Rationale getallen: optelling en aftrekking

Transcriptie

1 Rationale getallen: optelling en aftrekking Dit kun je al 1 gehele getallen optellen gehele getallen aftrekken vergelijkingen van de vorm x a oplossen met gehele getallen 4 de asisreuk epalen Test jezelf Elke vraag heeft maar één juist antwoord. Controleer je antwoord in de correctiesleutel. Achter elke vraag staat een verwijzing naar extra oefeningen in je oefenoek. A B C Verder oefenen? oef oef. 146 Wat is de oplossing van de vergelijking? x 1 x 1 x x 1 oef Schrijf 6 4 als een asisreuk oef. Dit he je nodig leerwerkoek p oefenoek p kladlok meetlat rekenmachine potlood en stiften Inhoud G Breuken vereenvoudigen p. 11 G0 Breuken optellen en aftrekken p. 116 G1 Kommagetallen optellen en aftrekken p. 10 G Vergelijkingen van de vorm x a oplossen p

2 G Breuken vereenvoudigen Op verkenning a Breuken vereenvoudigen: herhaling (zie les G) Schrijf als een asisreuk Vereenvoudigen door opeenvolgende delingen Als je niet onmiddellijk ziet door welk getal je teller en noemer kunt delen, kun je de volgende techniek toepassen: ga na of je de teller en de noemer kunt delen door. Als je niet meer kunt delen door, ga je na of je kunt delen door, enzovoort. Pas deze techniek toe op Noteer de resultaten van je onderzoek in de tael. Zijn teller en noemer deelaar door? Heeft het altijd zin om dit na te gaan? Als je denkt dat het geen zin heeft, verklaar je waarom 4 Nee. Als een getal niet (meer) deelaar is door, dan is het ook niet deelaar door 4. Ja Ja Hoe zie je of je teller en noemer door dit getal kunt delen? Het getal is even (eindigt op 0,, 4, 6 of ). De som van de cijfers is deelaar door. Het getal gevormd door de twee laatste cijfers is deelaar door 4. Ja Het getal eindigt op 0 of op. 6 Nee, als het getal niet meer deelaar is door en door dan ook niet door 6. Ja Het getal is deelaar door en het is even. Het getal splitsen Nee, als het getal niet deelaar is door, dan is het ook niet deelaar door. Nee, als het getal niet deelaar is door, dan is het ook niet deelaar door. Nee, als het getal niet meer deelaar is door of dan is het ook niet deelaar door 10. Ja De som van de cijfers is deelaar door. Het getal eindigt op 0. Het getal splitsen.... Bij welke getallen heeft het zin om na te gaan of je teller en noemer door het getal kunt delen?,,,, 11,... Vul de vereenvoudiging aan en noteer door welk getal je teller en noemer deelt..:.....:.... :..... : : : : : RAtionale getallen: optelling en aftrekking

3 c Priemgetallen Ga na of het mogelijk is om een rechthoek of een vierkant te leggen met 1 steentje steentjes steentjes 4 steentjes steentjes 6 steentjes steentjes steentjes steentjes 10 steentjes 11 steentjes Pythagoras was een Grieks filosoof en wiskundige. De Pythagoreeërs (de volgelingen van Pythagoras) hadden een ijzondere interesse in de natuurlijke getallen en hun eigenschappen. Ze geloofden dat de natuurlijke getallen en hun verhoudingen de asis waren van alle leven en van het heelal. De Pythagoreeërs ontdekten ij het rangschikken van een aantal stenen dat sommige getallen speciale kenmerken hadden. Met sommige aantallen steentjes was het mogelijk een rechthoek of een vierkant te leggen. Welke aantallen steentjes kun je in de vorm van een vierkant of rechthoek leggen? 4, 6,,, 10 4 : 1,, 4 : 1,, Geef de delers van de aantallen steentjes die in de vorm van een vierkant of rechthoek gelegd kunnen worden. 6 : 1,,, 6 10 : 1,,, 10 : 1,, 4, Welke aantallen steentjes kun je niet in de vorm van een vierkant of rechthoek leggen? 1,,,,, 11 1: 1 : 1, telkens delers Geef de delers van deze getallen. Wat valt je op? : 1, : 1, ehalve 1 : 1, 11: 1, 11 Wiskundetaal egrippen Een priemgetal is een natuurlijk getal dat juist twee verschillende delers heeft, namelijk het getal 1 en zichzelf. is een priemgetal ( delers, nl. 1 en ) is geen priemgetal (4 delers, nl. 1,, 4 en ) 1 is geen priemgetal (1 deler, nl. 1) Weetje Het aantal priemgetallen is oneindig groot. Er is immers niet zoiets als het grootste priemgetal. Wel estaat het grootst ekende priemgetal op dit moment. Dit getal estaat uit 1 1 cijfers. Deze ontdekking haalde wereldwijd de voorpagina s van de kranten en leverde de ontdekkers dollar op. 11

4 G Breuken vereenvoudigen (vervolg) d Vereenvoudigen met de grootste gemeenschappelijke deler (ggd). reuk tussenstappen asisreuk het grootste getal waardoor je teller en noemer kunt delen (ggd) Wiskundetaal egrippen De grootste gemeenschappelijke deler (ggd) van twee getallen is het grootste getal waardoor je deze twee getallen kunt delen. ggd (1, ) 6 lees ggd (1, ) 6 als de grootste gemeenschappelijke deler van 1 en is 6 Vereenvoudig Deel teller en noemer door dezelfde opeenvolgende priemgetallen en noteer de quotiënten: egin ij tot je niet meer kunt delen door, dan, enzovoort. Vind je geen enkel priemgetal meer waardoor je teller en noemer kunt delen, dan vormen de eindgetallen de asisreuk. :......:.... :......:.....: :..... :..... :......:.....:.... Vermenigvuldig de priemgetallen met elkaar om de ggd te erekenen. ggd (6,144) Handig rekenen asisreuk epalen met ehulp van de ggd ggd (, 6) 1 Als je de teller en de noemer door hun grootste gemeenschappelijke deler deelt, ekom je de asisreuk. : : 1 is de asisreuk e Breuken met een negatieve teller of noemer vereenvoudigen Schrijf de reuk als een deling. Bepaal het teken van het quotiënt : 11 : () 11 : 11 : () Als teller en noemer een verschillend teken heen. Als teller en noemer hetzelfde teken heen. Wanneer is een reuk negatief?... Wanneer is een reuk positief?... Rekenregel het teken van een reuk Een reuk is positief als het quotiënt van de teller en de noemer positief is. Een reuk is negatief als het quotiënt van de teller en de noemer negatief is. Een asisreuk heeft steeds een positieve noemer. positief (asisreuk: ) negatief (asisreuk: ) 114 RAtionale getallen: optelling en aftrekking

5 CONTROLE 40 Schrijf als een asisreuk f Breuken vereenvoudigen met je rekenmachine Geruik van de rekenmachine Welke toets geruik je om een reuk in te voeren? Welke toetsen geruik je om in te voeren? Welke toetsen geruik je om in te voeren? Welke toets geruik je om een reuk te vereenvoudigen? Welke toetsen moet je indrukken om te vereenvoudigen? Oefeningen 1 Plaats een kruisje als het getal in de ovenste rij deelaar is door het getal in de eerste kolom Welk cijfer kun je invullen op de plaats van de letter x, zodat het getal deelaar is door de opgegeven getallen? Geef alle mogelijkheden. a x door x... x < 00 door x... Is de reuk positief () of negatief ()? Schrijf de reuk als een asisreuk. of asisreuk ,, 4, 6, 1, Wat moet je kunnen? τ een reuk schrijven als een asisreuk τ de priemgetallen kleiner dan 1 opsommen τ de ggd erekenen van twee getallen τ een reuk vereenvoudigen met je rekenmachine 11

6 G0 Breuken optellen en aftrekken Op verkenning a Breuken met dezelfde noemer optellen De vader van Mieke schildert de afsluiting van de tuin. Het is een heel karwei, want rond de tuin staan acht panelen. Elk paneel estaat uit houten latten. Hoeveel latten moet vader in totaal schilderen?... Tijdens het eerste uur gaat het nog vlot vooruit. Vader schildert 4 latten. Welk deel van het geheel heeft hij dan geschilderd? 4... Tijdens het tweede uur gaat het wat trager. 00 Vader schildert nog latten. Welk deel van het geheel heeft hij tijdens het tweede uur geschilderd? Vader pauzeert even. Welk deel van het geheel heeft hij in totaal 4 4 geschilderd? Noteer je ewerking als een optelling van reuken.... Wiskundetaal egrippen Gelijknamige reuken zijn reuken met dezelfde noemer. 1 en 1 zijn gelijknamige reuken Hoe tel je reuken met dezelfde noemer op? Wat doe je met de tellers? Je. telt de tellers op. Welke rekenregel pas je toe om de tellers op te tellen?. Wat doe je met de noemer? Je. ehoudt de noemer. 00 Rekenregel voor optellen van gehele getallen. Rekenregel gelijknamige reuken optellen Tel de tellers op (rekenregel voor het optellen van gehele getallen). Behoud de noemer. Vereenvoudig het resultaat tot een asisreuk CONTROLE 41 Reken uit Breuken met een verschillende noemer optellen Terwijl vader schildert, wieden moeder en Mieke de moestuin. Ze nemen elk een deel voor hun rekening. Na een uurtje werken, stelt moeder voor even te pauzeren. Zij heeft al 1 van de moestuin gewied, Mieke heeft 1 afgewerkt. Welk deel van het werk heen ze al achter de rug? Noteer de ewerking.... Verdeel de rechthoek horizontaal in gelijke delen en verticaal in gelijke delen. Hoeveel vakjes ekom je?... 6 Moeder heeft 1 gedaan. Kleur dit deel lauw in het schema. Je het vakjes gekleurd op een totaal van 6 of Mieke heeft 1 gedaan. Kleur dit deel groen in het schema. Je het vakjes gekleurd op een totaal van 6 of De twee delen heen nu dezelfde noemer, dus kun je ze optellen RAtionale getallen: optelling en aftrekking

7 Rekenregel ongelijknamige reuken optellen Vereenvoudig de reuken (indien mogelijk). Maak de reuken gelijknamig. Tel de tellers op (rekenregel voor het optellen van gehele getallen). Behoud de noemer. Vereenvoudig het resultaat tot een asisreuk c CONTROLE 4 Reken uit Breuken gelijknamig maken met het kgv Hoe heeft Norah de gemeenschappelijke noemer Nora h Tio Ze heeft de noemers met elkaar gevonden?... vermenigvuldigd.... Hoe heeft Tio die gevonden?... Hij heeft het kleinste gemeenschappelijk veelvoud genomen.... Waarom heeft Norah een stap meer nodig in haar Ze moet vereenvoudigen tot de erekening?... asisreuk Wiskundetaal egrippen Het kleinste gemeenschappelijke veelvoud (kgv) van twee getallen is het kleinst mogelijke natuurlijk getal verschillend van 0 dat een veelvoud is van eide getallen. kgv (4, 6) 1 lees kgv (, ) als het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van en is Zie je niet onmiddellijk wat het kgv is van twee getallen om twee reuken gelijknamig te maken, dan kun je onderstaand stappenplan volgen. Vooreeld: 6 4 Bereken het kgv van 4 en. Deel de getallen door opeenvolgende priemfactoren. Die priemgetallen schrijf je in de rechterkolom. Zijn eide getallen deelaar, dan deel je ze alleei. Noteer de quotiënten onder het deeltal. Is slechts één getal deelaar, dan deel je dat ene getal, noteer je het quotiënt onder het deeltal en schrijf je het andere getal over. Deel verder tot het quotiënt in eide kolommen 1 is. Het product van alle priemfactoren waardoor je deelde, is het kgv van eide getallen kgv (4, ) Maak en 6 gelijknamig en Bereken de som

8 G0 Breuken optellen en aftrekken (vervolg) d Bereken op eenzelfde manier Breuken optellen en aftrekken met je rekenmachine kgv (,0) Geruik van de rekenmachine Welke toetsen moet je indrukken om dit verschil te erekenen? Oefeningen 4 4 Duid aan op de tekening. Reken uit. a c Reken uit. a... ( )... c... d Reken uit. a ( )... c d ( ) Reken uit. a 1 6 ( ) c d ( 1 1 ) RAtionale getallen: optelling en aftrekking

9 Een heerlijke frisdrank a Een cilindervormig glas is voor gevuld met frisdrank. Als je een ijslokje toevoegt, stijgt het vloeistofpeil met 1 van de hoogte van het glas. Welk deel van het glas is nu gevuld? Het glas is voor 1 gevuld.... Het glas is voor 11 1 gevuld. Hoeveel lokjes moet je toevoegen om het glas te doen overlopen? Eén ijslokje komt overeen met 1, dus ij toevoeging van ijslokjes is je glas vol. Zodra je er indoet, loopt het glas over Eén legplank van een oekenrek staat voor vol. De tweede legplank is voor drie kwart ingenomen. Als je alle stripverhalen van de eerste naar de tweede plank verplaatst, staat de tweede legplank voor 1 vol. Welk deel 1 van de legplank wordt ingenomen door de stripverhalen? De strips nemen 6 van de legplank in... Wat moet je kunnen? τ reuken gelijknamig maken τ gelijknamige reuken optellen en aftrekken τ ongelijknamige reuken optellen en aftrekken τ het kgv erekenen van twee getallen τ reuken optellen en aftrekken met je rekenmachine τ de ggd erekenen van twee getallen 11

10 G1 Kommagetallen optellen en aftrekken Op verkenning a Positieve kommagetallen optellen Marit trekt er op uit om te shoppen. Ze koopt een trui van 1,, een Tshirt van 6, en een jas van 14,0. Hoeveel moet ze in totaal etalen? Schat eerst het resultaat. Bereken het exacte edrag door te cijferen. Controleer de som met je rekenmachine , 6, 14,0 16,14 Positieve en negatieve getallen optellen en aftrekken Hoeveel moet je etalen in de supermarkt? Schat eerst het resultaat.... Schrijf de positieve en de negatieve getallen in aparte kolommen. Bereken de som door te cijferen., 1 1, 10 Aardappelen kg 4, Positieve getallen Negatieve getallen BON prijsvoordeel 0,0 Druiven zonder pit, 4, 0,0, 0,40,4 0,60 1, 1,0 11, Hoeveel moet je etalen in de supermarkt?... Controleer het verschil met je rekenmachine. Kalkoenfilet 00g,4 BON prijsvoordeel 0,40 Eieren 6st 1, Totaal leeggoed 0,60 11, 1,0 10, Rekenregel kommagetallen optellen en aftrekken Schat het resultaat., 1,,, Schrijf de getallen met dezelfde rang, (eenheden, tienden...) onder elkaar. Zorg ervoor dat alle komma s netjes onder elkaar 1, staan.,4 Pas de rekenregel toe voor het optellen van, 1,,4 gehele getallen (zie G1). 4,6,1 4 4,6,1,1 4,6,1,1,16,4, 1,,16,4 1,4,16,4 1,4 1, 0, 1 0 0, 1,,06 1, 0,,06 10 RAtionale getallen: optelling en aftrekking

11 10 Oefeningen Reken uit door te cijferen (onder de oefeningen). Controleer het resultaat met je rekenmachine. a 1,,0 16,4 1, c, 6,4 d,16, 1, 0, 0 1, 1,,, 4,0 1 6, 4 1, 0, 6, 4,,, 4, 1 6 4, Je stapt met een winkelkarretje door de supermarkt en laadt volgende zaken in: een pakje oter van 1, euro, een reep chocolade van 1, euro, 1 kg clementines van 1, euro, liter melk voor,0 euro en een pak spaghetti van 0,4 euro ,, 1, 1, 1,,0 0,4,60 Je moet,60 euro etalen. a Schat hoeveel je zult moeten etalen. Bereken het exacte edrag dat je moet etalen Bereken door te cijferen. a Sofie is 1, m lang. Vorig jaar was ze 1,4 m. Hoeveel cm is ze gegroeid?, cm 1, 0 1, 4 0, In de enzinetank van een auto kan 0 l. Bij een enzinestation tankt Hans tot de tank vol is. Hij ziet dat hij, l heeft getankt. Hoeveel liter zat er voor het tanken in de tank? 4, liter 0, 0 0, 4, c De kilometerteller van de fiets van Alice staat op, km als ze thuis vertrekt. Als ze terug thuis komt staat er,4 km op de teller. Hoeveel km heeft ze gefietst? 1, km, 4, 1, d De watermeter staat op 11,4 m. De vorige waterstand was 10, m. Hoeveel water is er verruikt? 1,1 m 1 1, 4 1 0, 1, 1 e Een autoroute is volgens het oekje 10 km lang. Bij het vertrek staat de kilometerteller op 4, km en aan het einde van de rit op 0, km. Wat is het verschil tussen de werkelijke afstand van de tocht en wat er in het oekje staat? 1, km 0, 4, 1 1, 10 11, 1, f Els woont, km van school en Patrick woont, km van school. Hoe ver woont Els minstens van Patrick? Hoe ver woont Els maximaal van Patrick? minstens 1, km, maximaal 1, km,, 1,,, 1, Wat moet je kunnen? τ kommagetallen optellen en aftrekken 11

12 G Vergelijkingen van de vorm x a oplossen Op verkenning Lees het vraagstuk aandachtig en onderstreep de ekende gegevens. Marc reekt een stuk van het terras uit om een loemperkje aan te leggen. Wat overlijft van het terras (,6 m²) is immers nog voldoende groot voor een tuintafel en zes stoelen. De uitgeroken terrastegels (4, m²) rengt hij naar het kringlooppark. Hoe groot was het terras oorspronkelijk? Trek je van een getal 6 af, dan ekom je 4. Wat is dat getal? Wat is de onekende in het vraagstuk? De onekende stel je voor door de letter x. x is oorspronkelijke grootte.... Schrijf het verand tussen de onekende en de ekende gegevens als een vergelijking. x 4,,6 x 6 4 4, 4, 6 x,6 4, x 4 6. Los de vergelijking hieroven op (met ehulp van een pijlenschema). Welke ewerking moet je uitvoeren (in het linker- en het rechterlid) om x af te zonderen? Schrijf deze ewerking naast de pijlen. Bereken de waarde van x. Controleer de oplossing door het getal in te vullen in de vergelijking op de plaats van x Formuleer een antwoordzin. x 1,0 x 1,0 4,,6 Het oorspronkelijke terras was 1,0 m groot x is het getal dat je zoekt Het getal dat je zoekt is 1. 1 Stappenplan vergelijkingen van de vorm x a oplossen Noteer elke stap op een nieuwe regel en schrijf de gelijkheidstekens netjes onder elkaar. Zonder x af door in eide leden dezelfde ewerking uit te voeren. in het linker- en het rechterlid dezelfde term aftrekken in het linker- en het rechterlid dezelfde term optellen Bereken de waarde van x. Controleer de oplossing door het getal in te vullen in de vergelijking op de plaats van x. a en zijn rationale getallen x a a a x 1 4 x a 1 x x 1 4 controle: RAtionale getallen: optelling en aftrekking

13 Oefeningen 1 Los de vergelijkingen op. a x d x, 4, x x 4,, Schrijf als een vergelijking x c 0, x 1, a De som van een getal en, is 4,.... Als je aftrekt van een getal ekom je. 16 x... c Als je een getal aftrekt van, ekom je,.... d, is de som van,1 en een ander getal.... e Een krant (k) kost 0, euro minder dan een tijdschrift (t). k... t 0, of k 0, t Schrijf als een vergelijking. Los de vergelijking op. a 14 x Als je ij een getal 11 optelt, dan krijg je. Welk getal is dat? x x x 1,44 0, x,14 e x f x ( 1 6 ) 6 x, 4, 16, x,,,1 x x x x x Een fles frisdrank is voor 6 gevuld. Je schenkt twee glazen in en de fles is nog voor 1 gevuld. Hoeveel he je dan ingeschonken? x 11 x 6 x 1 11 x 4 x 1 6 x x 0 x 1 Dat getal is. x 1 x 1 x Je schonk 1 in. Wat moet je kunnen? τ vergelijkingen van de vorm x a oplossen τ vraagstukken oplossen met ehulp van een vergelijking van de vorm x a 1

14 Prolemsolving 16 Een priemgetal is een geheel getal groter dan 1 dat je niet kunt schrijven als het product van twee kleinere positieve gehele getallen. Bijvooreeld,,,, is het product van 4 priemgetallen: 0. Daarom zeggen we dat 4 de priemlengte is van 0. Hoeveel oneven getallen onder de 100 heen priemlengte? A B C 4 D e Het gaat om oneven getallen, dus producten waarij een factor gelijk is aan hoef je niet te ekijken. Omdat het product van de eerste twee minstens is en 11, hoef je geen andere priemgetallen te ekijken dan,, en 11. Je krijgt dan de volgende getallen: Vijf leerlingen heen ieder een getal gekozen. Ze hadden de keuze uit 1, of. Als je de gekozen getallen vermenigvuldigt, is de uitkomst een van de volgende getallen. Welk getal is dat? A 10 B 10 C D 0 e 64 Alle cominaties van de getallen kunnen ijgevolg geschreven worden als een macht met grondtal. 1 Iedere dag slaapt Minoe de kat van 1 uur s middags tot 1 uur s avonds onder een eik. De rest van de tijd is ze wakker om muizen te vangen. Aan de eik hangt een ordje met de tekst: Twee uur geleden deed Minoe hetzelfde als wat zij over een uur zal doen. Hoeveel uur per dag is de tekst op het ordje waar? De tekst is waar tussen 0.00 en uur en tussen en.00 uur. Dat is in totaal 1 uur. 1 Grootmoeder heeft koekjes voor haar kleinkinderen geakken. Als zij ieder twee koekjes geeft, dan houdt ze drie koekjes over. Als zij ieder drie koekjes wil geven, dan heeft ze er twee tekort. Hoeveel kleinkinderen heeft grootmoeder? aantal aantal koekjes aantal koekjes esluit x x kleinkinderen k k k 1 Prolemsolving x x x Grootmoeder heeft vijf kleinkinderen. 6 aantal koekjes is niet gelijk aantal koekjes is niet gelijk aantal koekjes is gelijk