Eindexamen vwo wiskunde B 2014-I

Transcriptie

1 Eindexmen vwo wiskunde B 04-I Bl in de sloot mximumscore 4 De gevrgde inhoud I is ( ) h ( ) π f( x) dx= π ( x x )dx h 0 0 h π f( x) dx 0 Een rimitieve vn x x is x x I = π( h h ) = π h ( h) mximumscore Er moet gelden πh ( h) = 4 Beschrijven hoe deze vergelijking kn worden ogelost Het ntwoord: 7 (mm) (,7 cm) - -

2 Eindexmen vwo wiskunde B 04-I Boven en onder de lijn door de buigunten mximumscore 4 f ''( x) = x Primitiveren geeft f'x ( ) = 4x x+ (met een constnte) 4 Nogmls rimitiveren geeft f ( x ) = x 6 x + x + b (met b een constnte) (, dus is het gestelde juist) Omerking Als met differentiëren is ngetoond dt f ''( x) = ( x )( x+ ) volgt uit 4 f ( x) = x 6 x + x + b voor deze vrg geen scoreunten toekennen. 4 mximumscore x 6x 8x+ = 8x geeft x 6x + = 0 Dus ( x )( x ) = 0 Hieruit volgt x = x = ( x = geeft de x-coördinten vn de buigunten, dus) de x-coördinten vn de twee gevrgde snijunten zijn x = en x = - -

3 Eindexmen vwo wiskunde B 04-I mximumscore 4 De oervlkte vn dus n Een rimitieve vn ( x 6x 8x ) ( 8 x) dx, 4 V is gelijk n ( + ) 4 ( x 6x + ) dx 4 x x x 6 + = 6 x 6x + is x x + x = + (dus de gezmenlijke oervlkte vn V en V is gelijk n de oervlkte vn V ) Omdt zowel V ls V onder de lijn met vergelijking y = 8x ligt en V erboven, is de bewering juist indien geldt: 4 ( ) ( x 6x 8x+ ) ( 8 x) dx= 0, dus Een rimitieve vn x 4 4 ( x 6x + ) dx= 0 6x + is x x + x x x + x = 0 (dus de gezmenlijke oervlkte vn V en V is gelijk n de oervlkte vn V ) - -

4 Eindexmen vwo wiskunde B 04-I Grfiek verdeelt rechthoek 6 mximumscore 7 De grfiek vn f en de lijn met vergelijking y = snijden elkr voor x= De oervlkte vn het stuk onder de grfiek is + dx x Een rimitieve vn x is ln x De oervlkte vn het stuk onder de grfiek is + ln( ) ln + ln( ) ln = + ln + ln ln = + ln (: ( ) + ln( ) ln ( = + ln ) = + ln ) De oervlkte vn de rechthoek is = De oervlkte vn het stuk boven de grfiek is ln (, dus de oervlkte vn elk vn beide stukken is onfhnkelijk vn de wrde vn ) De grfiek vn f en de lijn met vergelijking y = snijden elkr voor x= De oervlkte vn het stuk boven de grfiek is ( x ) dx Een rimitieve vn is x ln x x De oervlkte vn het stuk boven de grfiek is ln( ) + ln ln( ) + ln = ln ln + ln = ln (: ( ) ln( ) + ln ( = ln ) = ln ) De oervlkte vn de rechthoek is = De oervlkte vn het stuk onder de grfiek is + ln (, dus de oervlkte vn elk vn beide stukken is onfhnkelijk vn de wrde vn ) - 4 -

5 Eindexmen vwo wiskunde B 04-I De idele stoothoek 7 mximumscore 4 De kogel komt o de grond ls,96 +, t 4,9t = 0 Beschrijven hoe deze vergelijking kn worden ogelost De (ositieve) olossing is t, 4 x = 8, 4, 4 0,6 dus de horizontle fstnd is 06 (dm) ( 0,6 m) 8 mximumscore Er moet gelden: 0cos ( sin sin 0,,8) r = α α+ α+ is mximl Beschrijven hoe hieruit α gevonden kn worden Het ntwoord: 0,74 (rd) ( 4º) ( nuwkeuriger) - -

6 Eindexmen vwo wiskunde B 04-I 9 mximumscore 6 Als 0 ( sin 0 h = dn 0cos ( sin sin ) α>, dus) ( ) r = α α r = α α+ α 0cosα sin α+ sin α = 40cosαsin α d 40cos 40sin dα dr = 0 geeft cos α= sin α dα ( 0 <α< π, dus) het ntwoord is π (rd) ( 4º) 4 Als 0 ( sin 0 h = dn 0cos ( sin sin ) α>, dus) ( ) r = α α+ α 0cosα sin α+ sin α = 40cosαsin α 40cosαsin α= 0sin( α) dr = 0 cos( α ) dα dr = 0 geeft cos( α ) = 0 dα ( 0 <α< π, dus) het ntwoord is π (rd) ( 4º) 4 Als 0 ( sin 0 h = dn 0cos ( sin sin ) α>, dus) ( ) r = α α+ α 0cosα sin α+ sin α = 40cosαsin α 40cosαsin α= 0sin( α) r is mximl ls sin( α ) mximl is ( 0 <α< π, dus) sin( α ) is mximl ls α= π Het ntwoord: π (rd) ( 4º) 4-6 -

7 Eindexmen vwo wiskunde B 04-I Even lng 0 mximumscore 4 CZD = HZG ; overstnde hoeken ACB = AFE = 60, dus BC// HF (gelijkzijdige driehoek, F-hoeken) Hieruit volgt DCZ = GHZ ; Z-hoeken Dus zijn de driehoeken CDZ en HGZ gelijkvormig; hh ADB ADC ; ZZZ ( ZZR, ZHZ), dus EAG = FAG Dus AGE = 80 EAG AEG = = 90 ; hoekensom driehoek, (gelijkzijdige driehoek) CZD = HZG ; overstnde hoeken (Uit CDZ = HGZ ( = 90 ) en CZD = HZG volgt:) de driehoeken CDZ en HGZ zijn gelijkvormig; hh mximumscore AG = AD = Dus AZ = AG = (zwrtelijnen driehoek) DZ = AZ AD = mximumscore GH CD Uit de genoemde gelijkvormigheid volgt = ZG ZD GH Met ZG = = geeft dit = EH = GH EG = + 4 ( ) EH = = = = (dus EH is even lng ls AB) GH CD Uit de genoemde gelijkvormigheid volgt = ZG ZD GH Met ZG = = geeft dit = + GH = = + + EH = GH EG = + = (dus EH is even lng ls AB) - 7 -

8 Eindexmen vwo wiskunde B 04-I Gemeenschelijk met de x-s mximumscore 4 f '( x) = cos( x) + cos( x) De grfiek vn f rkt de x-s in het unt (, 0) ( ) cos cos( ) 0 π ls ( ) 0 f' π = f' π = π+ π = (dus de grfiek vn f rkt de x-s in het unt ( π, 0) ) Omerking Als voor een wrde is ingevuld, voor deze vrg geen scoreunten toekennen. 4 mximumscore Angetoond moet worden dt f ( π ) = f ( π+ ) (voor elke wrde vn ) f ( π ) = sin( π ) + sin(π 4 ) en f ( π+ ) = sin( π+ ) + sin( π+4) sin( π ) = sin en sin( π+ ) = sin sin(π 4 ) = sin(4 ) en sin( π+4 ) = sin(4 ) (dus f ( π ) = f ( π+ ) voor elke wrde vn ) Omerking Als voor een wrde is ingevuld, voor deze vrg geen scoreunten toekennen

9 Eindexmen vwo wiskunde B 04-I Hoogwterstnden mximumscore 4,,9h De vergelijking = 0 moet worden ogelost Dit geeft 4,,9h = 0 ( beschrijven hoe deze vergelijking met de GR ogelost kn worden) h, 6 mximumscore N de stijging wordt h =, net zo vk overschreden ls h =, 4 vóór de stijging werd overschreden f (,) 0, en f (, 4) 0,0 ( nuwkeuriger) De vermenigvuldigingsfctor is, ( nuwkeuriger) Het ntl keren dt de wrde h =, gemiddeld er jr wordt,9 (,,4) overschreden is n de stijging 0 keer zo groot ls vóór de stijging 0,9 De vermenigvuldigingsfctor is 0, ( nuwkeuriger) Omerkingen Als door tussentijds fronden de vermenigvuldigingsfctor,6 wordt gevonden, hiervoor geen scoreunten in mindering brengen. Als voor h de wrden,6 en, gebruikt zijn in lts vn, en,4, voor deze vrg mximl scoreunten toekennen. 7 mximumscore 0,4, 0 = 0 b geeft 0, 4 = b,,9 0,0= 0 b geeft = b,9 Beschrijven hoe dit stelsel ogelost kn worden b,, - 9 -

10 Eindexmen vwo wiskunde B 04-I Koordenvierhoek 8 mximumscore PQR = PSR; constnte hoek PQR = BAR; Z-hoeken RSB = 80º PSR; gestrekte hoek Uit het voorgnde volgt: RAB + RSB = 80º Dus vierhoek ABSR is een koordenvierhoek (koordenvierhoek) - 0 -