1 Roodverschuiving en Planck spectrum

Transcriptie

1 1 Roodverschuiving en Planck spectrum a. Omdat λ R geldt z λ(t) λ em 1 = R(t) R em 1. (1.1) b. In het algemeen geldt voor lichtgolven ν = c/λ. Daarom: ν(t) = ν em (1 + z). (1.2) c. Toepassen van resultaat b op het tweede foton: ν(t) + dν(t) = ν em + dν em (1 + z). (1.3) Daarom: dν(t) = (ν(t) + dν(t)) ν(t) = dν em (1 + z). (1.4) d. Een volume heeft de dimensie van [lengte] 3, en als iedere lengte toeneemt als L R neemt ieder mee-expanderend volume toe als ( ) 3 R(t) V(t) = V 0 (1.5) R 0 e. n phot = N phot V(t) = n phot0 ( ) 3 R(t). (1.6) R 0 1

2 f. We kiezen het referentietijdstip t 0 gelijk aan het emissietijdstip t em, en de referentieschaalfactor R 0 aan R em. Dan moet gelden volgens g: ( ) 3 ( ) 3 R(t) R(t) dn phot (t) = n(ν, t) dν(t) = dn phot(t em) = n(ν em) dν em. (1.7) R em R em Omdat volgens c geldt dat volgt hieruit dat dν = dν em (1 + z) = ( ) 1 R(t) dν em (1.8) R em ( ) 3 R(t) n(ν, t) = n(ν em) R em ( ) dνem = dν(t) ( ) 2 R(t) n(ν em). (1.9) R em g. De Planckverdeling schaalt als n pl (ν) ν 2 exp(hν/k b T) 1. (1.10) De ν 2 factor geeft al de gevraagde (R(t)/R em ) 2 schaling die volgt uit e. Wil die schaling niet worden gebroken door de factor met de exponent moet gelden hν k b T = constant T ν R 1, (1.11) en het gevraagde volgt meteen uit de beginvoorwaarde T = T em als ν = ν em. h. De truuk is om een nieuwe variabele in te voeren: x hν k b T ν = k bt h x. (1.12) De integraal over de Planck-verdeling kan dan worden geschreven als: 2

3 n phot = 8π c 3 ( ) 3 kb T h 0 x 2 dx e x 1. (1.13) De x integraal is een getal, en men komt tot de conclusie dat moet gelden n phot T 3 en uit e: n phot R 3. (1.14) Deze twee relaties zijn in overeenstemming als geldt T R 1. (1.15) i. Uit de temperatuurswet T R 1 volgt: Met de expansiewet R(t) t 2/3 krijgen we R em R 0 = T 0 T em (1.16) ( tem ) 2/ t 0 t em = ( ) 3/2 t0 = t jaar. (1.17) 3

4 2 De Paradox van Olbers a. Omdat F D 2 en Ω θ 2 D 2 is I voor een opgeloste bron onafhankelijk va de afstand! Als je het sterschijfje opgelost kunt zien zie je het schijfje ongeacht de afstand even helder: alleen het oppervlak aan de hemel (de ruimtehoek) dat door het schijfje wordt bedekt neemt af als D 2. b. Een dunne bolschil met straal D en dikte D D heeft een volume O = ( oppervlak ) (dikte) = 4πD 2 D. (2.1) Een dergelijke relatie tussen volume, oppervlak en dikte geldt voor ieder volume van een laag met voldoend kleine dikte! Als de sterdichtheid gelijk is aan n is het aantal sterren in de bolschil N = (volume) (dichtheid) = 4πD 2 n D. (2.2) Samen dekken zij een ruimtehoek af ter grootte Ω = N Ω = ( 4πD 2 n D ) π R2 D 2 = 4π 2 n R 2 D. (2.3) c. P(D, D) = Ω 4π = π n R 2 D = D l, (2.4) met l 1 π n R 2 = 1 n O. (2.5) Hier is O = πr 2 het geprojecteerde oppervlak van de sterschijf. Merk op dat [l ]=[lengte]. 4

5 d. De integraal volgt uit resultaat b als en levert formeel oneindig op. Ω = 0 4π 2 n R 2 dd, (2.6) e. Dit on-fysische resultaat vertelt ons dat wij iets hebben verwaarloosd: in dit geval de mogelijkheid dat sterschijfjes elkaar (gedeeltelijk) afdekken. Het goede antwoord is voor een oneindig, eeuwigdurend en onveranderlijk heelal natuurlijk Ω = 4π: de hele hemel is bedekt. De fysische interpretatie van het (correcte) resultaat is simpel: iedere gezichtslijn treft uiteindelijk een sterschijfje! f. Het zou betekeken dat we op ieder punt aan de hemel een helderheid zien gelijk aan de helderheid van de zonne-schijf: oogverblindend dus! g. Het enige echt juiste antwoord is het bestaan van een horizon: die geeft een limiet aan hoe ver we kunnen kijken. Het bestaan van de horizon is op zijn beurt wel een gevolg van de eindige leeftijd van het heelal. Roodverschuiving verzwakt weliswaar de helderheid van de nachthemel, maar is op zichzelf niet voldoende. Absorptie door een tussenliggend gas lost in een oneindig, eeuwigdurend en onveranderlijk heelal ook niets op: als het gas in evenwicht is met het stralingsveld zendt het per seconde evenveel energie in de vorm van licht uit als het ontvangt! 5

6 3 INLEVEROPGAVE: Newtons probleem, een speculatie a. Wil het gas overal in rust zijn, dan moet er overal gelden dat de zwaartekracht verdwijnt, in andere woorden: Maar dat betekent g(x) = Φ = 0 x Φ = constant. (3.1) 2 Φ = 0 x ρ = 0. (3.2) Men kan alleen aan de vergelijkingen voldoen als het heelal leeg is! b. Door te schrijven 2 Φ = 4πG ρ Λ (3.3) is duidelijk dat men een oplossing met Φ = constant (geen zwaartekracht) kan toelaten als ρ = Λ/4πG. c. De reden dat het superpositie-principe hier werkt is omdat de vergelijking voor de zwaartekrachtspotentiaal formeel lineair is. Het gewone Newtonse deel van Φ(r) is Φ N (r) = GM r, (3.4) de potentiaal van een puntmassa M in Newtons theorie. gevolge van de extra term is de oplossing van Dwe bijdrage Φ Λ ten 1 r 2 De oplossing die verdwijnt op r = 0 is ( d r 2 dφ ) Λ = Λ. (3.5) dr dr Φ Λ (r) = Λr2 6. (3.6) 6

7 d. De bijbehorende bijdrage aan de zwaartekrachtsversnelling is g Λ = Φ Λ = dφ Λ dr ˆr = Λr 3 ˆr. (3.7) Hierin is ˆr = r/ r de eenheidsvector in de radiele richting. Als Λ > 0 (zoals gewoonlijk wordt verondersteld) wijst de kracht ten gevolge van g Λ weg van de oorsprong. e. In de standaardberekening van een planeetbaan levert de aantrekkende zwaartekracht de benodigde centripetale kracht: mv 2 p r p = m g(r p ) = GMm r 2 p m Λr p 3 (3.8) De baansnelheid is dus V p = GM Λr2 p r p 3. (3.9) Gebruikt men resultaat b en schrijft men Λ = 4πG ρ, (3.10) dan vindt men V p = GM 4πGρr2 p r p 3. (3.11) Hieruit volgt de gevraagde uitdrukking voor de baanperiode direct. e. Een handige manier om de twee termen in de wortel te vergelijken is door de grootheid M Λ (r p ) = 4π 3 ρr3 p (3.12) 7

8 te definieren, formeel een massa. Met de gegeven grootheden voor de Jupiterbaan geldt: M Λ = kg. (3.13) Dat is veel kleiner dan de Zonsmassa ( kg). Door te schrijven V p = G(M M Λ ) r p = ( GM 1 M ) 1/2 Λ (3.14) r p M en gebruik te maken van (1 + x) α 1 + αx als x 1, (3.15) vind men ( V p V J 1 M ) Λ 2M. (3.16) Hier is V J = GM /r p de gewone Newtonse waarde voor de baansnelheid van Jupiter. Nog een toepassing van de bovenstaande benaderingsformule geeft dan P p = 2πr p V j ( 1 M ) 1/2 ( Λ P J 1 + M ) Λ M 2M. (3.17) Hier is P J de gewone Newtonse omloopstijd. De correctieterm is zeer klein: M Λ 2M (!) (3.18) 8

9 4 Olbers Paradox, een bona-fide berekening a. c H 0 = m/s ( m/s)( m) 1 = m. (4.1) b/c. In de uitwerking van som 2 staat al het gevraagde resultaat: l = 1 n πr 2 = 1 n O. (4.2) Hier is O = πr 2 het geprojecteerde oppervlak van de ster, dat hier de rol speelt van de werkzame doorsnede. d. Als alle baryonische massa in sterren zit moet gelden: De dichtheid van de baryonen is ρ ba = n M = n M n = ρ ba M. (4.3) ρ ba = Ω ba ρ cr = 0.05 ( kg/m 3) = kg/m 3. (4.4) De sterdichtheid is dan n = ρ ba = kg/m 3 M kg m 3. (4.5) De lengte-schaal l die de trefkans langs de gezichtslijn voor het treffen van een steroppervlak bepaalt is: l = 1 n πr 2 = 1 ( m 3) ( m 2) = m. (4.6) 9

10 e. De trefkans is P = c/h 0 l = m m = (4.7) Geen wonder dus dat de nachthemel donker is! 10

11 5 Het gesloten heelal a. We gebruiken de volgende vorm van de Friedmann vergelijking met R 0 = 1: Dan, met de parametrische oplossing uit de opgave: ( ) 2 dr = 8πG ρ 0 R 1 k. (5.1) dt 3 en dr dt = (dr/dθ) (dt/dθ) = (4πGρ 0 /3k) sin θ (4πGρ 0 /3k 3/2 ) (1 cos θ) = k1/2 sin θ 1 cos θ. (5.2) 8πG ρ 0 3 R 1 k = 2k 1 cos θ k = k 1 + cos θ 1 cos θ. (5.3) Friedmanns vergelijking (5.1) wordt nu: Dit is hetzelfde als k sin 2 θ (1 cos θ) 2 = k 1 + cos θ 1 cos θ. (5.4) sin 2 θ = (1 cos θ)(1 + cos θ) = 1 cos 2 θ. (5.5) b. Door de keuze R 0 = R(t 0 ) = 1 geldt ook H 0 = en vergelijking (5.1) is op t = t 0 simpelweg ( ) dr, (5.6) dt t 0 H 2 0 = 8πG ρ 0 3 k = H 2 0 Ω 0 k. (5.7) 11

12 Hier is gebruik gemaakt van de definitie van de Omega-parameter: Ω 0 = 8πGρ 0 /3H 2 0. Los op voor k: k = H 2 0 (Ω 0 1). (5.8) c. Simpelweg elimineer k in de uitdrukkingen voor R(θ) and t(θ), vergelijking 5.3 in de opgave. d. Met Ω 0 = 2 geldt: R(θ) = 1 cos θ, H 0 t = θ sin θ. (5.9) De figuur geeft een grafische weergave. Figure 1: De schaalfactor R(t) als functie van H 0 t voor Ω 0 = 2. 12

13 e. R(t) = 1 correspondeert met θ = π/2 en t = ( π 2 1)H 1 0 = 0.57/H 0 = yr; De maximale waarde is R(t) = 2 die wordt bereikt als θ = π, t = π/h 0 = yr; De Big Crunch vindt plaats als R = 0, θ = 2π, t = 2π/H 0 = yr. 6 De Hubble Space Telescope metingen van Cepheïden in M100 a. De fluxen van de twee sterren verhouden zich bij dezelfde intrinsieke lichtkracht L als S 2 S 1 = ( D1 D 2 ) 2. (6.1) Het magnitude-verschil is dan ( ) ( ) S 2 D2 m = m 2 m 1 = 2.5 log 10 = 5 log S 10 1 D 1. (6.2) b. Voor de Cepheiden in de LMC geldt m V = ( log 10 P 1 ), (6.3) en hun tegenhangers in M100 volgen de relatie m V = ( log 10 P 1 ). (6.4) Dus geldt in dit geval ( ) DM100 m = = 12.5 = 5 log 10 D LMC. (6.5) 13

14 Daarom geldt: D M100 = D LMC = 15.8 Mpc. (6.6) d. Uit de vluchtsnelheid van ± 200 km/s en de in d gevonden afstand volgt: H 0 = 88.6 ± 12.6 km/s per Mpc. (6.7) Dat ligt niet al the dicht bij de correcte waarde, wat laat zien dat bepaling van H 0 op betrekkelijk korte afstanden moeilijk is: effecten als de eigenbeweging van de sterrenstelsels vervuilen de meting en maken hem onnauwkeurig. 7 INLEVEROPGAVE: de stabiliteit van een Einsteinheelal a. Dit gaat het simpelst als we eerst de dichtheidwet invullen en Friedmanns vergelijking schrijven als: ( ) 2 dr = 8πG ρ 0 dt 3 Differentiatie naar de tijd levert dan R 3 0 R + Λ 3 R2 k. (7.1) 2 ( ) dr d 2 R dt dt = 8πG ρ R 3 0 R 2 ( ) dr + 2Λ R dt 3 ( ) dr dt. (7.2) Delen we de gemeenschappelijke factor dr/dt uit dan volgt: d 2 R dt 2 = 4πG ρ 3 R + Λ 3 R. (7.3) Hier is de dichtheidswet nogmaals gebruikt om ρ 0 te schrijven in termen van de actuele dichtheid ρ. 14

15 b. Als de schaalfactor constant is moet gelden: dr dt = 0, d 2 R dt 2 = 0. (7.4) De tweede conditie geeft met behulp van resultaat a voor d 2 R/dt 2 : c. Als we schrijven ρ = Λ 4πG = 2ρ vac. (7.5) R(t) = R 0 [1 + (t)] (7.6) volgt ρ(t) = ρ 0 [1 + (t)] 3 ρ 0 [1 3 (t)]. (7.7) Oftewel: ρ = ρ(t) ρ 0 = 3 (t) ρ 0. (7.8) d. We vullen relatie (7.6) samen met (7.8) in in vergelijking (7.3), nog zonder enige benadering: d 2 R 0 dt = 4πGρ 0R [1 + (t)] 2 + Λ 3 R 0 [1 + (t)]. (7.9) Nu gebruiken we de benaderingsformule, delen de gemeenschappelijke factor R 0 weg en ordenen de termen: d 2 dt = Λ 2 3 4πGρ ( 0 8πGρ0 + + Λ ) + O( 2 ). (7.10)

16 Als we storen rond de statische Einstein-oplossing heffen de twee eerste termen in het rechterlid elkaar volgens resultaat b op omdat dan moet gelden ρ 0 = Λ/4πG. Dezelfde relatie leidt tot: 8πGρ Λ 3 = Λ. (7.11) We vinden dus uiteindelijk de volgende vergelijking: als we de kleine O( 2 ) termen verwaarlozen. e. De algemene oplossing van bovenstaande vergelijking is d 2 dt 2 = Λ (7.12) (t) = + e +χt + e χt, (7.13) met χ = Λ. Invullen van de beginvoorwaarden op t = 0 levert achtereenvolgens: (0) = + + = 0, ( ) d = χ ( + ) = H 0. (7.14) dt 0 Hieruit volgt: ± = ± H 0 2χ = ± H 0 2 Λ. (7.15) De oplossing is dus: (t) = H 0 Λ sinh( Λt). (7.16) f. Zie onderstaande figuur. g. Als χt 1 explodeert de positieve e-macht, en beweegt de verstoorde oplossing zich razendsnel weg van de oorspronkelijke statische evenwichtsoplossing. Het statische Einstein-heelal is daarom niet stabiel! 16

17 Figure 2: De schaalfactor, geplot als R(t)/R 0, als functie van Λt voor (als voorbeeld) H 0 = ±0.1 Λ. De twee oplossingen bewegen weg van de equilibrium-oplossing R/R 0 = 1. Als Λt 3 is de krimpende oplossing (begonnen met H 0 < 0) al ingestort! De uitzettende oplossing (met H 0 > 0) blijft uitzetten. 17

18 8 De gravitationele afbuiging van licht Figure 3: De loodrechte krachtcomponent F (doorgetrokken curve) en de evenwijdige krachtcomponent F (streepjes-curve) als functie van de tijd. Een negatieve kracht betekent dat de kracht aantrekkend is. De kracht is genormaliseerd op de maximale waarde GM E/c 2 b 2, en de tijd is geplot als c(t t 0 )/b, zodat het moment t 0 van dichtste nadering tot de Zon van het foton samenvalt met het nulpunt op de horizontale as. 18

19 a. De bovenstaande figuur geeft de componenten van de kracht langs (F ) en loodrecht (F ) de fotonbaan, die wordt benaderd als een rechte lijn vanwege de kleine afbuiging. Op het moment van korste nadering geldt: F = 0, F = GM E c 2 b 2 F max. (8.1) Dan is de amplitude van F (en van F) maximaal. Omdat F anti-symmetrisch is rond het moment van kortste nadering geldt ruwweg p = 0. Er staat ruwweg omdat we de vorm van de fotonbaan het benaderd door een rechte lijn! De formule voor F volgt uit de volgende relaties: r = b 2 + c 2 (t t 0 ) 2, ˆr = b r = b b 2 + c 2 (t t 0 ) 2. (8.2) Dan hebben we F = GM E c 2 r 2 b r = GM Eb c 2 ( b 2 + c 2 (t t 0 ) 2) 3/2. (8.3) Uit bovenstaande figuur blijkt ook dat F sterk afvalt als t = t t 0 > b/c. (8.4) De typische interactietijd is dus t i 2b c. (8.5) 19

20 Hieruit kan men de verandering p schatten als: p (maximale loodrechte kracht) (interactietijd) = GM E c 2 b 2 2b c = 2GM E c 3 b. (8.6) Het blijkt dat dit geschatte resultaat (binnen de rechte-lijn benadering) exact is! b. Doet men de berekening nauwkeurig dan vindt men met behulp van p = E/c: θ = 2GM c 2 b = rad = 0.62 boogseconde. (8.7) Deze waarde is twee keer kleiner dan het resultaat uit de Algemene Relativiteitstheorie: een gevolg van het feit dat deze speciaal-relativistische berekening (met Newtoniaanse zwaartekracht!) de kromming van de ruimte rond de Zon niet in rekening brengt. Merk op dat de afbuiging niet afhangt van de foton-energie: de Zon (in feite: iedere zwaartekrachtslens) is een achromatische lens! De afbuiging hangt niet af van de golflengte van het gebruikte licht, mits deze maar veel kleiner is dan de afmeting van de lens. 20

21 9 De horizon in een De Sitter-heelal a. Invullen van de formules uit de opgave levert: d H (t 0 ) = e H Λt 0 t0 0 c dt e H Λt = e H Λt 0 [ c ( ) ] 1 e H Λ t 0 = c ( e H Λ t 0 1 ). (9.1) H Λ H Λ b. Algemeen geldt (ik schrijf t i.p.v. t 0 ): r H = d [ H c R = exp( H ( Λt) e H Λ t 1 ) ] = c ( ) 1 e H Λ t. (9.2) H Λ H Λ Als H Λ t 1 kan de exponentiële term in de laatste uitdrukking worden verwaarloosd t.o.v. 1, en geldt: r H c H Λ = constant. (9.3) Omdat objecten die passief worden meegevoerd door de Hubble-expansie een vaste waarde van r hebben betekent dit dat je in een dergelijk heelal uiteindelijk een vaste verzameling objecten binnen de horizon ziet! In een gewoon Friedmann-heelal met een schaalfactor die zich (tenminste in een vlak heelal) gedraagt als R(t) t α met α < 1 wordt de verzameling objecten binnen de waarneemhorizon steeds groter naarmate de tijd vordert. In dat geval geldt: d h ct, R(t) t α, r h (t) = d h(t) R(t) t1 α. (9.4) 21

22 10 Stof, straling en vacuüm dichtheid a. Met de gegeven getallen: ΩΛ0 0.82, ( 1 + ΩΛ0 1 Ω Λ0 ) 1/2 3.22, t H yr. (10.1) b. Hier gebruik je de definitie van de Omega-parameter voor een willekeurige ingrediënt i: Ω i0 = 8πG ρ i0 3H 2 0 ρ i0 = 3H2 0 8πG Ω i0, (10.2) samen met de dichtheidswetten voor stof en straling: ρ = ρ m0 ( R R 0 ) 3 = ρ m0 (1 + z) 3 ρ r0 ( R R 0 ) 4 = ρ r0 (1 + z) 4 (voor stof) (voor straling). (10.3) c. De voorwaarde is: Ω m0 (1 + z) 3 = Ω r0 (1 + z) 4 z eq = Ω m0 Ω r (10.4) d. Invullen van P Λ = ρ Λ c 2 in vergelijking 10.4 van de opgave levert: d 2 R dt 2 = 4πG 3 (ρ m 2ρ Λ ) R. (10.5) De vertraagde expansie (d 2 R/dt 2 < 0) slaat om naar een versnelde expansie (d 2 R/dt 2 > 0) als d 2 R/dt 2 = 0. Bovenstaande vergelijking geeft dan op het omslagmoment ρ m = 2ρ Λ. Als ρ m < 2ρ Λ blijft de expansie versnellen. 22

23 Omdat we uitgaan van een vlak heelal en de bijdrage van straling aan de massadichtheid tot hoge roodverschuiving kan worden verwaarloosd (zie antwoord c) geldt op het moment van omslag: Ω m + Ω Λ = 1 & Ω m = 2Ω Λ Ω m = 2 3, Ω Λ = 1 3. (10.6) De voorwaarde ρ m = 2ρ Λ is met de gegeven waarden voor de Omega-parameters te schrijven als: Ω m0 (1 + z Λ ) 3 = Ω Λ0 z Λ = ( ΩΛ0 Ω m0 ) 1/ (10.7) e. Een simpel gebruik van de definities: het rechterlid van vergelijking (10.6) van de opgave is 8πG 3 (ρ m (R) + ρ Λ ) = H 2 0 = H 2 0 ( ) 8πG (ρm0 ) (1 + z) 3 + ρ Λ 3H 2 0 ( Ωm0 (1 + z) 3 + Ω Λ0 ). (10.8) Vergelijking (10.6) is dan ( Ωm0 (1 + z) 3 + Ω Λ0 ). (10.9) H 2 = H 2 0 Trek de wortel aan weerszijden van het =-teken en je bent klaar! 23

24 11 INLEVEROPGAVE: De horizon in een uitdijend Friedmann heelal a. De algemene formule (al eerder gebruikt) levert: d H = R 0 t0 0 cdt R(t) = 2ct 0 (stralingsgedomineerd, vlak met α = 1/2) 3ct 0 (materie-gedomineerd, vlak met α = 2/3) ct 0 (ln t 0 ln(0)) = (Leeg, open heelal) (11.1). Het laatste geval is duidelijk singulier! b. Uit de formule volgt meteen: ( ) α R 0 R(t em ) = 1 + z = t0 (11.2) t em t em (z) = t 0. (11.3) (1 + z) 1/α De praktische horizon met z max = z 1500 volgt dan in dezelfde drie gevallen uit d = R 0 t0 t em (z ) cdt R(t) = ( 2ct ) 1 + z 3ct 0 (1 ) z (stralingsgedomineerd) (materie-gedomineerd). (11.4) ct 0 ln(1 + z ) (Leeg, open heelal) In de eerste twee gevallen maakt het vrijwel niets uit. In het laatste geval vinden we nu ineens een eindig antwoord: d 7.3ct 0. Dat laatste antwoord gaat overigens volstrekt voorbij aan de vraag hoe je in een leeg heelal Kosmische Achtergrondstraling kunt hebben! 24

25 c. Een fotonbaan voldoet aan: ds 2 = c 2 dt 2 R 2 (t) dr 2 phot = 0. (11.5) Als wij ons bevinden op r = 0 en het foton ons radieel nadert geldt dus dr phot dt = c R(t). (11.6) De fysische afstand van het foton is (zoals iedere afstand) D phot (t) = R(t) r phot (t). (11.7) Differentiatie van deze uitdrukking naar de tijd levert m.b.v. (11.6): dd phot dt = dr dt r phot(t) + R dr phot dt = ( 1 R ) dr dt ( R r phot + R c ) = H D phot c. R(t) (11.8) d. De straal van de bol volgt uit dd phot /dt = 0 en is dus gelijk aan D = c H D Hubble. (11.9) Dit is de Hubble lengte. Uit de definitie van H volgt: H 0 ( 1 R ) dr = dt t=t 0 1 2t 0 2 3t 0 (stralingsgedomineerd) (materie-gedomineerd). (11.10) 1 t 0 (Leeg, open heelal) 25

26 In het stralingsgedomineerde heelal is D Hubble het gelijk aan de horizonschaal, in het materie-gedomineerde geval is het de helft daarvan. In het lege heelal geeft het D Hubble = ct 0. e. Het is voldoende als H(t) een afnemende functie is van de tijd: dd Hubble dt = c H 2 dh dt > 0 als dh dt < 0. (11.11) Als H(t) constant wordt (zoals in de de-sitter oplossing voor een vlak heelal, of in een oud Friedmann-Lemaitre heelal met ρ m ρ Λ ) is D Hubble ook constant. 12 De hoekafstand a/b. De figuur illustreert het principe: het moment van foton-emissie bepaalt de waargenomen hoekmaat: dan wordt bepaald welke fotonen die vertrekken vanaf de rand van het verre sterrenstelsesl de goede voortplantingsrichting hebben om de waarnemer uiteindelijk te bereiken. Figure 4: Het moment van emissie is bepalend voor de hoekafstand. 26

27 c. Omdat D h = D(t em ) = R(t em )a R em a, D 0 = R 0 a en z = (R 0 /R em ) 1 geldt D h = R em R 0 D 0 = D z. (12.1) d. We hebben in een vlak materie-gedomineerd heelal met R(t) t 2/3 : 1 + z = R ( ) 2/3 0 t0 =. (12.2) R em t em De fysische afstand tot de bron (gegeven t 0 ) volgt uit de algemene formule: Dit levert: D 0 = R 0 t0 t em cdt t0 ( R(t) = c t0 ) 2/3 dt. (12.3) t em t D 0 = 3ct 0 1 ( tem t 0 ) 1/3. (12.4) e. De eerste stap is dat wij resultaat d uitdrukken in termen van de roodverschuiving met behulp van (12.2) en de definitie d H = 3ct 0 = 2c/H 0 : D 0 = 3ct 0 [1 ] 1 = d H [1 1 + z ] z. (12.5) Dan volgt uit resultaat c: i = d D h = ( ) (1 + z)d d = D 0 d H (1 + z) 3/2 1 + z 1. (12.6) f. Voor z 1 geldt (1 + z) 3/2 1 + z z z 1 2 z + 3 (12.7)

28 Dit eerste resultaat is makkelijk te interpreteren: voor kleine roodverschuiving geldt i H 0d cz, (12.8) waar ik gebruik gemaakt heb van de relatie t 0 = 2/3H 0 zodat d H = 2(c/H 0 ). Echter, voor kleine afstanden geldt ook z V c = H 0D 0 c. (12.9) De hoekmaat reduceert dus tot het standaard-resultaat (voor kleine hoeken) i = d D 0. (12.10) De reistijd van het foton is (bij aanname) zo kort dat de expansie van het heelal er niets toe doet! Voor z 1 geldt (1 + z) 3/2 z3/2 = z. (12.11) 1 + z 1 z1/2 De hoekmaat valt voor kleine afstanden dus af (zoals je zou verwachten), maar neemt voor grote afstanden (= grote roodverschuiving) juist toe! Een simpele berekening laat zien dat de hoekmaat aan de hemel (gegeven d) minimaal is bij een roodverschuiving z min = 5 4 = (12.12) Onderstaande figuur illustreert een en ander. Het feit dat de hoekmaat voor grote roodverschuiving toeneemt kan men toeschrijven aan de gravitatielenswerking van de materie in het heelal. 28

29 Figure 5: De functie F(z) (1 + z) 3/2 /( 1 + z 1) die voorkomt in de uitdrukking (12.6) voor de hoekmaat, geschreven als i = (d/d H ) F(z). 29

30 13 De Luminosity Distance a. Door de roodverschuiving neemt de energie per foton af met een factor 1 + z bij ontvangst. b. Door de kosmische tijdsdilatatie neemt het tijdsinterval tussen opeenvolgend aankomende fotonen toe met een factor 1 + z. De flux is formeel: Flux = ontvangen foton-energie per seconde per oppervlakte-eenheid. (13.1) Door het gecombineerde effect van roodverschuiving en tijdsdilatatie wordt de flux gereduceerd met een factor (1 + z) 2 ten opzichte van het standaard-antwoord in een statisch heelal, en dus geldt: F = L. (13.2) 4πD 2 0 (1 + z)2 De afstand D 0 staat in deze uitdrukking omdat de fotonen (als zij bij de waarnemer aankomen) zich hebben kunnen verspreiden tot een afstand D 0, over een denkbeeldige bol met een oppervlak 4πD 2 0. c. Gebruik de definitie: D L = L 4πF = D 0 (1 + z). (13.3) 14 Afstanden uitgedrukt als roodverschuivingsintegralen De hele berekening van deze som kan worden teruggevonden in Hoofdstuk 21 van het Boek! 30

31 15 INLEVEROPGAVE: Gekromde De Sitter-heelallen a t/m e De vragen kunnen in een keer worden behandeld: door de invoering van de slim gekozen variabelen krijgen we de Friedmann vergelijking in de vorm ( ) 2 dr = R 2 1. (15.1) dτ Trekken van de wortel, kiezen van de positieve (expanderende) tak levert Scheiding van variabelen: dr dτ = R 2 1. (15.2) dr R2 1 = dτ. (15.3) Integraaltekens er voor: τ = dr R2 1 = cosh 1 (R) + constante sinh 1 (R) + constante (- teken: gesloten heelal); (+ teken: open heelal). (15.4) Dit zijn standaard-integralen die kunnen worden berekend m.b.v. de substituties R = cosh(x) en R = sinh(x), gebruikmakend van cosh 2 (x) sinh 2 (x) = 1. Gebruiken we bovendien als beginvoorwaarden R(τ = 0) = 1 voor het gesloten heelal, en R(τ = 0) = 0 voor het open heelal, dan zijn de constanten gelijk aan nul en geldt: R(τ) = cosh(τ) sinh(τ) (- teken: gesloten heelal); (+ teken: open heelal). (15.5) Omdat cosh(τ) 1 ( 2 e τ + e τ), sinh(τ) 1 ( 2 e τ e τ) (15.6) 31

32 geldt voor τ 1 cosh(τ) sinh(τ) 1 2 eτ. (15.7) Beide heelal-modellen gaan asymptotisch naar een De-Sitter oplossing waarin (in fysische variabelen) R(t) 1 2 R Λ e H Λt (voor H Λ t 1), (15.8) en de kromming wordt volstrekt onbelangrijk. Voor een vlak heelal met k = 0 vind je een oplossing met voor R(t) dezelfde tijdsafhankelijkheid: R(t) = R 0 e H Λt. (15.9) 32

33 16 Hoe groot moet de inflatie-factor Z infl ten minste zijn? a. Als de afwijking van vlakheid klein is (en dat is hier het geval: Ω ) geldt ruwweg R(t) t α (met α = 1/2 voor een stralingsgedomineerd, en α = 2/3 voor een materiegedomineerd heelal) en daarom H(t) α t. (16.1) Uit Friedmanns vergelijking volgt: Ω 1 = k H 2 R 2. (16.2) Als op t = t 0 (bij keuze) geldt dat R 0 = 1, Ω = Ω 0 dan vinden we Ω 0 1 = k H 2 0 k = H 2 0 Ω 0 1. (16.3) Dan is (16.2) te schrijven als: Ω 1 = Ω 0 1 Gebruiken we nu dat H 1/t dan volgt meteen ( H0 ) 2. (16.4) HR ( ) 2 t Ω(t) 1 Ω 0 1. (16.5) t 0 R(t) b. Een eenvoudige invuloefening! c. Een open heelal met k < 0 blijft expanderen, dus neemt Ω 1 toe: zie (16.5) met t 0 = t pl. Ω wordt steeds kleiner, en als het heelal oneindig ver is uitgezet (R ) is ρ 0, Ω 0 en Ω 1 1. Een gesloten heelal met k > 0 begint ooit weer aan een instorting. Op het omslagmoment geldt dr/dt = HR = 0 en dus Ω 1 =. 33

34 d/e. Vooruitrekenend van de Planck tijd tot t = s: ( ) tgut R 2 pl Ω begin 1 = Ω 1 tpl = 10 5 ( ) (16.6) t pl R Gut Terugrekenend vanaf nu tot s: Ω eind 1 = Ω 0 1 ( tgut t 0 R GUT ) ( ) (16.7) Dan geldt dus: Z infl = Ω begin 1 Ω eind (16.8) f. In dit geval moet gelden: Z infl t 0R pl t pl (16.9) 34

35 17 Bellen blazen in een opblaas-heelal a. Een foton (of ieder signaal dat met de lichtsnelheid loopt) voldoet aan de vergelijking ds 2 = c 2 dt 2 R 2 (t) dr 2 = 0, of te wel: dr = c dt R(t) (17.1) Oplossen (d.w.z.: integreren!) levert voor dit specifieke geval, met R(t) = R(0)exp(H Λ t), de meebewegende straal van de bel: r(t) = tf t cdt R(t) = c ( ) e H Λ t e H Λt f. (17.2) H Λ R(0) De fysische straal volgt uit de algemene relatie D = R(t) r als { D(t f ) = R(0) e H Λt f c ( ) } e H Λ t e H Λt f H Λ R(0) = c H Λ { exp [ HΛ (t f t ) ] 1 }. (17.3) b. Als de bel ontstaat op t t i (direct na begin van Inflatie) is de exponentiële factor in de uitdrukking (17.3) gelijk aan Z infl, en mag men die uitdrukking voor Z infl 1 benaderen door: D max (t f ) Bellen die later worden geboren zijn kleiner! c. Een invuloefening: c H Λ Z infl. (17.4) 8πG E 4 H Λ = 8πG ρvac 3 = 3h 3 c s 1. (17.5) 35

36 De bijbehorende Hubble lengte is d Λ = c = m/s H Λ s m. (17.6) d. Na inflatie volgt de expansie tot nu uit de temperatuurswet T = T 0 (R/R 0 ) 1. We weten de begin- en eindtemperatuur dus: R 0 R(t f ) = T(t f) T 0 = 1027 K 2.7 K (17.7) d. Wil ons hele waarneembare heelal passen in een enkele oorspronkelijke bel dan moet gelden: Z infl > d H d Λ = m m 1050 Z infl > (17.8) Deze eis is minder stringent dan de eis uit de vorige opgave. 18 INLEVEROPGAVE: Vervallende deeltjes en deeltjesannihilatie in een uitdijend heelal Geen uitwerking beschikbaar 36