1 WAAM - Differentiaalvergelijkingen

1 WAAM - Differentiaalvergelijkingen 1.1 Algemene begrippen Een (gewone) differentiaalvergelijking heeft naast de onafhankelijke veranderlijke (bijvoorbeeld genoteerd als x), eveneens een onbekende functie f (van x) en afgeleide functies f, f,..., f (n) (naar x). In de praktijk noteert men bv. y i.p.v. f: F (x, y, y,... y (n) ) = 0 Hierbij kunnen één of meerdere van de letters x, y, y,... y (n 1) in de vergelijking ontbreken. Als y (n) optreedt en geen afgeleide van hogere orde, dan spreken we van een differentiaalvergelijking van de n de orde. We spreken over een lineaire differentiaalvergelijking van de n e orde als de differentiaalvergelijking de volgende vorm heeft: a n (x)y (n) + a n 1 (x)y (n 1) + + a 1 (x)y + a 0 (x)y = q(x), met a i, i = 0,..., n en q, functies van x. Als q(x) de nulfunctie is, dan zeggen we dat de lineaire differentiaalvergelijking homogeen of gereduceerd is. 1.2 Oplossen van een differentiaalvergelijking Bij het oplossen van een differentiaalvergelijking van de n de orde sporen we alle functies f : x f(x) op die continu zijn over een interval I, minstens n maal afleidbaar zijn en waarvoor F (x, f(x), f (x),... f (n) (x)) = 0, x I. Als f een algemene oplossing van een differentiaalvergelijking van n de -orde is, dan hangt f af van x en van n onafhankelijke arbitraire constanten. Deze algemene oplossing (A.O.) is een familie van oplossingen met evenveel arbitraire constanten als de orde van de differentiaalvergelijking. Een particuliere oplossing (P.O.) van een differentiaalvergelijking is één oplossing zonder arbitraire constanten, dit is één exemplaar uit de A.O. Sommige differentiaalvergelijkingen hebben singuliere oplossingen (S.O.). Dit zijn oplossingen die niet als particuliere oplossingen uit de algemene oplossing af te leiden zijn. Als er n beginvoorwaarden zijn, dan zijn er n arbitraire constanten te bepalen. De algemene oplossing wordt dan herleid tot een unieke oplossing van de differentiaalvergelijking onder gegeven beginvoorwaarden. 1.3 Differentiaalvergelijkingen van eerste orde 1.3.1 Algemeen Een lineaire differentiaalvergelijking van de eerste orde op een interval I heeft de volgende vorm y + a 0 (x)y = q(x) (1) 1

met a 0 en q continue functies op I. We noemen deze differentiaalvergelijking homogeen als ze de volgende vorm heeft, y + a 0 (x)y = 0. (2) We noemen (2) de met (1) geassocieerde homogene vergelijking. Eigenschap Stel dat P een primitieve functie is van a 0 op I. Dan wordt de A.O. van de homogene lineaire differentiaalvergelijking van de eerste orde (2) gegeven door de functies y(x) = Ce P (x), met C R. Hierbij is P (x) = a 0 (x)dx. Eigenschap y is een oplossing van (1) als en slecht als y van de vorm y = y h + y p is, met y h een oplossing van de geassocieerde homogene vergelijking en y p een vaste, maar willekeurig gekozen oplossing van (1) die we een particuliere oplossing noemen. De algemene oplossing van (1) is dus te schrijven als y h + y p 1.3.2 Bepalen van een particuliere oplossing Variatie van de constanten Bepaal de algemene oplossing Cu(x) van de geassocieerde homogene vergelijking, met u(x) een basisoplossing. Vervang C door een functie v 1 (x) en bepaal deze functie zodanig dat y p = v 1 (x)u(x) een particuliere oplossing van (1) oplevert. Hierbij is v 1(x) = q(x) u(x). Onbepaalde coëfficiënten We hebben dat y + a 0 (x)y = q(x), met q(x) van de vorm q(x) = s(x)e rx (3) q(x) = s(x)e αx cos βx (4) q(x) = s(x)e αx sin βx, (5) 2

waarbij s(x) een veelterm is en r, α, β R. Bij deze methode bepalen we om te beginnen y h. Vervolgens bepalen we y p dat van de vorm y p (x) = S(x)e rx is, met q(x) van de vorm (3), of y p (x) = e αx (S(x) cos βx + T (x) sin βx) met q(x) van de vorm (4) of (5). Hierbij zijn S(x) en T (x) van dezelfde graad als s(x). Om verder te gaan, controleren we eerst of y p (x) een oplossing is van de geassocieerde homogene vergelijking of als een term in y p (x) een oplossing is van deze vergelijking. Als dit niet het geval is dan is y p van de vorm zoals hierboven, als dit wel het geval is dan komt er een factor x k bij. Ofwel is dan y p (x) = x k S(x)e rx, ofwel is y p (x) = x k e αx (S(x) cos βx + T (x) sin βx). Scheidbare vergelijkingen Een differentiaalvergelijking van eerste orde op I is scheidbaar indien ze in de vorm y = g(x)h(y) kan gebracht worden, met g : I R een continue functie en H een continue functie van y die nergens de waarde nul aanneemt. Deze differentiaalvergelijking wordt opgelost als volgt. Vervolgens leiden we hieruit y(x) af. 1 H(y) dy = g(x)dx Bernoulli differentiaalvergelijkingen Een Bernoulli differentiaalvergelijking is een eerste orde differentiaalvergelijking van de vorm dy dx + a 0(x)y = q(x)y n, met a 0 en q continue functies op een interval I en n N. De oplossingsmethode bestaat er in om de volgende substitutie uit te voeren u = y 1 n Op deze manier wordt de Bernoulli differentiaalvergelijking omgezet in een lineaire differentiaalvergelijking die kan opgelost worden met voorgaande technieken. Superpositieprincipe Indien de functie q(x) een som is van functies q(x) = q 1 (x) + q 2 (x) + + q n (x) 3

en indien voor elk van de differentiaalvergelijkingen y + a 0 (x)y = q i (x) (1 i n) een particuliere oplossing y pi gekend is, dan telt men al deze particuliere oplossingen op. Zo bekomt men een particuliere oplossing y p = y p1 + y p2 + + y pn van de differentiaalvergelijking y + a 0 (x)y = q(x). 1.4 Differentiaalvergelijkingen van tweede orde 1.4.1 Algemeen Een lineaire differentiaalvergelijking van de tweede orde op een interval I is een vergelijking van de vorm a 2 (x)y + a 1 (x)y + a 0 (x)y = q(x) (6) met a 2, a 1, a 0 en q continue en begrensde functies op I en a 2 verschillend van de nulfunctie. We noemen deze differentiaalvergelijking homogeen als ze de volgende vorm heeft, a 2 (x)y + a 1 (x)y + a 0 (x)y = 0. (7) We noemen (7) de met (6) geassocieerde homogene vergelijking. Eigenschap Indien u en v twee oplossingen zijn van (7), dan is voor willekeurige constanten c 1 en c 2 de functie y = c 1 u + c 2 v ook een oplossing van (7). Eigenschap De algemene oplossing van (6) is te schrijven als y h + y p, met y h een oplossing van de geassocieerde homogene vergelijking en y p een vaste, maar willekeurig gekozen oplossing van (6) (particuliere oplossing). Als a 2 (x) = 0 voor minstens 1 x I, dan heeft de differentiaalvergelijking (6) singuliere punten. Hier zullen we veronderstellen dat a 2 (x) 0, x I. Zo brengen we deze differentiaalvergelijking in standaardvorm door te delen door a 2 (x), De geassocieerde homogene vergelijking is dan, y + a 1 (x)y + a 0 (x)y = q(x). (8) y + a 1 (x)y + a 0 (x)y = 0. (9) 4

Definitie We noemen twee functies u en v van I naar R lineair afhankelijk indien een van beide functies een scalair veelvoud is van de andere functie: of ( k R)( x I)(v(x) = ku(x)) ( k R)( x I)(u(x) = kv(x)) We noemen twee functies u en v van I naar R lineair onafhankelijk indien ze niet lineair afhankelijk zijn. Definitie Als u en v twee differentieerbare functies zijn van I naar R, dan wordt de wronskiaan van u en v gedefinieerd als de functie ( ) u(x) v(x) W u,v : I R : x det u (x) v (x) Met andere woorden W u,v (x) = u(x)v (x) v(x)u (x). Eigenschap Stel dat u en v twee differentieerbare functies zijn van I naar R. Dan gelden: 1. indien u en v lineair afhankelijk zijn, dan is W u,v (x) = 0, x I. Dus als W u,v (x) 0, x I, dan zijn u en v lineair onafhankelijk. 2. indien W u,v (x) = 0, x I en indien u of v nergens op I de waarde 0 aanneemt, dan zijn u en v lineair afhankelijk. 1.4.2 Lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten Een lineaire differentiaalvergelijking van tweede orde met constante coëfficiënten is een vergelijking van de vorm ay + by + cy = q(x), (10) met a, b, c reële getallen en a 0 en met q een continue en begrensde functie op I. De geassocieeerde homogene vergelijking is ay + by + cy = 0 (11) De algemene oplossing van vergelijking (10) kan geschreven worden als y = c 1 u + c 2 v + y p indien u en v twee basisoplossingen zijn van de geassocieerde homogene vergelijking (11) en indien y p een particuliere oplossing is van (10). 5

Lemma Een exponentiële functie e r x, met r R is een oplossing op R van de differentiaalvergelijking (11) enkel en alleen als r voldoet aan Dit noemen we de karakteristieke vergelijking van (11). ar 2 + br + c = 0. (12) Stelling We beschouwen de homogene tweede orde lineaire differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten (11) en de karakteristieke vergelijking (12). 1. Indien b 2 4ac > 0, dan vormen de functies u en v gedefinieerd door u(x) = e r 1x en v(x) = e r 2x met r 1 = b + b 2 4ac 2a twee basisoplossingen van (11). en r 2 = b b 2 4ac 2a 2. Indien b 2 4ac = 0, dan vormen de functies u en v gedefinieerd door u(x) = e rx en v(x) = xe rx met twee basisoplossingen van (11). r = b 2a 3. Indien b 2 4ac < 0, dan vormen de functies u en v gedefinieerd door u(x) = e αx cos βx en v(x) = e αx sin βx met α = b 2a en β = twee basisoplossingen van (11). 4ac b 2 2a 1.4.3 Bepalen van een particuliere oplossing Variatie van de constanten Stel dat u en v basisoplossingen zijn van de geassocieerde homogene vergelijking (11). We stellen y p = v 1 u + v 2 v, waarbij v 1 en v 2 voldoen aan { uv 1 + vv 2 = 0 u v 1 + v v 2 = q(x) a 6

Onbepaalde coëfficiënten We hebben dat met q(x) van de vorm ay + by + cy = q(x), q(x) = s(x)e rx (13) q(x) = s(x)e αx cos βx (14) q(x) = s(x)e αx sin βx, (15) waarbij s(x) een veelterm is en r, α, β R. Bij deze methode bepalen we om te beginnen y h. Vervolgens bepalen we y p dat van de vorm y p (x) = S(x)e rx is, met q(x) van de vorm (13), of y p (x) = e αx (S(x) cos βx + T (x) sin βx) met q(x) van de vorm (14) of (15). Hierbij zijn S(x) en T (x) van dezelfde graad als s(x). Om verder te gaan controleren we eerst of y p (x) een oplossing is van de geassocieerde homogene vergelijking of als een term in y p (x) een oplossing is van deze vergelijking. Als dit niet het geval is dan is y p van de vorm zoals hierboven, als dit wel het geval is dan komt er een factor x k bij. Ofwel is dan y p (x) = x k S(x)e rx, ofwel is y p (x) = x k e αx (S(x) cos βx + T (x) sin βx). Hierbij is k de multipliciteit van r als wortel van de karakteristieke vergelijking. Superpositieprincipe Het superpositieprincipe dat we behandelden bij lineaire differentiaalvergelijkingen van eerste orde, blijft ook van toepassing bij differentiaalvergelijkingen van tweede (en hogere) orde. Indien de functie q(x) een som is van functies q(x) = q 1 (x) + q 2 (x) + + q n (x) en indien voor elk van de differentiaalvergelijkingen a 2 (x)y + a 1 (x)y + a 0 (x)y = q i (x) (1 i n) een particuliere oplossing y pi gekend is, dan telt men al deze particuliere oplossingen op. Zo bekomt men een particuliere oplossing y p = y p1 + y p2 + + y pn van de differentiaalvergelijking a 2 (x)y + a 1 (x)y + a 0 (x)y = q(x). 7

1.4.4 Cauchy-Eulervergelijkingen Een Cauchy-Eulervergelijking is een homogene differentiaalvergelijking van de tweede orde van de vorm ax 2 y + bxy + cy = 0, (x > 0) met a, b, c R. De oplossingsmethode bestaat er in de substitutie x = e t of t = ln x door te voeren. Daarbij definiëren we de functie Y = y exp : R R, met Y (t) = y(e t ). We vinden dat een differentieerbare functie y voldoet aan de Cauchy-Eulervergelijking enkel en alleen als de functie Y gedefinieerd door Y (t) = y(e t ) voldoet aan de vergelijking a d2 Y dt 2 + (b a)dy dt + cy (t) = 0. 1.5 Differentiaalvergelijkingen van hogere orde Een lineaire differentiaalvergelijking van de n de orde is een vergelijking van de vorm y (n) + a n 1 (x)y (n 1) + + a 1 (x)y + a 0 (x)y = q(x), (16) met a i, i = 0,..., n 1 en q, functies van x die continu en begrensd zijn op I. Als q(x) = 0, x I, dan hebben we een homogene vergelijking van orde n. functies a i constante functies zijn op I, dan herleidt (16) zicht tot de vorm Als de y (n) + a n 1 y (n 1) + + a 1 y + a 0 y = q(x), (17) met a i R, i = 0,..., n 1. Dit is een lineaire differentiaalvergelijking van orde n met constante coëfficiënten. Een algemene oplossing is van de vorm y = y h + y p Om y h te bepalen kijken we naar de karakteristieke vergelijking r n +a n 1 r n 1 + +a 1 r + a 0 = 0. De basisoplossingen zijn van de vorm x k e rx voor de reële oplossingen r van de karakteristieke vergelijking en van de vormen x k e αx cos βx en x k e αx sin βx voor de complexe oplossingen α ± iβ van de karakteristieke vergelijking. Om y p te bepalen bekijken we enkel de methode van de onbepaalde coëfficiënten. 8