16 Hoe groot moet de inflatie-factor Z infl ten minste zijn?

Transcriptie

1 16 Hoe groot moet de inflatie-factor Z infl ten minste zijn? Inflatiemodellen, waarin het heelal een korte tijd een quasi-de Sitter fase ondergaat met een grote (exponentiële) toenname van de schaalfactor, zijn populair onder kosmologen omdat inflatie twee problemen oplost: 1. Het horizonprobleem: waarom is het heelal op grote schaal overal hetzelfde terwijl de begincondities, die de huidige toestand hebben veroorzaakt, in een ver verleden (toen de horizon veel kleiner was) zijn vastgesteld; Nu overzien we vele gebieden ter groote van de toenmalige horizon! 2. Het vlakheidsprobleem: waarom is (volgens de waarnemingen) het huidig heelal vrijwel vlak terwijl, in simpele Friedmann modellen, de afwijking van vlakheid alleen maar toenneemt naarmate het heelal ouder wordt. Nu bijna vlak betekent daarom dat de afwijking van vlakheid in een vroeg heelal volgens het standaardmodel onnatuurlijk klein met zijn geweest! In deze opgave gebruiken we de waarneemgegevens en onze kennis over de expansie van het heelal in de verschillende fases om na te gaan hoe groot de inflatiefactor, Z infl = R eind R begin exp (H Λ t), (16.1) moet zijn geweest. Z infl is de ratio van de schaalfactoren aan het eind en het begin van de inflatiefase, zoals bepaald door de typische Hubble parameter H Λ tijdens de inflatiefase en de duur t van die inflatiefase. Tabel 2, op de volgende pagina, geeft de uitgangspunten van deze berekening, geldend voor ons heelal met een Hubble constante H 0 70 km/s per Mpc en met de Omegaparameters Ω m0 0.3 en Ω Λ0 0.7, berekend voor een Friedmann standaardmodel zonder inflatie. De ESA-Planck metingen geven voor ons huidige heelal de maximale afwijking van vlakheid als Ω 1 = k H 2 0 = 0.04 ± 0.04 (voor de keuze R 0 R(t 0 ) = 1). (16.2) 44

2 Tabel 2: Gebeurtenissen in ons heelal volgens een Friedmann standaardmodel Gebeurtenis Schaalfactor R(t) Tijdstip t Nu (keuze: R 0 = R(t 0 ) = 1!) R jaar Ω m = Ω Λ R Λ = jaar (materiedichtheid = vacuümdichtheid) Vorming Kosmische Achtergrondstraling R CMWB jaar Ω m = Ω rad R rad = jaar (materiedichtheid = stralingsdichtheid) Nucleosynthese (T 10 9 K) R sy s Neutrino s ontkoppelen (T K) R ν s (Heelal wordt doorzichting voor ν s) k b T E GUT = GeV R GUT s (Sterke kernkracht splitst af) Planck tijd t pl = G/c 5 k b T = E pl = c 5 /G = GeV R pl s (Klassieke zwaartekracht wordt geldig) 45

3 a. In simpele, expanderende Friedmann modellen met Ω niet al te groot (zoals ons eigen heelal) geldt H t 1. Laat met behulp van de Friedmann-vergelijking, H 2 = 8πG ρ 3 en de definitie van Ω zien dat, met de keuze R 0 = 1, ruwweg geldt: k R 2, (16.3) ( ) 2 t Ω(t) 1 Ω 0 1. (16.4) t 0 R(t) In wat volgt mag je dit resultaat gebruiken. Nuttig om te weten: 1 jaar s. b. Bereken op ieder van de momenten in Tabel 2 de afwijking van vlakheid Ω 1 in een standaard Friedmann model, gebruikmakend van resultaat a en uitgaande van de waarde Ω Als je de voorgaande berekening goed gedaan hebt vind je op de Planck tijd 7, t pl = s, een belachelijk kleine waarde voor Ω 1. Dit is de essentie van het vlakheidsprobleem. Er zijn echter goede theoretisch-fysische redenen om aan te nemen dat rond de Planck tijd iets heel anders geldt, namelijk: Ω 1 t=tpl = O(1)! (16.5) De afwijking van vlakheid voldoet ook aan de vergelijking (omdat HR = dr/dt): Ω 1 = k (dr/dt) 2. (16.6) We gaan nu kijken wat er gebeurd met een heelal dat begint als een stralingsgedomineerd, expanderend Friedmann heelal rond de Plank tijd, met een Omega-parameter Ω(t pl ) Ω pl. 7 Dit is de tijd waarna de ons bekende natuurkunde min of meer geldig is omdat de zwaartekracht niet langer quantummechanisch hoeft te worden behandeld. 46

4 c. Gebruik je kennis over het gedrag van Friedmann-modellen om te bewijzen: Is het heelal open, met Ω pl < 1 (en k < 0) dat geldt voor t/t pl 1 dat Ω(t) 1 en dus dat Ω(t) 1 1; Is het heelal gesloten, met Ω pl > 1 (en k > 0) dan kan, als het heelal niet ondertussen weer is ingestort, Ω 1 alle waarden > 0 aannemen, met Ω 1 = op het moment dat de instorting begint. d. Bekijk nu een heelal dat bij de Plank tijd begint als een gesloten heelal, d.w.z. met Ω pl > 1, maar een heelal dat wel kan overleven zonder weer in te storten tot s (d.w.z t pl!) omdat Ω pl 1 1. In dat geval mag je de schalingswet (16.4) bij benadering blijven gebruiken. Als je nu, in plaats van terugrekenend vanaf nu (zoals als in opgave b) voorruitrekent, vanaf de Planck tijd tot aan s (afsplitsing sterke kernkracht), wat zou dan op dat laatste moment de afwijking van vlakheid zijn, weer in een standaard Friedmann model? Je mag uitgaan van: Ω 1 t=tpl Hint: als je slim bent kun je het resultaat zo opschrijven met behulp van de getallen verkregen in opgave b. e. Stel, rond de GUT tijd, t = s, lassen we een kortdurende Inflatieperiode in waarin het heelal zeer snel expandeert. De totale expansie in die periode correspondeert met een inflatiefactor Z infl. Na afloop volgt het heelal wederom de gewone Friedmann oplossing. Zoals op college is uitgelegd reduceert Inflatie de afwijking van vlakheid met een factor Z 2 infl : Ω 1 eind = Ω 1 begin Z 2 infl. (16.7) Bereken nu direct de minimale waarde die Z infl moet hebben willen de terugrekening vanaf nu tot (kort na) t GUT = s, (geeft je Ω eind 1) en de vooruitrekening van de Planck tijd tot t GUT van vraag d (geeft je Ω begin 1), met elkaar in overeenstemming zijn. Naschrift bij opgave e: In de eerste Inflatiemodellen associëerde men de inflatie inderdaad met het gedrag van de fundamentele krachten (sterke kernkracht, zwakke kernkracht en electromagnetisme) bij de characteristieke energie E GUT = GeV, de energie waarbij (volgens de simpelste Unificatietheorieën) het verschil tussen die krachten verwaarloosbaar klein wordt. Daarmee correspondeert het tijdstip t GUT s, het tijdstip waarop de thermische energie per deeltje ruwweg gelijk is aan E GUT. Opgave gaat door op volgende pagina! 47

5 Meer moderne incarnaties van Inflatie plaatsen de inflatieperiode nog verder terug in het verleden, vaak rond de Planck tijd t pl s. f. Stel, je last nu de kortdurende inflatieperiode in direct na de Planck tijd. Hoe groot moet Z infl in dit geval minimaal zijn wil de in b uitgevoerde terugrekening tot t t pl kloppen, uitgaande van Ω 1 begin 1 (vóór inflatie)? 48

6 17 Bellen blazen in een opblaas-heelal Het inflatie-heelal is uitgevonden om de problemen van het standaardmodel (met name het vlakheidsprobleem en het horizonprobleem) op te lossen. Men kan de inflatiefactor Z infl schatten als: Z infl = schaalfactor net na inflatie schaalfactor net vóór inflatie = R(t f) R(t i ) eh Λ t, (17.1) met t = t f t i de duur van de inflatie-fase, en H Λ de Hubble-parameter ten gevolge van de energie van vals vacuüm: H Λ = 8πG ρvac 3. (17.2) De inflatie begint op tijdstip t i en eindigt op tijdstip t f (de Little Bang ). Sindsdien zijn in een Friedmann-fase alle afstanden in het heelal sindsdien nog verder opgerekt. In deze opgave proberen we de inflatiefactor te schatten. Deze schatting is gebaseerd op drie eisen: 1. Het heelal is op grote schaal homogeen en isotroop; 2. We zien in ons heelal nergens gebieden van vals vacuüm die hebben overleefd; 3. Ook de topologische defecten (magnetische monopolen, cosmic strings etc.) die volgens de theorie moeten ontstaan op het grensvlak van twee botsende bellen echt vacuüm worden niet waargenomen. Hieruit concluderen we dat ons hele, nu waarneembare, heelal (een waarschijnlijk miniscuul) deel moet uitmaken van één enkele inflatie-bel gevuld met echt vacuüm! 49

7 a. Inflatie eindigt in een fase-overgang, waarbij zich spontaan kleine bellen echt vacuüm (zonder vacuümenergie) vormen in vals vacuüm (met vacuümenergie). Het grensvlak tussen de twee vacua breidt zich vervolgens in alle richtingen door het vals vacuüm uit met de lichtsnelheid c. Gebruik wat je weet over de voortplanting van licht in een expanderend heelal om het volgende te bewijzen: Een sferische bel echt vacuüm, die als een punt (d.w.z. met straal gelijk aan nul) op tijdtip t t i wordt geboren, heeft aan het eind van de inflatiefase, op tijdstip t f, een straal gelijk aan D(t f ) = c H Λ { exp [ HΛ (t f t ) ] 1 }. (17.3) Je mag er van uit gaan dat de inflatie pas echt ophoudt in de bel. b. Laat zien dat aan het eind van de inflatie-periode de maximale straal (absolute bovengrens!) van een bel echt vacuüm voor een grote inflatiefactor Z infl 1 ongeveer gelijk is aan ( ) c D max (t f ) H Λ Z infl. (17.4) Wellicht herken je de afstand c/h Λ als de effectieve horizonschaal in een de-sitter heelal met Hubble parameter H Λ. Zijn waarde wordt in de simpelste incarnaties van inflatietheorie als volgt geschat: geeft de deeltjesfysisca een energie-schaal E k b T(t i ) waarbij inflatie belangrijk kan worden, dan is de bijbehorende energie-dichtheid van het vals vacuüm gelijk aan ρ vac c 2 E4 (hc) 3, (17.5) ruwweg dezelfde energiedichtheid als in een gas van fotonen met themische energie k b T E. Hieruit volgt H Λ, zie vergelijking (17.2), en vervolgens c/h Λ. (Opgave gaat door op de volgende pagina!) 50

8 c. Bereken nu de waarde van H Λ en van de de-sitter schaal c/h Λ, gegeven E GeV, (17.6) de typische energie-schaal die hoort bij Grand Unification van de drie fundamenele natuurkrachten, afgezien van de zwaartekracht. Nuttig kan zijn: 1 GeV = J c = m/s h = J/s G = N m 2 kg 2 Door de herverhitting aan het einde van de inflatiefase wordt het heelal weer opgewarmd tot een temperatuur vrijwel gelijk aan de temperatuur aan het begin van de inflatiefase: T(t f ) T(t i ) K (17.7) De waarde die hier wordt gegeven voor de temperatuur is die uit het eerste quantitatieve inflatie-artikel van Alan Guth (A.H. Guth, Phys. Rev. D23, 347, 1981). Inmiddels, 14 miljard jaar later, zijn de fotonen afgekoeld tot een temperatuur gelijk aan T K. d. Gebruik de afkoelingswet voor straling in een expanderend heelal om te bewijzen dat de huidige straal van zo n bel in natuurlijke éénheden maximaal gelijk is aan: ( ) c D max (t 0 ) H Λ Z eff, (17.8) met Z eff Z infl. (17.9) 51

9 e. De horizon-afstand in ons huidig heelal is ongeveer gelijk aan d H = c H m (17.10) Bereken hieruit de inflatiefactor Z infl die minimaal nodig is wil ons heelal inderdaad passen in één enkele, maximaal grote inflatiebel. Beantwoord nu de volgende vragen: Is de gevonden waarde groter of kleiner dan de minimum-inflatiefactor (zie ook Opgave 16), Z infl > 10 31, (17.11) die volgt uit een heel andere eis, namelijk de eis dat het heelal nu (lang na afloop van de inflatie-fase) nog steeds voldoend vlak is zoals de WMAP/PLANCK metingen aangeven? Wat is daarom de conclusie die men kan trekken over de oplossing van het horizonprobleem? 52

10 18 INLEVEROPGAVE: Vervallende deeltjes en deeltjesannihilatie in een uitdijend heelal In het college is een aantal malen gebruik gemaakt van de verdunningswet, die zegt dat in een expanderend heelal met schaalfactor R(t) het aantal deeltjes N n V in een expanderend volume V(t) R 3 is behouden, zodat de deeltjesdichtheid n(t) (het aantal deeltjes per volume-eenheid) voldoet aan: ( ) 3 R(t) n(t) = n 0. (18.1) R 0 In deze opgave bekijken we een tweetal meer ingewikkelde situaties waarin, respectievelijk door deeltjesverval en deeltjesdestructie, deze wet moet worden aangepast. a. Bekijk een deeltjessoort die spontaan vervalt, zodat als je N 0 van deze deeltjes hebt op tijdstip t 0 in een mee-expanderend volume, hun aantal N(t) op een willekeurig later tijdstip t gegeven wordt door: N(t) = N 0 exp( (t t 0 )/τ). (18.2) De grootheid τ is de vervaltijd. Wat is de dichtheidswet n(t) die hieruit volgt voor de vervallende deeltjes in een expanderend heelal? b. Differentiëer de in a gevonden relatie naar de tijd, en laat zien dat de dichtheid n(t) van vervallende deeltjes voldoet aan de volgende differentiaalvergelijking: dn dt = 3H n n τ. (18.3) Hier is H = (1/R)(dR/dt) de Hubble-parameter. De twee termen aan de rechterkant zijn de kosmologische verdunningsterm en de vervalsterm. 53

11 c. We bekijken nu het tweede geval, waar de deeltjes elkaar vernietigen als zij met elkaar botsen. Dit proces treedt op als deeltjes hun eigen anti-deeltjes zijn. Het aantal destructieprocessen per seconde is dan evenreding met n 2 en de dichtheid voldoet aan: dn dt = 3H n λ n2. (18.4) De grootheid λ is formeel gelijk aan < σv >, met σ de werkzame doorsnede (d.w.z. het effectief botsingsoppervlak per deeltje!) van het botsingsproces en v de relatieve deeltjessnelheid. De haakjes geven een gemiddelde over de snelheidsverdeling van de deeltjes. In wat volgt mag je de aanname maken dat λ constant is. We schalen het effect van de verdunning nu weg door de introductie van de variabele Laat zien dat ñ(t) voldoet aan de differentiaalvergelijking ñ(t) R 3 (t) n(t). (18.5) dñ dt = λ ñ2 R 3. (18.6) Een vergelijking als (18.6) los je op door scheiding van variabelen: schrijf hem als dñ ñ = λ dt 2 R 3 (t) (18.7) en voer een formele integratie uit aan weerszijden van het = teken: ñ(t) ñ 0 dñ ñ 2 = λ t t 0 dt R 3 (t ) Q(t t 0). (18.8) d. Laat zien dat de deeltjesdichtheid n(t) in dit geval gelijk is aan n(t) = n 0 (R(t)/R 0 ) Q(t t 0 ) n 0 R (18.9)

12 e. Reken de tijdsintegraal die Q(t t 0 ) definieert uit voor een door straling gedomineerd, vlak heelal. Daarin geldt (zie Boek): ( ) 1/2 t R(t) = R 0. (18.10) t 0 Deze keuze wordt gerechtvaardigd door het feit dat dit soort processen alleen in het heel jonge (en daarom heel dichte en hete) heelal van belang zijn. Laat vervolgens zien dat voor t t 0 de dichtheid by benadering gelijk is aan: n(t) n 0 (R(t)/R 0 ) λn 0 t 0. (18.11) Geef een fysische verklaring voor het feit dat voor t t 0 de dichtheidswet toch weer de gewone n R 3 schaling volgt, maar met een lagere dichtheid dan voor deeltjes waarmee niets gebeurt, en waarvoor relatie (18.1) geldt. 55