Opgaven bij Numerieke Wiskunde I 7 november 8 1. (a) Gegeven verschillende interpolatiepunten x, x 1, x [a, b], en getallen y, y 1, y, z 1, toon aan dat er hooguit 1 polynoom p P 3 is met p(x i ) = y i, i =, 1,, p (x 1 ) = z 1. (b) Construeer een p als in het vorige onderdeel van de vorm p(x) = p (x)+α(x x )(x x 1 )(x x ) met p het tweedegraads Lagrangeinterpolatiepolynoom voor de verzameling {(x i, y i ) : i =, 1, }. (c) Zij f viermaal continu differentieerbaar. Laat zien dat voor het polynoom p P 3 met p(x i ) = f(x i ), i =, 1,, p (x 1 ) = f (x 1 ) geldt dat voor iedere x [a, b] er een ξ (a, b) is met f(x) p(x) = (x x )(x x 1 ) (x x ) f(4) (ξ). 4!. (a) Voor n = 1,...,1 maak plots op [ 1, 1] van het Lagrange interpolatiepolynoom p n van f(x) = 1/(1 + x ) met steunpunten x (n) k = 1 + k/n, k =,..., n. Maak bijv. gebruik van de Matlab functies poly en polyval. (b) Geef benaderingen van max x [ 1,1] f(x) p n (x) door deze absolute fout op 15 equidistant verdeelde punten te evalueren. (c) Herhaal de voorgaande onderdelen nu met x (n) k = cos( (k+1)π n+ ), k =,..., n en vergelijk de resultaten. Probeer ook andere functies f. (d) Vergelijk max x [ 1,1] (x x (n) )...(x x (n) n ) voor beide verzamelingen steunpunten en trek een conclusie. 1
3. Gegeven een functie f, zij T [c,d] (m) het resultaat van de benadering van d f(x)dx d.m.v. de samengestelde trapeziumregel met m deelintervallen (van gelijke grootte). Aangenomen dat f voldoende glad is, weten c we dat d c f(x)dx T [c,d] (m) = 1 (d c) [f (3) (b) f (3) (a)] + O(m 4 ) 1 m (a) Onder verwaarlozing van de O(m 4 )-term, geef een schatting van de fout d c f(x)dx T [c,d](m) in termen van T [c,d] (m) en T [c,d] (m). Gebaseerd op deze schatting werkt een adaptieve numerieke integratie routine om b f(x)dx te benaderen als volgt: Zij de gewenste tolerantie a ǫ > gegeven. Bereken T [a,b] () en accepteer het als benadering indien de schatting voor de fout kleiner of gelijk ǫ is. Zo niet, pas de procedure toe op b+a a f(x)dx en op b b+a f(x)dx met toleranties ǫ/. (b) Programmeer de geschetste procedure in Matlab. (c) Test het algorithme op f(x) = e x en a =, b = 1, en zeg ǫ = 1 1 (gebruik de Matlab functie quad om het de exacte integraal te berekenen). Benader b f(x)dx ook met T a [a,b](m) voor de kleinste m van de vorm k z.d.d. de geschatte fout kleiner of gelijk ǫ is. Vergelijk het aantal benodigde functie evaluaties. (d) Construeer een voorbeeld waarvoor de adaptieve procedure faalt.
4. We bekijken kwadratuurformules voor integralen van het type: Zij f C [, h ]. h xf(x) dx. (a) Ga aan de hand van de restterm na waarom de trapeziumregel het in het algemeen slecht zal doen. (b) Nieuwe formule: Zij φ 1 (x) het lineair interpolatiepolynoom van f met steunpunten en h. Integreer nu: h xφ1 (x) dx. (c) Laat zien dat de zo verkregen kwadratuurformule een fout heeft van: 35 h7/ f (ξ 1 ), ξ 1 (, h). (d) Nog een formule: Zij φ (α) (x) het eerstegraads Taylorpolynoom van f rond αh ( α 1.) Bewijs dat de fout gelijk is aan: R = h xf(x) dx h (α) xφ (x) dx R = f (ξ)h 7 [ 1 7 5 α + 1 3 α ] met ξ [, h ]. (hiervoor hoeft h (α) xφ (x) dx niet expliciet berekend te worden). De uitdrukking in α is minimaal, voor α = 3. 175 5 4 (e) Noem φ = φ (3 5 ). Integreer h xφ (x) dx. 5. Archimedes (5 v. Chr.) verkreeg onder- en bovengrenzen voor π door het opmeten van de omtrek van regelmatige ingeschreven danwel omgeschreven veelhoeken van een cirkel met diameter 1. In deze opgave beperken we ons tot de metingen van de ingeschreven veelhoeken. (a) Zij T (h) de omtrek van de n-zijdige regelmatige ingeschreven veelhoek waarbij nh = 1. Bewijs dat T (h) = h 1 sin(πh). 3
Figuur 1: De ingeschreven veelhoeken met h = 1/8 en h = 1/16. (b) Laat zien dat er constanten (c i ) zijn zo dat m N π T (h) = m c i h i + O(h m+ ) (h ). i=1 (c) Bepaal α 1, β 1 z.d.d. T 1 (h/) := α 1 T (h/) + β 1 T (h) voldoet aan π T 1 (h/) = O(h 4 ) (h ). Huygens gebruikte dit idee al in 1654. Archimes metingen liepen tot n = 96. Aannemende dat Huygens de metingen van Archimedes gebruikte, en aannemende dat die metingen exact waren, wat waren de fouten in de beste benaderingen die beiden verkregen? (d) Verbeter Huygens, d.w.z. bepaal α, β z.d.d. T (h/4) := α T 1 (h/4)+ β T 1 (h/) voldoet aan Wat is de fout in T (1/96)? π T (h/4) = O(h 6 ) (h ). 4
6. Zij a < b, m N, h := b a m, x i := a + ih voor i {,..., m}, en zij f C 1 ([a, b]). We onderzoeken de complete cubic spline interpolant gedefinieerd door s S 3 := C ([a, b]) m P 3 (x i 1, x i ) i=1 s(x i ) = f(x i ) (i {,..., m}), (1) s (x ) = f (x ), s (x m ) = f (x m ). () Uit boek (11.5) weten we dat iedere s S 3 te schrijven is als s [xi 1,x i ](x) = (x i x) 3 6h σ i 1 + (x x i 1) 3 σ i +α i (x x i 1 )+β i (x i x), 6h waarbij α 1,...,α m, β 1,...,β m zekere constanten zijn, en, voor i {,..., m}, σ i = s (x i ). Het opleggen van (1) geeft α i = f(x i) h h 6 σ i, β i = f(x i 1) h h 6 σ i 1. (a) Door de continuïteit van s in x 1,...,x m 1 en () te gebruiken, laat zien dat A[σ...σ m ] = b, waarbij A R (m+1) (m+1) gegeven wordt door 4 1 4 1 A =..., 1 4 1 4 en b R m+1 door b i = 1 [ f (x m) h 1 [ f(x 1 ) f(x ) f (x ) h h 6 f(x i+1) f(x i )+f(x i 1 ) ] indien i =, indien i {1,..., m 1}, h f(xm) f(x ] m 1) h indien i = m. 5
Elementaire lineaire algebra laat zien dat A inverteerbaar is, en dat A 1 1, d.w.z. dat max i (A 1 x) i 1 max i x i. (b) Bewijs dat s 3 f. (Hint: Laat zien dat s = max i m σ i en dat max i m b i 6 f.) We noteren de onderzochte afbeelding C 1 ([a, b]) S 3 die aan f zijn complete kubische spline interpolant toevoegt nu als I 3. Voor voldoend gladde f zullen we schattingen voor f I 3 (f) afleiden. Hiertoe definiëren we de continue stuksgewijs lineaire interpolant I 1 : C([a, b]) S 1 := C([a, b]) m i=1 P 1(x i, x i 1 ) door I 1 (f)(x i ) = f(x i ) (i {,..., m}). (c) Laat zien dat I 3 een projectie is op S 3, d.w.z., dat I 3 (s) = s voor s S 3. (d) Laat zien dat voor iedere p S 1 er een s S 3 is met s = p. (e) Zij s S 3 zodanig dat s = I 1 (f ). Laat zien dat f I 3 (f) = f s I 3 (f s), en toon daarmee aan dat f I 3 (f) 4 f s 1 h f (4). (f) Laat zien dat I 1 (f I 3 (f)) =, en toon daarmee aan dat en ook dat voor e.o.a. constante C >. f I 3 (f) 1 16 h4 f (4), f I 3 (f) Ch 3 f (4) 7. Zij gegeven a < b, m N en n N. Zij h := b a en m m S n := C n 1 ([a, b]) P n ((i 1)h, ih), zijnde de spline ruimte van graad n t.o.v. de opdeling van [a, b] in m gelijke stukken (en met C 1 ([a, b]) gedefinieerd als de ruimte van begrensde functies op [a, b]). Z.v.v.a. nemen we a =. Met k= i=1 n+1 ( n + 1 S (n) (x) := ( 1) k k ) (x kh) n +, definiëren we S (n,l) (x) := S (n) (x lh) voor l Z. 6
n= n=1 n= n=3 n=4 h h 3h 4h 5h Figuur : De functies S (n,l) voor n =,...,4. (a) Laat zien dat S (n,l) [,b] S n. (b) Laat zien dat supp S (n,l) = [lh, (l + n + 1)h]. (c) Toon aan dat dim S n = m + n = #{l Z : S (n,l) [,b] }. (d) Uit opgave 11.6 weten we dat S (n+1,l) (x) = (x lh)s (n,l) (x) + ((n + + l)h x))s (n,l+1) (x). Met inductie naar n, toon hiermee aan dat S (n,l) (x) = h n n!. l Z (e) Laat zien dat S (n+1,l) (x) = (n + 1)(S (n,l)(x) S (n,l+1) (x)) (voor n = voor x hz). We gaan nu aantonen dat voor alle p Z, c l S (n,l) (ph,(p+1)h) = = c l = voor p n 1 < l < p + 1. (3) l Z (g) Laat zien dat (3) waar is voor n =. (h) Zij nu (3) waar voor zekere n. Zij l Z c ls (n+1,l) en dus l Z c ls (n+1,l) nul op (ph, (p + 1)h). Laat zien dat hieruit volgt dat voor een constante c R, c l c voor p n < l < p + 1, en daarmee dat l Z c ls (n+1,l) (ph,(p+1)h) = c l Z S (n+1,l) (ph,(p+1)h) = ch n+1 (n + 1)!. Concludeer dat (3) geldt. (i) M.b.v. (7a), (7c), (7b) en (3), bewijs dat { S(n,l) [,b] : l { n,...,m 1} } een basis is van S n. 7