Functies (een korte inleiding)

Transcriptie

1 Hoofdstuk 3 Functies (een korte inleiding) 3.1 Definitie van een functie: domein en mapping Functies in Funmath Functies kent u waarschijnlijk al uit de context van wiskundige analyse, waar gewerkt wordt met functies van een of meer veranderlijken. Ook in veel programmeertalen bestaat er een concept van functies 1, dat heel gelijkaardig is met de functies die we hier zullen beschrijven. In Funmath neemt een functie één argument 2 en beeldt dit af 3 op een (beeld)waarde 4. Dit noemen we de functietoepassing (of functie-applicatie) 5 vandefunctieophetargument. Functies zijn een essentieel onderdeel van de Funmath-notatie. We beschouwen ze als essentiële objecten van onze formele taal 6. We zullen zien dat in onze aanpak predicaten niets anders dan een speciaal soort functie zijn. In Funmath kunnen functies zelf argumenten van andere functies zijn, of kunnen de beeldwaarden zelf ook functies zijn. Functies die een functie als argument nemen en functies waarvan de beeldwaarden functies zijn, noemen we hogere-ordefuncties 7. Op het einde van dit hoofdstuk zullen we zien hoe we eenvoudig functies kunnen definiëren op basis van gewone uitdrukkingen aan de hand van 1 Soms ook methodes genoemd. 2 We zullen later zien dat je een functie met meerdere argumenten in Funmath kan formuleren als een functie die een tupel als argument neemt. Formeel gaat het dus nog steeds om functies met één argument, maar het vormt een prima model voor functies met meerdere argumenten. 3 In het Engels: mapping. 4 In het Engels: value. 5 In het Engels: function application. 6 En niet als een verzameling koppels (argument, beeldwaarde), zoals in sommige formele talen het geval is. 7 In het Engels: higher-order functions. 82

2 HOOFDSTUK 3. FUNCTIES (EEN KORTE INLEIDING) 83 abstracties Domein en mapping Een functie wordt gedefinieerd door haar domein en haar mapping. Het domein is de verzameling van de mogelijke geldige argumenten van de functie. De mapping is het gedrag van de functie als ze toegepast wordt op een argument uit haar domein. Twee functies zijn aan elkaar gelijk a.s.a. zowel hun domein als hun mapping gelijk zijn. We noteren het domein van een functie f als: Df De toepassing van een functie f op een argument x (met x Df) schrijven we met de vertrouwde prefix-notatie: f(x) Voor functies met meerdere argumenten 9, zullen we wel eens afwijken van de prefix-notatie en eerder kiezen voor een infix-notatie als deze meer vertrouwd is. Zo zullen we voor de optelling (over bijvoorbeeld natuurlijke getallen) meestal kiezen voor de vertrouwde infix-notatie x + y eerder dan voor de prefix-notatie (+) (x, y), die in Funmath weliswaar correct is, maar waarmee we duidelijk minder vertrouwd zijn. In Funmath (en in vele andere formele talen) bestaat er een conventie om haakjes te laten wegvallen bij functie-applicatie. Het is dus toegelaten om te schrijven f x i.p.v. f(x). Als er opeenvolgende functie-applicaties zijn, spreken we af dat we de functie-applicatie als linksassociatief beschouwen. Dit betekent dat fedstaat voor (f(e))(d) (met e Df en d D(f(e))). Uit ervaring weet ik dat deze notaties zonder haakjes wel eens verwarrend kunnen zijn. Ik zal ze zeer spaarzaam gebruiken in deze cursus, tenzij in gevallen waar de notatie zonder haakjes leidt tot een meer vertrouwde notatie, of wanneer te veel haakjes een uitdrukking onoverzichtelijk zouden maken. Het domein van een functie f kan expliciet gedefinieerd zijn als een verzameling X: Df = X waarbij X een uitdrukking is waarin f niet als (vrije) variabele voorkomt. Zo zou ik de sinusfunctie (sin) op de reële getallen kunnen beschouwen, waarbij D sin = R. De definitie van het domein van f kan echter ook impliciet zijn: x Df p 8 In het Engels: abstractions. 9 In Funmath dus eigenlijk functies die een tupel als argument aannemen.

3 HOOFDSTUK 3. FUNCTIES (EEN KORTE INLEIDING) 84 waarbij p een propositie-uitdrukking is, waarin f niet als (vrije) veranderlijke voorkomt, maar x vaak wel. Een voorbeeld hiervoor zou de natuurlijke logaritme (ln) over de reële getallen zijn, waarvoor x Dln x R x 0. De definitie van de mapping van een functie is typisch van de vorm: x Df q met q een propositie. Afhankelijk van de uitdrukking q kunnen we een expliciete mapping hebben. Nemen we bv. de successor-functie succ (die een natuurlijk getal op het eerstvolgende grotere natuurlijk getal afbeeldt). Het domein van de successorfunctie is N en de mapping kunnen we definiëren als n N succ n = n +1. Maar ook een impliciete mapping is mogelijk, zoals bv. voor de vierkantswortelfunctie sqrt over de reële getallen met als domein 10 R 0. De mapping kunnen we definiëren als x R 0 (sqrt(x)) 2 = x sqrt(x) 0. Ook recursieve definities zijn onder bepaalde voorwaarden mogelijk 11.Zo kan je een functie Fib definiëren met DFib = N en als mapping Fib(0) = 0 Fib(1) =1 n N >1 Fib(n) =Fib(n 1)+Fib(n 2). Ook dit blijkt voldoende om de functie eenduidig te specificeren. Zoals eerder al vermeld, wordt een functie volledig gedefinieerd door de combinatie van haar domein en haar mapping. Nodige en voldoende voorwaarde opdat twee functies f en g aan elkaar gelijk zouden zijn, is dus dat Df =Dg en dat voor een willekeurige x (x Df) geldtf(x)=g(x). 3.2 Bereik Het bereik 12 van een functie is de verzameling van alle mogelijke beeldwaarden die bereikt kunnen worden als men de functie toepast op de mogelijke argumenten uit haar domein. In Funmath zijn er twee manieren om het bereik van een functie f te noteren: Rf en {f} Beide notaties zijn gelijkwaardig 13, maar de notatie {f} zullen we vooral gebruiken als f een tupel of een abstractie is (zie even verder). Er geldt natuurlijk: x Df f(x) Rf 10 De notatie R 0 is vrij vanzelfsprekend en staat voor de verzameling van de reële getallen groter of gelijk aan 0. Het is echter al een vrij gevorderde Funmath-notatie, waar we hier (voorlopig) niet op zullen ingaan. 11 Hier zullen we dieper op ingaan in het hoofdstuk over inductie. 12 In het Engels: range. 13 Lees dus zeker niet {f} als het singleton met als element de functie f, wat we in Funmath zouden genoteerd hebben als ιf.

4 HOOFDSTUK 3. FUNCTIES (EEN KORTE INLEIDING) 85 Voor een preciezere definitie van het bereik van een functie zullen we nog wat uitdrukkingen met predicaten nodig hebben. Beschouwen we het bereik van enkele eerder gedefinieerde functies, dan kunnen we voor de successor-functie (n N succ n = n + 1) de range eenvoudig schrijven als R succ = N >0. Voor de vierkantswortelfunctie die we eerder impliciet gedefinieerd hadden (x R 0 (sqrt(x)) 2 = x sqrt(x) 0) kunnen we schrijven R sqrt = R 0. Het is echter niet altijd even evident om een gesloten uitdrukking te vinden voor het bereik van een functie. Voor de recursief gedefinieerde Fibonaccifunctie Fib zou dit behoorlijk moeilijk zijn. 3.3 Type van een functie Voor de typering van functies gebruiken we de pijltjesnotatie: X Y De betekenis ervan is dat een functie die dit type (X Y ) zou hebben als domein X heeft en een bereik dat omvat is in Y,ofietsformeler: f X Y Df = X Rf Y Merk op dat in Funmath f X Y impliceert dat het domein van f gelijk is aan X. Als u wil beschrijven dat het domein van f omvat is in X, dankan ugebruikmakenvandepartiële pijl: f X Y Df X Rf Y Bekijken we opnieuw de eerder in dit hoofdstuk vermelde voorbeeldfuncties (succ, sqrtenfib), dan kunnen we voor elk van deze functies eenvoudig het type bepalen: succ N N, sqrt R 0 R en Fib N N. Elk van deze typeringen is correct, maar niet uniek. We geven voor succ en voor Fib alleen aan dat de beeldwaarden natuurlijke getallen zijn, maar we zijn niet erg strikt in de beschrijving van het bereik van deze beide functies. We zouden ook kunnen schrijven dat succ N N >0, wat eveneens correct zou zijn aangezien R succ = N >0, maar het is dan wel de vraag of dit veel bijkomende nuttige informatie oplevert. Het zal meestal voldoende zijn te weten dat de beeldwaarden van de successor-functie van het type natuurlijk getal zijn, zonder extra toegevoegde informatie. Ook voor de vierkantswortelfunctie kunnen we de typering strikter definiëren door te schrijven sqrt R 0 R 0, wat ons de bijkomende informatie meegeeft dat de beeldwaarden positieve reële getallen zijn. Met de partiële pijl zijn we ook minder precies over het domein van de beschouwde functie. We kunnen dus schrijven: succ Z Z, sqrt R R, maar

5 HOOFDSTUK 3. FUNCTIES (EEN KORTE INLEIDING) 86 daarmee verliezen we natuurlijk informatie over de toegelaten argumenten aangezien we alleen iets vertellen over het algemene type van de argumenten. Tenslotte vermelden we voor de volledigheid de conventie voor de typering van hogere-ordefuncties dat we de functiepijl als rechtsassociatief 14 beschouwen, m.a.w. X Y Z = X (Y Z) wat staat voor de verzameling van functies met X als domein en als beeldwaarde een nieuwe functie met domein Y en bereik omvat in Z. Voorbeelden van dergelijke functies zullen aan bod komen in de sectie over abstracties. 3.4 Tupels Als we een opsomming van uitdrukkingen willen neerschrijven, noteren we dit al eens snel als een kommagescheiden lijst van uitdrukkingen, bv. e, e,e voor een opsomming van 3 uitdrukkingen e, e en e. Deze uitdrukkingen hoeven niet alle van hetzelfde type te zijn. In tegenstelling tot verzamelingen, is de volgorde van de uitdrukkingen hier wel belangrijk. Dit zullen we een tupel 15 noemen. We spreken van een n-tupel 16 als de tupel n uitdrukkingen omvat. In Funmath is de tupel een functie(!). Het domein van een n-tupel is n (dus D(e, e,e )= 3) en de mapping wordt het best geïllustreerd aan de hand van een voorbeeldje: (e, e,e )(0) =e (e, e,e )(1) =e (e, e,e )(2) =e Kortom, het komt overeen met het nemen van de uitdrukkingen op de corresponderende plaats in de kommagescheiden lijst, rekening houdend met het feit dat we vanaf 0 beginnen te tellen 17. Dat we tupels als functies zien, verklaart nu ook waarom de vertrouwde opsommingsnotaties voor verzamelingen nog altijd gelden in Funmath: {e, e,e } betekent in Funmath eigenlijk het bereik van de tupel (e, e,e ),watnetjes 14 Uitdrukkingen als linksassociatief of rechtsassociatief impliceren zeker niet dat de onderliggende operatie associatief is. Ze wijzen alleen op een notatieconventie die toelaat om in bepaalde omstandigheden haakjes weg te alten. Zo hebben we de conventie aangenomen dat we de functie-applicatie als linksassociatief beschouwen en dus (waarom?) is het logisch om de functiepijl als rechtsassociatief te beschouwen. 15 In het Engels: tuple. 16 Waarbij we meestal spreken van een koppel, of een geordend paar als n = 2. Voor de speciale gevallen van een 0-tupel en een 1-tupel zullen we wel een speciale notatie nodig hebben. 17 Welkom in de informatica...

6 HOOFDSTUK 3. FUNCTIES (EEN KORTE INLEIDING) 87 overeenkomt met de verzameling die de uitdrukkingen e, e en e bevat, aangezien dit de mogelijke beeldwaarden zijn van de tupel. Dit verklaart ook het voorbeeld gegeven in het hoofdstuk over verzamelingen, waar we de (vertrouwde) notatie {2016, 2017, 2018} gebruikt hadden voor de verzameling waarvan de elementen de getallen 2016, 2017 en 2018 zijn. De formele interpretatie van deze notatie 18 is dat het om het bereik gaat van de 3-tupel 2016, 2017, En hoewel de tupels 2018, 2019, 2017 en 2017, 2018, 2019 niet gelijk zijn (de volgorde van de elementen verschilt immers), hebben ze beide wel hetzelfde bereik, wat betekent dat voor de opsommingsnotatie van verzamelingen geldt: {2018, 2019, 2017} ={2017, 2018, 2019}. Dit laatste verwachten we ook voor de notatie van een verzameling, waar de volgorde van de elementen onbelangrijk is Speciale notaties voor 0- en 1-tupels Voor n-tupels (met n > 2) kunnen we een tupel eenvoudig noteren als een kommagescheiden lijst van n elementen, maar als het aantal uitdrukkingen in de tupel kleiner is dan 2, is een dergelijke notatie niet mogelijk. Daarom hebben we een speciale notatie nodig voor 0-tupels en 1-tupels. Het 0-tupel is de lege functie 19 ennoterenweinfunmathalsɛ. Het is misschien niet op het eerste gezicht duidelijk waarvoor deze functie staat, dus is het nuttig hier even over na te denken. We hebben aangegeven dat het domein van een n-tupel gelijk was aan n. Voor ɛ (0-tupel) hebben we dus dat Dɛ = 0. En aangezien 0 staat voor de verzameling van de natuurlijke getallen kleiner dan 0, is het evident dat deze verzameling leeg is. Conclusie: Dɛ = en daaruit voortvloeiend: Rɛ = We hebben geen expliciete mapping voorgesteld voor ɛ, maar als we kijken naar de traditionele uitdrukking voor de mapping van een functie zien we snel waarom: x Dɛ q is immers waar voor elke willekeurige propositie q aangezien het antecedent van de implicatie vals is voor elke mogelijke x- waarde. Ook voor 1-tupels hebben we een speciale notatie nodig. We noteren 20 in Funmath het 1-tupel met als enige uitdrukking e als τe. Het domein van een 18 Dit verklaart ook waarom het in Funmath (maar niet noodzakelijk in andere formele talen) toegelaten is een element meer dan eenmaal op te nemen in de opsomming van een verzameling. Zo is {2017, 2018, 2018, 2019} niets anders dan het bereik van het 4-tupel 2017, 2018, 2018, Dit bereik is dan een verzameling van 3 elementen, zodat {2017, 2018, 2018, 2019} ={2017, 2018, 2019}. 19 En we zullen deze lege functie ook buiten de context van tupels gebruiken in Funmath. 20 Opnieuw gebruiken we hiervoor een Griekse letter: de letter tau (τ).

7 HOOFDSTUK 3. FUNCTIES (EEN KORTE INLEIDING) 88 1-tupel is 1, de verzameling van de natuurlijke getallen kleiner dan 1, wat dus het singleton is met de waarde 0. We kunnen dus schrijven: D(τ e)=ιe De mapping van een 1-tupel kunnen we algemeen schrijven als x D(τe) (τe) x = e of iets eenvoudiger als (τ e)0 = e, waaruit voortvloeit: R(τ e)=ιe Het bereik van een 1-tupel is inderdaad een singleton Typering van tupels Tenslotte moeten we nog iets zeggen over het type van tupels. De verschillende uitdrukkingen in een tupel zijn niet noodzakelijk van hetzelfde type. Beschouwen we een koppel of 2-tupel (x, y) waarbij x X en y Y. De verzameling waartoe dit koppel (x, y) behoort, is dan het cartesisch 21 product van de verzamelingen X en Y : X Y Het is hopelijk evident dat het cartesisch product van verzamelingen niet commutatief is: X Y is niet hetzelfde als Y X (tenzij X = Y ). Er geldt voor willekeurige x en y: x, y X Y x X y Y We kunnen deze notatie veralgemenen naar n-tupels. Zo geldt bv. voor een 3-tupel: x, y, z X Y Z x X y Y z Z Analoge notaties gelden voor tupels met meer dan 3 uitdrukkingen 22. Een handige afkorting voor het cartesisch product van een verzameling met zichzelf is X 2 voor X X, wat ook kan veralgemeend worden naar X n voor het type van tupels met n uitdrukkingen die elk van het type X zijn. Let wel op dat deze notatie voor 3-tupels of n-tupels (met n > 2) u niet mag laten denken dat het cartesisch product associatief zou zijn. Dit is zeker 21 Genoemd naar de Franse denker René Descartes. 22 Funmath laat toe om een algemenere formele uitdrukking te schrijven voor de typering van tupels van willekeurige grootte, via een zogeheten elastische extensie van het cartesisch product, maar dit is al een vrij gevorderde notatie in Funmath en dit gaat verder dan de formuleringen die we hier typisch nodig hebben.

8 HOOFDSTUK 3. FUNCTIES (EEN KORTE INLEIDING) 89 niet het geval. Dit betekent dus dat X Y Z, X (Y Z) en (X Y ) Z drie verschillende verzamelingen zijn: de eerste is een verzameling van 3-tupels; de tweede is een verzameling van koppels waarvan de tweede uitdrukking eveneens een koppel is; de derde is een verzameling van koppels waarvan de eerste uitdrukking ook een koppel is. Met x X, y Y en z Z hebben we dus: x, y, z X Y Z x, (y,z) X (Y Z) (x, y),z (X Y ) Z We illustreren dit met een voorbeeld, waarbij X, Y en Z de verzameling van de binaire waarden is. Voorbeeld 50. We hebben achtereenvolgens een 3-tupel van binaire waarden, een 2-tupel waarvan het element op plaats 0 zelf een 2-tupel van binaire waarden is en het element op plaats 1 een binaire waarde is, en tenslotte een 2-tupel met als element op plaats 0 een binaire waarde en als element op plaats 1 een 2-tupel van binaire waarden. (0, 1, 1) B 3 ((0, 1), 1) B 2 B (0, (1, 1)) B B 2 (0, 1, 1) (0) =0 ((0, 1), 1) (0) =(0, 1) (0, (1, 1)) (0)=0 (0, 1, 1) (1) =1 ((0, 1), 1) (1)=1 (0, (1, 1)) (1) =(1, 1) De mapping van deze 3 tupels is zichtbaar verschillend. Dit maakt hopelijk voldoende duidelijk dat het cartesisch product niet associatief is en dat u niet zomaar haakjes mag plaatsen in tupels. 3.5 Abstracties Een laatste onderwerp bij deze sectie over functies zijn abstracties. Een van de hoofdredenen waarom we ze hier bespreken, is dat ze vaak gebruikt zullen worden in notaties met predicaten. Laten we met een voorbeeldje starten van een wiskundige uitdrukking die van een parameter x (met x R) afhangt: x > 0 Deze uitdrukking kan waar of vals zijn, afhankelijk van de waarde van x. Kunnen we uit deze uitdrukking de formulering voor een functie f afleiden met als domein de reële getallen en een mapping die bepaalt of het argument inderdaad groter dan 0 is? Dit zou intussen wel moeten lukken. We kunnen een functie f definiëren, zodat Df = R en x R f(x) =x > 0. Hiervoor hebben we wel een functienaam (f) moeten introduceren. We kunnen dit

9 HOOFDSTUK 3. FUNCTIES (EEN KORTE INLEIDING) 90 ook doen via een zogeheten (functie-)abstractie 23. We kunnen de functie dan eenvoudig schrijven als: x R.x> 0 De binding x R geeft alle informatie over het domein van de functie. De gebonden uitdrukking na het puntje (x > 0) geeft de mapping aan voor een x die voldoet aan de voorwaarden bepaald in de binding. We zeggen dat de veranderlijke x in deze functie-abstractie een gebonden veranderlijke 24 is Notatie voor abstracties De meest algemene vorm in Funmath voor een functie-abstractie 25 is: v X p.e Dit is de abstractie naar v in X met conditie p van de uitdrukking e, waarin v de gebonden veranderlijke is, X de verzameling waartoe een argument v moet behoren, p een propositie is waaraan v moet voldoen, en e de uitdrukking is die de mapping van de functie-abstractie aangeeft. De veranderlijke v kan voorkomen als vrije veranderlijke in de uitdrukkingen voor p en e, maar niet in de uitdrukking voor X. Een voorbeeld ter illustratie is een functie om de inverse van reële getallen te bepalen: x R x 0. 1/x Domein en mapping van abstracties Het domein van de functie v X p.ewordt bepaald door: x D(v X p.e) x X p[ v x (5.1) waarbij p[ v x staat voor de substitutie van de vrije veranderlijke v in de uitdrukking p door x. Dit kunnen we illustreren met een voorbeeld: y D(x R x 0. 1/x) y R y 0 23 De term komt van lambdacalculus waar dit begrip vaak voorkomt. Dit is zeer gelijkaardig aan het concept van anonieme functies in diverse programmeertalen ( lambda expressions in C++, C#, Haskell of Java; lambda forms in Python). 24 Een veranderlijke die niet gebonden is door een functie-abstractie noemen we een vrije veranderlijke. 25 Verwar de notatie voor abstracties (v X) nietmetv X (dit is een propositie die stelt dat v een element is van X) in Funmath. Vele andere formele talen gebruiken het symbool ook voor abstracties (bv. v X.e). Dit leidt echter soms tot ambiguë uitdrukkingen, zeker bij gebruik van de afgekorte notaties (e v X en v X p in Funmath). In Funmath zijn de uitdrukkingen n N n Z en n N n Z duidelijk verschillend. Als men gebruikt als symbool voor abstracties, krijgt men de dubbelzinnige uitdrukking n N n Z (die in Funmath syntactisch niet toegelaten is).

10 HOOFDSTUK 3. FUNCTIES (EEN KORTE INLEIDING) 91 Ook de mapping kunnen we eenvoudig bepalen voor een argument x dat behoort tot het domein van de functie-abstractie: x D(v X p.e) (v X p.e)(x) =e[ v x (5.2) waarbij e[ v x staat voor de substitutie van de vrije veranderlijke v in de uitdrukking e door x. Opnieuw kunnen we dit met hetzelfde voorbeeld illustreren: y D(x R x 0. 1/x) (x R x 0. 1/x)(y) =1/y Haakjesconventie met abstracties De conventie die we hanteren is dat een abstractie zo ver mogelijk naar rechts reikt: tot het einde van de regel of tot een afsluitend haakje. Dit betekent dus dat v X p.ed de abstractie is naar v in X met de conditie p van de functie-applicatie ed (hier met de Funmath-conventie van weggelaten haakjes genoteerd). Als u de abstractie v X p.ewilt toepassen op de uitdrukking d, dan dient u dit te schrijven met de nodige haakjes: (v X p.e) d waarbij opnieuw de Funmath-conventie voor het weglaten van haakjes bij functie-applicaties gebruikt is Alternatieve notaties voor abstracties U zult waarschijnlijk gemerkt hebben dat in onze eerste uitdrukking (x R.x> 0) er geen propositie p voorkwam. Dit is inderdaad een licht vereenvoudigde notatievariant voor het geval de conditie p altijd waar is: (v X 1.e)=(v X.e) Ook de uitdrukkingen die het domein en de mapping voor deze vereenvoudigde notatie bepalen, hebben dan een vereenvoudigde vorm: D(v X.e)=X voor het domein en x X (v X.e)(x) =e[ v x voor de mapping. Zo zal voor de abstractie x R.x> 0 het domein bepaald zijn door D(x R.x> 0) =R en de mapping door y R ((x R.x> 0)(y) y > 0).

11 HOOFDSTUK 3. FUNCTIES (EEN KORTE INLEIDING) 92 We vermelden ook twee vaak gebruikte alternatieve notaties voor bepaalde abstracties in Funmath: en (e v X)=(v X.e) (v X p)=(v X p.v) Het nut van deze beide notaties wordt vooral duidelijk als we het bereik van deze beide functies bekijken, en hierbij de twee vertrouwde uitdrukkingen terugvinden: {e v X} staat dan voor de verzameling van de uitdrukkingen e waarbij v een element is van X. Het gebruik hiervan kunnen we illustreren met een alternatieve definitie voor de verzameling m..n: m..n ={k Z m k k n} wat we kunnen lezen als de verzameling van de gehele getallen die groter of gelijk aan m en kleiner of gelijk aan n zijn. En voor de andere notatie {v X p} krijgen we dan de verzameling van alle v die element zijn van X waarvoor de conditie p geldt. Zo kunnen we de verzameling van de kwadraatgetallen schrijven als: {k 2 k N} Kan u nu zelf bepalen waarvoor de verzameling {k N k Z} staat? En de verzameling {k N k Z}? Enkele rekenregels met abstracties Naast de eerder gegeven regel van hoe de functie-applicatie van een abstractie op een argument moet berekend worden, zijn er nog een paar andere rekenregels met abstracties die wel eens van pas kunnen komen. De gebonden variabele in een functie-abstractie kunnen we eenvoudig vervangen door een andere: (v X p.e)=(w X p[ v w.e[ v w) op voorwaarde dat de nieuwe variabele w nognietvoorkomtindeoorspronkelijke uitdrukkingen e, p en X. We kunnen dus zonder problemen schrijven: (x R x 0. 1/x) =(z R z 0. 1/z)

12 HOOFDSTUK 3. FUNCTIES (EEN KORTE INLEIDING) 93 Tenslotte kunnen we de abstractienotatie verwijderen als de gebonden uitdrukking een functie-applicatie is: (v Df v X p) (v X p.f(v)) = f op voorwaarde dat v niet als vrije veranderlijke voorkomt in de uitdrukking f. Het antecedent van de implicatie is nodig om te garanderen dat f en de functie-abstractie hetzelfde domein zouden hebben, wat noodzakelijk is opdat twee functies gelijk zouden zijn. Dit kunnen we met een ander voorbeeld illustreren: (x R. sin(x)) = sin Abstracties naar meerdere veranderlijken Abstracties laten toe om eenvoudig een functie te definiëren op basis van een willekeurige geldige uitdrukking in Funmath. Hiermee wordt meestal een van de vrije veranderlijken uit de oorspronkelijke uitdrukking gebonden in de functie-abstractie. We zullen nu zien dat we ook meer dan één veranderlijke kunnen binden in een functie-abstractie: ofwel door de veranderlijken een voor een te binden in een geneste abstractie; ofwel door de abstractie naar een tupel van veranderlijken uit te voeren. We zullen deze beide aanpakken hier bespreken, typisch voor twee veranderlijken, maar de veralgemening naar meer veranderlijken is vanzelfsprekend Geneste abstracties We vertrekken van een Funmath-uitdrukking e, afhankelijk van twee (vrije) veranderlijken x en y, waarbij x X, y Y, e E (met X, Y en E verzamelinguitdrukkingen in Funmath, en we nemen aan dat de uitdrukkingen voor X, Y en E geen afhankelijkheid van x of y vertonen). Eerst voeren we de abstractie van e naar y in Y uit 26 : y Y.e Dit is dan een functie die een element uit Y als argument neemt en een waarde teruggeeft die afhangt van de (nog steeds vrije) veranderlijke x. We kunnen nu een stap verder gaan en de abstractie naar x in X uitvoeren van deze eerste abstractie: x X.y Y.e 26 Merk op dat we de vereenvoudigde vorm van de functie-abstractie gebruiken: y Y.e. Het is ook mogelijk de volledige vorm, met conditie p te gebruiken: y Y p.e, maar dan moeten we wel meer aandacht besteden aan de correctheid van functiedomeinen.

13 HOOFDSTUK 3. FUNCTIES (EEN KORTE INLEIDING) 94 In deze abstractie zijn nu zowel x als y gebonden. Deze abstractie is een functie die een argument uit X neemt (hiervoor moet u naar de buitenste abstractie kijken), zodat we kunnen schrijven: D(x X.y Y.e)=X Het is echter misschien niet op het eerste gezicht duidelijk welke beeldwaarde we hiermee bekomen. Laten we de abstractie dus toepassen op een argument xa (xa X), gebruikmakend van de eerder gegeven regels voor de berekening van de functie-applicatie (5.2): (x X.y Y.e)(xa)= applicatie abstractie (y Y.e)[ x xa = substitutie op abstractie y Y.e[ x xa Het resultaat van de functie-applicatie is dus duidelijk opnieuw een functie, die ditmaal een argument uit Y verwacht. Hiermee hebben we dus een voorbeeld van een hogere-ordefunctie, want x X.y Y. e is een functie waarvan de functie-applicatie op xa opnieuw een functie is. We zien snel dat: D(y Y.e[ x xa )=Y en dat de applicatie van de functie op een argument ya (ya Y ) volgens (5.2) geeft: (y Y.e[ x xa)(ya)=(e[ x xa)[ y ya Wat de typering betreft van onze geneste abstractie x X. y Y. e betreft, kunnen we zeggen dat dit een (hogere-orde)functie is die een argument uit X neemt en als beeldwaarde een functie teruggeeft met domein Y en beeldwaarden in E. Samenvattend kunnen we dus schrijven: (x X.y Y.e) X (Y E) Let wel op dat de volgorde van de abstracties wel degelijk belangrijk is. Als we de abstractie eerst naar x en dan naar y hadden uitgevoerd, zouden we y Y.x X.ebekomen hebben, waarvan het type Y (X E) is. Als we een dergelijke geneste abstractie opeenvolgend toepassen 27 op argumenten xa en ya (x X.y Y.e) xa ya = applicatie abstractie (y Y.e[ x xa ) ya = applicatie abstractie (e[ x xa)[ y ya We proberen dit iets concreter te maken aan de hand van een voorbeeld. 27 En voor één keer gebruiken we de haakjesconventie van Funmath voor de functieapplicaties.

14 HOOFDSTUK 3. FUNCTIES (EEN KORTE INLEIDING) 95 Voorbeeld 51. We nemen als voorbeelduitdrukking de conjunctie van twee Boolese veranderlijken p en q: p q. In deze uitdrukking zijn zowel p als q vrije veranderlijken. Eerst abstraheren we dit naar q in B: q B.p q waarin p nog steeds een vrije veranderlijke is, maar q een gebonden veranderlijke is. We kunnen deze uitdrukking nu ook abstraheren naar de overblijvende vrije veranderlijke p in B: p B.q B.p q In deze laatste uitdrukking zijn zowel p als q gebonden veranderlijken. Het type van deze hogere-ordefunctie is B (B B). Passenwedefunctietoe op een argument r (r B), dan krijgen we: (p B.q B.p q)(r)=(q B.r q) Dit resultaat kunnen we nog eens toepassen op een argument s (s B), met als resultaat: (q B.r q)(s)=r s We zien dus (opnieuw gebruik makend van de haakjesconventie voor functieapplicaties in Funmath) dat: (p B.q B.p q) rs= r s Abstracties naar tupels Een andere manier om abstracties naar meerdere veranderlijken te definiëren, is te werken met abstracties naar tupels. We vertrekken zoals voor geneste abstracties van een Funmath-uitdrukking e, afhankelijk van twee (vrije) veranderlijken x en y, waarbij x X, y Y, e E (met X, Y en E verzamelinguitdrukkingen in Funmath, en we nemen aan dat de uitdrukkingen voor X, Y en E geen afhankelijkheid van x of y vertonen). Ditmaal voeren we de abstractie uit van e naar een koppel x, y in X Y : x, y X Y.e In deze uitdrukking zijn zowel x als y gebonden veranderlijken. Dit is een functie die een koppel uit X Y als argument neemt en als resultaat een waarde uit E teruggeeft. Het domein van deze abstractie is: D(x, y X Y.e)=X Y

15 HOOFDSTUK 3. FUNCTIES (EEN KORTE INLEIDING) 96 zodat we het type van deze abstractie kunnen schrijven als: (x, y X Y.e) X Y E We hebben niet echt een hogere-ordefunctie meer 28, maar een functie die een tupel als argument neemt, wat een goede benadering is in Funmath van een functie van meerdere veranderlijken. De applicatie op een tupel xa, ya (met xa, ya X Y ) geeft volgens (5.2): (x, y X Y.e)(xa, ya) =e[ x,y xa,ya waarbij we gewoon de hele tupel beschouwen als één veranderlijke voor de substitutie. Hoe we de abstractie (genest of op tupels) uitvoeren heeft alleen een impact op de manier 29 waarop de argumenten van de abstractie verwerkt worden. Het eindresultaat zal identiek zijn: (x, y X Y.e)(xa, ya) =(x X.y Y.e) xa ya We concretiseren dit opnieuw aan de hand van hetzelfde voorbeeld 51 dat we gebruikt hadden voor geneste tupels. Voorbeeld 52. We nemen als voorbeelduitdrukking de conjunctie van twee Boolese veranderlijken p en q: p q. We voeren de abstractie uit naar het koppel p, q (met p, q in B 2 ): p, q B 2.p q In deze laatste uitdrukking zijn zowel p als q gebonden veranderlijken. Het type van deze functie is B 2 B). Passen we de functie toe op een argument r, s (r, s B 2 ), dan krijgen we: (p, q B 2.p q)(r, s) =r s We zien dus dat we hetzelfde resultaat bekomen als met geneste abstracties: (p, q B 2.p q)(r, s) = (p B.q B.p q) rs 28 Tenzij u heel strikt een tupel ziet als een functie. In dit geval hebben we wel een functie die een andere functie als argument neemt en dus ook een (andere) vorm van hogereordefunctie is. 29 We zijn ongetwijfeld het meest vertrouwd met functies die een tupel als argument nemen (of functies met meerdere argumenten. De aanpak waarbij de argumenten een voor een genomen worden (met geneste abstracties) wordt wel eens currying genoemd. De naam voor deze techniek komt van de Amerikaanse wiskundige en logicus Haskell Curry ( ).