t em 0 R em 0 z = roodverschuiving aankomend foton! t R = = ( 1 + z) = t λ foton em Rt ( em ) λem

33 ( ) ( ) Signaal in detector aantal binnenkomende fotonen/s energie per foton = Flux extra reductie met factor 1 + z door dilatatie reductie met factor 1+ z Detectoroppervlak ( energie per foton) reductie met factor 1+ z reductie met factor 1+ z Flux S L 1 1 L = = 4π D 1+ z 1+ z 4π D 1+ z ( ) L Luminosity Distance: DL = D 1+ z 4π S ( )

34 Een paar feiten: 1. Het heelal was vrijwel uniform toen de Kosmische Achtergrondstraling ontstond; (t ~ 100,000 jaar). Nu is de zichtbare materie geconcentreerd op de randen van grote holtes (Engels: voids) ( Zwitserse Kaas )

35 Planck resultaten: dt/t ~ 10-4 ~ dr/r op t ~ 100,000 jaar Redshift Survey (huidig heelal)

36 1. Simpelste model: contractie van een sferische wolk met straal R. We gebruiken: (1) massabehoud: M 4π ρ R 3 = 3 = constant () Newtonse gravitatie: g = GM R (3) verband druk-dichtheid: P= Kρ γ met γ = 5 / 3

37 Evenwicht-situatie M 4π ρ R 3 = 3 = constant g GM = P= Kρ γ met γ = 5 / 3 R

38 3 R γ ρ R ρ R ρ = 3 ρ, P ρ P= γp = 3γP R ρ R

39 GM GM g = g = R ( R R R!) 3 R R

40 Centrale vraag: wint druk of zwaartekracht? Een beetje natuurkunde van gassen: druk: P kt ρ b = nkbt = mh Voor waterstofgas: kt b m H is "thermische snelheid" geluidsnelheid Thermische energie/gram = kt b m H

41 Centrale vraag: wint druk of zwaartekracht? Energie-argument: kt kt GM ( < r) W( R) d r 4 r () r d r 4 r m m r R R 3 b 3 b = π ρ +Φ = π ρ 0 massa in een bolschil 0 met dikte dr thermische + gravitationele energie per massa-eenheid 3 kt 3GM M m R b = 5 M = 4π ρ R 3 3

42 Krachtenbalans: een ruwe berekening Drukkrachtverandering: F 1 P 3γ P R R = ( P) = 3C = s ρ ρ ρr ρ R R Verandering zwaartekrachtsversnelling: GM 8πGρ g = R= R 3 R 3 Zwaartekracht wint als F 9Cs g > R> ρ 8πGρ

43 3 kt b 3GM W( R) = M = Wth + W m 5 R grav Voor kleine veranderingen in straal, druk en dichtheid: kt b Wth = P = ρ 4 R R m ( π ) Wgrav 3 GM grav ( ) W = R = R R 5 R

44 3 kt b 3GM W( R) = M = Wth + W m 5 R grav Voor kleine veranderingen in straal, druk en dichtheid: kt b Wth = P = ρ 4 R R m ( π ) Wgrav 3 GM grav ( ) W = R = R R 5 R W 3 M = m 5 R R kt b 3 GM R

45 W = 3M m 5 R R kt b 3 GM R kt b R R λ J = 3M 1 m R Stabiliteitscriterium: M = 4π ρ R kt/ m kt/ m 4π Gρ Gρ b b > < W 0 R λ J Compressie kost energie: STABIEL! (wolk veert terug )

46 W = 3M m 5 R R kt b 3 GM R kt b R R λ J = 3M 1 m R Stabiliteitscriterium: 15 kt/ m kt b / m 4π Gρ Gρ b W > 0 R< λj Compressie kost energie: STABIEL! (wolk veert terug ) W < 0 R> λ J Compressie levert energie op: INSTABIEL, wolk stort in!

47 R kt/ m Gρ b > λj = Jeans Lengte

48