Kwadratische vormen in karakteristiek 2 en hun toepassingen in foutverbeterende codes

FACULTEIT WETENSCHAPPEN EN BIO-INGENIEURSWETENSCHAPPEN DEPARTEMENT WISKUNDE Kwadratische vormen in karakteristiek 2 en hun toepassingen in foutverbeterende codes Proefschrift ingediend met het oog op het behalen van de graad van Master in de Wiskunde Nele Vanderhaegen Promotor : Prof. P. Cara MEI 2010

Dankwoord Graag zou ik mijn welgemeende dank willen betuigen aan mijn promotor Prof. P. Cara. Dankzij zijn regelmatige evaluaties, suggesties en deskundig advies ben ik er in geslaagd om voor elk probleem een oplossing te vinden. Mijn ouders wens ik te bedanken voor de morele en materiële steun tijdens de voorbije jaren, en in het bijzonder gedurende de periode dat mijn thesis tot stand kwam. i

Inhoudsopgave Dankwoord Inhoudsopgave i ii Inleiding 1 1 Kwadratische en symplectische vormen 3 1.1 Bilineaire vormen............................... 3 1.2 Kwadratische vormen............................. 9 1.2.1 Kwadratische vormen over F 2.................... 18 1.2.2 Classicatie van de kwadratische vormen over F 2......... 25 2 Inleiding tot de codetheorie 33 3 Reed-Muller codes 41 3.1 Aene meetkunde.............................. 41 3.2 Reed-Muller codes.............................. 43 3.3 Bent functies................................. 50 4 Kerdock codes 52 4.1 Niet-ontaarde verzamelingen......................... 52 4.2 Orthogonale spreads............................. 55 5 Zelf-duale binaire codes 60 6 Enkele resolved designs 64 6.1 Symmetrische 2-designs............................ 64 6.2 Constructie symmetrische 2-designs..................... 66 6.3 Constructie systeem van gelinkte symmetrische 2-designs......... 67 7 Extraspeciale 2-groepen 71 8 Quantum foutverbeterende codes 77 8.1 Waarom zijn quantum foutverbeterende codes nodig?........... 77 8.2 Quantum foutverbeterende codes uit klassieke lineaire codes....... 78 ii

Inhoudsopgave iii A Een aantal resultaten 90 A.1 Velden..................................... 90 A.2 Meetkunde en Lineaire Algebra....................... 91 A.2.1 Veranderingen van basis....................... 91 A.2.2 Lineaire stelsels............................ 92 A.2.3 Unitaire operatoren en unitaire matrices.............. 92 A.3 Discrete wiskunde............................... 93 A.3.1 Designs................................ 93 A.3.2 Graen................................ 95 A.4 Groepentheorie................................ 96 Bibliograe 98 Index 101 Inhoudsopgave

Inleiding De doelstelling van deze thesis was om het artikel Finite geometry and coding theory van P. J. Cameron [5] uit te werken om zo tot de constructie van quantum codes te komen. Daarom leek de titel Quantum foutverbeterende codes een goede keuze. Maar na verloop van tijd bleken de quantum codes slechts één van de vele toepassingen van kwadratische vormen in karakteristiek twee te zijn. Deze vormen waren in het begin slechts een klein onderdeel van de thesis maar naarmate het werk vorderde werd het steeds duidelijker dat de kwadratische vormen het eigenlijke onderwerp van deze thesis zijn. Hierdoor was het een logische stap om de titel aan te passen naar Kwadratische vormen in karakteristiek 2 en hun toepassingen in foutverbeterende codes. De moeilijkheid maar tegelijkertijd ook de uitdaging was dat het artikel lacunes vertoonde: de resultaten werden vermeld maar de bewijzen waren vaak onvolledig of ze ontbraken gewoon. Zodoende moest ik zelf proberen de bewijzen te maken of indien dit niet lukte ze in een boek en/of artikel op te zoeken. Het belangrijkste resultaat van het eerste hoofdstuk Kwadratische en symplectische vormen is de kwadratische vormen over F 2 te classiceren. In het artikel werd enkel de classicatie van niet-ontaarde kwadratische vormen (stelling 1.40) bewezen. Door deze stelling kan men de vectorruimte waarop een niet-ontaarde kwadratische vorm gedenieerd is, ontbinden in een orthogonale directe som van hyperbolische vlakken en een anisotrope deelruimte. Het aantal hypervlakken en de dimensie van de anisotrope deelruimte in de ontbinding zijn invariant en worden de Witt index en het type van de niet-ontaarde kwadratische vorm genoemd. Om de invariantie te bewijzen was de stelling van Witt nodig (stelling 1.29). Deze stelling zegt dat men onder bepaalde voorwaarden een isometrie tussen deelruimten kan uitbreiden naar de volledige vectorruimte. Pas veel later vond ik een artikel [10] waar ook de classicatie voor alle kwadratische vormen over F 2 gegeven werd (stelling 1.53). Deze stelling verdeelt de kwadratische vormen met dezelfde polaire vorm onder in drie groepen op basis van het aantal isotrope vectoren van deze kwadratische vormen. Dit aantal hangt af van de dimensie van het radicaal van de polaire vorm en het type van de kwadratische vorm op een supplementaire deelruimte van dit radicaal. Bovendien zegt deze stelling dat twee kwadratische vormen equivalent zijn indien de dimensies van de radicalen van hun polaire vormen dezelfde zijn en ze evenveel isotrope vectoren hebben. Dit laatste heb ik zelf bewezen door een expliciete isometrie te beschrijven. Omdat er in deze thesis voornamelijk toepassingen met codes gegeven worden, herhalen we in het tweede hoofdstuk een aantal resultaten uit de klassieke codetheorie. In hoofdstuk 3 over Reed-Muller codes tonen we dat er een verband bestaat tussen 1

Inleiding 2 deze codes en aene meetkunde. Bovendien zullen we de classicatie van kwadratische vormen over F 2 gebruiken om de gewichtstellers van deze codes te berekenen. De Kerdock codes komen in hoofdstuk 4 aan bod. We gaan zien dat deze codes niet-lineair zijn en dat men met deze codes orthogonale spreads kan associëren. Het wiskundig programma GAP [2], [19] wordt gebruikt om aan te tonen dat de code gegeven in [34] wel degelijk een Kerdock verzameling is. Het volgend hoofdstuk gaat over zelf-duale binaire codes. Dankzij ons werk met de kwadratische vormen kennen we het aantal zelf-duale binaire codes, alsook het aantal dubbel even zelf-duale binaire codes. Om te laten zien dat de kwadratische vormen niet alleen belangrijk zijn voor codes, wordt er een kort hoofdstuk besteed aan designs en aan extraspeciale 2-groepen. Deze groepen zullen ook een rol spelen bij de quantum codes. In hoofdstuk 6 gaan we resolved designs construeren met speciale symmetrische 2- designs. Ook hier werd GAP gebruikt om na te gaan dat we wel degelijk een systeem van gelinkte symmetrische 2-designs hebben gemaakt. In hoofdstuk 7 zal de classicatie van niet-ontaarde kwadratische vormen over F 2 ons helpen om een classicatie van extraspeciale 2-groepen te geven. Tot slot construeren we in het laatste hoofdstuk Quantum foutverbeterende codes een quantum code uit een klassieke code met behulp van niet-ontaarde kwadratische vormen. In bijlage A Een aantal resultaten worden denities en stellingen herhaald uit verschillende Bachelorcursussen en waar nodig aangevuld. De nummering van deze stellingen wordt voorafgegaan door een A, bv. stelling A.3. Inleiding

Hoofdstuk 1 Kwadratische en symplectische vormen In dit hoofdstuk bespreken we enkele eigenschappen van kwadratische en symplectische vormen over het veld F 2. Het is gebaseerd op de volgende boeken en artikels: [5], [7], [9], [10], [18], [23], [28], [29], [30] en [35]. Het doel is om een classicatie te geven voor kwadratische vormen over F 2. We veronderstellen steeds dat de F-vectorruimte V eindigdimensionaal is, met F een veld. Ook spreken we af dat we v 1,..., v m noteren voor de deelruimte voortgebracht door de elementen v 1,..., v m. Om kwadratische vormen te kunnen deniëren hebben we bilineaire vormen nodig. Daarom introduceren we eerst deze vormen. 1.1 Bilineaire vormen Denitie 1.1 Een bilineaire vorm B op V is een functie B : V V F die lineair is in beide argumenten. Deze vorm is symmetrisch als voor alle v, w V geldt dat B(v, w) = B(w, v) en anti-symmetrisch (skew-symmetric), indien voor alle v, w V geldt dat B(v, w) = B(w, v). Een bilineaire vorm B is alternerend (alternating) als B(v, v) = 0 voor alle v V. Eigenschap 1.2 Een alternerende bilineaire vorm B is anti-symmetrisch. Bewijs. Om dit te tonen berekent men 0 = B(v + w, v + w). Denitie 1.3 Zij B een bilineaire vorm op V en A een deelverzameling van V. Het orthogonaal complement van A is de verzameling: Merk op dat A een deelruimte is. A = {v V a A, B(a, v) = 0 = B(v, a)}. (1.1) 3

Hoofdstuk 1. Kwadratische en symplectische vormen 4 Men zegt dat een bilineaire vorm niet-ontaard (non-degenerate) is als V = {0}. Men noemt V het radicaal (radical) van B en men noteert dit ook door Rad B. Een niet-ontaarde alternerende bilineaire vorm heet een symplectische vorm (symplectic form). Opmerking 1.4 Als B anti-symmetrisch of symmetrisch is, dan geldt B(a, v) = ±B(v, a), voor a A, v V, en dus hoeft men enkel één gelijkheid in (1.1) na te gaan om A te berekenen. Omdat we hoofdzakelijk met symmetrische en anti-symmetrische vormen zullen werken, veronderstellen we dat voor een bilineaire vorm B steeds geldt B(v, w) = 0 B(w, v) = 0 Vervolgens geven we enkele eigenschappen van bilineaire vormen: Lemma 1.5 Zij B een bilineaire vorm. Dan is een niet-ontaarde bilineaire vorm. B : V/ Rad B V/ Rad B F : (u, v) B(u, v) Bewijs. Eerst gaan we na of B goed gedenieerd is. Zij u 1 = u 2, v 1 = v 2, dan u 1 u 2, v 1 v 2 Rad B. Bijgevolg B(u 1, v 1 ) = B(u 2, v 1 ) en B(u 2, v 1 ) = B(u 2, v 2 ) en dus B(u 1, v 1 ) = B(u 2, v 2 ). Tot slot tonen we dat B niet-ontaard is. Zij u Rad B, dan geldt voor alle v V dat B(u, v) = B(u, v) = 0. Dus u Rad B. Eigenschap 1.6 Zij B een bilineaire vorm op V en U een deelruimte van V. Dan geldt dim U dim V dim U. Indien B niet-ontaard is, geldt de gelijkheid. Bewijs. Zij b 1,..., b p een basis van U. Vul deze aan met b p+1,..., b n tot een basis van V. Dan geldt v = n i=1 v ib i U als en slechts als B(v, b k ) = n i=1 v ib(b i, b k ) = 0, voor alle k {1,..., p}. Stel nu C = (B(b i, b k )) i {1,...,n},k {1,...,p} een (n p)-matrix. Dan geldt v U als en slechts als ( ) ( ) v 1 v n C = 0 0. Uit stelling A.16 volgt dim U = n rang C n p. Indien B niet-ontaard is, volgt analoog dat rang(b(b i, b k )) i,k {1,...,n} = n, want V = {0}. Bijgevolg zijn de rijen in C lineair onafhankelijk en dus rang C = rang(b(b i, b k )) i {1,...,n},k {1,...,p} = p. Zij (b 1,..., b n ) een basis van V en B een bilineaire vorm op V. Dan hoeven we wegens de bilineairiteit van B enkel de waarden van B in de basiselementen te kennen. Bijgevolg kunnen we B met de matrix (B(b i, b j )) i,j {1,...,n} associëren. Uit het bewijs van vorige eigenschap volgt dan ook: 1.1. Bilineaire vormen

Hoofdstuk 1. Kwadratische en symplectische vormen 5 Gevolg 1.7 De matrices van de bilineaire vormen t.o.v. een basis van een n-dimensionale vectorruimte hebben rang n als en slechts als deze vormen niet-ontaard zijn. Gevolg 1.8 Zij B een niet-ontaarde bilineaire vorm en U een deelruimte van V. Dan geldt ( U ) = U. Bewijs. Dat U ( U ) volgt uit de denitie van U. Wegens eigenschap 1.6 komen de dimensies overeen en dus zijn deze deelruimten gelijk. Gevolg 1.9 Zij B een bilineaire vorm en U een deelruimte van V. Indien U U = {0}, dan U U = V. Bewijs. Wegens eigenschap 1.6 geldt: dim U U = dim U + dim U dim U + dim V dim U = dim V. Hieruit volgt het gevraagde. Opmerking 1.10 In tegenstelling tot een Euclidische ruimte is het niet altijd zo dat V = U U, omdat U U {0} kan voorkomen. Inderdaad, zij (b 1, b 2 ) een basis van R 2 en beschouw de niet-ontaarde bilineaire vorm B : R 2 R 2 R : (u, v) u 1 v 2 u 2 v 1, waar u = u 1 b 1 + u 2 b 2, v = v 1 b 1 + v 2 b 2, met u i, v i R. Dat deze functie niet-ontaard en bilineair is, vindt men terug in het bewijs van stelling 1.12. Stel nu U = b 1, dan geldt U U = U, want B(b 1, b 1 ) = 0. Omdat B niet positief-deniet is, is de ruimte (R 2, B) niet Euclidisch. Gevolg 1.11 Zij B een bilineaire vorm en U = v, w een deelruimte van V met B(v, w) 0 en B(v, v) = 0. Dan geldt U U = V. Bewijs. Zij u U U, dan u = λv + µw en dus 0 = B(u, v) = λb(v, v) + µb(w, v) = µb(w, v), want B(v, v) = 0. Aangezien B(v, w) 0, moet µ = 0. Ook heeft men λ = 0, omdat B(u, w) = λb(v, w) en dus u = 0. Uit gevolg 1.9 volgt dan V = U U. Nu kunnen we volgende stelling bewijzen: Stelling 1.12 Een symplectische vorm op V bestaat als en slechts als de dimensie van V even is. 1.1. Bilineaire vormen

Hoofdstuk 1. Kwadratische en symplectische vormen 6 Bewijs. Zij B een symplectische vorm. Dan bewijzen we per inductie op de dimensie van V dat deze even is. Voor dim V = 0 valt er niets te bewijzen. Veronderstel nu dat de stelling geldt voor alle vectorruimten waarvan de dimensie strikt kleiner is dan dim V. Neem nu v V een niet-nulle vector. Aangezien B niet-ontaard is, bestaat er een w V zodat B(v, w) 0. D.w.z. dat v en w lineair onafhankelijk zijn, want B is alternerend. Stel U = v, w, dan volgt uit gevolg 1.11 dat U U = V. De deelruimte U kunnen we uitrusten met een niet-ontaarde bilineaire vorm, nl. de beperking van B tot U. Wegens de inductiehypothese is de dimensie van U even en dus heeft V even dimensie. Omgekeerd, veronderstel dat V even dimensie n heeft en zij (b 1,..., b n ) een basis van V. De afbeelding B : V V F : (u, v) n 2 (u 2k 1 v 2k u 2k v 2k 1 ), k=1 met u = n i=1 u ib i, v = n i=1 v ib i, is duidelijk bilineair en alternerend. Vervolgens tonen we dat B niet-ontaard is. Merk op dat alternerend, anti-symmetrisch impliceert (eigenschap 1.2) en we dus enkel één voorwaarde van een niet-ontaarde bilineaire vorm moeten nagaan. Neem v = n i=1 v ib i V een niet-nulle vector. Dan bestaat er een i zodat v i 0. Veronderstel nu dat i even is, dan geldt: B(v, e i 1 ) = v i 1 0, waar e i 1 de vector is met op plaats i 1 een 1 en op de overige een 0. Op analoge manier gaat men dit na voor i oneven. Bijgevolg is B niet-ontaard. Gevolg 1.13 Zij B een bilineaire vorm op een even-dimensionale deelruimte V, dan heeft het radicaal van B even dimensie. Bewijs. Wegens lemma 1.5 is B niet-ontaard en uit de vorige stelling volgt dan dat V/ Rad B even dimensie heeft. Aangezien dim Rad B = dim V dim V/ Rad B en V even dimensie heeft, volgt het gevraagde. Stelling 1.14 Voor elke symplectische vorm op V bestaat er een basis {v 1,..., v n, w 1,... w n } voor V zodat B(v i, v j ) = 0 = B(w i, w j ) voor alle i, j, B(v i, w i ) = 1 = B(w i, v i ) voor alle i, B(v i, w j ) = 0 = B(w j, v i ) voor alle i j. Dit wordt een symplectische basis genoemd. Bewijs. Dit is analoog aan het bewijs van stelling 1.12. Aangezien we eindigdimensionaal werken, kunnen we het aantal alternerende bilineaire vormen op V berekenen. De verzameling van alternerende bilineaire vormen op V 1.1. Bilineaire vormen

Hoofdstuk 1. Kwadratische en symplectische vormen 7 noteren we door B. Merk op dat B een vectorruimte is voor de puntsgewijze optelling en scalaire vermenigvuldiging. Zij (b 1,..., b n ) een basis van V, dan kunnen we een alternerende bilineaire vorm associëren met de matrix (B(b i, b j )) i,j {1,...,n}. Dit is een anti-symmetrische (n n)-matrix, waar de diagonaalelementen 0 zijn. Men noemt dit een alternerende matrix. Merk op dat voor char F 2 we steeds hebben dat de diagonaalelementen van een antisymmetrische matrix nul zijn, maar voor char F = 2 is dit niet het geval. Vervolgens deniëren we E ij, als zijnde een (n n)-matrix met op plaats (i, j) een 1 en op de overige plaatsen een 0. Dan volgt dat {E ij E ji 1 i < j n} een basis vormt voor zulke matrices. Dus de dimensie van B is ( ) n 2 = n 2 n. Bijgevolg hebben we 2 Stelling 1.15 Als V een n-dimensionale vectorruimte is, is de verzameling van alternerende bilineaire vormen op V een n2 n 2 -dimensionale vectorruimte voor de puntsgewijze optelling en scalaire vermenigvuldiging. Vervolgens beperken we ons tot het veld F = F 2 en gaan we het aantal symplectische vormen berekenen. Dus anti-symmetrisch is hetzelfde als symmetrisch. Zij N(n, r) het aantal alternerende (n n)-matrices over F 2 van rang r. Dan geldt: Stelling 1.16 N(n, 2m + 1) = 0, N(n, 2m) = 2 m(m 1) (2n 1)(2 n 1 1) (2 n 2m+1 1). (2 2m 1)(2 2m 2 1) (2 2 1) Om dit te bewijzen hebben we volgend lemma nodig: Lemma 1.17 Zij A een alternerende (n n)-matrix van rang r. Stel ( ) A y T B =, y 0 met y F n 2 een rijvector. Dus B is een ((n + 1) (n + 1))-matrix. Dan hebben 2 r van deze matrices rang r, en de overige 2 n 2 r matrices hebben rang r + 2. Bewijs. Beschouw het stelsel y = xa en veronderstel dat er een oplossing voor dit stelsel bestaat. Omdat A rang r heeft, bevat de oplossingenverzameling van dit stelsel 2 n r oplossingen (stelling A.16). Wegens gevolg A.14 zijn er 2 r vectoren die lineair afhankelijk zijn van de rijen van A. Zij y lineair afhankelijk van de rijen van A, zeg ( ) ( ) A y T heeft rang r. Nu is lineair afhankelijk van de kolommen van ) y 0, want A is een symmetrische matrix met op de diagonaal enkel nul en bijgevolg y = xa. Dus ( A y 1.1. Bilineaire vormen ( ) A x T = y ( ) ( ) ( Ax T y T y T yx T = xax T = 0 ).

Hoofdstuk 1. Kwadratische en symplectische vormen 8 ( ) A y T Hieruit volgt dat rang r heeft. y 0 Als y lineair onafhankelijk is van de rijen van A, volgt r < n en heeft r + 1 en B rang r + 2. ( ) A y rang Bewijs.[van stelling 1.16] Duidelijk geldt N(1, 0) = 1, N(1, 1) = 0, N(2, 0) = 1, N(2, 1) = 0 en N(2, 2) = 1. Ook geldt N(n, 1) = 0 voor alle n > 2. Anders zou er minstens één van de kolommen van zo'n matrix A = (a ij ), bv. de i-de kolom k i, niet de nulkolom mogen zijn. De overige kolommen moeten dan gelijk zijn aan deze kolom of aan de nulkolom. Maar dit is onmogelijk omdat uit a ii = 0 volgt dat de i-de rij r i de nulrij is, maar de symmetrie van A spreekt dit tegen omdat r i = ki T 0. Het is evident dat N(n, n + 1) = 0 en N(n, 0) = 1 voor n N. Vervolgens veronderstellen we dat het resultaat geldt voor n > 2 en voor alle r n. Uit lemma 1.17 volgt N(n + 1, r ) = 2 r N(n, r ) + (2 n 2 r 2 )N(n, r 2), met 2 r n + 1. Met deze formule en N(n + 1, 1) = 0, volgt per inductie N(n + 1, 2m + 1) = 0 voor 2m n. Analoog heeft men dat N(n + 1, 2m) aan de gevraagde formule voldoet (met basisstap N(n + 1, 0) = 1). Dit laatste vergt wel wat rekenwerk. We geven slechts een aantal stappen: en voor m > 1 N(n + 1, 2) = 2 2 N(n, 2) + (2 n 1)N(n, 0) = (2(n+1) 1 1)(2 2 (2 n 1 1) + 3) (2 2 1) = 2 1(1 1) (2n+1 1)(2 (n+1) 2+1 1), (2 2 1) N(n + 1, 2m) = 2 2m N(n, 2) + (2 n 2 2m 2 )N(n, 2(m 1)) = (2n 1)(2 n 1 1) (2 n 2m+3 1) (2 2m 1)(2 2m 2 1) (2 2 1) (2 m2 +m (2 n 2m+2 1)(2 n 2m+1 1) + (2 2m 1)(2 n 2 2(m 1) )2 m2 3m+2 ) = (2n 1)(2 n 1 1) (2 (n+1) 2m+2 1) (2 2m 1)(2 2m 2 1) (2 2 1) 2 m(m 1) (2 n+1 1)(2 (n+1) 2m+1 1). Gevolg 1.18 Het aantal symplectische vormen op een 2m-dimensionale vectorruimte over F 2 is 2 m(m 1) (22m 1)(2 2m 1 1) (2 1 1) (2 2m 1)(2 2m 2 1) (2 2 1), met m > 0. 1.1. Bilineaire vormen

Hoofdstuk 1. Kwadratische en symplectische vormen 9 Opmerking 1.19 Deze stelling geeft een alternatief bewijs voor stelling 1.12 beperkt tot de F 2 -vectorruimten. 1.2 Kwadratische vormen Denitie 1.20 Zij V een vectorruimte over een veld F. Een kwadratische vorm op V (quadratic form) is een functie: Q : V F die voldoet aan de volgende voorwaarden: (a) Q(λv) = λ 2 Q(v), voor alle λ F, v V, (b) de functie B : V V F gedenieerd door is bilineair. Q(v + w) = Q(v) + Q(w) + B(v, w) We drukken (b) uit door te zeggen dat de bilineaire vorm B verkregen is door polarisatie van Q (polarisation) en B noemen we ook de polaire vorm van Q. De vorm B gedenieerd in (b) is duidelijk symmetrisch. Voorbeelden 1.21 1. Zij V een Euclidsche ruimte met inproduct : V V R. De polarizatie-identeit geeft ons voor, v, w V v w = 1 2 ( v + w 2 v 2 w 2), met v = v v de norm gedenieerd door het inproduct (zie Meetkunde en lineaire algebra [24], boek 2 p.75). Dus Q(v) = v 2 is een kwadratische vorm met bilineaire vorm B(v, w) = 2(v w). 2. Zij F een veld van karakteristiek 2 en V een 2-dimensionale vectorruimte over F met basis (b 1, b 2 ). Dan zijn Q 1 (v) = v 2 1 en Q 2(v) = v 2 2, met v = v 1 b 1 +v 2 b 2, twee kwadratische vormen die polariseren tot de bilineaire nulvorm. Als de karakteristiek van F verschillend is van 2, dan volgt uit (a) en (b) van de denitie dat Q(v) = 1 B(v, v) voor alle v V. Dus Q kan men terugvinden uit 2 B, m.a.w. kwadratische vormen en symmetrische bilineaire vormen over een veld met karakteristiek verschillend van 2 dragen dezelfde informatie. In karakteristiek 2 gaat het er anders aan toe. We vinden dat de vorm B alternerend en dus anti-symmetrisch is (eigenschap 1.2). In karakteristiek 2 komt dit overeen met B symmetrisch. Duidelijk geldt dat Q niet afgeleid kan worden uit B (zie voorbeeld 1.21 2.). In plaats daarvan hebben we dat als Q 1 en Q 2 beide polariseren tot B, dan polariseert Q = Q 1 Q 2 tot de nulvorm, dit is Q(v + w) = Q(v) + Q(w). Ook kan men voor elke c 1,..., c n F en voor elke alternerende bilineaire vorm B op een n-dimensionale F-vectorruimte V, met char F = 2 en basis (b 1,..., b n ), een unieke 1.2. Kwadratische vormen

Hoofdstuk 1. Kwadratische en symplectische vormen 10 kwadratische vorm vinden die polariseert tot B zodat Q(b i ) = c i. Men denieert de kwadratische vorm Q als volgt: Q(λb i ) = λ 2 c i n Q( λ k b k ) = n Q(λ k b k ) + k=1 k=1 ( n n ) λ k λ l B(b k, b l ), k=1 l=k+1 met λ, λ i F. We gaan nu na of de voorwaarden van een kwadratische vorm gelden voor Q. Neem λ F, en zij v = n k=1 λ kb k, w = n k=1 µ kb k V dan geldt ( n n n ) Q(λ v) = Q(λλ k b k ) + λ 2 λ k λ l B (b k, b l ) k=1 k=1 = λ 2 ( n k=1 Q(λ k b k ) + = λ 2 Q(v) en omdat char F = 2 en B alternerend volgt Q(v + w) n = Q((λ k + µ k )b k ) + = = k=1 n (λ k + µ k ) 2 Q(b k ) + k=1 n λ 2 kq(b k ) + k=1 + + k=1 n µ 2 kq(b k ) + k=1 k=1 l=k+1 ( n n )) λ k λ l B (b k, b l ) l=k+1 ( n n ) (λ k + µ k )(λ l + µ l )B (b k, b l ) k=1 l=k+1 ( n n ) (λ k λ l + µ k µ l + µ k λ l + λ k µ l )B (b k, b l ) k=1 l=k+1 l=k+1 ( n n ) λ k λ l B (b k, b l ) ( n n ) µ k µ l B (b k, b l ) k=1 l=k+1 ( n n ) (µ k λ l + λ k µ l )B (b k, b l ) k=1 l=k+1 = Q (v) + Q (w) + B (v, w). Bijgevolg we krijgen volgende stelling: Stelling 1.22 Zij B een alternerende bilineaire vorm op een n-dimensionale F-vectorruimte V van karakteristiek 2 en (b 1,..., b n ) een basis van V. Dan bestaat er voor elke c 1,..., c n F een unieke kwadratische vorm Q die polariseert tot B en Q(b i ) = c i voor 1 i n. Nu kunnen we de dimensie berekenen van de vectorruimte van de kwadratische vormen over F met char F = 2. Hiervoor voeren we eerst een aantal notaties in. 1.2. Kwadratische vormen

Hoofdstuk 1. Kwadratische en symplectische vormen 11 Zij V een n-dimensionale F-vectorruimte. We noteren de verzameling van de kwadratische vormen op V door Q. Voor B B is Q B de verzameling van kwadratische vormen die polariseren tot B. Zij B 0 de bilineaire nulvorm en Q 0 = Q B0. Voor Q Q noteren we de polaire vorm van Q door B(Q). Gevolg 1.23 De verzameling Q is een n2 +n 2 -dimensionale vectorruimte voor de puntspuntsgewijze optelling en scalaire vermenigvuldiging. Bewijs. Zij (b 1,..., b n ) een basis van V. Uit de vorige stelling volgt dat Q 0 een n- dimensionale vectorruimte is, want een basis van kwadratische vormen die polariseren tot B 0 is bv. (Q 1,..., Q n ) met Q i (b i ) = 1 en Q i (b j ) = 0 voor j i. Bijgevolg kunnen we de lineaire afbeelding van Q / Q 0 naar B beschouwen die een nevenklasse van een kwadratische vorm Q stuurt op zijn polaire vorm. Deze afbeelding is goed gedenieerd, want als het verschil van twee kwadratische vormen in Q 0 ligt, polarizeren deze vormen tot dezelfde bilineaire vorm. Bovendien is deze afbeelding ook een isomorsme: de surjectiviteit volgt uit stelling 1.22 en indien twee kwadratische vormen dezelfde polaire vorm hebben, behoort het verschil van deze vormen tot Q 0, wat de injectiviteit impliceert. Bijgevolg dim Q = dim B + dim Q 0 = n2 +n 2 (stelling 1.15). Merk op dat de dimensie van de F-vectorruimte van de kwadratische vormen afhangt van het veld F. Want als de karakteristiek van F verschillend is van 2, dan is de dimensie gelijk aan deze van de vectorruimte van de symmetrische bilineaire vormen, wegens het isomorsme B 1 B(v, v). 2 Vervolgens geven we gelijkaardige denities van een radicaal en niet-ontaardheid voor kwadratische vormen. Denitie 1.24 Zij Q een kwadratische vorm en B zijn polaire vorm. Dan is het radicaal van Q de verzameling {x Rad B Q(x) = 0}. Men noteert dit ook Rad Q. Men zegt dat een kwadratische vorm niet-ontaard is als Rad Q = {0}. Voorbeeld 1.25 Neem een tweedimensionale vectorruimte V over F 2 en (b 1, b 2 ) een basis. Dan zijn de afbeeldingen Q (λ1,λ 2,λ 3 ) : V V F 2 : v λ 1 v 2 1 + λ 2 v 2 2 + λ 3 v 1 v 2, met v = v 1 b 1 + v 2 b 2, λ i F 2, kwadratische vormen. Duidelijk geldt voor λ F 2 Q (λ1,λ 2,λ 3 )(λv) = λ 2 Q (λ1,λ 2,λ 3 )(v). De vorm B verkregen door polarisatie van Q is B(v, w) = λ 3 (v 1 w 2 + v 2 w 1 ) en is bilineair. Wegens gevolg 1.23 zijn dit de 8 kwadratische vormen. De kwadratische vormen Q (λ1,λ 2,0) zijn ontaard, omdat B = 0. De overige kwadratische vormen met de bilineaire vorm B(v, w) = v 1 w 2 + v 2 w 1 zijn niet-ontaard, aangezien B niet-ontaard is (zie bewijs van stelling 1.12). 1.2. Kwadratische vormen

Hoofdstuk 1. Kwadratische en symplectische vormen 12 Opmerking 1.26 Merk op dat we geen verschil hoeven te maken tussen Rad B en Rad Q in karakteristiek verschillend van 2, aangezien Q(v) = 1 B(v, v). 2 Indien B niet-ontaard is, volgt onmiddellijk uit de denitie dat Q niet-ontaard is. De omgekeerde implicatie geldt niet altijd: stel V = F 3 2 en Q(v) = v 1v 2 + v 1 v 3 + v 2 v 3 waar (v 1, v 2, v 3 ) de coördinaten zijn van v t.o.v. een gekozen basis. Dan is Q een kwadratische vorm met bilineaire vorm B(v, w) = v 1 w 2 + v 2 w 1 + v 1 w 3 + v 3 w 1 + v 2 w 3 + v 3 w 2. Zij w Rad Q. Omdat Q((1, 1, 1)) = 1, volgt w (1, 1, 1). Ook geldt w 2 + w 3 = B((1, 0, 0), w) = 0 = B((0, 1, 0), w) = w 1 + w 3. Dus w 1 = w 2 = w 3 = 0 en bijgevolg is Q niet-ontaard. Maar B is ontaard, want B(v, (1, 1, 1)) = 0 voor alle v V. We zullen later zien dat indien de dimensie van V even is, wel geldt dat een kwadratische vorm Q niet-ontaard is als en slechts als de polaire vorm van Q niet-ontaard is (stelling 1.46). Denitie 1.27 Zij B een bilineaire vorm en Q een kwadratische vorm. Een deelruimte U van V heet totaal isotroop voor B (totally isotropic) als U een deelruimte is van U (d.w.z. B U U = 0). Een deelruimte U heet totaal isotroop voor Q als Q U = 0. Een vector v wordt isotroop voor B (isotropic) genoemd als B(v, v) = 0. Een vector v wordt isotroop voor Q genoemd als Q(v) = 0. Er geldt dat totaal isotrope deelruimten voor Q totaal isotroop zijn voor B(Q), maar het omgekeerde geldt niet. Stel namelijk F = F 2, dan hebben we reeds gezien dat B(Q)(v, v) = 0 voor alle v V. Dus elke 1-dimensionale deelruimte is totaal isotroop voor B(Q), maar de deelruimte voortgebracht door een niet-isotrope vector voor Q is niet totaal isotroop voor Q. Denitie 1.28 Zij B een bilineaire vorm en Q een kwadratische vorm die polariseert tot B. Een deelruimte W van V is anisotroop (anisotropic) als, voor alle w W, geldt: Q(w) = 0 als en slechts als w = 0. Een paar vectoren u, v wordt een hyperbolisch paar (hyperbolic pair) genoemd als u en v isotroop zijn voor B en B(u, v) = 1. Uit B(u, v) = 1 en B(u, u) = B(v, v) = 0 volgt dat u en v lineair onafhankelijk zijn. Ook geldt wegens gevolg 1.11 dat U U = V, met U = u, v. Een hyperbolisch vlak (hyperbolic plane) is een deelruimte U = u, v met Q(u) = Q(v) = 0 en u, v een hyperbolisch paar. Dus hebben we Q(xu + yv) = x 2 Q(u) + y 2 Q(v) + B(xu, yv) = xy. Zij Q i een kwadratische vorm op een vectorruimte V i. Men zegt dat Q 1 equivalent is met Q 2 als er een isomorsme T : V 1 V 2 bestaat, zodat Q 2 (T (v)) = Q 1 (v) voor alle v V 1. Het isomorsme T noemen we dan een isometrie voor Q 1 en Q 2. Indien T : V 1 V 2 een isomorsme is, zodat voor bilineaire vormen B 1 en B 2 geldt dat B 1 (v, w) = B 2 (T (v), T (w)) voor alle v, w V 1. Dan noemen we T een isometrie voor B 1 en B 2. Merk op dat als T een isometrie is voor Q 1 en Q 2, met B 1 resp. B 2 de polaire vormen van Q 1, resp. Q 2, dan is T ook een isometrie voor B 1 en B 2. 1.2. Kwadratische vormen

Hoofdstuk 1. Kwadratische en symplectische vormen 13 Vervolgens gaan we een classicatie geven voor niet-ontaarde kwadratische vormen over F 2. Hiervoor hebben we de stelling van Witt nodig. Stelling 1.29 (Stelling van Witt) Zij B een alternerende bilineaire vorm op V of de polaire vorm van een kwadratische vorm Q. Zij U 1, U 2 deelruimten van V en T : U 1 U 2 een isometrie voor B of voor Q beperkt tot U 1. Dan bestaat er een isometrie G : V V die een uitbreiding is van T als en slechts als T (U 1 Rad B) = T (U 1 ) Rad B. Het bewijs van deze stelling wordt opgedeeld in verschillende lemma's. Lemma 1.30 Zij U 1 en U 2 deelruimten van V met dezelfde dimensie m, dan bestaat er een deelruimte W die supplementair is voor zowel U 1 als U 2. Bewijs. Zij A = (b 1,..., b d ) een basis van U 1 U 2 en A i = (b 1,..., b d, u i,d+1,..., u i,m ) een basis van U i. Dan is (b 1,..., b d, u 1,d+1,..., u 1,m, u 2,d+1,..., u 2,m ) een basis van U 1 + U 2. Inderdaad, dat deze verzameling een voortbrengend deel is, is duidelijk. Zij nu d m κ k b k + (λ i u 1,i +µ i u 2,i ) = 0. Dus d κ k b k + k=1 m i=d+1 k=1 λ i u 1,i = i=d+1 m i=d+1 µ i u 2,i (U 1 U 2 ) u 2,d+1,..., u 2,m. Wegens de denitie van A 2 volgt dat µ i = 0 en d k=1 κ kb k + m i=d+1 λ i u 1,i = 0. Hieruit kunnen we wegens de constructie van A 1 besluiten dat ook λ i = κ k = 0 en dus is de lineair onafhankelijkheid bewezen. Als we deze basis aanvullen met (w 1,..., w dim V dim U1 +U 2 ) tot een basis van V. Dan volgt dat de deelruimte W voortgebracht door w 1,..., w dim V dim U1 +U 2, u 1,d+1 + u 2,d+1,..., u 1,m + u 2,m een supplementaire deelruimte is voor zowel U 1 als U 2. We tonen dit voor U 1, voor U 2 is het bewijs analoog. Dat W +U 1 = V volgt onmiddellijk uit de denities van de basissen. Zij Dan dim V dim U 1 +U 2 i=1 dim V dim U 1 +U 2 i=1 κ i w i = κ i w i + m j=d+1 d µ k b k + k=1 Bijgevolg κ i = 0 en d m µ k b k + (ν l λ l ) u 1,l = k=1 l=d+1 λ j (u 1,j + u 2,j ) = m (ν l λ l ) u 1,l l=d+1 m j=d+1 d µ k b k + k=1 m j=d+1 m l=d+1 ν l u 1,l. λ j u 2,j W (U 1 + U 2 ). λ j u 2,j (U 1 U 2 ) u 2,d+1,..., u 2,m. Wegens de denities van de basissen A 1 en A 2 volgt dan dat ook λ l = ν l = µ k = 0 en dus is W een supplementaire deelruimte van U 1. 1.2. Kwadratische vormen

Hoofdstuk 1. Kwadratische en symplectische vormen 14 Lemma 1.31 Zij B een bilineaire vorm op V. Zij H een hypervlak van V, d.i. een deelruimte van V met dim H = dim V 1, zodat Rad B H, dan bestaat er een v V zodat H = v. Bewijs. Hiervoor moeten we bewijzen dat er een v H bestaat zodat v / Rad B. Want hieruit volgt H v V en dus krijgen we de gevraagde gelijkheid. Omdat Rad B H en Rad B H, volgt uit de dimensiestelling van lineaire afbeeldingen dat dim H/ Rad B = dim H dim Rad B, alsook dim H / Rad B = dim H dim Rad B. Stel H/ Rad B = H en H / Rad B = H. Dan heeft men H = H, met H berekend t.o.v. de niet-ontaarde bilineaire vorm B uit lemma 1.5. Dus geldt, wegens eigenschap 1.6, dat dim H dim Rad B = dim H = dim H = dim V dim H = dim V dim H = 1. Bijgevolg bestaat er een v H zodat v / Rad B. Lemma 1.32 Zij V i = U i W i en B i een alternerende bilineaire vorm op V i of de polaire vorm van een kwadratische vorm Q i op V i. Zij T : U 1 U 2 en T : W 1 W 2 isometrieën voor B 1 en B 2 beperkt tot U 1, resp. W 1 of voor de kwadratische vormen Q 1 en Q 2 ; en zij B 2 (T (u), T (w)) = B 1 (u, w) voor alle u U 1, w W 1. Dan is de afbeelding T + T : V 1 V 2 : u + w T (u) + T (w) ook een isometrie voor B 1 en B 2 of Q 1 en Q 2. Bewijs. Omdat T en T isomorsmen zijn, volgt dat T + T een isomorsme van V 1 naar V 2 is. Voor u 1, u 2 U 1 en w 1, w 2 W 1 geldt, omdat T en T isometrieën zijn en wegens de voorwaarde waar B 1 en B 2 aan moeten voldoen, dat B 2 ((T + T )(u 1 + w 1 ), (T + T )(u 2 + w 2 )) = B 2 (T (u 1 ), T (u 2 )) + B 2 (T (u 1 ), T (w 2 )) +B 2 (T (w 1 ), T (u 2 )) + B 2 (T (w 1 ), T (w 2 )) = B 1 (u 1, u 2 ) + B 1 (u 1, w 2 ) + B 1 (w 1, u 2 ) + B 1 (w 1, w 2 ) = B 1 (u 1 + w 1, u 2 + w 2 ). Indien T en T isometrieën zijn voor Q 1 en Q 2, dan geldt analoog dat Q 2 ((T + T )(u + w)) = Q 1 (u + w). Voor volgend lemma merken we op dat de polaire vorm van een kwadratische vorm in karakteristiek verschillend van 2 niet alternerend hoeft te zijn, omdat de symmetrische bilineaire vormen dan de kwadratische vormen bepalen. 1.2. Kwadratische vormen

Hoofdstuk 1. Kwadratische en symplectische vormen 15 Lemma 1.33 Zij B een alternerende bilineaire vorm of de polaire vorm van een kwadratische vorm Q. Zij L een tweedimensionale deelruimte van V zodat L L = V en u een niet-nulle isotrope vector voor B in L. Dan L = u, v met u, v een hyperbolisch paar. Als B de polaire vorm van Q is en Q(u) = 0, dan mogen we ook veronderstellen dat Q(v) = 0. Bewijs. Omdat L L = {0} bestaat er een w L zodat L = u, w en a = B(u, w) 0. Als B alternerend, stel v = a 1 w. Als B de polaire vorm van Q is, stel v = Q(w)a 2 u +a 1 w. Dan geldt B(u, v) = 1 en Q(v) = 0. Indien de karakteristiek van F gelijk is aan 2, is B alternerend is en dus volgt het gevraagde, nl. v is een isotroop element voor B. Anders geldt B(v, v) = 1 2 Q(v) = 0. In de volgende lemma's geven we verschillende isometrieën tussen deelruimten van V die men kan uitbreiden tot een isometrie op V, en zo kunnen we uiteindelijk de stelling van Witt bewijzen. De volgorde van de lemma's is zo dat men de isometrie T uit een lemma wil uitbreiden naar een isometrie uit het vorig lemma. We veronderstellen steeds dat U 1 en U 2 echte deelruimten van V zijn en T : U 1 U 2 een isometrie voor een alternerende bilineaire vorm B of een kwadratische vorm Q die polariseert tot B. Lemma 1.34 Onderstel P = Im(T 1 U1 ) een 1-dimensionale deelruimte van V en stel dat T de identiteit is op Rad B. We veronderstellen ook U 1 = P = U 2. Dan bestaat er een isometrie G van V die T uitbreidt. Bewijs. Zij P = u en kies v P zodat u = T (v) v. Merk op dat wegens de voorwaarden van het lemma geldt dat P P en ook dim P = dim V 1. Bijgevolg is u isotroop voor B. Als Q polariseert tot B, dan Q(u) = Q(T (v)) + Q(v) B(T (v), v) = 2Q(v) B(v, v) = 0. De voorlaatste gelijkheid volgt uit v P en dus B(T (v) v, v) = 0. Als F karakteristiek 2 heeft, is B alternerend en dus volgt de laatste gelijkheid. Voor karakteristiek verschillend van 2, heeft men Q(v) = 1 B(v, v). 2 Zij L = u, z een tweedimensionale deelruimte met z / P (dit kan want P V ). Dan geldt L L = V wegens B(z, u) 0 en gevolg 1.11. Uit lemma 1.33 volgt dat L = u, w met u, w een hyperbolisch paar (en als Q polariseert tot B, w isotroop voor Q). Dus w u = L. Omdat P L, w / P = T (U 1 ) en Rad B = T (Rad B) T (L ), is w T (L ) een hypervlak die Rad B omvat. Bovendien is T (u) geen element van dit hypervlak, want stel T (u) = λ w +T (v) met v L. Indien λ = 0 geldt u = v L w, maar dit kan niet aangezien u, w een hyperbolische paar vormen. Dus mogen we veronderstellen dat λ 0. Hieruit volgt B(u, T (u)) = λ 0 en dit is in tegenspraak met T (u) P. Wegens lemma 1.31 bestaat er een w V zodat w T (L ) = w. Omdat B(T (u), w ) 0 en B(T (u), T (u)) = B(u, u) = 0 krijgen we uit gevolg 1.11 dat T (u), w T (u), w = V. Uit lemma 1.33 volgt dan 1.2. Kwadratische vormen

Hoofdstuk 1. Kwadratische en symplectische vormen 16 dat er een w V bestaat zodat T (u), w = T (u), w en T (u), w een hyperbolisch paar (en als B de polaire vorm van Q is, Q(w ) = 0). Merk op dat w / P en T (L ) = T (u), w, aangezien B(T (u), w ) = 1 en T (L ) T (u), w en de dimensies overeenkomen. Denieer nu de afbeelding G : w w : λ w λ w. Uit de eigenschappen van w en w volgt dat G een isometrie is voor B of Q. Zij x L = w P, dan B(x, w) = 0 = B(T (x), G(w)) (want T (L ) = T (u), w ) en we hebben ook B(u, w) = 1 = B(T (u), G(w)). Aangezien P = u L en V = w P = w P (want u / L en w, w / P ), volgt dat T + G een isometrie op V is (lemma 1.32). Dit voltooit het bewijs. Lemma 1.35 Zij H een hypervlak van U 1 zodat Rad B H en T de identiteit op H. Dan bestaat er een isometrie G van V die T uitbreidt. Bewijs. Als T de identiteit is op U 1, dan kunnen we G = 1 V nemen. Bijgevolg mogen we veronderstellen dat T 1 U1. Dus P = Im(T 1 U1 ) is een 1-dimensionale deelruimte van V. Voor u, v U 1 geldt B(T (u), T (v) v) = B(T (u), T (v)) B(T (u), v) = B(u, v) B(T (u), v) = B(u T (u), v). Hieruit volgt H P, en ook (U 1 P als en slechts als U 2 = T (U 1 ) P ). Dus als U 1 P, dan U i P = H, want T (H) = H U 2. Zij W een supplementaire deelruimte van H in P. Dan geldt V = U i W, want U i W = (U i P ) W en wegens eigenschap 1.6 hebben we dim U i W = dim U i + dim P dim H dim U i + dim V 1 (dim U i 1) = dim V. Ook geldt voor w W P en u U 1 dat B(w, T (u) u) = 0 en dus B(w, T (u)) = B(w, u). Uit lemma 1.32 volgt dan dat T + 1 W een isometrie is die T uitbreidt. Dus mogen we veronderstellen dat U i P en dus P P. Als U 1 U 2 = T (U 1 ), bestaan u 1 U 1 \ U 2, u 2 U 2 \ U 1. Dan geldt u i / H = U 1 U 2 en X = u 1 + u 2 een supplementaire deelruimte voor zowel U 1 als U 2 in U 1 + U 2, want dim U 1 +U 2 = dim U 1 +dim U 2 dim U 1 U 2 = 2 dim U 1 dim H = dim U 1 +1 = dim U i X. Zij W een supplementaire deelruimte van U 1 + U 2 in P en stel S = W X. Dus P = S U i. Bijgevolg B(u, v) = B(T (u), v) voor u U 1, v S P. Wegens lemma 1.32 volgt dan dat T +1 S een isometrie op P is die T uitbreidt. Indien U 1 = U 2, en S een supplementaire deelruimte in P, volgt ook dat T + 1 S een isometrie op P is die T uitbreidt. In beide gevallen is de uitbreiding van T tot P de identiteit op een hypervlak van P die Rad B omvat, nl. H S. Bijgevolg mogen we veronderstellen dat U 1 = P = U 2 V. Na toepassing van lemma 1.34 is dit lemma bewezen. 1.2. Kwadratische vormen

Hoofdstuk 1. Kwadratische en symplectische vormen 17 Lemma 1.36 Zij Rad B U i en T (Rad B) = Rad B. Dan bestaat er een isometrie G van V die T uitbreidt. Bewijs. We zullen het gevraagde per inductie op dim U i dim Rad B bewijzen. Als U i = Rad B en W een complement van U i in V, dan is T + 1 W : V V een isometrie die T uitbreidt (lemma 1.32). Bijgevolg mogen we veronderstellen dat Rad B U i. Zij H een hypervlak van U 1 zodat Rad B H en zij T de beperking van T tot H. Wegens de inductiehypothese, heeft T een uitbreiding G : V V. Nu geldt voor isometrieën F en F dat F F en F 1 ook isometrieën zijn. Bijgevolg volstaat het gevraagde te tonen voor G 1 T. Inderdaad, stel F een isometrie van V die G 1 T uitbreidt, dan geldt voor u U 1 : T (u) = (G F )(u). Dus we mogen veronderstellen dat T beperkt tot H de identiteit is. Wegens lemma 1.35 kunnen we dan een isometrie G vinden. Nu zijn we in staat om een bewijs van de stelling van Witt te geven. Bewijs.[van stelling van Witt] Merk eerst op dat voor een isometrie F : V V voor B geldt dat F (Rad B) = Rad B en herinner dat een isometrie voor Q ook een isometrie voor B is. Zij G een isometrie van V die de isometrie T uitbreidt, dan volgt T (U 1 Rad B) = G(U 1 Rad B) = G(U 1 ) G(Rad B) = T (U 1 ) Rad B. Omgekeerd, omdat T (U 1 Rad B) = U 2 Rad B en wegens lemma 1.30 bestaat er een supplementaire deelruimte W in Rad B van zowel U 1 Rad B als U 2 Rad B. Dan U i + Rad B = U i W en B(T (u), w) = 0 = B(u, w) voor w W Rad B, u U 1. Uit lemma 1.32 volgt dan dat T + 1 W een isometrie is die T uitbreidt tot U 1 + Rad B. Vervolgens gaan we na of T + 1 W (Rad B) = Rad B, T + 1 W (Rad B) = T + 1 W ((U 1 Rad B) W ) = T (U 1 Rad B) W = (T (U 1 ) Rad B) W = Rad B. Dus we mogen veronderstellen dat Rad B U i en T (Rad B) = Rad B. Wegens lemma 1.36 bestaat er een isometrie van V die T uitbreidt. Gevolg 1.37 De dimensies van maximale totaal isotrope deelruimten voor een bilineaire vorm B zijn gelijk. Bewijs. Zij U 1 en U 2 maximale totaal isotrope deelruimten voor B, dan Rad B U i omdat U i + Rad B ook een totaal isotrope deelruimte is. Veronderstel dim U 1 < dim U 2, dan bestaat er een isometrie T voor B van U 1 naar een deelruimte van U 2, zodat T (Rad B U 1 ) = Rad B T (U 1 ). Inderdaad, we nemen een basis van Rad B en vullen deze aan tot een basis van U 1, resp. U 2. Dan deniëren we T door de basisvectoren van Rad B op zichzelf te sturen en de overige basisvectoren van U 1 op basisvectoren van U 2 te sturen zodat we een injectie krijgen. Aangezien U i totaal isotroop zijn, is dit een isometrie. 1.2. Kwadratische vormen

Hoofdstuk 1. Kwadratische en symplectische vormen 18 Dus er bestaat een isometrie G op V die een uitbreiding is van T (stelling van Witt 1.29). Hieruit volgt dat G 1 (U 2 ) een totaal isotrope deelruimte is zodat U 1 G 1 (U 2 ) en dit is in tegenspraak met de maximaliteit van U 1. Gevolg 1.38 De dimensies van maximale totaal isotrope deelruimten voor een nietontaarde kwadratische vorm Q zijn gelijk. Bewijs. Zij U 1 en U 2 maximale totaal isotrope deelruimten voor Q. Dan Rad B U i = {0}, want indien v Rad B U i, dan v Rad Q = {0}. Veronderstel dim U 1 < dim U 2, dan is elke injectieve lineaire afbeelding T van U 1 naar U 2 een isometrie voor Q van U 1 naar T (U 1 ) zodat T (Rad B U 1 ) = T ({0}) = {0} = Rad B T (U 1 ). Dus er bestaat een isometrie G op V die een uitbreiding is van T. Hieruit volgt dat G 1 (U 2 ) een totaal isotrope deelruimte is zodat U 1 G 1 (U 2 ) en dit is in tegenspraak met de maximaliteit van U 1. 1.2.1 Kwadratische vormen over F 2 In dit deel werken we steeds met het veld F 2. We weten reeds dat we een kwadratische vorm over F 2 niet kunnen aeiden uit een bilineaire vorm en dat als Q 1 en Q 2 beide polariseren tot dezelfde bilineaire vorm, dan geldt voor Q = Q 1 Q 2 Q(v + w) = Q(v) + Q(w). In het veld F 2 hebben we de eigenschap λ 2 = λ voor alle λ F 2, dus Q(λv) = λq(v). Bijgevolg is Q lineair. Omgekeerd, polariseren twee kwadratische vormen, waarvan het verschil lineair is, tot dezelfde bilineaire vorm. Tenslotte kan men voor elke c 1,..., c n F 2 en voor elke alternerende bilineaire vorm B op een n-dimensionale vectorruimte V met basis (b 1,..., b n ) een unieke kwadratische vorm Q vinden die polariseert tot B en met Q(b i ) = c i (stelling 1.22). Ook zijn alle polaire vormen alternerend. Dus hebben we volgende stelling bewezen: Stelling 1.39 Elke alternerende bilineaire vorm op F 2 komt overeen met een nevenklasse van de duale ruimte van V (d.i. de verzameling van alle lineaire vormen op F 2 ) in de ruimte van alle kwadratische vormen op F 2 : zij B een alternerende bilineaire vorm, dan bestaat er een kwadratische vorm Q die polariseert tot B en de nevenklasse horende bij B is Q + V. De bilineaire vorm verkregen door polarisatie van een kwadratische vorm over F 2 is steeds alternerend. In wat volgt zal dit meermaals gebruikt worden, zonder dat het expliciet vermeld wordt. Het volgend resultaat geeft reeds de classicatie van niet-ontaarde kwadratische vormen over F 2. 1.2. Kwadratische vormen

Hoofdstuk 1. Kwadratische en symplectische vormen 19 Stelling 1.40 (a) Een anisotrope ruimte heeft ten hoogste dimensie 2. (b) Zij Q een niet-ontaarde kwadratische vorm op V. Dan V = W U 1 U r, waar W anisotroop is, U 1,..., U r hyperbolische vlakken zijn en de termen van deze directe som paarsgewijs orthogonaal zijn. De dimensie van W en het aantal hyperbolische vlakken r zijn invariant in de ontbinding. (c) Als de niet-ontaarde kwadratische vormen Q 1, Q 2 op V 1, V 2 aanleiding geven tot de ontbindingen V 1 = W 1 U 11 U 1r, V 2 = W 2 U 21 U 2s, zoals in (b), dan zijn Q 1 en Q 2 equivalent als en slechts als r = s en dim W 1 = dim W 2. Een gevolg hiervan is dat niet-ontaarde kwadratische vormen over F 2 op equivalentie na bepaald zijn door 2 invarianten, nl. het aantal hyperbolische vlakken (dit wordt de Witt index genoemd) en de dimensie van de anisotrope deelruimte. We zeggen dat de vorm type +1, 0 of 1 heeft, overeenkomstig met respectievelijk dim(w ) = 0, 1 of 2. Gevolg 1.41 Twee niet-ontaarde kwadratische vormen Q 1, Q 2 op V 1, resp. V 2 zijn equivalent als en slechts als de dimensies van V 1 en V 2 dezelfde zijn en de vormen hetzelfde type of dezelfde Witt index hebben. Opmerking 1.42 Voor een willekeurig veld F kan men (b) en (c) ook aantonen. Bovendien geldt (a) ook voor eindige velden (zie [7]), maar (a) kan men niet altijd bewijzen voor oneindige velden. Inderdaad, beschouw R n met het natuurlijk inproduct. Dit is een Euclidische ruimte en geeft ons een niet-ontaarde kwadratische vorm (zie voorbeeld 1.21). Omdat positief-deniet is, is de ruimte R n anisotroop. Bewijs.[van stelling 1.40] (a) Als W anisotroop is, geldt voor alle u v W beide niet-nul dat B(Q)(u, v) = Q(u) + Q(v) + Q(u + v) = 1 + 1 + 1 = 1. Als u, v, w lineair onafhankelijk zouden zijn in W, dan 1 = B(Q)(u, v + w) = B(Q)(u, v) + B(Q)(u, w) = 0, een contradictie. Dus dim W 2. 1.2. Kwadratische vormen

Hoofdstuk 1. Kwadratische en symplectische vormen 20 (b) Men bewijst dit per inductie op de dimensie van V. Het is triviaal voor de basisstap V = {0}. Als V anisotroop is, valt er niets te bewijzen. We veronderstellen nu dat er vector u V bestaat zodat u 0 en Q(u) = 0. Aangezien Q niet-ontaard is, bestaat er een vector v met B(Q)(u, v) = 1. Dan Q(v) + Q(u + v) = 1, en dus is Q(v) = 0 ofwel Q(u + v) = 0 (hier gebruikt men F = F 2 ). Bijgevolg bestaat er een hyperbolisch vlak U 1 en dus U 1 U1 = V. Hieruit volgt ook dat Q beperkt tot U1 niet-ontaard is. Bijgevolg kunnen we de inductiehypothese toepassen op U1, en krijgt men de gevraagde ontbinding van V. Tot slot bewijzen we de uniciteit van de ontbinding. Hiervoor volstaat het te tonen dat de Witt index invariant is. Dit bewijzen we per inductie op de dimensie van V. Voor V anisotroop, is de Witt index duidelijk 0. Dus we mogen veronderstellen dat er in de ontbinding van V hyperbolische vlakken voorkomen. Zij V = W 1 U 11 U 1r, V = W 2 U 21 U 2s, twee ontbindingen van V en r en s verschillend van 0. Omdat de doorsnede van U i1 met het radicaal van V de nulruimte is en er een isometrie T voor Q bestaat van U 11 naar U 21 (stuur het hyperbolisch paar van U 11 zodat deze isotroop voor Q zijn naar dat van U 21 ), bestaat er wegens de stelling van Witt 1.29 een isometrie G op V die T uitbreidt. Omdat U i1 U i1 = V (gevolg 1.11), geldt G(W 1 ) G(U 12 ) G(U 1r ) = G(U 11) = U 21 = W 2 U 22 U 2s. Wegens de inductiehypothese volgt dan r = s. (c) Zij r = s en dim W 1 = dim W 2. We veronderstellen dat dim W 1 = 2, de overige gevallen zijn analoog. Stel voor i {1, 2}, k {1,..., r} U ik = u ik, v ik, met Q i (u ik ) = Q i (v ik ) = 0 en B(Q i )(u ik, v ik ) = 1 en W i = w i1, w i2. De lineaire uitbreiding van de afbeelding T : V 1 V 2 : u 1k u 2k v 1k v 2k w 1i w 2i. is een isomorsme. Omdat (w i1, w i2, v i1,..., v ir, u i1,..., u ir ) een basis van V i is, geldt B(Q 2 )(T (v), T (w)) = B(Q 1 )(v, w) voor alle v, w V. Aangezien de kwadratische vormen Q 1 en Q 2 T in deze basisvectoren gelijk zijn, volgt uit stelling 1.22 Q 2 (T (v)) = Q 1 (v), voor alle v V. We concluderen dat Q 1 en Q 2 equivalent zijn. Omgekeerd, indien Q 1 en Q 2 equivalent zijn, is het duidelijk dat de vectorruimten dezelfde dimensie hebben, dus we moeten nog enkel tonen dat ze dezelfde Witt index hebben. Dit volgt onmiddellijk uit het volgend lemma. Lemma 1.43 De Witt index van een niet-ontaarde kwadratische vorm is gelijk aan de dimensie van de maximale totaal isotrope deelruimten voor deze vorm. 1.2. Kwadratische vormen

Hoofdstuk 1. Kwadratische en symplectische vormen 21 Bewijs. Stel V = W U 1 U r, waar W anisotroop is, U 1,..., U r paarsgewijze orthogonale hyperbolische vlakken zijn. Stel U i = u i, v i, waar Q(u i ) = Q(v i ) = 0 en B(u i, v i ) = 1. Dan is X = u 1,..., u r een totaal isotrope deelruimte van dimensie r. Vervolgens bewijzen we dat er geen totaal isotrope deelruimte met een hogere dimensie bestaat. Dit gebeurt per inductie op r. Voor r = 0 is het voldaan, aangezien V dan anisotroop is. Stel Y een totaal isotrope deelruimte met dim Y = s > 0. Zij y een nietnulle vector van Y. Aangezien y y, kunnen we de vectorruimte V = y / y van dimensie dim V 2 beschouwen. De niet-ontaarde kwadratische vorm Q op V gedenieerd in lemma 1.44 is van hetzelfde type als Q. Dus de ruimte V heeft Witt index r 1 en Y/ y is een totaal isotrope deelruimte van dimensie s 1. Wegens de inductiehypothese geldt s 1 r 1 en bijgevolg s r. Tenslotte volgt uit gevolg 1.38 dat maximale totaal isotrope deelruimten van een niet-ontaarde kwadratische vorm dimensie r hebben. Lemma 1.44 (a) Zij Q een niet-ontaarde kwadratische vorm op een n-dimensionale F 2 -vectorruimte, zij v V een niet-nulle isotrope vector. Dan is Q gedenieerd door Q(w) = Q(w) voor w V = v / v, een niet-ontaarde kwadratische vorm op V van hetzelfde type als Q en met polaire vorm B(v, w) = B(Q)(v, w). (b) Zij B een niet-ontaarde bilineaire vorm op een 2m-dimensionale F 2 -vectorruimte en v V een niet-nulle vector. Dan is B gedenieerd door B(w, w) = B(w, w) voor w, w V = v / v, een niet-ontaarde bilineaire vorm op V. Bewijs. (a) Zij V = W U 1 U r een ontbinding van V zoals in stelling 1.40 (b). Aangezien Q(v) = 0 mogen we veronderstellen dat U 1 = v, u 1, met Q(u 1 ) = 0 en B(Q)(v, u 1 ) = 1 (zie bewijs stelling 1.40 (b)). Bijgevolg V = u 1 v met v = v W U 2 U r. Vervolgens gaan we na of Q goed gedenieerd is. Zij w w = λ v, met w, w v, dan Q(w) = Q(λ v) + Q(w ) + B(Q)(λ v, w ) = Q(w ). Dus Q is een kwadratische vorm met bilineaire vorm B(w, w ) = B(Q)(w, w ). Stel nu w Rad Q en zij w W U 2 U r u 1 v een representant van w. Dan geldt voor alle λ u 1 + w u 1 v = V B(Q)(λ u 1 + w, w) = λb(q)(u 1, w) + B(w, w) = 0. Aangezien Q(w) = Q(w) = 0 en Q niet-ontaard, is w = 0. Dus Q is niet-ontaard. Omdat V = W U 2 U r en dim W = dim W, heeft Q hetzelfde type als Q. (b) Dat B goed gedenieerd is, is analoog aan (a). Zij w Rad B. Dan B(w, w ) = ( B(w, w ) = 0 voor alle w v. Dus w v ) = v (gevolg 1.8). Opmerking 1.45 Merk op dat niet alle beperkingen van niet-ontaarde kwadratische vormen tot een deelruimte niet-ontaard zijn, bv. de beperking van een niet-ontaarde kwadratische vorm tot een totaal isotrope deelruimte is duidelijk ontaard. 1.2. Kwadratische vormen

Hoofdstuk 1. Kwadratische en symplectische vormen 22 Eigenschap 1.46 De polaire vorm B van een niet-ontaarde kwadratische vorm Q is niet-ontaard als en slechts als Q een niet-nul type heeft (d.w.z. dim V is even.) Bewijs. Uit stelling 1.40 geldt V = W U 1 U r, waar W anisotroop is, U 1,..., U r hyperbolische vlakken zijn, en de termen paarsgewijs orthogonaal zijn. De implicatie van rechts naar links volgt uit stelling 1.12 en het feit dat hyperbolische vlakken dimensie 2 hebben. Omgekeerd, zij v V zodat B(u, v) = 0 voor alle u V, en U i = u i, v i met Q(u i ) = Q(v i ) = 0 en B(u i, v i ) = 1 voor i {1,..., r}. Aangezien het type van Q nietnul is, heeft W dimensie 0 of 2. Veronderstel nu dat dim W = 0. Dus (u 1, v 1,..., u r, v r ) is een basis van V. Bijgevolg geldt v = r k=1 (λ ku k + µ k v k ). Dankzij de bilineairiteit van B en ontbinding van V heeft men 0 = B(u i, v) = µ i en 0 = B(v i, v) = λ i. Dus B is niet-ontaard. Als dim W = 2 toont men analoog aan het vorige aan dat v W. Zij (w 0, w 1 ) een basis van W. Omdat W anisotroop is, geldt B(w 0, w 1 ) = 1, dus voor v = λ 0 w 0 + λ 1 w 1 geldt 0 = B(v, w i ) = λ i+1, i F 2. Bijgevolg v = 0 en dus is B niet-ontaard. Vervolgens bestuderen we de niet-ontaarde kwadratische vormen op een vectorruimte. Stelling 1.47 Zij Q een niet-ontaarde kwadratische vorm op een vectorruimte V. Zij (b 1,..., b 2m ) een basis van V. Als Q type +1 heeft, is hij equivalent met de kwadratische vorm Q (x) = x 1 x 2 +x 3 x 4 + +x 2m 1 x 2m, waar (x 1,..., x 2m ) de coördinaten van x zijn t.o.v. de gekozen basis. Indien Q type 1 heeft, is hij equivalent met de kwadratische vorm Q (x) = x 1 x 2 +x 3 x 4 + +x 2 2m 1+x 2m 1 x 2m +x 2 2m. Indien de dimensie oneven is en (b 1,..., b 2m+1 ) een basis van V, heeft Q type 0 en is hij equivalent met de kwadratische vorm Q (x) = x 1 x 2 + x 3 x 4 + + x 2m 1 x 2m + x 2m 1 x 2m+1 + x 2m x 2m+1. Bewijs. De kwadratische vormen Q en Q hebben dezelfde bilineaire vorm m B(u, v) = (u 2k 1 v 2k u 2k v 2k 1 ) k=1 en deze is niet-ontaard (bewijs van stelling 1.12). Bijgevolg zijn de kwadratische vormen niet-ontaard. Er geldt dat Q van type +1 is, aangezien V = b 1, b 2 b 2m 1, b 2m, waar b 2i 1, b 2i hyperbolische vlakken zijn, die paarsgewijs orthogonaal zijn. Voor Q hebben we de ontbinding V = b 1, b 2 b 2m 1, b 2m, met b 1, b 2,..., b 2m 3, b 2m 2 hyperbolische vlakken en b 2m 1, b 2m anisotroop. Dus volgt dat Q van type 1 is. De kwadratische vorm Q heeft als bilineaire vorm m B(v, w) = (v 2k 1 w 2k +v 2k w 2k 1 )+(v 2m 1 w 2m+1 +v 2m+1 w 2m 1 )+(v 2m w 2m+1 +v 2m+1 w 2m ). k=1 Zij v Rad Q, dan geldt voor k 2(m 1) dat v k = 0 en v 2m 1 + v 2m+1 = B(v, b 2m ) = 0 = B(v, b 2m 1 ) = v 2m + v 2m+1. 1.2. Kwadratische vormen