1. Een blok-schema van een DC motor is gegeven in figuur 1. Vis) 1 m 1 Ls+R Js+b (0(5) K, Figuur 1: Blok-schema van een DC motor, a) Geef de overdrachtsfuntie G(s) = T(s)/V(s). Schrijf G(s) in de vorm K B(s) A( s y met K een constante en A(s), B(s) polynomen in aflopende machten van s. (12 p) G(s) T(s) V(s) 14 (-J +lo) ^ - Ces:) w x + Ki Ls> -t-r K fas*. 41 b) Stel nu dat de input van de motor kortgesloten is, dwz V(s) = 0. Geef de overdrachtsfuntie H(s) van een extern koppel T e (s) naar de stroom I(s). Het externe koppel T e (s) wordt opgeteld bij T(s). (12 p) H(s) m Te(s) 4 -t *4' - K z.o.z. 1
2. Gegeven is het volgende open-lus systeem: GW 8 0 (s + 2)(s + 3) 2 Ontwerp een PD regelaar D(s) = K p (l + T d s) zodat het geregelde systeem aan de volgende eisen voldoet: een cross-over frequentie van u c = 3 rad/s een fase marge van PM = 65 Laat alle stappen uit uw berekening zien. (30 p) K p = O. 6 3 ^ 2 p C (i^a - PM - -4l\Z r C+ ^0 0 «31, V Z A - 0X021 'Ij A = Schriftelijk tentamen Systeem- en Regeltechniek, 3 november 2011
3. Een lasrobot met overdrachtsfunctie G(s) wordt geregeld door een proportionele regelaar K p in de gesloten-lus configuratie zoals aangegeven in figuur 2. r + u ik w G(s) y Figuur 2: Blok-schema van de gesloten lus. De overdrachtsfunctie G(s) heeft de volgende vorm: K J s(s + 10)(s + 20) waarbij de exacte waarde van de parameter K onbekend is. Om K te bepalen, wordt een gesloten-lus experiment uitgevoerd met de proportionele regelaar K p = 1000 (de gesloten lus is asymptotisch stabiel met deze regelaar). Op de referentie input r(t) wordt een ramp signaal r(t) = O.lt gezet en de bijbehorende output y(t) wordt gemeten. Het foutsignaal e(t) =r{t) - y(t) is weergegeven in figuur 3. 0 1 2 3 4 5 Tijd [s] Figuur 3: Gemeten foutsignaal e(t). a) Bereken de constante K in de overdrachtsfuntie G(s). Tip: maak gebruik van de eindwaardestelling (final value theorem). (18 p) K = z.o.z. 3
e S - ^ 0-Y S (s4*oj(s+2o) ^-^>0 S ( C+fo) (s+2o) f /< /<,o b) Gebruik dezelfde proportionele regelaar if p = 1000 en veronderstel dat de constante K in G(s) niet bekend is. Geef de gesloten-lus karakteristieke vergelijking in de root-locus vorm en schets de bijbehorende root locus voor K > 0. Geef de richting van stijgende K aan. (12 p) Karakteristieke vergelijking: Schriftelijk tentamen Systeem- en Regeltechniek, 3 november 2011
c) Geef het interval van versterkingen K > O in G(s) voor welke het gesloten-lus systeem asymptotisch stabiel is. (20 p) /f -/ /<( co -> s, J w = 0 UJ = f200 d) Om de steady-state fout te elimineren, wordt het regelschema uitgebreid met de zgn. velocity feedforward versterking Kg, zie figuur 4. Figuur 4: Blok-schema met velocity feedforward (s is de Laplace operator). Neem K = 2, K v = 1000 en bereken de waarde van Kg zodanig dat de steady-state fout e ss = 0 voor de ramp referentie input (de steady-state waarde is gedefinieerd als e ss == lim^oo e(t)). (18 p) z.o.z. 5
K s = /loo 4 2. /f -4- ($+(o) (s-+2o) 20o -2l<ff "7 > 4 F-f y 4. Gegeven is de onderstaande asymptotenbenadering van de magnitude van een Bode diagram: 20 03 a 0 1-20 I -40 10 10 10 Frequentie [rad/s] 10 J 0 10 10 10 Frequentie [rad/s] 10 J Figuur 5: Asymptotenbenadering van een Bode diagram. Dit Bode diagram is getekend voor een stabiel, minimum-fase systeem met de onder- Schriftelijk tentamen Systeem- en Regeltechniek, 3 november 2011
staande overdrachtsfunctie G(s): G(s) = K{s + a)1 s n (rs + 1)p a) Bepaal de constanten K, m, n, p,aent in de overdracht functie G(s): (20 p) K = 0/ ra n _ f V = 4 a= 40 T = Berekening /motivering: ^el^va vo&\- uj-^o = - l iod % l&c^ Bij' \x>^4o ^Aj s 2x h^cf^t ~> /»» * 2, & K- 1 <> (/o c > ' ï ; ( G. <--'( \/foo 2 b) Bepaal aan de hand van het Bode diagram het systeem type (3p) Systeem type: 2. Motivering: i/ooir- Co -> O \r *0\ j \ c) Teken in figuur 5 nauwkeurig de asymptoten van de bijbehorende fase plot. Geef de fase in graden langs de verticale as. (5 p) 5. Gegeven is het volgende model in toestandsvorm: x(t) = [Z\ _ 4! )*(*)+( J ) «(*) y(t) = (2 l)x(t) a) Toon aan dat voor de open-lus overdrachtsfunctie G(s) = Y(s)/U(s) geldt s + 9 G(s) = s 2 + 2s + 9 z.o.z. 7
(10 p) <T O \ 2-24-f / + 1 \f O (g 1 b) Het systeem wordt geregeld door middel van een toestandsregelaar u(t) = Kx{t) met K = [ h\ k 2 ] de state feedback versterking. Bereken.ff zodanig dat de gesloten-lus karakteristieke polynoom een relatieve demping = 0.8 heeft en een natuurlijke frequentie u n = 20 rad/s. (20 p) K = ( $0.7S Q -j- ^^^v, + Co,, - 32 f LlOO ér- ook -1 L -7 - -<r \ S-*f-f& 2/ Einde tentamen Schriftelijk tentamen Systeem- en Regeltechniek, 3 november 2011