Blok 1 - Vaardigheden ladzijde 6 1a + 8 3 e + 6 i 6 10 3 3 3 1 3 3 10 f + 6 j 10 + 3 0 + 3 8 1 3 6 6 6 6 1 18 10 1 g ( 3) 3 6 k 9 6 d ( 3+ ) 10 + 6 3 h 3 8 l 1 3 1 3 a Antwoord: 6 invoer: goed Antwoord: invoer moet zijn: *(1 + 1/) Antwoord: 9 invoer moet zijn : ^3 + 1 d Antwoord: invoer moet zijn: ( 9) e Antwoord: 1 invoer moet zijn: 9/( + ) f Antwoord: 0, 6 invoer moet zijn: (3/) ^ ladzijde 3a 11a 10a a a + a a a a+ a p + p + 6 a + a d d xyz + xyz a pq heeft onder andere de fatoren, p, p en q 3pq heeft onder andere de fatoren 3, p, q en q 3 3, pq 3pq 1pq heeft onder andere de fatoren 1, p, p, p, q, q en q 6a 1pq d 6rt 3 g xyz xy e 1a h 6x 1x 6x 6xy f 3a 3 i - x 3 3 3 a 3xy 6x 18x y d xy xy xy x xy x y e ( ) 1 1 xy 3 x x y 3 3 a a 8a f 1 1 10 xy 1 6 xy xy 8a 6x 1 8 1x 3+ 10 10x 10x d 6x + 1 e x 3 x 8 f 1 18x+ 3x 1 1x g 1x+ 36 + 1x+ 38 h 19, 9x 3, 3 i 1x 8 + 6x x 8 1 11 3
Blok 1 - Vaardigheden 9a ( x+ 3)( x ) x x+ 3x 6 x + x 6 ( q 1)( q+ ) q + q q q + 3q ( v+ 3)( 3v+ 8) 6v 16v+ 9v+ 6v v + d 3 3 ( p + )( p 3) p 3p + p 6 e ( 3h )( h ) 6h h 1h + 8 f ( e 3)( e ) e + 8e+ 3e+ 1 e + 11e + 1 g ( a + )( a 3) a 3a + a 6 h ( xy + x)( xy+ ) x y + x y+ x y+ x xy + xy + x ladzijde 8 10a 9p + 30p+ f 9u 3u+ 0, v 16v+ 16 g g 1 9 h 1 r + rs+ s d 9xy 36 i p e l + 3l 1l 1 3 3 11a ( a+ 1)( a + a+ 1) a + a + a+ a + a+ 1 a + 3a + 3a + 1 3 ( y + 3) ( y+ 3)( y+ 3)( y+ 3) 3 ( y+ 3)( y + 1y+ 9) 8y + y + 18y+ 1y + 36y + 3 8y + 36y + y + 3 ( 1 3p) ( 1 3p)( 1 6p+ 9p ) 3 1 6p+ 9p 3p+ 18p p 3 1 9p+ p p ( + 3) ( + 3) ( + 3) ( + 6+ 9)( + 6 + 9) 3 3 + 6 + 9 + 6 + 36 + + 9 + + 81 3 + 1 + + 108+ 81 1a ( x+ 13) x + 6x + 169 ( p) 0p+ p ( x+ 3) x + 1x + 9 d ( x + x) x + x 3 + x ladzijde 9 13a ( x+ )( x+ ) ( x 6)( x ) ( a+ 6)( a ) d ( p+ 10)( p+ 3) 1a ( x) + 3 x + ( x + )( x + 1) 3 3 3 3 ( x ) + x + 6 ( x + )( x + 3) ( xy) + 6xy + 8 ( xy + )( xy + ) d ( xy) + 6xy 16 ( xy+ 8)( xy ) 38
Blok 1 - Vaardigheden 1a x 8x+ 6 ( x x+ 3) ( x 3)( x 1) x + x 3 + x x ( x + x+ 1) x ( x+ 1) x x 3 x ( x ) x ( x + )( x ) x ( x + )( x )( x + ) d x+ 8 x 10 (( x) + x ) ( x + )( x 1) e xy + xy + 36y y ( x + 6x+ 9) y ( x+ 3) f x ( x+ )( x ) g x 1 ( x + 1)( x 1) ( x + 1)( x+ 1)( x 1) h 6x 6( x ) 6( x+ )( x ) 3 16a Op nul herleiden geeft x x x 0. Dan ontinden door de fator x uiten de haakjes te zetten. Je krijgt xx ( x ) 0. Daar uit volgt dat x 0 of x x 0. Die laatste vergelijking kun je ook met ontinden oplossen: ( x )( x+ 1) 0 geeft x of x 1. Er zijn dus drie oplossingen: x 0, x, x 1. Ontinden door een fator x uiten de haakjes te halen: x( x 9x + ) 0 Daar uit volgt x 0 of x 9x+ 0. Die laatste vergelijking los je op met de aformule: x 9 + 3, of x 9 3 1. Er zijn dus drie oplossingen: x 0, x 3, en x 1. 3 Ontinden geeft: 3xx ( + x 3) 0. Hieruit volgt x 0 of x + x 3 0. Die laatste vergelijking heeft als oplossing x 1, want 1 + 3 0. Als je de grafiek van de funtie 3 fx () x + x 3 ekijkt, zie je dat er maar 1 nulpunt is en dat nulpunt heen we gevonden. Dus de vergelijking heeft oplossingen, x 0 en x 1. d Ontinden geeft : xx ( x 1) 0. Dus x 0 of x x 1 0. Die laatste vergelijking los je op met de a-formule: x 1+ of x Er zijn dus drie oplossingen: x 0, x 1+ en x 1. 1. e Je herleidt de vergelijking op nul: x x 0 of ook ( x ) x 0. Door te ontinden krijg je ( x )( x + 1) 0 dus x 0 of x + 1 0. De laatste vergelijking heeft geen oplossingen, maar de eerste vergelijking heeft twee oplossingen x of x. f x x 0 geeft x( x 1) 0 dus x 0 of x 1. Daaruit volgen de twee oplossingen: x 0 en x 1. 1a De manier van de vorige opdraht is omslahtiger. Er zijn twee getallen waarvan het kwadraat gelijk is aan 100 en dat zijn 10 en 10. Deze getallen zijn de oplossingen van de vergelijking. x en x. Uit de vergelijking volgt ( x ) 9 dus x 3 of x 3. De twee oplossingen zijn x 1 1 en x 1 1. 39
Keuzemenu - ICT-grafieken met VU-grafiek ladzijde 60 1a De snijpunten van de grafiek van f met de x-as zijn ( 3, 0), (, 0) en (, 0). 3 Controle: f( 3) 0, ( 3) 3 ( 3) 3, ( 3) + 30 13, + 10, + 30 0 3 f( ) 0, 3 3, + 30 3 8 1+ 30 0 3 f( ) 0, 3 3, + 30 6, 1, + 30 0 Stel de x-as in van tot 10. Een nadeel is dat je dan het minimum tussen x en x niet meer zo goed ziet. De snijpunten lijken dan te zijn: ( 3,66; 1,9), (,19; 13,16) en (,;,81) ladzijde 61 a - Zet aantal grafieken op 8. 3a - - De grafiek snijdt de x-as in twee punten voor a 0,. Hij snijdt de x-as voor x 0 en raakt de x-as voor x. d Voor a 0, gaat de grafiek door (, ). a Wanneer je de waarde van a verandert dan lijven de nulpunten gelijk. Alleen de steilheid van de paraool verandert. fx () a ( x x) 0 a x ( x 1) 0 x 0 of x 1. Deze antwoorden zijn onafhankelijk van de waarde van a. Voor a, gaat de grafiek door (3, 1). d Grafiek door (3, 1), dus: f() 3 1 a ( 3 3) 1 a 6 1 a. 1 a Op elke grafiek ligt het punt ( 3,; 0). f( 3, ) a + a a a a a, + +, 3 3 0 0. Dit is onafhankelijk van de waarde van a, het klopt dus. Als er voor x waarden diht ij 3 gekozen worden dan gaan de waarden van de grafiek naar plus-oneindig of min-oneindig. Als er voor x waarden diht ij 3 gekozen worden dan komt er in de noemer van de reuk een heel klein getal te staan. De waarde van de reuk wordt daardoor heel groot. ladzijde 6 6a heeft de waarde omdat er voor x 0 uit moet komen. De waarden voor a en spelen door het invullen van x 0 geen rol meer. - 0
Blok 1 - Keuzemenu a Plot de grafiek van f en y x x + in VU-Grafiek. Shuif net zolang met de parameters a, en tot eide grafieken samenvallen. Je vindt dan: a 1,, 1 f() x ( x ) + 1 of a 1,, 1 f() x ( x+ ) + 1 Plot weer eide grafieken. Je ziet dat de grafiek van f altijd een dalparaool is en die van y x + 3x + 6 een ergparaool. Het kan dus niet. Ook hier is de gevraagde grafiek een ergparaool en ook dit kan dus niet. d a: fx () ( ax ) + ax ax+ + valt samen met y x x +. Dus a 1, a en + Er geldt dus, a 1 a 1 of a 1. Eerst a 1 1. + 1 Een oplossing is dus a 1,, + 1 f() x ( x ) + 1. Nu a 1 1. ( ) + 1 Een tweede oplossing is dus a 1,, 1 f() x ( x+ ) + 1 Overigens is deze tweede oplossing niet anders als de eerste want ( x+ ) + 1 {( x )} + 1 ( 1) ( x ) + 1 ( x ) + 1 : fx () ( ax ) + ax ax+ + valt samen met y x + 3x + 6. Er geldt dus a en dit kan niet. De grafiek van f kan dus nooit samenvallen met y x + 3x + 6. : fx () ( ax ) + ax ax+ + is een dalparaool want de fator voor x is a > 0. De paraool door (0, 0) met top (, 1) is een ergparaool. de grafiek van f kan dus nooit hiermee samenvallen. 8a 30 m 30 3600 m 108000 m 108 km/u. se 3600se 1uur Met een snelheid van 30 m/se houdt hij het 00 meter vol. Dit kost hem 00 30 13, 3 seonden. De grafiek moet toenemend stijgend zijn want de heeta komt snel op grote snelheid. De onderste grafiek past dus het este, want die is toenemend stijgend. ladzijde 63 9a - De grafiek van de start gaat na 1 seonden over in de lineaire grafiek s 00 + 30 t. Hieruit is te zien dat de topsnelheid 30 m/s is. De raaklijn aan de startgrafiek van de heeta is na 9 seonden evenwijdig aan de grafiek van de zera, dus heen ze op dat moment dezelfde snelheid. de grafieken zijn dan even steil. d Wanneer ze dezelfde snelheid heen kun je die snelheid zien in de formule van de zera. De snelheid na 9 seonden is dus ongeveer 19, m/s. e De grafieken moeten dus weer even steil lopen dat is na ongeveer 33 seonden. f Op t 0 is de afstand tussen eide dieren 0 meter. 1
Blok 1 - Keuzemenu 10a Verander de 0 in a. Het eerste snijpunt is het moment waarop de heeta de zera gevangen heeft. Het tweede snijpunt is dan niet meer reëel. De voorsprong moet meer dan 11 meter zijn. 11a Voor de zera is in de formule geen deel opgenomen waarop zijn snelheid toeneemt tot de onstante snelheid die het uiteindelijk wordt. De zera heeft op t 0 al direkt de snelheid van 19, m/s. Wanneer de zera uit stilstand start, zal ook voor de zera de startformule een mahtsfuntie s at moeten zijn. De parameters a en moeten zo gekozen worden dat de snelheid na 1 seonden 19, m/s is, de topsnelheid. Beide parameters a en heen invloed op de steilheid van deze grafiek. Natuurlijk versnelt een zera veel minder goed als een heeta, de grafiek is dus minder steil. Wat proeren zou kunnen leiden tot de formule s 33, t 1, voor de eerste 1 seonden, maar ook andere formules zijn mogelijk. Om de grafiek van de formule van de onstante snelheid na 1 seonden goed te laten aansluiten op de grafiek van de formule s 33, t 1, moet de formule na 1 seonden worden: s 9 + 19, t. De voorsprong die de zera heeft is hier nog niet in verwerkt. Deze stel je in met de shuifparameter a. De formules worden dan: zera: s 33 t 1,, + a als 0 t 1 s 9 + 19, t+ a als t > 1 Wanneer je nu de shuifparameter geruikt zie je dat de voorsprong van de zera nu ongeveer 0 meter moet zijn om de heeta voor te lijven.