Wiskundige analyse: samenvatting

Transcriptie

1 Wiskundige analyse: samenvatting Preliminaries Driehoeksongelijkheid: a ± b a + b Even functie: f(-x) = f(x) symmetrisch t.o.v. y-as Oneven functie: f(-x) = -f(x) symmetrisch t.o.v. oorsprong Samengestelde functie: f g (x) = f(g(x)) Trinomial factoring: (x+p)(x+q) = x² + (p+q)x + pq (x-p)(x-q) = x² - (p+q)x + pq (x+p)(x-q) = x² + (p-q)x pq Chapter 1: Limits and continuity Insluitstelling: Als voor alle x in een interval rond a en Continuiteit: f is continu in c f is continu in c f is rechts-continu en links-continu in c Een continue functie op een gesloten en begrensd interval bereikt een maximum en minimum. Tussenwaardestelling: Als f(x) continu is over het interval [a,b] en s is een getal tussen f(a) en f(b), dan bestaat er een getal c in [a,b] zodat f(c)=s. Chapter 2: Differentiation Niet-verticale raaklijn: Veronderstel dat f continu is in x=x 0 en dat bestaat. Dan is de rechte met rico m door het punt P =(x 0,f(x 0 )) de raaklijn aan de kromme y=f(x) in P. De raaklijn heeft als vergelijking: y = m(x-x 0 ) + y 0. Verticale raaklijn: Als m = ± dan is de verticale rechte x = x 0 de raaklijn aan de kromme y=f(x) in het punt P. Rico van de normaal = Afgeleide: = Als f (x) bestaat dan is f differentieerbaar in x. Differentiaal van y: dy = dx = f (x)dx Belangrijke goniometrische limiet: Samenvatting Wiskundige Analyse Pagina 1

2 Tussenwaardestelling: average rate of change = onmiddelijke rate of change = f (a) = Middelwaardestelling van Lagrange: f is continu op een gesloten en begrensd interval [a,b] en is differentieerbaar op het open interval (a,b). Dan bestaat er een punt c in het open interval (a,b) zodat: Stelling van Rolle: g is continu op een gesloten en begrensd interval [a,b] en is differentieerbaar op het open interval (a,b). Als g(a) = g(b) dan bestaat er een punt c in het open interval (a,b) zodat g (c) = 0. Veralgemeende middelwaardestelling: f en g zijn beiden continu over [a,b] en differentieerbaar over (a,b), en g (x) 0 voor elke x in (a,b), dan bestaat er een Chapter 3: Transcendental functions getal c in (a,b) zodat 1-1-duidig: f(x 1 ) = f(x 2 ) x 1 = x 2 Inverse: y = f -1 (x) x = f(y) f -1 (f(x)) = x x in dom f f(f -1 (x)) = x x in dom f -1 (f -1 ) -1 (x) = f(x) x in dom f Zelf-inverse: f -1 = f f(f(x)) = x x in dom f Afgeleide van de inverse: Limieten van exponentiële functies: a > 1 0 < a < 1 Logaritme: y = log a x x = a y (a > 0, a 1) log a (a x ) = x a loga x = x (x > 0) Rekenregels: log a 1 = 0 log a (xy) = log a x + log a y log a log a = - log a x = log a x - log a y log a (x y ) = y log a x log a x = Limieten van logaritmes: a > 1 0 < a < 1 Samenvatting Wiskundige Analyse Pagina 2

3 Natuurlijk logaritme: Voor x > 0, A x is het gebied begrensd door y=1/t, de t-as, t=1 en t=x. Rekenregels: ln (xy) = ln x + ln y ln = -ln x ln = ln x ln y ln (x r ) = r ln x Limieten van ln: Limieten voor e: Algemene exponentiële: a x = e x ln a (a > 0, x reëel) Afgeleide: log a x = Stelling: Als x > 0, dan ln x x-1. Gemengde limieten: Exponentiële: e x = e = = 1 + Inverse goniometrische functies: y = sin -1 x x = sin y y = tan -1 x x = tan y y = cos -1 x x = cos y sec -1 x = cos -1 csc -1 x = sin -1 cot -1 x = tan -1 x 0 Complexe getallen: e ix = cos x + i sin x e -ix = cos x i sin x Chapter 4: More applications of differentiation Onbepaalde vormen: 0/ Goed om te weten: 0 0, wordt 0/0 door op gelijke noemer te zetten (dan l Hôptial toepassen) 0 en : neem het logaritme. Extreme waarden: Een functie die continu is op een gesloten en begrensd interval bereikt daar een globaal maximum en een globaal minimum. Lokaliseren van extremen: Een lokaal maximum of minimum van een interval wordt bereikt in een kritisch punt, een singulier punt of in een eindpunt. Samenvatting Wiskundige Analyse Pagina 3

4 De eerste afgeleide test: I Interne kritieke en singuliere punten f is continu in x 0 en x 0 is geen eindpunt (a) Als er een open interval (a,b) bestaat met x 0 zodat f (x) > 0 over (a,x 0 ) en f (x) < 0 over (x 0,b) dan heeft f een lokaal maximum in x 0. (b) Als er een open interval (a,b) bestaat met x 0 zodat f (x) < 0 over (a,x 0 ) en f (x) > 0 over (x 0,b) dan heeft f een lokaal minimum in x 0. II Eindpunten van het domein a is linkereindpunt en f is rechtcontinu in a (c) Als f (x) > 0 over een interval (a,b) dan heeft f een lokaal minimum in a. (d) Als f (x) < 0 over een interval (a,b) dan heeft f een lokaal maximum in a. b is rechtereindpunt en f is linkscontinu in b (e) Als f (x) > 0 over een interval (a,b) dan heeft f een lokaal maximum in b. (f) Als f (x) < 0 over een interval (a,b) dan heeft f een lokaal minimum in b. Convex: Concaaf: De tweede afgeleide test: (a) f (x 0 ) = 0 en f (x 0 ) < 0 lokaal maximum in x 0 (b) f (x 0 ) = 0 en f (x 0 ) > 0 lokaal minimum in x 0 (c) f (x 0 ) = 0 en f (x 0 ) = 0 geen conclusie (lok max/min of buigpunt) Verticale asymptoot: Horizontale asymptoot: Schuine asymptoot: Asymptoten van rationele functies: (a) verticaal waar Q n (x) = 0 (b) tweezijdig horizontaal y=0 als m < n (c)tweezijdig horizontaal y=l als m = n (L is breuk van de coëfficiënten van de termen met hoogste graad) (d) tweezijdig schuin y=ax+b als m = n + 1 Lineaire benadering: f(x) L(x) = f(a) + f (a)(x a) Error: E(x) = (s tussen a en x) (e) geen horizontale of schuine als m > n + 1 Samenvatting Wiskundige Analyse Pagina 4

5 Gevolgen: (a) f (t) > 0 (t tussen a en x) f(x) > L(x) f (t) < 0 (t tussen a en x) f(x) < L(x) (b) f (t) < K (t tussen a en x) E(x) < K/2(x a)² (c) M < f (t) < N (t tussen a en x) L(x) + (x a)² < L(x) + (x a)² M en N hetzelfde teken f(x) L(x) + (x a)² Error < (x a)² Nth-order Taylor polynomial: Error: Taylor s formula with Lagrange remainder (& Big-O notatie): Chapter 5: Integration Sommatie formules: Riemann som: Bepaalde integraal: Stelling: Als een functie f continu is op [a,b] is ze ook integreerbaar op [a,b]. Driehoeksongelijkheid: Integraal oneven functie: Integraal even functie: Middelwaardestelling: Gemiddelde waarde: Fundamentele stelling van de integraalrekening: Part I Part II G (x)=f(x) Chain Rule into Part I: Samenvatting Wiskundige Analyse Pagina 5

6 Oppervlakte tussen 2 krommen: Chapter 6: Techniques of integration Integration by parts: U en dv kiezen? (1) integrand is een veelterm vermenigvuldigd met een exponentiële, sinus, cosinus of een andere gemakkelijk integreerbare functie, probeer U=veelterm (2) integrand bevat een logaritme, inverse goniometrische functie of een andere moeilijk integreerbare functie maar waarvan de afgeleide makkelijk is berekend, probeer die functie=u (3) soms meerdere keren na elkaar, maak de 2 e keer dezelfde keuze voor U Integratie van rationale functies: Zie ander blad (paragraaf 6.2)!!! Goniometrische substituties: als voorkomt: probeer met x = a sin tekening! als voorkomt: probeer met x = a tan Hyperbolische substituties: als voorkomt: probeer met x = a cosh u Ad-hoc oplossingen: meer dan 1 macht in de vorm van een breuk: probeer x = u n (met n kleinst gemene veelvoud) Substitutie: rationale functie van sin x of cos x: probeer x = tan p-integralen: Chapter 7: Applications of integration Volume van een lichaam: A(x) = oppervlakte loodrechte doorsnede scheefheid heeft geen effect op het volume (V=Ah) Samenvatting Wiskundige Analyse Pagina 6

7 Volume omwentelingslichaam: Als gebied R Is geroteerd rond x-as Gebruik een vlakke snede Gebruik cilindervormige schillen y-as Gebruik cilindervormige schillen Gebruik een vlakke snede Booglengte: Oppervlakte van een omwentelingsoppervlak: ds = 2 rds Als kromme Is geroteerd rond x-as y = f(x) x = g(y) y-as Parabool: Chapter 8: Conics, parametric curves and polar curves Focus Richtlijn Vergelijking (a,0) (-a,0) (0,a) (0,-a) x = -a x = a y = -a y = a y² = 4ax y² = -4ax x² = 4ay x² = -4ay Ellips: focus = c = excentriciteit = Samenvatting Wiskundige Analyse Pagina 7

8 Hyperbool: focus = c = excentriciteit = asymptoten: rechthoekige hyperbool: loodrechte asymptoten: a=b Parameterisatie: afbeelding van R naar R² Keerpunt: (er kan een keerpunt zijn maar dat is niet noodzakelijk) Stelling: Parameterisatie, f (t) en g (t) zijn continu op I. Als f (t) 0 op I, is de parameterisatie zachtverlopend en rico raaklijn = Als g (t) 0 op I, is de parameterisatie zachtverlopend rico normaal = Raaklijn van een parameterisatie: Normaal van een parameterisatie: Booglengte van een parameterisatie: Cardioïde: r = a (1 cos ) r = a (1 + cos ) r = a (1 sin ) r = a (1 + sin ) Lemniscaat: Kromme van punten P zodat het product van de afstanden van P tot vaste punten constant is. (r² = cos (2 )) Spiralen: gelijkhoekig (r = ) exponentieel (r = ) Oppervlakte in poolcoördinaten: Booglengte in poolcoördinaten: Chapter 9: Sequences, series and power series Limiet van een rij: Een rij {a n } convergeert naar de limiet L,, als voor elk positief getal een geheel getal N (wat van kan afhangen) bestaat zodat als n N, dan.... Samenvatting Wiskundige Analyse Pagina 8

9 Stelling: Stelling: Als {a n } convergeert, dan is {a n } begrensd. Als {a n } (ultimately) stijgend, dan is ze ofwel naar boven begrensd en convergent, ofwel niet naar boven begrensd en divergent naar oneindig. Stelling: (a) Als x < 1, dan. (b) Als x een reëel getal is, dan. Convergentie van een reeks: De reeks convergeert naar de som s,, als, waarbij s n de n-de partieelsom van is: s n = a 1 + a 2 + a a n =. Geometrische reeks: Een serie convergeert als en slechts als de rij van zijn partieelsommen convergeert. common ratio = r = = n = 1, 2, 3, s n = a + ar + ar² + + ar n-1 = Telescopische reeks: partieelsommen vouwen op tot een simple vorm Harmonische reeks: Stelling: Als convergeert, dan. Dus als niet bestaat, of bestaat maar niet 0 is, dan is divergent. convergeert als en slechts als convergeert voor elk geheel getal N 1. (convergentie hangt enkel af van de staart van de reeks) Als {a n } ultimately positief is, dan moet naar oneindig. ofwel convergeren ofwel divergeren p-reeksen: Absolute convergentie: is absoluut convergent als convergeert. Stelling: Als een reeks absoluut convergeert, dan convergeert ze. Voorwaardelijke convergentie: Als convergent is, maar niet absoluut, dan is ze voorwaardelijk convergent. Samenvatting Wiskundige Analyse Pagina 9

10 Goed om weten: cos(n ) = (-1) n Error voor een alternerende reeks: Als de alternerende reeks convergeert naar de som s dan: Veranderen van de volgorde van de termen: (a) absoluut convergente reeks: som blijft hetzelfde (b) voorwaardelijk convergente reeks: som verandert, men kan om het even welke som bekomen, kan convergeren, kan divergeren naar of gewoon divergeren. Machtreeks rond c: Centrum van convergentie = c. Convergentie-interval: (I) x = c (II) (III) [c R, c + R], [c R, c + R), (c R, c + R], (c R, c + R) Convergentie is absoluut, behalve mogelijk in de eindpunten bij (III). Convergentiestraal: R=1/L Stelling: en zijn 2 machtreeksen met convergentiestraal R a en R b respectievelijk, en c is een constante. (I) heeft convergentiestraal R a (II) heeft convergentiestraal R min{r a,r b }. Cauchy product: met R min{r a,r b }. Goed om weten: Abel s stelling: De convergentiestraal verandert niet door integreren of afleiden. Randpunten: integreren kan convergentie bijwinnen (termen worden kleiner) afleiden kan convergentie verliezen (termen worden groter) Taylorreeks rond c: Analytische functie: Een functie f is analytisch als f een Taylorreeks heeft rond c en als deze reeks convergeert naar f(x) in een open interval dat c bevat. Voorbeeld: met Binomiaalreeks: (-1 < x < 1) Samenvatting Wiskundige Analyse Pagina 10

11 Chapter 10: Vectors and coordinate geometry in 3-space Scalair product: Scalaire projectie: Vectorieel product: u v= u v cos u cos u x v = u v sin Vergelijking van een vlak: normaalvector n = Ai + Bj + Ck en door het punt P 0 = (x 0,y 0, z 0 ) n ( r - r 0 ) = 0 A (x x 0 ) + B (y y 0 ) + C (z z 0 ) = 0 Bol: (x x 0 )² + (y y 0 )² + (z z 0 )² = a² Cilinder: x² + y² = a² cirkelvormig of parabolisch Kegel: x² + y² = a²z² Ellipsoïde: Paraboloïde: z = elliptisch z = hyperbolisch Hyperboloïde: eenbladig tweebladig Sferische coördinaten: ² = x² + y² + z² = r² + z² tan = r = = Chapter 11: Vector functions and curves Afgeleide: u(t) 0 Booglengte: Booglengte parameterisatie: r = r(s) v(s)=1 unit speed t = t(s) r = r(t(s)) Chapter 12: Partial differentiation Grafiek: De grafiek van een functie van n variabelen, is een n-dimensionaal oppervlak in R n+1. Niveaulijnen: van een oppervlak z = f(x,y): f(x,y) = C Samenvatting Wiskundige Analyse Pagina 11

12 Limiet: op voorwaarde dat (I)elke omgeving van (a,b) punten van het domein van f anders dan (a,b) bevat. (II) voor elk positief getal er een positief getal bestaat, zodat f(x,y) L standhoudt wanner (x,y) ligt in het domein van f en voldoet aan. (f(x,y) benadert hetzelfde nummer L afhankelijk van hoe (x,y) (a,b) benadert.) Continu: De functie f(x,y) is continu in (a,b) als. Raakvlak: z = f(a,b) + f 1 (a,b)(x a) + f 2 (a,b)(y b) Normaalvector: n = f 1 (a,b)i + f 2 (a,b)j k Normal: Horizontaal raakvlak: Kettingregel: schema maken! Linearisatie: f(x,y) L(x,y) = f(a,b) + f 1 (a,b)(x a) + f 2 (a,b)(y b) Differentieerbaar: Jacobiaan matrix: afgeleide van de transfromatie f: R n R m Df(x) = Kettingregel voor composities van transformaties: D(g f)(x) = Dg(f(x))Df(x) Gradiënt: Als f(x,y) differentieerbaar is in een punt (a,b) en f(a,b) 0, dan staat f(a,b) loodrecht op de niveaulijn van f door (a,b). Richtingsafgeleide: De richtingsafgeleide van f in (a,b) in de richting u = ui + vj (=eenheidsvector): = u f(a,b) Afgeleide van impliciete functies: met de nodige interpretatie: Jacobiaan: van 2 functies u(x,y) en v(x,y): van 2 functies F(x,y) en G(x,y): Samenvatting Wiskundige Analyse Pagina 12

13 De impliciet functie stelling: Een systeem van n vergelijkingen in n + m variabelen en een punt P 0 = (a 1,a 2,,a m,b 1,b 2,,b n ) dat hieraan voldoet. Het systeem oplossen voor y 1,y 2,,y n in functie van x 1,x 2,,x m rond P 0 :. Verder, Formule: Chapter 13: Applications of derivatives Een tweede afgeleide test: Hessiaan matrix: a is een kritiek punt van f en inwendig: (a) H(a) is positief definiet (alle eigenwaarden positief): lok min in a (b) H(a) is negatief definiet (alle eigenwaarden negatief): lok max in a (c) H(a) is indefiniet (minstens 1 positief en 1 negatief): zadelpunt in a (d) geen van bovenstaande (een eigenwaarde is 0): geen info (a) Alle determinanten positief OF B² - AC < 0 en A > 0 (b) Determinanten afwisselend neg/pos OF B² - AC < 0 en A< 0 (c) Niet voorgaande en laatste determinant 0 OF B² - AC > 0 (d) Niet voorgaande OF B² - AC = 0 Lagrange vermenigvuldigers: L(x,y,z, λ) = f(x,y,z) + λg(x,y,z) + h(x,y,z) Differentiatie door integraal: Onder bepaalde voorwaarden geldt: Formule: Samenvatting Wiskundige Analyse Pagina 13

14 Chapter 14: Multiple integration Volume: Als f(x,y) 0 op D: V is het volume van het lichaam verticaal boven D en onder het oppervlak z = f(x,y). Als f(x,y) op D: V is het volume van het lichaam verticaal onder D en boven het oppervlak z = f(x,y). I = 0: Een oneven functie integreren over een symmetrisch integratiegebied, is 0. Regulier gebied: zowel een enkelvoudig x-gebied als een enkelvoudig y-gebied Gemiddelde waarde: van een functie over een gebied D: Veranderen van variabelen: Drievoudige integraal: Hypervolume ven een gebied in 4d met D als de 3-dimensionele basis en met de top op het hyperoppervlak w = (x,y,z) densiteit, massa, volume Veranderen van variabelen: Chapter 15: Vector fields Vectorveld: F: F(x,y,z) = F(r) = F 1 (x,y,z)i + F 2 (x,y,z)j + F 3 (x,y,z)k Scalair veld: R n R (= functie) Veldlijnen: Conservatief vectorveld: Veld dat te schrijven is als de gradiënt van een potentiaalfunctie. mag geen singuliere punten in D hebben Nodige voorwaarde: Als F(x,y) = F 1 (x,y)i + F 2 (x,y)j conservatief is, dan geldt: Als F(x,y,z) = F 1 (x,y,z)i + F 2 (x,y,z)j + F 3 (x,y,z)k conservatief is, dan geldt: Equipotentiaal oppervlakken: niveauoppervlakken van de potentiaalfunctie: (x,y,z) = C stroomlijnen van F(x,y,z) Lijnintegraal van scalaire velden: onafhankelijk van de gekozen parameterisatie onafhankelijk van de gekozen oriëntatie massa, massacentrum van een gekromde draad, moment, Samenvatting Wiskundige Analyse Pagina 14

15 Stappenplan: 1. parameterisatie opstellen van de kromme (met grenzen!) 2. Lengte van de raakvector berekenen 3. Functie uitrekenen langs de kromme 4. Product van 2. en 3. integreren over interval van de parameterisatie Lijnintegraal van vectorvelden: W = Circulatie over een gesloten kromme: arbeid berekenen: krachtenveld projecteren op eenheidsraakvector onafhankelijk van de gekozen parameterisatie afhankelijk van de gekozen oriëntatie (tekenwissel) Stappenplan: 1. Parameterisatie opstellen van de kromme (met grenzen!) 2. Raakvector berekenen 3. Vectorveld uitrekenen langs de kromme 4. Scalair product van 2. en 3. integreren over interval van de parameterisatie Onafhankelijkheid van de weg: D is een open, samenhangend gebied en F is een glad vectorveld op D. Volgende uitspraken zijn equivalent: (I) F is conservatief op D (II) kromme C in D = 0 voor elke stuksgewijze zachte gesloten (III) Voor elke 2 punten P 0 en P 1 in D heeft dezelfde waarde voor elke stuksgewijze kromme C in D die begint in P 0 en eindigt in P 1. Gevolg: Normaalvector: n = Oppervlakte van S: S = Oppervlakte-integraal van een functie: Stappenplan: 1. Parameterisatie opstellen van het oppervlak (met grenzen!) 2. Lengte van de normaalvector berekenen 3. Functie uitrekenen langs het oppervlak 4. Product van 2. en 3. integreren: dubbele integraal over gebied van de parameterisatie Samenvatting Wiskundige Analyse Pagina 15

16 Unit vector field: Flux: flux van een vloeistof beschreven door een vectorveld F door een oppervlak S flux uit/in een gesloten oppervlak: Stappenplan: 1. Parameterisatie opstellen van het oppervlak (met grenzen!) 2. Normaalvector berekenen en goede oriëntatie bepalen 3. Vectorveld uitrekenen langs het oppervlak 4. Scalair product van 2. en 3. integreren: dubbele integraal over gebied van de parameterisatie Chapter 16: Vector Calculus Gradiënt: Divergentie: Rotor: Maat van verandering van een 3-dimensionaal scalair veld: grad f(x,y,z) = f(x,y,z) = scalair veld vectorveld Hoe alles zich verspreidt: div F = F = vectorveld scalair veld Hoe alles ronddraait: rot F = curl F = x F = vectorveld vectorveld 2-dimensionaal: grad f(x,y) = f(x,y) = div F = F = rot F = curl F = x F = Laplaciaan: Onsamendrukbaar: div F = 0 Irrotationeel: curl F = 0 Rekenregels: div curl = 0 De rotor van een vectorveld is onsamendrukbaar. curl grad = 0 Elk conservatief vectorveld is irrotationeel. Stelling: Een glad irrotationeel vectorveld op een enkelvoudig samenhangend gebied is conservatief. Samenvatting Wiskundige Analyse Pagina 16

17 Stelling van Green in het vlak: C positief georiënteerd Je kan een lijnintegraal gebruiken i.p.v. een dubbel integraal om een oppervlakte te berekenen. goede keuzen voor vectorveld maken: F = xj F = -yi F = (-yi +xj) toepassing: oppervlakte binnen een gesloten kromme Stelling van Gauss in de ruimte: normaalvector wijst naar buiten D = gebied in 3d, S = de rand van D (oppervlak dat D omsluit) toepassing: flux Stelling van Stokes in de ruimte: let op de oriëntatie van C Als rot F = 0 lijnintegraal = 0 ( vectorveld irrotationeel enkelvoudig samengesteld gebied dan ook conservatief) toepassing: veranderen van oppervlak met dezelfde rand Chapter 17: Ordinary differential equations 1-orde: Scheidbare differentiaalvergelijkingen Lineaire differentiaalvergelijkingen methode 1: integrerende factor IF = methode 2: veranderlijke coëfficiënt Los de homogene vergelijking op. Vervang in de oplossing van de homogene differentiaalvergelijking de constante door een functie (1) van de onafhankelijke veranderlijke. Druk uit dat dit een oplossing is van de differentiaalvergelijking door deze in de differentiaalvergelijking in te vullen. Bepaal hieruit de functie (1). Exacte differentiaalvergelijkingen M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 Exact? Niet exact? Exact maken door te vermenigvuldigen met een IF = integraalfunctie van de differentiaalvergelijking oplossingskrommen van de differentiaalvergelijking 2-orde: Reduceerbaar naar differentiaalvergelijking van 1-orde Samenvatting Wiskundige Analyse Pagina 17

18 Lineaire differentiaalvergelijkingen Algemene oplossing: y(x) = y h (x) + y p (x) Homogene oplossing: zie verder Particuliere oplossing: methode van de variatie van de parameter: Hogere orde: Oplossen van de homogene vergelijking: Stel Bepaal de nulpunten van ( noemen we de karakteristieke vergelijking) Als a een k-voudig nulpunt is van (reëel) dan vormen Als k lineair onafhankelijke oplossingen. complex toegevoegde nulpunten (a + ib en a - ib) heeft die samen 2k keer voorkomen, dan vormen 2k lineair onafhankelijke oplossingen. Particuliere oplossing: methode van de onbepaalde coëfficiënten: f(x) = y p (x) = x m A n (x) m=# keer dat 0 nulpunt is van de karakteristieke vergelijking f(x)= y p (x) = x m A n (x) m=# keer dat a nulpunt is van de karakteristieke vergelijking f(x)= y p (x) = x m A n (x) cosx + x m B n (x) sinx m=# keer dat a±bi nulpunt is vd karakteristieke vergelijking Samenvatting Wiskundige Analyse Pagina 18