Tentamen 8C080 - Beeldanalyse

Transcriptie

1 Tentamen 8C080 - Beeldanalyse 8 april Fourier reeks Bepaal de Fourier reeks van de volgende periodieke functie: In[1]:= In[2]:= f@ω_d := 2Cos@ωD Sin@ 2 ωd+1 Plot@f@ωD, 8ω, π, π<d 3 2 Out[2]= Het antwoord is eenvoudig, omdat deze functie al een Fourier reeks is. Een Fourier reeks is een eindeloze som van sinus en cosinus functies, met integer oplopende frequenties: reeks@td=a 0 + k=1 a k coshk tl+ l=1 b l coshl tl. Dit is meestal een functie van t (tijd) of x (plaats), maar het mag natuurlijk elke variabele zijn. We hebben nu de functie: f@wd = 1+2Cos@wD - Sin@-2wD = 1+2Cos@wD + Sin@2wD. De valstrik is natuurlijk dat het een functie van w is, waardoor je zou denken dat het een Fourier spectrum is. Het gemiddelde a 0 = 1, en coëfficienten a 1 = 2, b 2 = 1, alle overige coëfficienten zijn nul. Je kunt ze natuurlijk met de Fourier reeks formules uitrekenen: In[3]:= a 0 = 1 π 2 π f@ωd ω π Out[3]= 1 In[4]:= π a@k_d := 1 π f@ωdcos@k ωd ω êê Simplify π In[5]:= Out[5]= a@kd 2 I1+k 2 MSin@k πd k I 1+k 2 M π

2 2 8C080-Tentamen2013-BMIA-antwoorden.nb In[6]:= 8k, 1, 5<D Out[6]= 82, 0, 0, 0, 0< en voor b l : In[7]:= π b@l_d := 1 π f@ωdsin@l ωd ω êê Simplify π In[8]:= Out[8]= b@ld 4Sin@l πd I 4+l 2 M π In[9]:= Table@b@lD, 8l, 1, 5<D Out[9]= 80, 1, 0, 0, 0< 2. Beeldtransformaties We beschouwen een 2D beeld f Hx, yl als een functie van x (horizontaal) en y (vertikaal). Geef de formule van de volgende beeldtransformaties: a) In[10]:= Dit is een shear transformatie, één van de affiene transformaties. Formule: x y = x y

3 8C080-Tentamen2013-BMIA-antwoorden.nb 3 In[11]:= grid = Flatten@Table@8x, y<, 8x, 5, 5<, 8y, 5, 5<D, 1D; ManipulateBGraphicsB:Red, Pointê@KK a b O. &ê@grido>, c d Axes True, PlotRange 88 10, 10<, 8 10, 10<<F, 88a, 1<, 2, 2<, 88b, 0.2<, 2, 2<, 88c, 0<, 2, 2<, 88d, 1<, 2, 2<F a b c d 10 Out[12]= b) In[13]:= Dit is de 2D Fourier transformatie van het oorspronkelijke beeld. De nul-frequentie ligt links onderin. Het beeld is oneindig periodiek naar alle kanten. In[14]:= SetOptions@ArrayPlot, ColorFunction GrayLevel, Frame FalseD; In[15]:= im = ImageDataBColorConvertB, "Grayscale"F, "Byte"F;

4 4 8C080-Tentamen2013-BMIA-antwoorden.nb In[16]:= = PlotRange 80, 100<D<D Out[16]= c) In[17]:= Dit is een spiegeling om de middelste rij, en een zoom van 1.5 in de x-richting. We stellen de resolutie van het beeld op {xres, yres}. Formule:8x, y< = 8xdim - x, ydim y<. In[18]:= im2 = ImageDataBColorConvertB, "Grayscale"F, "Byte"F; In[19]:= 8ydim, xdim< = Dimensions@im2D Out[19]= 8285, 250< In[20]:= interpolated = ListInterpolation@im2, InterpolationOrder 1D; In[21]:= interpolated@140.3, 140.8D Out[21]= In[22]:= 8ynew, xnew< = 8ydim, xdim< K O.8y, x< 0 1 Out[22]= y, 250 x<

5 8C080-Tentamen2013-BMIA-antwoorden.nb 5 In[23]:= transformed = Table@If@1 xnew xdim&&1 ynew ydim, interpolated@ynew, xnewd, 0D, 8y, 1, ydim ê 1.5<, 8x, 1, xdim<d; ArrayPlot@transformedD Out[24]= In[25]:= Dimensions@transformedD Out[25]= 8190, 250< d) In[26]:= Dit is een afgeleide van het beeld in de y-richting (langs de kolommen), en het beeld is geïnverteerd (wit wordt zwart, en zwart wordt wit). Formule: - fhx,yl y PS: Als je de formule niet kent, geef dan een duidelijke beschrijving in woorden.

6 6 8C080-Tentamen2013-BMIA-antwoorden.nb In[27]:= = 81, 1<, 81, 0<DD Out[27]= 3. Begrippen a) Wat is de Point Spread Function (PSF)? b) Geef een voorbeeld waar deze in de praktijk wordt gebruikt. c) Wat is de Modulation Transfer Function (MTF)? d) Wat is het Convolutie Theorema? a) De PSF is de spreding die de afbeelding van een zeer klein punt ondergaat, de respons van een meetapparaat op de kleinste afbeelding. b) Voorbeeld: afbeelden van een dunne draad in een CT scanner of ultraound apparaat. c) De MTF is de Fourier getransformeerde van de PSF, en geeft aan hoeveel spatiële frequenties nog kunnen worden gemeten. d) Het convolutie theorema zegt dat de Fourier getransformeerde van een convolutie van twee functies gelijk is aan het product van de Fourier getransformeerde van elk van deze functies. 4. Beeldregistratie Het hoofd van een patiënt wordt eerst in een CT scanner gescand, en de volgende dag in een MRI scanner. Beide beelden zijn 3D, met een resolutie van voxels. Echter, de patient lag met zijn hoofd in beide scanners iets anders, en de pixelgrootte van de CT scanner is ongelijk aan de pixelgrootte van de MRI scanner. De radioloog wil beide 3D beelden nauwkeurig op elkaar afgebeeld hebben om de voordelen van beide scans in één beeld te hebben. We gaan dus een matching uitvoeren, met onbekende translatie, met onbekende rotatie, met onbekend rotatiemiddelpunt, en met onbekende vergroting.

7 8C080-Tentamen2013-BMIA-antwoorden.nb 7 In[29]:= 20 9 a) Beschijf hoe je dit matching proces zou opzetten. b) Geef een voorbeeld van een kostenfunctie die hier goed zal werken. c) Als je elke variabele over 20 stappen varieert, hoe vaak moet je dan de kostenfunctie berekenen? d) Hoe kun je de berekening zo efficient mogelijk doen, d.w.z. in zo kort mogelijke tijd? a) Voor elke parameter gaan we variëren: Translatie in x Translatie in y Translatie in z Rotatie over de x-as Rotatie over de y-as Rotatie over de z-as Zoom in de x-richting Zoom in de y-richting Zoom in de z-richting. b) Een voorbeeld van een goede kostenfunctie is de Mutual Information. c) Dit is een arbeidsintensieve berekening: 20 9 keer! Out[29]= d) Het scheelt enorm als je de Gradient Descent methode toepast.