Schuifbanden in vloeistoffen (Engelse titel: Shear bands in fluids)

Transcriptie

1 Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Schuifbanden in vloeistoffen (Engelse titel: Shear bands in fluids Verslag ten behoeve van het Delft Institute for Applied Mathematics als onderdeel ter verkrijging van de graad van BACHELOR OF SCIENCE in TECHNISCHE WISKUNDE door Anita Tollens Delft, Nederland Juni 212 Copyright c 212 door Anita Tollens. Alle rechten voorbehouden.

2

3 BSc verslag TECHNISCHE WISKUNDE Schuifbanden in vloeistoffen (Engelse titel: Shear bands in fluids Anita Tollens Technische Universiteit Delft Begeleiders Dr. J.L.A. Dubbeldam Dr. D.J.P. Lahaye Overige commissieleden Dr. J.G. Spandaw Dr. E. Coplakova Juni, 212 Delft

4

5 Samenvatting Als een vloeistof in beweging wordt gebracht, treden diverse effecten op. We beschouwen een vloeistof tussen twee platen, zoals afgebeeld in Figuur 1. In deze opstelling wordt de vloeistof bewogen door de bovenste plaat een constante snelheid te geven, daardoor zal een snelheidsprofiel in de vloeistof ontstaan. We verwachten verschillende snelheidsprofielen afhankelijk van de soort vloeistof die tussen de platen zit. In een niet-newtonse vloeistof, zoals gelei of olie, kunnen lagen met een verschillende snelheidsgradiënt ontstaan. De lagen noemen we schuifbanden. Dit verslag behandelt snelheidsprofielen en de bijbehorende schuifbanden in vloeistoffen. De schuifbanden onstaan door polymeren in de vloeistof, polymeren zijn lange moleculen met een herhaalde structuur. De polymeren in de vloeistof kunnen in elkaar verstrengeld raken. In dit opzicht verschillen niet-newtonse stoffen, bijvoorbeeld olie, van een Newtonse vloeistof zoals water. Figuur 1: Vloeistof tussen twee platen Om met deze verschillende soorten vloeistoffen te kunnen werken is het belangrijk om te weten hoe ze zich gedragen. Om stromingen van vloeistof te beschrijven, gebruiken we de Navier- Stokes vergelijkingen. Met behulp van deze vergelijkingen kunnen we de evenwichtsituatie van een bewegende vloeistof vinden. In dit verslag wordt gekeken of de evenwichtsituatie stabiel is. Praktisch gezien kunnen de lagen zich anders over de vloeistof verdelen als het evenwicht niet stabiel is. 4

6 Voorwoord Voor u ligt het verslag van het bacheloreindproject Schuifbanden in vloeistoffen, door Anita Tollens, student Technische Wiskunde aan de Technische Universiteit van Delft. In dit verslag wordt een bestaand model van vloeistofstroming gebruikt, er wordt onderzocht of de evenwichtsoplossing stabiel is. Bij deze wil ik iedereen bedanken die een bijdrage geleverd hebben aan de totstandkoming van dit bachelorproject. Graag wil ik Johan Dubbeldam en Domenico Lahaye bedanken voor de begeleiding van dit project, voor alle hulp en uitleg die zij mij hebben geboden. Het verkrijgen van kennis over een voor mij geheel onbekend programma was erg leerzaam. Mijn dank gaat ook naar Jeroen Spandaw en Guit-Jan Ridderbos, die het studentencoloquium hebben begeleid. Ik heb goede tips ontvangen voor het maken en geven van een presentatie. Ten slotte wens ik u veel leesplezier bij het lezen van dit verslag. Anita Tollens, Auteur 5

7 Inhoudsopgave 1 Inleiding 7 2 Model 8 3 Newtonse vloeistoffen Navier-Stokes vergelijkingen Analytische oplossing Niet-Newtonse vloeistoffen Navier-Stokes vergelijkingen Polymeerspanning Numerieke oplossingen Oplossingen voor Newtonse vloeistoffen Oplossingen voor niet-newtonse vloeistoffen Oplossingen voor de polymeerspanning Oplossingen voor de snelheid De invloed van ˆD, α en γ Stabiliteitsanalyse Analyse voor Newtonse vloeistoffen Analyse voor Niet-Newtonse vloeistoffen De verstoring Conclusie 27 6

8 1 Inleiding Bij het bestuderen van vloeistoffen kunnen we verschillende eigenschappen onderscheiden. Kijkend naar het stromingsgedrag van vloeistoffen, kunnen we vloeistoffen onderverdelen in Newtonse en niet-newtonse vloeistoffen. In dit project kijken we naar een stromende vloeistof tussen twee platen, een Couette stroming genoemd. In de situatie met een Newtonse vloeistof is de snelheidsgradiënt constant en daarom verwachten we een lineair snelheidsprofiel. Bij een niet-newtonse vloeistof is de snelheidsgradiënt niet constant en zullen zogehete schuifbanden ontstaan. Daar waar de snelheidgradiënt van grootte verandert, ontstaat er een interface die twee schuifbanden scheidt, zoals verder toegelicht in de modelomschrijving. De schuifbanden kunnen we lokaliseren door het snelheidsprofiel tussen de platen te bepalen. Om dit profiel te vinden lossen we de Navier-Stokes vergelijkingen op. Echter de Navier-Stokes vergelijkingen bevatten een spanningstensor. De spanningstensor is afhankelijk van verschillende spanningen, zoals polymeerspanning en normaalspanning. De differentiaalvergelijkingen zijn makkelijker op te lossen wanneer de normaalspanningen niet in de vergelijking worden opgenomen. In dit bacheloreindproject verwaarlozen we de normaalspanningen en bepalen we de evenwichtsoplossing met behulp van een numerieke methode. De onderzoeksvraag in dit project is of de evenwichtsituatie voor de snelheid stabiel is. We onderzoeken daarom het effect van kleine verstoringen op de oplossing. Een stabiel evenwicht betekent dat de situatie niet kan veranderen door invloeden van buitenaf. Dit verslag is als volgt opgebouwd: Sectie 2 geeft toelichting van het model. Vervolgens worden Sectie 3 en 4 de differentiaalvergelijkingen voor Newtonse en niet-newtonse vloeistoffen uitgewerkt. In Sectie 5 worden de numerieke oplossingen behandeld. Op deze oplossingen wordt een stabiliteitsanalyse toegepast, deze stabiliteitsanalyse wordt in Sectie 6 verwerkt. De conclusies volgen in Sectie 7. 7

9 2 Model Het doel is om een stromende vloeistof te modelleren. We beschouwen twee evenwijdige platen met daartussen vloeistof. Vervolgens laten we de bovenste plaat met constante snelheid v p naar rechts bewegen. Dit noemen we een Couette stroming. We gaan vloeistoffen onderscheiden in Newtonse vloeistoffen en niet-newtonse vloeistoffen. In een Newtonse stof verwachten we een lineair snelheidsprofiel zoals afgebeeld in Figuur 2. Figuur 2: Couette stroming van een Newtonse vloeistof Bij niet-newtonse vloeistoffen verwachten we het ontstaan van schuifbanden, waarvan in Figuur 3 een schets te zien is. Het gebied tussen de schuifbanden wordt de interface genoemd. Niet- Newtonse vloeistoffen blijven als het ware aan zichzelf plakken, daardoor zijn deze vloeistoffen vaak wat dikker en stroperiger. Doordat de vloeistof niet overal op dezelfde manier blijft plakken, ontstaan schuifbanden. 8

10 Figuur 3: Couette stroming van een niet-newtonse vloeistof Om de stroming van vloeistoffen te beschrijven, gebruiken we de twee-dimensionale Navier- Stokes vergelijkingen. De algemene vorm hiervan is: waarbij ρ dv dt = T + F, (1 ρ(x, y, t v F massadichtheid, ( vx (x, y, t snelheidsvector, v y (x, y, t ( Fx (x, y, t krachtvector. F y (x, y, t We laten externe krachten, zoals zwaartekracht, buiten beschouwing, dus F =. De tensor T bestaat uit componenten σ ij, die gelijk zijn aan de kracht per oppervlakte eenheid die wordt uitgeoefend op de lijn i = constant, in de richting van j, ( σxx σ T = yx. σ xy σ yy Als we naar het stationaire geval kijken, geldt: ρ dv dt = ρ v t + ρ (v v } {{ } meevoeringsterm (2 ρ v t =. (3 9

11 En in vergelijking (2 geldt: ρ(v v = = = ( (vx v y ( v x ( vx v x ( ( vx v y ( + v vx y v y + v y vx v v y x + v y vy We zoeken een oplossing van de vorm v = ( v x ( vy = vx(y, waarbij vx alleen van y afhangt en v y =. Dan reduceert bovenstaande vergelijking tot: ρ(v v = ( vx (y vx(y = v x (y vy Substitutie van vergelijking (2, met (3 en (4, in vergelijking (1 geeft ( = T. (. (4 In de volgende secties zullen we de Navier-Stokes vergelijkingen verder uitwerken voor zowel een Newtonse vloeistof als een niet-newtonse vloeistof. 1

12 3 Newtonse vloeistoffen Om de stroming van vloeistoffen te beschrijven gebruiken we de Navier-Stokes vergelijkingen, zoals in de vorige sectie toegelicht. In de meeste gevallen worden deze vergelijkingen numeriek opgelost, echter in vereenvoudigde gevallen kunnen de vergelijkingen analytisch worden opgelost. 3.1 Navier-Stokes vergelijkingen We verwachten bij een Newtonse stof een lineaire oplossing voor de snelheid, die analytisch te bepalen is. De eerder genoemde Navier-Stokes vergelijkingen worden onder onze condities geschreven als ( = T. (5 In het geval dat de vloeistof Newtons is geldt: T = T 1 = pi + η 1 2 ( v + ( vt (6 ( ( v p x 1 2 = + η ( vx + vy (7 p 1 2 ( vx + vy v y waarbij p(x, y de druk is. Verder geldt er dat T = p + η ( vx ( 1 vx ( vx 2 + vy ( + vy + vy waarbij p =, omdat we geen drukverschil hebben (p 1 = p 2., Dan rest ons de volgende vergelijking op te lossen: ( ( vx = η ( vx + vy ( vx + vy ( + vy. (8 Zoals eerder genoemd, zoeken we een oplossing van de vorm v = ( v x ( vy = vx(y. In dat geval wordt vergelijking (8 als volgt: ( ( = η 2 v x We hebben nu de volgende differentiaalvergelijking: ofwel deze vergelijking is analytisch op te lossen. η 1 2 v x 2 2 =, 2 v x 2 =, 11

13 3.2 Analytische oplossing We beschouwen de differentiaalvergelijking: aangevuld met de Dirichlet randvoorwaarden: waarbij v p de snelheid van de bovenste plaat is. Door twee maal te integreren naar y komen we tot 2 v x =, (9 2 v x (y = =, (1 v x (y = 1 = v p, (11 v x (y = c 1 y + c 2. Met behulp van de randvoorwaarden volgt dat c 2 = en c 1 = v p, dus v x (y = v p y. We krijgen zoals verwacht een lineaire oplossing voor de snelheid in de x-richting. 12

14 4 Niet-Newtonse vloeistoffen Voor een niet-newtonse vloeistof gebruiken we ook de Navier-Stokes vergelijkingen, waarvan de algemene vorm reeds in (1 is gegeven. Voor onze condities geldt vergelijking (5, in het geval dat de vloeistof niet-newtons is geldt T = T 1 + T 2, waarbij T 1 werd gegeven in vergelijking (6 en ( u T 2 =. (12 u In vergelijking (12 is u de polymeerspanning, die enkel afhankelijk is van y. De polymeerspanning is een extra spanning die we wel vinden bij niet-newtonse stoffen maar niet bij Newtonse stoffen. Voor niet-newtonse stoffen worden de Navier-Stokes vergelijkingen dan ( = η ( vx ( 1 vx ( vx 2 + vy ( + vy + vy waarbij v = ( v x ( vy = vx(y en u alleen afhankelijk van y, dus ( = η 4.1 Navier-Stokes vergelijkingen ( 2 v x 2 + ( u + ( u, u. (13 Bovenstaand hebben we de Navier-Stokes vergelijkingen gebruikt om tot vergelijkingen voor ons model te komen. We hebben voor niet-newtonse stoffen de vergelijking = η 2 v x(y + u 2. Daaarvoor moeten we eerst weten wat u is. 4.2 Polymeerspanning Door de Navier-Stokes vergelijkingen uit te schrijven zoals in het voorgaande hoofdstuk zijn we op een vergelijking gekomen die afhankelijk is van de snelheid en de polymeerspanning. De snelheid willen we weten, maar we moeten daarvoor eerst bepalen wat de polymeerspanning is. We gaan een differentiaalvergelijking, voor de polymeerspanning u, uit de literatuur [1] gebruiken. De differentiaalvergelijking voor u bevat de parameters τ en D: τ D η α relaxatie tijd, spanningsdiffusie coëfficient, viscositeit, constante. De differentiaalvergelijking voor de polymeerspanning is ( t + v u = D 2 u u τ + G g( γτ, (14 τ 13

15 waarbij g(ξ gegeven wordt door de functie en waarbij g(ξ = ξ 1 + (ξ 2, G = αη τ, γ = ηv p + u u. η De uitdrukking voor de schuifverhouding γ kunnen we afleiden uit vergelijking (13 voor de snelheid. ( = η ( 2 v x 2 We kunnen dit uitschrijven in twee vergelijkingen: + ( u. (15 = η 2 v x 2 + u. (16 We nemen vergelijking (16 en herschrijven deze als = [ η v ] x + u, } {{ } Σ Σ = η vx =. (17 = Σ. + u, waarbij alle termen alleen van y afhangen. We weten dat Σ niet afhankelijk is van x en uit = Σ volgt dat Σ niet afhankelijk is van y, we concluderen dat Σ constant is. We integreren Σ = η vx + u aan beide zijden over y. Hier voor hebben we ook de randvoorwaarden nodig: De uitwerking van integratie is als volgt: Beide kanten integreren over y geeft: 1 Σ dy = v x (y = =, v x (y = 1 = v p. Σ = η v x(y 1 + u(y. ( η v x(y + u(y dy. 14

16 De integraal aan beide kanten uitwerken geeft: Σ = ηv x (1 ηv x ( + u. Hierbij is u = 1 u(ydy. De randvoorwaarden voor v x(1 en v x ( invullen geeft: Σ = ηv p + u. Voor Σ vullen we weer de uitdrukking in die we al hadden: η v x(y + u(y = ηv p + u. Nu elimineren we vx(y : v x (y = ηv p + u u(y. η De uitdrukking voor de schuifverhouding is: γ(y = v x(y = ηv p + u u(y. η Nu gaan we verder met het uitwerken van de vergelijking voor de polymeerspanning met daarbij als Neumann randvoorwaarden ( t + v u = D 2 u u τ + G g( γτ, (18 τ u (y = =, u (y = 1 =. Omdat de polymeerspanning u alleen van y afhankelijk is, kunnen we uit vergelijking (18 herleiden: ( t + v u(y = t u + (v u(y ( = u(y (vx (y + t o ( = v x (y u(y = v x (y u(y =. ( u(y en D 2 u = D 2 u 2 + D 2 u 2 = D 2 u 2. Als we ( t + v u = en D 2 u = D 2 u 2 verwerken in vergelijking (18 komen we tot: 15

17 D 2 u 2 u τ + G g( γτ =. (19 τ Vergelijking (19 is de vergelijking voor de polymeerspanning u die we op willen lossen. Als we deze vergelijking opgelost hebben kunnen we de vergelijking = η ( 2 vx ( 2 u oplossen voor v x. De relaxatie tijd is de duur van de spanningsafname. Voor Newtonse stoffen geldt dat τ. Als we de limiet nemen van de differentiaalvergelijking volgt [ lim D 2 u τ 2 u τ + G ] γτ τ 1 + ( γτ 2 = D 2 u 2. Dan krijgen we voor de polymeerspanning van een Newtonse vloeistof de vergelijking D 2 u 2 = met Neumann randvoorwaarden u (y = =, u (y = 1 =, waaruit direct volgt u =. De vergelijking voor de snelheid wordt dan gelijk aan de vergelijking de we hebben verkregen uit de Navier-Stokes vergelijkingen voor Newtonse vloeistoffen: ( = η ( 2 v x 2 + ( = η ( 2 v x 2. Door gebruik te maken van substituties kunnen we vergelijking (19 dimensieloos maken. We weten dat G = αη τ. Om een dimensieloze vergelijking te krijgen zullen we eerst in vergelijking (19 delen door G en vermenigvuldigen met τ: Dτ u G u + g( γτ =. (2 G Dan noemen we ˆD = Dτ, û = u G en û = u G. ˆDû û + g( γτ =. (21 Om g( γτ dimensieloos te maken gebruiken we de constanten α, η, τ en de verhouding G = αη τ. 16

18 ( g( γτ = g αη τ γ αη ( = g αη τ γ αη + αu G αu G [ ( = g α η τ γ αη + u G u ] G [ ( = g α η γ G + u G u ] G [ ( η γ + u = g α G u ] G [ ( Σ = g α G u ] G (22 Nu noemen we ˆΣ = Σ G en we hadden al û = u G. We integreren Σ over ŷ: ˆΣ = u + η γ G = û + ˆγ α Na substitutie van vergelijking (23 in vergelijking (22 krijgen we: [ ( [ ] g α (ˆΣ û = g α û + ˆγ ] α û [ ] = g α( û û + ˆ γ. (23 De volgende vergelijking is nu dimensieloos: [ ] ˆDû û + g α( û û + ˆ γ =. (24 Omdat er een integraal in deze vergelijking voorkomt noemen we dit een integro-differentiaalvergelijking. 17

19 5 Numerieke oplossingen Zoals eerder genoemd, worden de meeste Navier-Stokes vergelijkingen numeriek opgelost. Ook in dit geval is de differentiaalvergelijking die we willen oplossen niet analytisch op te lossen. We gaan gebruik maken van het programma COMSOL om de vergelijking op te lossen. Dit programma maakt gebruik van de eindige elementen methode[2], wat een methode is waarbij door het verkleinen van de elementen de oplossing nadert tot de analytisch juiste oplossing. De oplossing u(y is te schrijven als u(y = c j φ j (y. j=1 Waarbij c j de oplossing in element j en φ j (y de basisfunctie. We kunnen niet oneindig veel elementen nemen, dus nemen we ū(y = n c j φ j (y. j=1 Om de differentiaalvergelijking op te lossen introduceren we een zogehete zwakke vorm, waarvoor een numerieke oplossing te vinden is. We maken een zwakke vorm van de differentiaalvergelijking door te vermenigvuldigen met een testfunctie φ i (y en te integreren over y: PDE φ i (y dy. (25 Ω Als we de differentiaalvergelijking willen oplossen voor u dan vervangen we in vergelijking (25 alle u en afgeleiden van u voor ū(y en afgeleiden van ū(y. Dit geeft een integraal met een sommatie erin. We kunnen integratie en sommatie verwisselen. Nu kunnen we de oplossing voor u benaderen. We lossen de vergelijking op voor een eindig aantal termen, waarbij het aantal termen aan te geven is in COMSOL. 5.1 Oplossingen voor Newtonse vloeistoffen Om te zien welke resultaten het programma kan geven beginnen we met het numeriek oplossen van de Navier-Stokes vergelijkingen voor de Newtonse vloeistoffen. Dit is de differentiaalvergelijking in vergelijking (9 aangevuld met de randvoorwaarden (1 en (11. De oplossingen voor dit probleem via de eindige elementen methode, voor verschillende waarden van v p zijn weergegeven in Figuur 4. 18

20 Figuur 4: Oplossingen via eindige elementen voor Newtonse vloeistof voor vp =.1,.2, Oplossingen voor niet-newtonse vloeistoffen We gebruiken het programma COMSOL om de integro-differentiaalvergelijkingen op te lossen. We lossen eerst de vergelijking voor de polymeerspanning op, vervolgens kunnen we die oplossingen gebruiken om het snelheidsprofiel te bepalen Oplossingen voor de polymeerspanning Voor de polymeerspanning hebben we de dimensieloze differentiaalvergelijking (24 h i ˆ =. D u u + g α(hu i u + hγ i h i ˆ = We kijken eerst naar de vereenvoudigde vergelijking, waarbij g α(hu i u + hγ i D 2 u u =. 2 met randvoorwaarden u (y = =, u (y = 1 = vp, waarbij vp de snelheid van de bovenste plaat is. De oplossingen zijn weergegeven in Figuur (26

21 Figuur 5: Oplossing voor de vereenvoudigde vergelijking voor de polymeerspanning voor verschillende waarden van D Voor het oplossen van vergelijking (24 voor de polymeerspanning hebben we Neumann randvoorwaarden u (y = =, u (y = 1 =. We willen een stationaire oplossing vinden voor de differentiaalvergelijking. Het programma COMSOL heeft een functie voor stationair oplossen, maar daarmee kunnen we de oplossing niet vinden. We gebruiken in COMSOL een tijdsafhankelijke oplosmethode en laten de tijd dan doorlopen tot de oplossing geconvergeerd is. Dan vinden we de oplossingen die we zoeken. We nemen daarbij als initie le voorwaarden oplossing 1 met oplossing 2 met oplossing 3 met u (t = =, t u (t = =, t u (t = =, t u(t = =, u(t = = 1 y, u(t = = y. zie Figuur 6. Bij oplossing 1 is de polymeerspanning constant. Bij oplossing 2 beweegt de onderste plaat. Bij oplossing 3 beweegt de bovenste plaat. Voor de verstoring van het evenwicht gaan we alleen oplossing 3 gebruiken, hetgeen we dan vinden geldt ook voor de andere oplossingen, het is niet nodig om de verstoring op de drie oplossingen apart toe te passen. 2

22 ˆ = 2.6 Figuur 6: Oplossingen voor polymeerspanning, α = 2, D =.1, hγ i Oplossingen voor de snelheid We hebben differentiaalvergelijking (13 voor de snelheid in een niet-newtonse vloeistof gevonden. Deze vergelijking hangt af van de polymeerspanning u. We hebben in de vorige paragraaf de differentiaalvergelijking voor de polymeerspanning opgelost. Nu voegen we in Comsol de vergelijking voor de snelheid toe, dan kunnen we direct u uit de oplossing voor de polymeerspanning gebruiken om het snelheidsprofiel te bepalen. De oplossing is weergegeven in Figuur 7. ˆ = 2.6 Figuur 7: Oplossing voor de snelheid, α = 2, D =.1, hγ i De invloed van D, α en hγ i We kunnen grafieken maken van de oplossingen voor de polymeerspanning, de schuifverhouding en de snelheid. In de basisoplossing nemen we D =.1, α = 2 en hγ i = 2.6. We laten nu grafieken zien waarbij we deze constanten veranderen. We veranderen afzonderlijk D, α en hγ i, direct naast de grafieken is te zien welke waarden gekozen zijn. In de meest linkse figuren wordt de diffusiecoe fficient, D, gevarieerd. Deze beı nvloedt de grootte van de interface. Als D kleiner is wordt de interface smaller, de overgang tussen twee schuifbanden is kleiner. We zien in Figuur 8 voor D =.1 bijna haakse hoeken. In de middelste figuren wordt α gevarieerd. De maximale polymeerspanning wordt kleiner naarmate α groter wordt, de snelheid in de bovenste schuifband wordt kleiner naarmate α groter wordt. Als α extreem groot wordt zal de snelheid bijna lineair zijn. 21

23 Figuur 8: Polymeerspanning, bepaald met verschillende waarden voor ˆD(links, α(midden en γ (rechts Figuur 9: Schuifverhouding, bepaald met verschillende waarden voor ˆD(links, α(midden en γ (rechts Figuur 1: Snelheid, bepaald met verschillende waarden voor ˆD(links, α(midden en γ (rechts In de meest rechtse figuren wordt de gemiddelde waarde van de schuifverhouding, ˆ γ, gevarieerd. Deze heeft weinig invloed op de polymeerspanning. Als ˆ γ kleiner wordt zal de snelheid ook bijna lineair worden. Dat de snelheid bijna lineair wordt voor erg grote α of erg kleine ˆ γ is ook te verklaren aan de hand van de vergelijking. 22

24 6 Stabiliteitsanalyse In de vorige secties hebben we oplossingen gevonden voor de polymeerspanning en voor het snelheidsprofiel. We willen onderzoeken of de gevonden oplossingen stabiel zijn, dit kan door de oplossingen te verstoren. We kunnen op twee manieren zien of het evenwicht stabiel is: We kunnen bestuderen of na het toepassen van een verstoring op de oplossing deze laatste weer naar de evenwichtstoestand evolueert. We kunnen een differentiaalvergelijking voor de verstoring afleiden en bestuderen of de verstoring naar evolueert. 6.1 Analyse voor Newtonse vloeistoffen Figuur 11: Verstoringen voor Newtonse vloeistoffen met de eindige elementen methode, k = 1, 2, 3, 4, 5. We nemen hier verstoringen van de vorm 3 sin(kπy, we zien dat naarmate we k groter nemen de verstoring sneller verdwijnt. Dit is weergegeven in Figuur 11. Dat kunnen we ook analytisch aantonen: We hebben de vergelijking u t = 2 u met de randvoorwaarden 2 u(y = =, u(y = 1 = v p. Als initiële waarde nemen we u(y, t = = v p y + sin(kπy. Deze voldoet aan de randvoorwaarden want: u(, t = = + sin( =, u(1, t = = v p + sin(kπ = v p. We definiëren ū(y, t Er geldt ū(y = = sin( =, ū(y = 1 = sin(kπ =. ū(y, t = u(y, t v p y = v p y + sin(kπy v p y = sin(kπy. 23

25 2 ū 2 = 2 2 u 2 2 v py ū t = (kπ 2 sin 2 (kπy = 2 u 2. = t u t v py = u t. We hebben nu dezelfde differentiaalvergelijking als u randvoorwaarden t = 2 u 2, namelijk ū t = 2 ū 2, met homogene u(y = =, y(y = 1 =. Nu mogen we scheiding van variabelen toepassen: ū(y, t = sin(kπye (kπ2 t Ook hier zien we ū(y, t = = sin(kπy. We weten ū(y, t = u(y, t v p y, we kunnen afleiden voor de oplossing u, u(y, t = ū(y, t + v p y = sin(kπye (kπ2t + v p y, lim t e (kπ2t = dus lim u(y, t = v p y. t We zien dat e (kπ2t sneller naar gaat als k groter is. 6.2 Analyse voor Niet-Newtonse vloeistoffen We hebben nu een oplossing gevonden voor de differentiaalvergelijking [ ] ˆDû û + g α( û û + ˆ γ =. Bij de verstoringen hebben we de volgende beginvoorwaarden genomen: In alle gevallen u t (t = =, bij de polymeerspanning u (t = t =, u(t = =.5 sin(kπx met k = 2, 4, 6, 24

26 bij de snelheid v (t = =, t v(t = =.1 sin(kπx met k = 1, 3, 5. We lossen eerst de oorspronkelijke vergelijking op, dan gebruiken we die oplossing (voor u of v in de vergelijking met de verstoring, die lossen we dan op voor u of v. De verstoring voor de polymeerspanning hebben we ook gespiegeld door als beginvoorwaarde u(t = =.5 sin(kπx met k = 2 te nemen, dan zien we dat de oplossing convergeert naar de gespiegelde oplossing voor de polymeerspanning. Zie Figuur 13. Figuur 12: Verstoringen bij de polymeerspanning, k = 2, 4, 6. Figuur 13: De verstoring verticaal gespiegeld bij de polymeerspanning, voor k = De verstoring We kunnen een differentiaalvergelijking opstellen voor de verstoring. We vormen deze differenξ tiaalvergelijking door van g(ξ = 1+ξ 2 een verstoringsterm te maken. We veranderen ξ en u, waarbij ξ, u uit de oorspronkelijke oplossing zijn. We nemen: ξ = ξ + λξ1, u = u + λu1. We willen iets krijgen van de vorm g(ξ = g (ξ + g1 (ξ, ξ1, d.w.z. g(ξ = 25 ξ 1+ξ2 + g1 (ξ, ξ1,

27 Figuur 14: Verstoringen bij de snelheid, k = 1, 3, 5. g(ξ = (ξ + λξ ξ 2 + 2ξ ξ 1 λ + HOT. [ 1 Om g 1 (ξ te bepalen gaan we 1+ξ 2+2ξ ξ 1 λ+hot schrijven als ξ 2 want dan krijgen we door vermenigvuldiging met (ξ + λξ 1 precies ξ 1 g(ξ = ξ 1 + ξ 2 +λ 1 + ξ 2 + } {{ } g (ξ ], d.m.v. linearisatie, In het algemeen geldt f(x = 1 a+bx = 1 a b x + HOT. In ons geval nemen we a = 1 + ξ 2 a 2, b = 2ξ ξ 1 en x = λ. Dus Nu zien we ξ 2 + 2ξ ξ 1 λ + HOT = ξ 2 2ξ ξ 1 (1 + ξ 2 + HOT. 2 1 g(ξ = (ξ + λξ ξ 2 = = ξ [ ξ1 2ξ ξ 1 (1 + ξ 2 + HOT 2 2ξ2 ξ ] 1 (1 + ξ 2 +HOT ξ 2 +λ 1 + ξ 2 } {{ } } {{ } g (ξ g 1 (ξ,ξ 1 ξ 1 + ξ 2 } {{ } g (ξ [ +λ 1 ξ 2 ] ξ 1 (1 + ξ 2 +HOT. } {{ 2 } g 1 (ξ,ξ 1 26

28 7 Conclusie We hebben aan de hand van een partiële differentiaalvergelijking voor de snelheid een model gemaakt voor de stroming van een Newtonse vloeistof en voor een niet-newtonse vloeistof. Voor de vergelijking hebben we de evenwichtsoplossingen gevonden. Als stabiliteitsanalyse hebben we kleine verstoringen toegepast op de oplossingen om te zien om de oplossingen stabiel zijn. De vergelijking voor de snelheid bevat een term voor de polymeerspanning, deze term wordt omschreven door een differentiaalvergelijking met drie oplossingen. Twee van de oplossingen zijn precies elkaars gespiegelden, evenwichtsoplossing 3 is gelijk aan evenwichtsoplossing 2 verticaal gespiegeld. Wanneer we een positieve vorm van de sinus nemen als beginoplossing convergeert de oplossing naar oplossing 2. Wanneer we een negatieve vorm van de sinus nemen als beginoplossing convergeert de oplossing naar oplossing 3. We hebben nog resultaten gevonden voor de constanten uit de vergelijking voor de polymeerspanning: De diffusiecoëfficient, ˆD, beïnvloedt de grootte van de interface. Als ˆD kleiner is wordt de interface smaller, de overgang tussen twee schuifbanden is kleiner. De maximale polymeerspanning wordt kleiner naarmate α groter wordt, de snelheid in de bovenste schuifband is wordt kleiner naarmate α groter wordt. Als α extreem groot wordt zal de snelheid bijna lineair. De gemiddelde waarde van de schuifverhouding, ˆ γ, heeft weinig invloed op de polymeerspanning. Als ˆ γ kleiner wordt zal de snelheid ook bijna lineair worden. Dat de snelheid bijna lineair wordt voor erg grote α of erg kleine ˆ γ is ook te verklaren aan de hand van de vergelijking. De stabiliteitsanalyse, uitgevoerd in Sectie 6, doet vermoeden dat de oplossingen stabiel zijn. Als verstoring hebben we als beginoplossing in het model een sinus geïmplementeerd. We hebben voor de verstoringen de periode van de sinus gevarieerd van,25 tot,75. We zagen dat bij een kleinere periode de oplossing sneller naar de evenwichtsoplossing convergeert. In dit onderzoek is alleen gekeken naar een 1-dimensionale oplossing, het onderzoek kan nog uitgebreid worden door ook in beide richtingen te kijken. Zo kan een 2-dimensionale verstoring worden geïmplementeerd. 27

29 Referenties [1] P.D. Olmsted Johan L.A. Dubbeldam. Two-dimensional pertubations in scalar model for shear-banding. 29. [2] Fred Vermolen and Domenico Lahaye. Introduction to Finite Elements. Delft University of Technology,

30