De toets levert 30 punten op, waarvan de verdeling hieronder is aangegeven. Opgave 3(f) is een bonusvraag voor 2 extra punten.

Transcriptie

1 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT DER TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA Herkansingstoets Toegepaste Natuurwetenschappen voor W (3NCB1) Zaterdag 12 april 2014, uur. De toets levert 30 punten op, waarvan de verdeling hieronder is aangegeven. Opgave 3(f) is een bonusvraag voor 2 extra punten. Opgave 1 Beantwoord de volgende vragen en geef daarbij een korte argumentatie. Per onderdeel is 1 punt te behalen. (a) Stelling: een vallende regendruppel met Webergetal We 1 is mooi rond van vorm. Is deze stelling waar? Beargumenteer je antwoord. (b) Een hydraulische krik bestaat uit twee cilinders die verbonden zijn en gevuld met vloeistof. Aan de kant van de smalle cilinder (met doorsnedeoppervlaka 1 )druktmenviaeenzuigermeteenkrachtf 1 opdevloeistof. Met welke kracht F 2 wordt de zuiger indebrede cilinder (met doorsnedeoppervlak A 2 ) omhooggedrukt? F 1 F 2 A 1 A 2 (c) De kapitein van een Flettnerschip (zie foto links) wil naar het noorden varen. De wind komt uit het westen, zoals is weergegeven in bovenaanzicht in de schets aan de rechterkant. Moet de kapitein de cilinders linksom of rechtsom laten draaien? Leg je antwoord uit. v (d) Een stroming wordt beschreven door de stroomfunctie ψ(x,y) = x 2 + xy +y 2. Is deze stroming onsamendrukbaar? (e) Kunnen twee stroomlijnen elkaar snijden? Licht je antwoord toe.

2 (f) Gegeven is de snelheidspotentiaal φ(x,y) = 2x+ln(x 2 +y 2 ). Bereken de coördinaten van het stuwpunt in de stroming beschreven door deze φ. (g) We bekijken een laminaire stroming door een buis met lengte L en diameter D, aangedreven door een pomp. De vloeistof heeft dichtheid ρ en viscositeit η. Laat zien hoe het Reynoldsgetal voor deze stroming verandert als we de buislengte verdubbelen. We gebruiken dezelfde pomp. (h) Leid een complete set van dimensieloze parameters af die de golfbeweging op een diepe oceaan beschrijven: golven met golflengte λ en voortplantingssnelheid v onder invloed van de zwaartekrachtsversnelling g. Gegeven is verder dat de diepte van de oceaan geen relevante parameter is. (i) Een straaljager vliegt met Mach 2 op een hoogte van 2 km recht over je heen. Op tijdstip t = 0 vliegt hij recht boven je, en een tijdje t later hoor je de knal van de schokgolf. Bereken t. Hint: Je mag de geluidsnelheid constant veronderstellen in de gehele atmosfeer. (j) Door middel van een foton maakt een elektron in een waterstofatoom een overgang vanuit de n=5-toestand naar de n=2-toestand. Wordt dit foton geabsorbeerd of uitgezonden? En wat voor golflengte heeft het? (Hint: 1 ev komt overeen met λ = 1240 nm. Hoe hangen energie en golflengte samen?) Opgave 2 Een groot vat is gevuld met een niet-viskeuze vloeistof met dichtheid ρ. Het vat loopt leeg door een klein, rond gat met diameter d 1 met gegeven snelheid v 1. De linker schets is een vergroting van het omcirkelde gebied in de rechter schets. d 1 v 1 g H p 0 d 2 v 2 Direct na het uittreden past de druk in de straal zich aan zodat deze constant is en gelijk aan de omgevingsdruk p 0. De straal wordt naar beneden toe

3 dunner. Op een afstand H onder het vat is de snelheid in de straal gelijk aan v 2. De zwaartekrachtsversnelling is g. (a) Bepaal de snelheid v 2 als functie van de hiervoor gegeven parameters. Hint: gebruik nog geen d 2. (b) Wat is de diameter d 2 van de straal op deze positie? Op deze positie wordt de straal opgevangen in een bochtstuk met dezelfde diameter d 2. De straal wordt naar boven afgebogen. In- en uittredende stralen hebben een uniforme snelheid. We willen weten welke kracht F op het bochtstuk moet worden uitgeoefend om dit op zijn plaats te houden. d 2 p0 d 2 v 2 v 2 (3 pnt) (c) Schets een geschikte contour voor het bepalen van deze kracht F met de benodigde normaalvectoren. Schrijf deze normaalvectoren en de inen uitgaande snelheidsvectoren v i en v u uit in componenten. Je mag v 2 gebruiken in deze formuleringen; het antwoord van (b) hoeft niet gesubstitueerd te worden. (d) Bepaal de gevraagde kracht F nodig om het bochtstuk op zijn plaats te houden. Zwaartekracht mag in dit onderdeel worden verwaarloosd. (e) De uitgaande straal spuit als een fontein langs het vat omhoog. Tot welke hoogte reikt deze fontein? Betrek het vat in je antwoord! In een realistische situatie is viscositeit natuurlijk altijd van belang. Dit effect wordt nu meegenomen door middel van een wrijvingsfactor K voor de uitstroomopening van het vat, dat tot een hoogte h gevuld is met vloeistof. Neem aan dat het vat zò groot is dat het niveau h constant mag worden verondersteld.

4 p 0 g h ρ d 1 K p 0 v 1 (f) Bepaal wat de nieuwe uitstroomsnelheid v 1 wordt als functie van de in de schets gegeven grootheden. Opgave 3 Een sloopkogel bestaat uit een zware, massieve bol (massa M, diameter d) die slingert aan een dunne stalen draad (lengte L d, massa m M, geen elastische rek). Zie de figuur voor het coördinatenstelsel, met de oorsprong in het zwaartepunt van de bol als die in rust hangt. De bol slingert in het xy-vlak, en θ = 0 als de bol in rust hangt. m, L θ g y M, d z Alswedebolalspuntmassaopvatten, endemassavandedraadverwaarlozen, dan is de bewegingsvergelijking die van de standaardslinger: d 2 θ(t) dt 2 = g L θ(t). De bol wordt op t = 0 vanuit rust losgelaten met een uitwijking θ 0 ( θ 0 1). NB: Vul geen getallen in, maar geef formules, in termen van de overige parameters van de opgave. x

5 (3 pnt) (a) Laat expliciet zien dat θ(t) = θ 0 cos( g/lt) een oplossing is van de bewegingsvergelijking die aan de beginvoorwaarden voldoet. (b) Geef een uitdrukking voor de slingertijd (periode) van deze slinger. (c) In feite is de bol geen puntmassa, maar heeft hij een eindige grootte. Dit heeft gevolgen voor de trillingstijd. Zal de feitelijke trillingstijd hierdoor groter of kleiner zijn dan wat je in het vorige onderdeel berekend hebt? Waarom? (d) Maak een schets vande totaleenergie in deslinger (verticale as) als functie van de tijd (horizontale as), voor de eerste vier volledige slingeringen. Doe dit (in één figuur) voor de volgende twee gevallen: i) er is geen demping; ii) door demping neemt de totale mechanische energie per periode met 50% af. Geef een korte toelichting. (Hint: Hieronder een voorbeeld hoe de grafiek er uit zou kunnen zien; de curves in dit voorbeeld slaan echter nergens op!) Totale energie (% van maximaal) zonder demping met demping Tijd (eenheid van trillingsperiode) (de toets gaat verder op de volgende bladzijde!)

6 Een dikke duif zonder vliegbrevet botst, terwijl de kogel slingert, tegen het midden van de ophangdraad. Dit heeft geen gevolgen voor de slingering, maar wekt wel een staande transversale golf op in de ophangdraad. De geluidsgolven die door de trillende draad in de omringende lucht worden opgewekt worden opgevangen door een gevoelige microfoon die op de z-as staat, op een afstand R van het slingervlak. (e) Stel dat door deze botsing uitsluitend de fundamentele mode van de ophangdraad wordt aangeslagen. Schets de vorm van deze mode (amplitude als functie van de positie langs de draad), en geef uitdrukkingen voor golflengte en frequentie van de trilling. (f) Tenslotte een bonusvraag: je kunt hier twee extra punten verdienen. Omdat de kogel nog slingert, beweegt ook de trillende draad heen en weer. Je hebt nu dus een bewegende geluidsbron, en door het Dopplereffect zou de microfoon een andere frequentie kunnen detecteren dan die van de trillende draad. Hoe groot is de Doppler-verschuiving op de volgende momenten in de tijd: i) als de kogel zich in een uiterste stand bevindt; ii) als de kogel door de oorsprong beweegt?

7 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT DER TECHNISCHE NATUURKUNDE VAKGROEP TRANSPORTFYSICA Uitwerking Herkansingstoets TNW voor W (3NCB1) Zaterdag 12 april Opgave 1 (a) Het Webergetal geeft de verhouding van traagheidskrachten tot oppervlaktekrachten weer. Wanneer oppervlaktekrachten domineren (dus als W e 1) wordt het druppeloppervlak geminimaliseerd en is de druppel rond. De stelling is dus waar. (b) We oefenen via F 1 een druk uit op de vloeistof gelijk aan p 1 = F 1 /A 1. Volgens de Wet van Pascal werkt deze druk overal in de vloeistof, dus ook bij de tweede zuiger. Dus p 2 = p 1, waarmee gevonden wordt dat F 2 = p 2 A 2 = F 1 A 2 /A 1. (c) Liftkracht werkend op een omstroomd voorwerp: F y = ρvγ. We zien dat v > 0 want deze wijst in de +x-richting. Om een kracht in de +yrichting te krijgen blijkt uit de formule voor de liftkracht dat Γ < 0 moet zijn; de cilinders moeten dus rechtsom draaien. (d) Optie 1: een stroomfunctie kan uitsluitend voor een onsamendrukbare stroming worden gedefinieerd, dus deze stroming moet onsamendrukbaar zijn. Optie 2: de snelheidscomponenten zijn u = ψ y = x+2y ; v = ψ x = 2x y. Voor onsamendrukbaarheid moet gelden dat u x + v = 0. Invullen: y u x + v = 1 1 = 0 dus deze stroming is inderdaad onsamendrukbaar. y (e) Stroomlijnen kunnen elkaar uitsluitend snijden in een stuwpunt. Stroomlijnen raken overal aan de lokale snelheidsvector. Een snijpunt van stroomlijnen kan alleen voorkomen op punten waar de stroomrichting niet gedefinieerd is, ofwel waar de snelheid nul is (stuwpunt). (f) In een stuwpunt is de snelheid nul, d.w.z. (u,v) = (0,0). De snelheidscomponenten zijn u = φ x = 2+ 2x x 2 +y 2 ; v = φ y = 2y x 2 +y 2.

8 We zien dat v = 0 geldt als y = 0; met dit gegeven volgt dat u = 0 als x = 1. Dus het stuwpunt is ( 1,0). (g) De pomp levert eenzelfde drukverschil. Voor een laminaire stroming met tweemaal zo lange buis zal de gemiddelde stroomsnelheid halveren. Ook het Reynoldsgetal zal halveren. Zie ook de formule voor de Poiseuillestroming op het formuleblad. (h) De relevante parameters zijn de golflengte [λ] = L, snelheid [v] = L/T en de valversnelling [g] = L/T 2. Er zijn 3 variabelen in 2 basisdimensies. Dus is er 3 2 = 1 dimensieloze groep nodig, bijvoorbeeld Π = gλ/v 2. (i) De schokgolf is gericht onder een hoek α met α = c g /v b = 1/Ma = 1/2, dus α = 30. Als je de knal hoort is de straaljager een afstand x = h/tanα verder, en daar doet hij een tijd t = x/v b = 5.1 s over. (j) Het elektron gaat van een hoger naar een lager energieniveau en moet dus een foton uitzenden. Golflengte: E = R H (1/5 2 1/2 2 ) = 0.21R H = ev (ofwel 4.57e-19 J), omdat λ 1/ E geldt hier dat λ = 1240/2.856 = 435 nm. Opgave 2 (a) Pas Bernoulli toe tussen punt A in het gat en B op de positie waar v 2 heerst: p A +ρgy A ρv2 A = p B +ρgy B ρv2 B. Er geldt: p A = p B = p 0, y A y B = H, v A = v 1, v B = v 2. Na invullen: 1 2 ρv2 1 +ρgh = 1 2 ρv2 2 v 2 = v1 2 +2gH. (b) Met behoud van massa volgt dat v 1 A 1 = v 2 A 2, ofwel 1 4 πd2 1 v 1 = 1 4 πd2 2 v 2, d 2 = d 1 v1 v 2 = d 1 ( ) v1 2 1/4 v1 2 +2gH. (c) Een geschikte contour C is hieronder geschetst. De vectoren zijn: v i = (0, v 2 ), n i = n u = n = (0,1), v u = (0,v 2 ).

9 v u n v i C (3 pnt) (d) Pas impulsbehoud toe op contour C: I = p nda+ F. De druk op contour C is overal gelijk aan p 0, dus de drukterm levert geen netto bijdrage voor de krachtenbalans. Er is slechts één kracht F, dit is de gevraagde kracht. De impulsfluxen zijn: v i = v i n = v 2, Ii = ρv i A v i = (0, π 4 d2 2 ρv2 2 ). v u = v u n = v 2, Er blijft over: I u = ρv u A v u = (0, π 4 d2 2 ρv2 2 ). F = I i + I u = (0, π 2 d2 2 ρv2 2 ). (e) Deze fontein zal dezelfde hoogte als het vloeistofoppervlak in het vat bereiken. Dit volgt direct uit Bernoulli met snelheid nul op het hoogste punt van de fontein. (f) Pas Bernoulli gemodificeerd toe tussen punt A aan het vloeistofoppervlak en punt B in het gat: p A +ρgy A ρv2 A = p B +ρgy B ρv2 B +K 1 2 ρv2 B. Er geldt dat p A = p B = p 0, y A y B = h, v A = 0 (omdat het vloeistofniveau in het vat constant mag worden verondersteld) en v B = v 1. Invullen: 2gh ρgh = (1+K) 1 2 ρv2 1 v 1 = 1+K.

10 Opgave 3 (a) Bepaal de tweede afgeleide: d 2 θ(t) dt 2 = θ 0g L cos( g/lt), dus we zien meteen dat θ(t) een oplossing is van de bewegingsvergelijking. Controleer de beginvoorwaarden θ(t = 0) = θ 0 en snelheid v(t = 0) = 0: θ(t = 0) = θ 0 cos(0) = θ 0 klopt! (3 pnt) v(t = 0) = L dθ dt (t = 0) = Lθ 0 g/lsin(0) = 0 klopt! (b) T = 2π/ω = 2π L/g. (c) De trillingstijd T wordt groter. Door de eindige afmetingen wordt het traagheidsmoment I van de slinger groter (stelling van Steiner). Met de formule voor de hoekfrequentie ω van de fysische slinger volgt dan direct dat ω kleiner wordt, en T dus groter. (d) Zie de schets hieronder. i) Ongedempt: totale energie blijft constant. ii) Gedempt: de slinger verliest 50% van zijn energie in één periode, d.w.z. na 4 perioden is nog 1/16 ofwel 6.25% van de energie over. De daling van de totale energie is het grootst waar de snelheid het grootst is, d.w.z. op 1/4 en 3/4 van elke periode. De grafiek is horizontaal daar waar de snelheid nul is, in de omkeerpunten van de slinger op 0 en 1/2 van elke periode. Totale energie (% van maximaal) met demping zonder demping Tijd (eenheid van trillingsperiode)

11 (e) De fundamentele mode heeft de vorm van een halve sinus. 0 L Hiermee volgt meteen dat de golflengte λ = 2L. De golfsnelheid is v g = Fs /µ met F s = Mg en µ = m/l, ofwel v g = MgL/m. Frequentie: f = v g /λ = 1 2 Mg/mL. (f) i) De snelheid is nu nul, dus er is geen Dopplerverschuiving. ii) De snelheid staat nu loodrecht op de waarnemingsrichting, dus er is geen Dopplerverschuiving.