Business Mathematics VUBK-VOORBEELD

Transcriptie

1 Business Mathematics VUBK-VOORBEELD

2 Maak kans op 1 jaar lang gratis collegegeld! Haal jouw studiepunten binnen met de studieondersteuning van SlimAcademy! Voor de ideale voorbereiding op jouw tentamens sluit je een handig abonnement af bij SlimAcademy. Je ontvangt alle producten uit jouw abonnement gratis en automatisch thuis en bespaart afhankelijk van jouw studie tot wel 60% t.o.v. het aanschaffen van de losse producten. Een overzicht van onze producten en abonnementen vind je hieronder: Losse producten: Online Cursus vanaf 9,95 Samenvatting Hard Copy vanaf 6,95 Tentamentraining op locatie vanaf 111,95 Samenvatting Digitaal vanaf 5,95 Scriptiebeleleiding vanaf 49,95 per uur Samenvatting Combi vanaf 9,95 Studieondersteuning abonnementen: Ontvang nu onze studieondersteuning voordelig en automatisch via één van onze handige abonnementen. Silver Gold Platinum Diamond Minimale korting 20% 20% 0% 5% Online cursus Samenvatting hardcopy Samenvattingen digitaal Tentamentraining op locatie Ben je benieuwd naar het aanbod voor jouw studie? Kijk dan op SlimStuderen.nl en CapitaSelecta.nl voor de mogelijkheden. Sluit je voor 1 oktober jouw abonnement af? Dan maak je kans op 1 jaar lang gratis collegegeld! (bereikbaar van 1:00 tot 17:00) Whatsapp: (bereikbaar van 9:00 tot 17:00) info@slimstuderen.nl

3 Voorbeeldsamenvatting Business Mathematics Beste Bedrijfskunde student, Welkom op de Vrije Universiteit! Voor je ligt de samenvatting van het vak Business Mathematics voor de studie Bedrijfskunde. SlimStuderen.nl en Capita Selecta hebben de belangrijkste verplichte tentamenstof voor je samengevat. Zo kun jij zo prettig mogelijk studeren. We wensen je alvast succes met studeren en natuurlijk met het behalen van jouw studiepunten! Kwaliteit Onze verslagen en lespakketten bevatten precies de stof die jij nodig hebt om je tentamen te halen, niet meer en niet minder. Iedere periode worden de verplichte literatuur, colleges en belangrijke werkgroepen samengevat door een ervaren auteur. Zo hoef jij je geen zorgen te maken als je een keer een college mist. Verder staan de verslagen vol met oefenvragen zodat je jouw kennis van het vak kunt testen. Met een abonnement profiteer je van hoge kortingen! Wil jij de samenvattingen altijd met korting en als eerste in huis hebben? Sluit dan nu een abonnement af en krijg alle samenvattingen automatisch op de deurmat! Werken bij? Wij zijn altijd op zoek naar de beste auteurs, repetitoren en studiemanagers! Lijkt het je leuk om bij ons aan de slag te gaan? Stuur jouw motivatie en cv naar Kom in contact met SlimStuderen.nl en Capita Selecta Wil je op de hoogte blijven van de ontwikkelingen bij SlimStuderen.nl? Ben je benieuwd naar onze kortingsacties, studentenhumor en studietips? Volg ons dan via: SlimStuderen.nl CapitaSelecta.nl klantenservice@capitaselecta.nl We wensen je veel succes met studeren en het halen van jouw tentamens! Team SlimStuderen.nl en Capita Selecta P.S. Wil jij dit studiejaar beginnen met korting op de samenvattingen van SlimStuderen.nl en Tentamentrainingen van Capita Selecta? Wanneer je vóór 1 oktober 2018 bestelt via onze websites, profiteer je van extra korting door de volgende kortingscode te gebruiken: Welkom2018SSCS. Hiermee ontvang je 15% korting op je eerste bestelling. 1

4 Inhoudsopgave VOORBEELDSAMENVATTING BUSINESS MATHEMATICS... 1 INHOUDSOPGAVE... 2 HOOFDSTUK 1: INFORMATIE OVER HET VAK... HOOFDSTUK 2: BASISFORMULES... 4 OEFENOPGAVEN HOOFDSTUK ANTWOORDEN OEFENOPGAVEN NAWOORD

5 Hoofdstuk 1: Informatie over het vak Je staat op het punt te beginnen met studeren voor je eerste vak! Business Mathematics staat bekend als één van de struikelvakken van het eerste jaar. In dit hoofdstuk vind je dus eerst wat informatie over het vak om je te helpen met een goede voorbereiding. Je cijfer voor Business Mathematics zal worden gevormd door twee tussentijdse digitale toetsen, die ieder voor 15% meetellen en samen voor 0% van het eindcijfer. En één tentamen, die voor 70 % meetelt. Bij zowel de digitale toets als het tentamen is de minimumeis een Het eindcijfer voor het vak moet minimaal een 5.50 zijn. Daarnaast is het van belang dat er wordt voldaan aan minimaal 75% aanwezigheid bij de werkcolleges ( 8 van de 10). Op het moment dat hier niet aan wordt voldaan, krijgt de student een aftrek van 2.00 van het eindcijfer. Het tentamen bestaat uit drie vragen. Vraag één bestaat uit ongeveer 14 vragen waarop alleen het antwoord gegeven mag worden. Als het antwoord fout is, is gelijk de hele vraag fout. De gehele stof kan bij deze vraag aanbod komen die is besproken tijdens de cursus. Vraag twee en drie zijn grotere opgaven, waarbij wel een volledige uitwerking gevraagd wordt. Ook hierbij kan de gehele stof gevraagd worden. Na afronding van het vak Business Mathematics ben je in staat om: Het belang van wiskunde te begrijpen voor de beroepspraktijk; De rol van wiskunde bij problemen in de echte wereld te zien; Het wiskundige probleem op te lossen en eventueel terug te vertalen; De juiste wiskundige techniek te selecteren en toe te passen; Teksten waarin wiskunde voorkomt te lezen en te schrijven. Business Mathematics is één van de moeilijkste vakken van Bedrijfskunde. SlimStuderen.nl biedt hiervoor (digitale) samenvattingen aan. Dit vak is verplicht om in het eerste jaar van Bedrijfskunde te halen. Op het moment dat er niet aan deze eis wordt voldaan, moet de student van de opleiding af. Let op: dit is slechts een voorbeeldverslag, hierin staat hoofdstuk 1 verwerkt. In de reguliere samenvatting staan meer hoofdstukken met voorbeeldopgaven en oefenopgaven met uitwerkingen.

6 Hoofdstuk 2: Basisformules In dit hoofdstuk zal de stof van week 1 worden besproken. Hierin komen som, product, vergelijkingen, functies en reeksen aan bod. Zorg dat je de basisformules hiervan kunt dromen en oefen goed met deze vergelijkingen. Het vak onderschatten en te weinig oefenen is de grootste valkuil bij studenten. Zeker de studenten die wiskunde A hebben gevolgd, moeten hard werken voor dit vak. Som en product De Griekse letter wordt gebruikt als sommatie symbool, die als volgt wordt geschreven: n x i = x m + x m x n 1 + x n i=m Dit kan worden gelezen als: De som van i=m tot n van x i. Het symbool i wordt ook wel de index of summation genoemd. Dit is een dummie variabele, wat betekend dat i kan worden vervangen door een willekeurige letter (die niet is gebruikt voor iets anders). Zowel de boven- als ondergrens kan variëren. In het bovenstaande voorbeeld geeft n de bovengrens aan. Dit kan 4, 10, 100 etc. zijn. De ondergrens wordt aangegeven als i=m. De m kan een getal van 1,10,5 etc. innemen. n (a i + b i ) i=1 n n = a i i=1 n n + b i i=1 ca i i=1 = c a i i=1 n n n n (a i + b i c i + d) = a i + b i c i + nd i=1 i=1 i=1 i=1 Voorbeeldopgave 1 a. 5 i=1 i 2 b. Neem x i =i, m=1 en n=10 c. Neem x i =2 (voor alle i s), m=0 en n=10 a. 5 i=1 i 2 = = 55 b.. c. Soms is er ook sprake van een dubbele sommatie. Dit betekend dat er twee sommatie tekens achter elkaar staat. Het is handig om eerst een van de sommatietekens uit te werken en daarna de andere. 4

7 Dit kan je doen als volgt: 4 (i + 2j) = [(i + 2) + (i + 4) + (i + 6) + (i + 8)] = (4i + 20) = = 84 i=1 j=1 i=1 i=1 Voorbeeldopgave 2 4 i j i=1 j=1 Schrijf allereerst het tweede somteken uit. Dit ziet eruit als volgt: i=1(i 1 + i 2 + i + i 4 ) = i=1 ( ) = 120 i=1 i Vervolgens schrijf je het andere somteken uit: 120( ) = 720 Daarnaast bestaat er naast een somteken ook een productteken. Dit houd in dat je in plaats van de vergelijking bij elkaar optelt, het met elkaar vermenigvuldigd. Dat ziet er als volgt uit: 4 (2i + 1) = (4 + 1) x (6 + 1) x (8 + 1) = 5x7x9 = 15 i=2 Voorbeeldopgave j=1 j i=1 i Er is sprake van een dubbele sommatie, maar dan met een somteken en een productteken. Het is van belang om eerst het somteken uit te rekenen en daarna pas het productteken. Dit komt omdat het somteken gebruikt wordt, om het productteken uit te rekenen (zie de j in beide tekens). Dus je vult als het ware bij het productteken op de plaats van j de uitwerking van het somteken in. Het somteken is j = , dus 1 i=1 i + 2 i=1 i + i=1 i. Vervolgens wordt het productteken uitgerekend: j=1 i = (1)+(1x2)+(1x2x)=1+2+6=9 j i=1 Reeksen een reeks (S) bevat verschillende elementen (e 1,e 2,e etc.) met e 1,e 2,e ϵ S, waarbij ϵ is een element van betekend. Voorbeeld: aantal leerlingen in een auto L = {1,2,,4,5} S = {x A} is de set van alle x en die onder de conditie van A vallen. Voorbeeld: {(x,y) x > y + 2} bevat (5,1) maar niet (1,5) 5

8 Speciale reeksen Ø = de lege set N = de (oneindige) set van alle natuurlijke nummers R = de reeks van alle echte nummers (inclusief breuken, wortels, etc.) Z = alle ronde getallen (positief, negatief, nul) Notatieregels voor reeksen Open A = (4,11) Bevat geen 4 en 11 Gesloten A = [4,11] Bevat 4 en 11 Deels-open A = [4,11) Bevat 4, maar geen 11 = oneindig A B = alle elementen die in A of B zitten A B = alle elementen die in A en B zitten A \ B = alle elementen die wel in A, maar niet in B zitten A B = A is een subset van B (Let op: een subset is een set, maar een element is geen set!) Voorbeeldopgave 4 a. Schrijf 10 > x 5 in reeks-notatie b. Gegeven zijn de reeksen A= (-,5), B={6}, C=[6, ). Welke getallen bevatten de volgende opties? 1. A B 2. C B. C \ B a. Bij 5 gebruik je een gesloten haakje, omdat x groter of gelijk is dan 5. Bij 10 wordt een open haak gebruikt, aangezien x kleiner is dan 10 en dus niet gelijk kan zijn aan 10. Hieruit volgt: x Є [5,10) b. 1. Er wordt gevraagd naar alle elementen die in A of B zitten. A bevat alle getallen kleiner dan 5 en B bevat het getal 6. Hieruit valt te concluderen dat het antwoord is: bevat alle getallen kleiner dan 5 en het getal Hier wordt gevraagd naar de elementen die in zowel C en B zitten. Aangezien B alleen 6 bevat en C het getal 6 en hoger (gesloten haakje bij 6), is het antwoord op de vraag 6.. Hier wordt gevraagd naar alle elementen die wel in C, maar niet in B zitten. Aangezien C het getal 6 en alle getallen hoger en B alleen het getal 6 bevat, kunnen we concluderen dat het antwoord op de vraag alle getallen groter dan 6 is. Functies Functies worden weergegeven met f(x)= Dit houd in dat de functie van x wordt weergegeven door een formule die op de plaats van de drie stippen staat. Bijvoorbeeld: f(x)= x

9 Bij wiskunde zijn er verschillende soorten functies. Elke functie kent zijn eigen kenmerken. Zo komt een wortelfunctie nooit onder 0, loopt een lineaire functie altijd recht en gaat een machtsfunctie altijd door 0. Hieronder de meest gebruikelijke soorten functies voor bij deze cursus en enkele voorbeeld formules. Lineaire functies x+1 Een rechte lijn Machtsfuncties x 2 of x of x 4 Loopt altijd door het nulpunt Kwadratische functies x 2 +1 Wortelfuncties x Komt nooit onder 0 Exponentiele functies 2 x Logaritmische functies Log(x) Al deze verschillende functies hebben ook verschillende domeinen. Een domein bevat alle mogelijke waarden van x waarbij y een uitkomst heeft. Je kunt dit zien als alle mogelijke waarden die de functie aan kan nemen op de x-as. Hieronder staat een tabel met de meest voorkomende soorten functies en de bijbehorende domeinen. Het is van belang dat je begrijpt hoe je een domein moet berekenen naar aanleiding van een functie. Soort functie: Functie: Domein: Lineaire functies x+5 Elke x Machtsfuncties x 2 of x of x 4 Elke x Kwadratische functies x 2 +1 Elke x Wortelfuncties 4 + x + 2 x -2 Want, x+2=0, dus x = -2 De functie start bij een x- waarde van -2. Daarna loopt de functie alleen maar op qua x waarden. Daarom is het domein groter of gelijk aan -2 + x 2 16 x - 4 V x 4 Want, x 2 16 x 2 = 16 x = 4 V x = - 4 De functie kan starten bij een x-waarde van 4 of bij een x- waarde van -4. Breuken - functie 1 + x x Het domein kan net zoals bij exponentiele of lineaire functies alle x- waarden aannemen. De enige uitzondering die er bij een breukenfunctie is, is dat je een breuk nooit kan delen door 0. De noemer mag dus nooit 0 worden, bij x = is de noemer 0. Daarom is het domein alles behalve 0. Logaritmische functies log(x-2) x-2 > 0 x > 2 Bij een logaritmische functie stel je alles tussen de haakjes gelijk aan groter dan 0. 7

10 Voorbeelopgave 5 Geef het domein van ln(x 2 1) Allereerst stel je alles tussen de haakjes gelijk aan groter dan 0: x 2 1 > 0, vervolgens ga je deze vergelijking oplossen. Hieruit komt voort dat je de 1 naar de andere kant brengt, zodat je vervolgens wortel kan trekken om de vergelijking op te lossen. Deze stappen worden hieronder weergegeven: x 2 > 1 x < -1 V x > 1 Om te rekenen met verschillende functies, worden er een aantal wiskundige rekenregels als basiskennis verwacht van de studenten. Zorg dus dat je deze formules kunt dromen. Hieronder worden de meest voorkomende rekenregels besproken per onderwerp. Breuken Een breuk is een manier om een deling weer te geven. De teller (boven de streep) moet namelijk gedeeld worden door de noemer (onder de streep). Breuken vermenigvuldigen doe je door de teller en de noemer van de ene breuk te vermenigvuldigen met respectievelijk de teller en de noemer van de andere breuk. Hieruit volgt de eerste rekenregel: a b c d = ac bd Het is mogelijk om voor de teller van de ene breuk de waarde 1 te nemen, evenals voor de noemer van de andere breuk. In bovenstaande rekenregel levert dit op: a = d = 1. Hieruit volgt de volgende rekenregel: c b = c 1 b Breuken kunnen ook gedeeld worden door elkaar. Hiervoor geldt de bekende regel: Delen door een breuk is hetzelfde als vermenigvuldigen met het omgekeerde. Dit wil zeggen dat je om twee breuken door elkaar te delen de teller en de noemer van een van de twee breuken moet verwisselen en vervolgens de twee breuken met elkaar kan vermenigvuldigen. Hieruit volgt dan ook de derde rekenregel: a b c d = a b d c = ad bc 8

11 Voorbeeldopgave 6 Bereken hoeveel 4 7 gedeeld door 10 is. Dit komt neer op het berekenen van de volgende deling van breuken: hetzelfde als vermenigvuldigen met het omgekeerde. 10 is omgekeerd, dus = = = Delen door een breuk is 10 Twee breuken kunnen alleen bij elkaar worden opgeteld of van elkaar worden afgetrokken, als ze gelijknamig zijn. Dat wil zeggen dat de noemer van beide breuken gelijk is. Als je twee breuken hebt waarvan de noemer niet gelijk is, moet je dus vaak eerst bij de ene breuk zowel de teller als de noemer vermenigvuldigen met de noemer van de andere breuk en bij de andere breuk eveneens zowel de teller als de noemer vermenigvuldigen met de noemer van de ene breuk. Vervolgens zijn de noemers van beide breuken gelijk en kunnen deze bij elkaar worden opgeteld of van elkaar worden afgetrokken. Hieruit volgen twee rekenregels: a c + b d a c b = + d d c c d = ad cd + bc ad + bc = cd cd a c b d a c b = d d c c d = ad cd bc ad bc = cd cd Als je deze rekenregel omkeert, dan volgt hieruit dat: b + a b = b b + a b = 1 + a b Slimme Tip! Vaak wordt de hierboven uitgelegde theorie impliciet teruggevraagd op het tentamen. Berekeningen met breuken worden dan vaak foutief uitgevoerd, waardoor je punten misloopt. Let er dan ook op dat geldt: a a + b 1 + a b Nog enkele rekenregels voor breuken: a c b c = a b b 0, c 0 a b = ( a) ( 1) ( b) ( 1) = a b a + b c = a c + b c a b = ( 1) a b = ( 1)a = a b b a b c = a b c a b c d = a b d c = a d b c 9

12 Voorbeeldopgave 7 Bereken de som van 4 6 en 5 8. Dit komt neer op Deze breuken zijn niet gelijknamig; de noemer van beide breuken is niet 6 8 gelijk. Om de breuken gelijknamig te maken, moet er gezocht worden naar het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van deze twee breuken. In dit geval is dat 24, omdat 4 6 = 24 en 8 = 24. Er geldt dat 4 = 4 4 = 16 5 en = 15, dus = = = Voorbeeldopgave 8 Vereenvoudig de volgende breuk: Eerst moet de noemer van elke afzonderlijke breuk worden uitgewerkt. Hiervoor moeten de beide breuken in de noemer gelijknamig worden gemaakt, zodat ze bij elkaar opgeteld dan wel van elkaar afgetrokken kunnen worden. Vervolgens moet de regel: Delen door een breuk is hetzelfde als vermenigvuldigen met het omgekeerde worden toegepast. Hieruit volgt achtereenvolgens dat = = 2 = = = 2 2 = 6 2 = en = 1 10 = = 1 5 = 5, = = 1 19 = = 1 19 = De som is dus gelijk aan Om deze breuken bij elkaar op te kunnen tellen moeten ze 6 6 gelijknamig worden gemaakt: = = = 42 = Machten Voor het rekenen met machten gelden er, net zoals voor het rekenen met breuken, enkele rekenregels die als aanwezige kennis verondersteld worden op het tentamen. Zo gelden er: a b a c = a b+c (a b ) c = a b c = a bc a b = 1 a b a 0 = 1, mits a 0, omdat 0 0 niet gedefinieerd is. (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b)(a b) = a 2 b 2 10

13 Ik wil hogere cijfers halen! Ik ga beter voorbereid tentamens maken! dit jaar wil Ik alle studiepunten halen! p rofessi onele studi eondersteuni ng

14

15 De laatste formule wordt ook wel de differences-of-squares-formula genoemd. Dit is het bewijs van de formule, oftewel in dit geval de uitwerking: (a + b)(a b) = a 2 ab + ab b 2 = a 2 b 2 Er geldt dat: (a + b) 2 = (a + b) (a + b) = a a + a b + b a + b b = a 2 + ab + ab + b 2 Let er echter op dat geldt: = a 2 + 2ab + b 2 (a + b) c a c + b c Voorbeeldopgave 9 Schrijf x 2 (x ) 4 1 x8 zo kort mogelijk. Eerst moet je ervoor zorgen dat het allemaal machten zijn met hetzelfde grondtal, in dit geval x. Er geldt dat a b = 1 a b, dus 1 x 8 = x 8. Tevens geldt er dat (a b ) c = a b c = a bc, dus (x ) 4 = x 4 = x 12. Dus x 2 (x ) 4 1 x 8 = x2 x 12 x 8. Omdat a b a c = a b+c, betekent dit dat x 2 x 12 x 8 = x = x 6. Voorbeeldopgave 10 Vereenvoudig: 4 0 (0,4) Eerst moet je ervoor zorgen dat alle machten uitgewerkt worden. Er geldt a 0 = 1, mits a 0, dus 4 0 = 1. Er geldt dat a n = 1 a n, dus (0,4) 1 = 1 = 1 = 5. Op basis van dezelfde regel geldt dat 0,4 1 0, = 1 = 1, dus = 4 1 = 1. Dit betekent dat de gevraagde uitdrukking (0,4) vereenvoudigd kan worden tot = 1. Een macht bestaat uit een grondtal en een exponent. Als je 2 hebt, dan is 2 het grondtal en de exponent. Tot nu toe hebben we alleen nog maar machten behandeld met exponenten die uit gehele, ofwel integere, getallen bestonden: integere exponenten. Maar er bestaan ook machten met non-integere exponenten. Dan bestaat de exponent bijvoorbeeld uit een breuk. Ook hiervoor zijn er enkele rekenregels. Zo gelden de regels dat: a 1 2 = a 1 p ap = a a b = a b a b = a b 11

16 Voorbeeldopgave 11 Vereenvoudig Eerst moet je ervoor zorgen dat het allemaal machten zijn met hetzelfde grondtal. In dit geval moet je het inzicht hebben dat de machten te herleiden zijn tot machten met grondtal 2. Zo geldt 64 = 2 6 en 2 = 2 5. Dus = 2 6 (2 5 ) 5. Op basis van de rekenregel dat (a b ) c = a b c geldt dat (2 5 ) 5 = = 2. Dit betekent dan ook dat de gevraagde uitdrukking gelijk is aan = 2 6+ = 2 = 8 op basis van de rekenregel a b a c = a b+c. Voorbeeldopgave 12 Vereenvoudig 2 (p a q b 2) (p 2a 4b 2 q ). Eerst moet je ervoor zorgen dat het allemaal machten zijn met hetzelfde grondtal. In dit geval is dat al het geval en zijn de grondtallen p en q. Op basis van de rekenregel dat (a b ) c = a b c geldt dat (p a 2 ) q b 2) = p 2 a q b 2 2 = p 2a q b en dat (p 2a q 4b 2 = p 2a 2 q 4b 2 = p a q 2b. Dus 2 (p a q b 2) (p 2a 4b 2 q ) = p2a q b p a q 2b = pa q b op basis van de rekenregel a b a c = a b+c. Voorbeeldopgave 1 8 Vereenvoudig + 2 2, waarvoor geldt x 0 en x 4. x 2 4x x x 4 Er moet voor gezorgd worden dat de drie breuken gelijknamig zijn, zodat ze bij elkaar kunnen worden opgeteld dan wel worden afgetrokken. Hiervoor geldt dat de noemers gelijk moeten zijn aan elkaar. Hiervoor is het belangrijk om je te realiseren dat x 2 4x = x(x 4). In alle noemers moet dus x 2 4x staan. Voor 2 doe je dit door zowel teller als noemer te vermenigvuldigen met x x 4, dus 2 x = (x 4) 2 (x 4) x = 2x 8 x 2 4x. Voor 2 vermenigvuldigen met x, dus 2x 8 2x = 8+2x 8 2x x 2 4x x 2 4x x 2 4x 2 x 4 = x 4 x 2 = x(x 4) = 0 x 2 4x = 0. doe je dit door zowel teller als noemer te 2x. Hieruit volgt dat = 8 + x 2 4x x 2 4x x x 4 x 2 4x 12

17 Logaritmen Er bestaat een zogezegd natuurlijk logaritme. Deze wordt aangeduid met e u = a, waarbij u het natuurlijke logaritme is van a. We kunnen dus ook schrijven: u = ln a Hieruit kunnen wij concluderen dat: e ln a = a Op het moment dat e x = 7,dan geldt x = ln 7. Enkele rekenregels voor natuurlijke logaritmen zijn: ln(xy) = ln x + ln y(x en y zijn positief) ln ( x ) = ln x ln y(x en y zijn positief) y ln(x p ) = p ln(x) ( x is positief) ln 1 = 0, ln e = 1, x = e ln x ln e x = x De functie a u = x is ook een logaritmische functie, maar geen natuurlijk logaritmische functie. Deze vergelijking wordt als volgt opgelost: u = log a x of a log a x = x Op het moment dat er geen sprake is van een natuurlijke logaritmen, worden de volgende rekenregels gebruikt: log a xy = log a x + log a y log a ( x y ) = log ax log a y log a x m = m log a x log a x = log bx log b a want (log a x = ln x ln a ) log a x = y geeft x = a y log a a x = a log a 1 = 0, log a a = 1 Vergelijkingen Bij een vergelijking worden twee dingen aan elkaar gelijk gesteld in de vorm van A = B, met A bijvoorbeeld x + 12 en B bijvoorbeeld 2x + 5. De vergelijking luidt dan als volgt: x + 12 = 2y

18 Er zijn verschillende manieren om vergelijkingen op te lossen: 1. Het herschrijven van een vergelijking: y = x T = pq 2. Door vergelijkingen te substitueren: { q = 40 5p T = p(40 5p) = 5p2 + 40p. Het oplossen van een vergelijking: 5x + 2 = 2 x = 5 Rekenregels voor vergelijkingen Als A = C en B = C dan A = C Als A = B dan A + C = B + C Als A = B dan ka = kb Als AB = 0 dan A = 0 of B = 0 Op het moment dat je een lineaire vergelijking wilt oplossen, zijn er twee verschillende manieren: 1. Los de vergelijking op door een van de variabele in de andere uit te drukken en substitueer vervolgens de rest in de andere vergelijking: a. 6y = 6 4x y = 6-2 x b. 6x -8( x) = -14 6x x = x = 4 2. Deze methode is gebaseerd op de eliminatie van een van de variabelen bij het toevoegen of aftrekken van meerdere of een vergelijking van de andere. In de volgende vergelijking, wordt x geëlimineerd. x zal verdwijnen en we krijgen het volgende: 4x + 6y = 6 4x y = y = 45 1 Soms lukt het niet om een vergelijking zelf op te lossen. Op dat moment wordt er gebruk gemaakt van de abc- formule. Deze luidt als volgt: Deze formule kan alleen gebruikt worden als: x = b ± b2 4ac 2a b 2 4ac 0 a 0 14

19 Op het moment dat de vergelijking kleiner is dan 0, zal de wortel negatief zijn. Dit betekend dat er geen uitkomst mogelijk is. Niet-lineaire vergelijkingen Een voorbeeld van een niet-lineaire vergelijking is x 6x 2 = 0. Vaak wordt de volgende manier gebruikt om deze vergelijking op te lossen: x = 6x 2 x = 6 Dit is een gevaarlijke manier om een niet- lineaire vergelijking op te lossen, aangezien op deze manier snel fouten worden gemaakt. Er is namelijk een factor weggehaald die 0 zou kunnen zijn. x = 0 is ook een oplossing! Een veiligere methode om deze vergelijking op te lossen is: x 2 (x 6) = 0. Wanneer je de vergelijking op deze manier oplost, is het makkelijker om te zien dat x = 0 ook een oplossing is. Voorbeeldopgave 14 2 x = x 2 x x = 0 x(2 x) = 0 x = 0 V (2 x) = 0 x = 0 V x = 2 x = 0 V x =4 Voorbeeldopgave 15 Los de volgende vergelijking op x: ln(x 2-4x + 5) = 0 ln(x 2-4x + 5) = 0. Op het moment dat je de ln uit de vergelijking wilt halen, kan je de getallen tussen de haakjes gelijk stellen aan 1 (mits de vergelijking gelijk staat aan 0!). Dit ziet er als volgt uit: x 2-4x + 5 = 1. Vervolgens kan deze vergelijking als volgt worden opgelost. Eerst zorg je ervoor dat de vergelijking weer gelijk wordt gesteld door 1 naar de andere kant te halen (vergelijking -1). x 2-4x + 4 = 0, daarna wil je weten wat x is. Dit kan door het kwadraat weg te halen. (x - 2) 2 = 0 x 2 = 0 x = 2 Een ongelijkheid is geen vergelijking, maar wordt wel als een vergelijking opgelost. De bovengenoemde regels voor vergelijkingen gaan dus niet op voor ongelijkheden. 15

20 Als voorbeeld A > B en A > C. Dit zegt niks over hoe B en C zich tot elkaar verhouden, terwijl bij een vergelijking geconcludeerd kan worden dat B gelijk staat aan C. Symbolen voor ongelijkheden > groter dan < kleiner dan groter dan of gelijk aan kleiner dan of gelijk aan alles behalve ongeveer gelijk aan Stofverdieping groeifactor: Ervan uitgaande dat een bedrijf een bedrag K stort op een bank account. Het bedrijf betaald p% rente per jaar. Na t jaren zal het geldbedrag op het account zijn: K = (1 + p 100 ) t Waar 1 + p de groeifactor is voor een groei van p% per jaar. 100 Als je het ingelegde bedrag wilt weten wat er op de rekening is gestort, t jaren geleden. En de bank geeft p% rente per jaar. Dan kan je de volgende formule gebruiken, waar K is het geldbedrag op het moment en X is het ingelegde bedrag: X = K / (1 + p 100 ) t Deze formule kan ook worden gebruikt de verminderde waarde van een product te berekenen. Stel je voor dat een auto K euro s waard is, met een waardevermindering van p%. Na t jaren is de waarde van de auto: Hier is 1 p 100 K (1 p 100 ) t de groeifactor met een waardevermindering van p% 16

21 Oefenopgaven Hoofdstuk 1 Oefenopgave 1 Los de volgende vergelijkingen op: 8x 2 a. 4x 1 4x + 18 b. 8x + 16 < x 1 4 c. x d. x 2 18x + 9 = 15 8x e. 2x 2 + 8x 10 > 0 f. a + 2b 6a + 2b 18 Oefenopgave 2 Los op: a. (a + b)(x 2 4) = 0 b. (6a 5)(x 4 16) = (6a 5) 65 c. { x2 + 2y = 15 x 2 6y = 21 d. 4 2t 16 t 1 = 1 64 e. 2 t 1 = 2 t 8 t f. 16 ln( e) = x g. 2ln() = 6ln(2) + ln(4x) Oefenopgave Reduceer de volgende breuken naar één breuk: a. b. p + q + 1 6p 7 q a 4 b 1 ab 17

22 Antwoorden Oefenopgaven Oefenopgave 1 a. 8x 2 4x 1 4x x 2 ( 4x + 18)(4x 1) 8x 2 16x 2 + 4x + 72x 18 8x 2 16x x 18 16x 2 68x D = ( 68) = x 1 = = = 1 V 4 Dus x 1 V x 4 4 x 2 = = 4 x 1 b. 8x + 16 < 4 8x + 16 < x 1 4 V 8x + 16 < x x 64 < x 1 V 2x + 65 < x 1 29 x > 6 V 5x < 65 x > 6 29 V Dus: 6 29 < x < 1 7 x < 1 7 c. x x V x x 2 12 V x 2 20 x 2 12 V x 20 V x 20 x 12 V x 12 V x 20 V x 20 x 20 V 12 x 12 V x 20 d. x 2 18x + 9 = 15 8x x 2 10x 6 = 0 D = ( 10) = x 1 = V x 6 2 = x = 1 V x = 4 e. 2x 2 + 8x 10 > 0 x 2 + 4x 5 > 0 (x + 5)(x 1) > 0 x + 5 > 0 V x 1 < 0 x > 5 V x < 1 Dus: 5 < x < 1 18

23 f. a + 2b 6a + 2b 18 5a 18 a 5 Oefenopgave 2 a. (a + b)(x 2 4) = 0 a + b = 0 V x 2 4 = 0 a = b V x 2 = 4 a = b V x = 2 V x = 2 b. (6a 5)(x 4 16) = (6a 5) 65 6a 5 = 0 V x 4 16 = 65 6a = 5 V x 4 = 81 a = 5 6 V 4 x = 81 a = 5 6 V x = c. { x2 + 2y = 15 x 2 6y = 21 x 2 = 15 2y x = 15 2y V x = 15 2y ( 15 2y ) 2 6y = 21 (15 2y ) 2 6y = y 6y = 21 12y = 66 y = y = ,77 x = = = 4 x = 2 V x = 2 d. 4 2t 16 t 1 = t 4 2t 2 = 4 4 2t+2t 2 = 4 4 4t 2 = 4 4t 2 = 4t = 1 t = 1 4 e. 2 t 1 = 2 t 8 t 2 t 1 = 2 t 2 9t 2 t 1 = 2 10t t 1 = 10t 19

24 9t = 1 t = 1 9 f. 16 ln( e) = x ln ((e 1 2) 16 ) = x ln(e 8 ) = x x = 8 x = 8 = 2 g. 2ln() = 6ln(2) + ln(4x) ln(9) ln(64) = ln(4x) ln ( 9 64 ) = ln(4x) 4x = 9 64 x = Oefenopgave a. p + q + 1 6p 7 q ( p + 6p 7 q2 + 6 q + 1 q 2 ) ( + 6 q p 7 6p 7 ) pq 2 + q 2 + 6p pq + 6p + 7q 7 (p 7)(q 2 + 6) (p 7)(q 2 + 6) pq 2 + q 2 + 6pq 7q + 25 (p 7)(q 2 + 6) b. 2 4a 4 b 1 ab 2 4a 4 b 1 ab 2ab 4a 4ab b ab ab 2b 4 4a 1 2 b 1 1 a ab ab 20

25 Nawoord Hèhè, het is je gelukt! Je hebt jouw allereerste samenvatting uitgelezen. Wil je meer vertrouwen tanken voor het tentamen? Geen paniek! Wij kunnen je verder helpen met onze volledige samenvattingen. Lees hier onder meer over onze partners en abonnementen: Onze partners Studievereniging Aureus is reseller van de samenvattingen van SlimStuderen.nl, waardoor jij je samenvattingen direct bij je studievereniging kan kopen zodra ze beschikbaar zijn (zonder verzendkosten!). Ook via studentenvereniging LANX kan jij het hele jaar door profiteren van korting op onze samenvattingen en tentamentrainingen. Tot slot organiseren we regelmatig leuke win-acties in combinatie met onze partners! Met een abonnement profiteer je van hoge kortingen! Wil jij de samenvattingen altijd met korting en als eerste in huis hebben? Sluit dan nu een abonnement af en krijg alle samenvattingen automatisch op de deurmat! Nieuwsgierig geworden naar een combinatieabonnement van onze verschillende producten (tentamentrainingen, online cursussen en samenvattingen)? Bekijk dan nu onze websites! Kom in contact met SlimStuderen.nl en Capita Selecta Wil je op de hoogte blijven van de ontwikkelingen bij SlimStuderen.nl? Ben je benieuwd naar onze kortingsacties, studentenhumor en studietips? Of heb je vragen of opmerkingen? Neem dan contact met ons op via: SlimStuderen.nl CapitaSelecta.nl klantenservice@capitaselecta.nl Succes met het tentamen en geniet van je studententijd! Team SlimStuderen.nl & Capita Selecta P.S. Wil jij dit studiejaar beginnen met korting op de samenvattingen van SlimStuderen.nl en Tentamentrainingen van Capita Selecta? Wanneer je vóór 1 oktober 2018 bestelt via onze websites, profiteer je van extra korting door de volgende kortingscode te gebruiken: Welkom2018SSCS. Hiermee ontvang je 15% korting op je eerste bestelling. 21

26

27 SLIMStuderen + CapIta SeLeCta = perfecte voorbereiding p rofessionel e S tudi eonders teuni ng

28