Opgave Zonnestelsel 2005/2006: 3

Transcriptie

1 Opgave Zonnestelsel 25/26: Samenstelling van de gasreuzen Het afleiden van de interne samenstelling van planeten gebeurt voornamelijk door te kijken naar de afwijkingen in de banen van satellieten die wij naar hen toe hebben gestuurd. Echter, een eenvoudige berekening van de dichtheden van de gasreuzen levert al een hoop inzicht op. 1. Bereken de gemiddelde dichtheden van Jupiter, Saturnus, Uranus en Neptunus. Wat valt je aan deze getallen op? Planeet Massa Straal Volume Dichtheid Jupiter kg m m kg/m 3 = 1.25 g/cm 3 Saturnus kg m m kg/m 3 =.6 g/cm 3 Uranus kg m m kg/m 3 = 1.2 g/cm 3 Neptunus kg m m kg/m 3 = 1.6 g/cm 3 Jupiter en Uranus lijken sterk op elkaar. Saturnus heeft een lagere dichtheid en Neptunus een hogere. 2. Vergelijk deze dichtheden met bijvoorbeeld die van een mengsel van voornamelijk waterstof en helium ( ρ =.83 g/cm 3, waterijs onder hoge druk ( ρ = 1.8 g/cm 3 ) en olivijn (waar de Aarde grotendeels van gemaakt is): ρ = 3.3 g/cm 3. Wat zegt dit over de interne samenstelling van de reuzenplaneten? [Denk er daarbij aan dat hoe zwaarder de planeet is, hoe hoger de druk in het centrum] Jupiter, Saturnus en bestaan voornamelijk uit H/He (de dichtheid van Jupiter is groter vanwege de hogere druk in het centrum). Uranus en Neptunus bestaat voornamelijk uit ijs. 2.2 Samenstelling en structuur van Mercurius en de Aarde De gemiddelde dichtheden van de Aarde en Mercurius zijn ongeveer even groot (±55 kg m 3 ). Dat is merkwaardig, want door de grotere omvang van de Aarde zou je verwachten dat het materiaal in het binnenste van de Aarde meer samengeperst is dan in het binnenste van Mercurius. 1. Geef een schatting van de centrale druk in het binnenste van de Aarde en van Mercurius. Verwacht je inderdaad meer samenpersing in het binnenste van de Aarde? P GM 2 4 P = Nm 2, P Merc = Nm 2 Het materiaal in de Aarde zou dus meer moeten zijn samengedrukt. 2. De enige verklaring is dat het materiaal waaruit Mercurius bestaat uit zichzelf een hogere dichtheid heeft. Inderdaad blijkt dat als je het uitrekent, de gemiddelde dichtheid van het materiaal waar de Aarde uit bestaat (dus zonder samendrukking) ongeveer 44 kg m 3 is, terwijl dat van Mercurius ongeveer 55 kg m 3 blijft. Bereken wat de straal van de Aarde zou zijn als er geen samendrukking was. 1

2 4 3 π 3 ρ = M = m 3. Laten we aannemen dat de Aarde en Mercurius beiden bestaan uit een kern van IJzer (ρ = 79 kg m 3 ) en een mantel van gesteente, met ρ = 35 kg m 3. Wat is de relatieve grootte van de kern van de Aarde (de straal van de kern t.o.v. de totale straal), en van Mercurius? Aarde: f =.21, kern =.6 Mercurius: f =.46, kern =.8 7.9f + (1 f)3.5 = 4.4(5.5) 4. Een andere benadering is om aan te nemen dat de dichtheid langzaam toeneemt met de diepte. We nemen aan dat de dichtheid in de Aarde gegeven wordt door ( ( ) ) r β ρ(r) = ρ + A 1 waarbij r de afstand tot het centrum van de Aarde is en ρ de gemiddelde dichtheid aan de rand van de Aarde. Bereken hiermee de totale massa en gemiddelde dichtheid ρ van de Aarde, uitgedrukt in ρ, A, en β. M(r) = = 4πr 2 ρrdr (1) ( ( ) )] r β 4πr [ρ 2 + A 1 dr (2) = 4 3 πr3 ρ πr3 A = 4 3 πr3 (ρ + A) M = M() = 4 3 π3 (ρ + A) 4πA3 ρ = M 4/3π = ρ 3 + A 3A 4πAr 2 ( r ) β dr (3) 4πA β () rβ+3 (4) 5. Met de kennis van de Aarde die we tot nu hebben verzameld ρ (bijv. die van graniet, 25 kg m 3 ), M en kunnen we nog geen unieke oplossing vinden. Daarvoor berekenen we ook het traagheidsmoment van onze model Aarde (topic S). Bereken het traagheidsmoment van de Aarde met bovenstaande dichtheidsverdeling, als functie van M,, A en β. 2

3 I = 8π r 4 ρ(r)dr (5) 3 = 8π [ 15 5 ρ + A 5A ] (6) 6. Uit metingen blijkt dat het traagheidsmoment van de Aarde I = αm 2, met α =.33. We hebben nu 2 vergelijkingen voor β en A, nl. de gemiddelde dichtheid en het traagheidsmoment. Los daaruit β en A op. [Hint: schrijf I in termen van ρ en.] Wat is de dichtheid in het centrum van de Aarde? Invullen: Door elkaar delen 8π 5 [ ρ + A 5A ] =.33M 2 15 ρ + A 5A =.33M 8π = /5 ρ 55 = 25 + A 3A 3 =.33 5A 55 = 25 + A 2/5 238 = = β =.4 A = 255 βa βa De dichtheid in het centrum is dus zo n 1 keer zo groot als aan het oppervlak. 7. EXTA In werkelijkheid zal de dichtheid eerder hoger worden evenredig met de massa die boven een bepaalde schil zit en dus een vorm hebben als ρ(r) = ρ + B ( 1 M(r) M met M(r) de massa binnen straal r. Deze vergelijking is niet (makkelijk) analytisch te integreren (waarom niet?). Echter, numeriek is deze vergelijking simpel te integreren door in opeenvolgende bolschillen een schatting te maken van de dichheid en die vervolgens op te tellen. Beschrijf een prodecure (algoritme) om dat te doen (en programmeer dit als je wilt. Door te proberen vind je makkelijk de waarde van B waarvoor je de juiste massa en straal van de aarde krijgt (B 3). De vergelijking is recursief (er is een oplossing te vinden in termen van een reeks in r 3n ). Een numerieke oplossing is simpel: ) 3

4 ... M = ; = ; dr = 1e3; do { rho = rho_ * ( 1. + B * (1 - M / M_tot)); dm = 4 * pi * rho * pow(, 2.) * dr; += dr; M += dm; } while (M < M_tot); Dat geeft een tamelijk ander verloop van de dichtheid (lagere dichtheid in het centrum) zie figuur (B = 3). Voor het traagheidsmoment maakt het niet uit: dat wordt volledig door de buitenste lagen bepaald ρ (kg/m 3 ) e+6 2e+6 3e+6 4e+6 5e+6 6e+6 7e+6 (km) 2.3 De atmosferen van de planeten De atmosfeer van Venus en Mars wordt gedomineerd door CO 2, terwijl die van de Aarde wordt gedomineerd door N 2. 4

5 1. Waarom is er op Aarde zo weinig CO 2 in de atmosfeer? Is dit altijd zo geweest? De CO 2 is door de oceanen geabsorbeerd door binding met Calcium en door ontwikkeling van schelpdieren en dieren met kalkskeletten. Tweede belangrijke vorm van CO 2 -binding is door groene planten en bomen. Nee, voordat er leven op aarde was, zat er ongeveer evenveel CO 2 in de atmosfeer als bij Venus, door o.a. vulkanisme. 2. N 2 is een zeer inert gas. D.w.z. het reageert bijna niet met andere elementen. Op Venus bestaat de atmosfeer maar voor 3.2% uit N 2 en op Aarde voor 77%. Waardoor ontstaat dit grote verschil? Door fotodissociatie van NH 3 ontstaat een grote hoeveelheid N 2. Het gevormde H 2 ontsnapt door de lage moleculaire massa. 3. De druk op het oppervlak van Venus is ongeveer 92 bar. Wat is de fractie N 2 in de Venus atmosfeer ten opzichte van de massa van de hele planeet? En op Aarde? p venus = 92 bar = Pa, p = Pa venus = m, = m g venus = 8.87 m/s 2, g = 9.81 m/s 2 m venus = kg, m = kg N 2 = 3,2% van de atmosfeer op Venus en 77% op Aarde. F = pa = mg, A = opp. planeet, g = zwaartekrachtsversnelling planeet, m = massa atmosfeer m atm,venus = kg, = kg N 2 in atmosfeer Venus = % N 2 t.o.v. massa Venus. Voor Aarde: kg atmosfeer, met kg N 2. Dit is % N 2 t.o.v. massa Aarde. 2.4 Harde winden De winden op Jupiter en Saturnus kunnen aan de equator oplopen tot 1 en 5 m/s. Echter, winden worden gemeten aan ten opzichte van het onderliggende oppervlak. Jupiter en Saturnus hebben echter geen echt oppervlak. 1. Vergelijk de windsnelheden op Jupiter en Saturnus met de equatoriale snelheden die de planeten hebben door hun rotatie. Jupiter: T rot =.413 dagen, Omtrek = 2π = m Snelheid aan equator-oppervlak = 8 = m/s Saturnus: T rot =.43 dagen, Afstand = 2π = m Snelheid aan equator-oppervlak = = 1 21 m/s Dit is dus veel hoger dan de windsnelheden. 2. Hoe meten we de rotatiesnelheden van de planeten, onafhankelijk van de winden in de atmosfeer? Die leiden we af uit de rotatieperiode van hun magneetvelden. De aanname is dat de magneetvelden vastzitten in de kern en co-roteren met de planeet. 5