Hoofstuk - Hoek fstn Blije 8 ; 8 8 os os us gelt os os os os os 8 os 8 os os os os 9 AB AC AB AC os 8 CA CD CA CD os 9 AD DE AD DE os AC DE AC DE os 8 e AD DC AD DE os 9 f BF AE BF AE os Blije os os Dus is os os us is 8 OD os OD os invull in OD BD OB (Pthgors) geeft os h Dus h os Uit DA BD AB (Pthgors) volgt ( os ) h En us gelt h ( os ) ( os ) os ^ os os os os os (( ) ( )) ( ) ( ) e ; ( ) ; 8 os os us, 8 Moerne wiskune 9e eitie vwo D eel Noorhoff Uitgevers v
Hoofstuk - Hoek fstn os ( ) us os us 9 9 8 Stel B (, ) Dn is OA OB Dn oet gel os 9 ( ) ( ) ( ) 9 ±, of Alle voloet Dus B(, ) Blije 9 9 ; 9 t t us t e Altij ot os 9 ree is het inprout ook Invull vn in ijvooreel geeft Kies n Invull vn in geeft De onerlinge verhouing vn, lijv gelijk Moerne wiskune 9e eitie vwo D eel Noorhoff Uitgevers v 9
Dn krijg je r kun je niet ls rihtingsvetor geruik e Blije AB 9 BC Stel is e norlvetor n oet gel Kies ijvooreel n is Dus is e norlvetor vn het vlk V Kies het punt A voor e steunvetor n is e geohte norl ; ; J; j BS 9 l 9 us gelt 8 Zot S(,, ) of ; ; Hoofstuk - Hoek fstn Moerne wiskune 9e eitie vwo D eel Noorhoff Uitgevers v
Kies twee vetor vn oprht ls rihtingsvetor vn V β Voor het snijpunt oet gel β β β Verigvulig e eerste vergelijking et, e tweee et ere et Dn krijg je 9 β β Links rehts optell geeft n 9 us is is het snijpunt (,, ) E rihting vn BD is Twee rihting hier looreht op ijn rihting vn V; ijvooreel Ook gt het vlk V oor P(,, ) Dus is e vetorvoorstelling V Stel n volgt 9 us is S (,, ) Stel n volgt us is S (,, ) Stel n volgt us is S (,, ) Uit volgt Kies C voor e steunvetor e rihting DC DP Dn is e vetorvoorstelling CDP Stel is e geohte norlvetor Dn oet gel Met e inprout volgt n t Hoofstuk - Hoek fstn Moerne wiskune 9e eitie vwo D eel Noorhoff Uitgevers v
Kies n volgt us is e norlvetor vn het vlk CDP Dn oet in e vetorvoorstelling vn CDP gel t t Dit geeft ree het snijpuntpunt (,, ) vn CDP et e -s e f De oëffiiënt vn, in e vergelijking ko overe et ie vn e norlvetor Blije ; er gelt 8 Tel in het stelsel lles links vn het -tek op tel lles rehts vn het -tek op Blije 9 Stel is e norlvetor Dn oet gel Dus Kies n Dus is e norlvetor is e vergelijking te shrijv ls Invull vn (,, ) geeft e vergelijking Hoofstuk - Hoek fstn Moerne wiskune 9e eitie vwo D eel Noorhoff Uitgevers v
Dn oet gel Invull vn (,, ) geeft 8 e vergelijking 9 8 Dus Kies n Dus is e norlvetor is e vergelijking te shrijv ls Invull vn (,, ) geeft e vergelijking Dus Dus gelt is niet te erek Kies voor e wre ongelijk ijvooreel Dus is e norlvetor is e vergelijking te shrijv ls Invull vn (,, ) geeft e vergelijking E norlvetor is Looreht hierop stn ijvooreel Verer is (,, ) e punt vn het vlk Dus is e vetorvoorstelling E norlvetor is Looreht hierop stn ijvooreel Verer is (,, ) e punt vn het vlk Dus is e vetorvoorstelling E norlvetor is Looreht hierop stn ijvooreel Verer is (,, ) e punt vn het vlk Dus is e vetorvoorstelling E norlvetor is Looreht hierop stn ijvooreel Verer is (,, ) e punt vn het vlk Hoofstuk - Hoek fstn Moerne wiskune 9e eitie vwo D eel Noorhoff Uitgevers v
Dus is e vetorvoorstelling e Hershrijf e vergelijking ls n is e norlvetor Looreht hierop stn ijvooreel Verer is (,, ) e punt vn het vlk Dus is e vetorvoorstelling vn het vlk f Hershrijf e vergelijking ls n is e norlvetor Looreht hierop stn ijvooreel Verer is (,, ) e punt vn het vlk Dus is e vetorvoorstelling vn het vlk AB BC Dus Stel is e norlvetor Dn oet gel Optell vn eie vergelijking lt e verwijn (eliineert ) geeft oftewel Kies vervolgs ijvooreel n oet Invull vn ee twee wr in ijvooreel geeft 8 Dus is e vergelijking vn V 8 Invull vn (,, ) geeft 8 8 8 is e strijig stelsel Dn oet 8 evwijig ijn n p q Verigvulig e vergelijking 8 links rehts et Hieree is e oëffiiënt vn in eie vergelijking gelijk Dn oet ook e nere oëffiiënt gelijk ijn Dn oet 8 evwijig ijn n p q Dus gelt p q ; Hoofstuk - Hoek fstn Moerne wiskune 9e eitie vwo D eel Noorhoff Uitgevers v
Hoofstuk - Hoek fstn Blije 8 De loorehte projetie vn T op het gronvlk is O(,, ) Dus is e hoek tuss AT het gronvlk OAT Driehoek AOT is e gelijkige rehthoekige riehoek us is OAT OBT; in riehoek OBT gelt tn OBT 9 us is OBT CT Voor e vergelijking vn ABT geruik je e snijpunt et e ss Dus gelt ABT us is n ABT e Noe e geohte hoek Rek het inprout vn CT n ABT op eie nier uit Dn gelt 9 os De uitkost gelijkstell os uitrek geeft os 9 f 9 De sherpe hoek tuss n V voloet n os 8 9 9 us is 8 En us is ϕ 9 8 De sherpe hoek tuss n V is 9 En us is ϕ 9 9 De sherpe hoek tuss n V is En us is ϕ 9 voloet n os voloet n os 9 us us Moerne wiskune 9e eitie vwo D eel Noorhoff Uitgevers v
Hoofstuk - Hoek fstn H (,, ) G E F Q D C (,, ) A (,, ) B DF Rihtingsvetor vn DBG ijn DB DG Dus is e norlvetor vn DBG Punt D(,, ) ligt in het vlk Dus is e vergelijking vn DBG Voor e sherpe hoek tuss lijn norl gelt os Voor e hoek ϕ tuss lijn vlk gelt n ϕ 9 BQ n is e norl vn ACGE Voor e sherpe hoek tuss lijn norl gelt os Voor e hoek ϕ tuss lijn vlk gelt n ϕ 9 Blije 9 9 ; 9 In e rehthoek ACGE; tn ϕ 8 ϕ, 8 E G 8 8 A 8 C Moerne wiskune 9e eitie vwo D eel Noorhoff Uitgevers v
Hoofstuk - Hoek fstn AC 8 8 8 us 8 8 e In e rehthoek ACGE f Geruik e illustrtie het resultt vn oprht n β 8 ϕ 9 Roter o e snijlijn s over ϕ oet s overgn in s r ook n in n Je oet e sherpe hoek ϕ tuss e eie norl erek Hiervoor gelt os ϕ ϕ, 9 9 9 T D C e A B De lijn DT heeft ls rihting us is e vergelijking vn V vn e vor Invull vn B(,, ) geeft n n V n ABC Voor e sherpe hoek ϕ tuss e eie norl gelt n osϕ DT invull in e vergelijking geeft ( ) Dn is het snijpunt (,, ) Het vlk BCT is evwijig n e -s Je kunt ook egg t het snijpunt vn BCT et e -s oneinig (sool ) ver is Dus is e vergelijking vn BCT Als je verer ekt t krijg je ls vergelijking voor BCT Bij oprht is e vergelijking vn V gevon E punt (,, ) vn e snijlijn oet n eie vergelijking volo Kies in e eerste vergelijking n is Invull in e vergelijking vn V geeft ( ) Moerne wiskune 9e eitie vwo D eel Noorhoff Uitgevers v
Hoofstuk - Hoek fstn 8 D (,, ) G E F O C (,, ) A (,, ) B E vergelijking voor ACD is Dus is e norl vn ACD Het gronvlk heeft norl Dee kt e hoek ϕ et e norl vn ACD wrvoor gelt os ϕ ϕ 9, 8 De ijvlkk he norl Dee kt e hoek ϕ et e norl vn ACD wrvoor gelt os ϕ ϕ 9, Het voorvlk heeft norl Dee kt e hoek ϕ et e norl vn ACD wrvoor gelt os ϕ ϕ, e BE BG Stel is e norlvetor vn BEG Dn oet gel Kies n volgt Dus is e norlvetor vn BEG Deelfe norlvetor 8 Moerne wiskune 9e eitie vwo D eel Noorhoff Uitgevers v
Hoofstuk - Hoek fstn Blije 9 De kleinste fstn eet je looreht PQ Uit PQ volgt ( ) ( ) us is ; Q(,, ) Nu is PQ is PQ Blije Stel Q(, ) n is PQ us, PQ, 8, 8, 8,, Pl (, ) PQ, Stel Q(,, ) n is PQ us Dus gelt PQ is Pl (, ) PQ ( ) ( ) ( ) 9 Stel Q(, ) n is PQ ( ) ( ) us 9 9 9 Dus gelt PQ 8 9 is 9 9 Pl (, ) PQ Stel Q(,, ) n is PQ Dus gelt PQ is Pl (, ) PQ 9 Stel Q( 8,, ) in V Dn is AQ 8 Dee oet looreht Dit geeft En ree AQ Dus is A (, V) Stel Q( 8,, ) in V Dn is BQ 8 stn Moerne wiskune 9e eitie vwo D eel Noorhoff Uitgevers v 9
Hoofstuk - Hoek fstn Dee oet looreht ijn Dit geeft Dus gelt BQ 8 8 Dus is B V (, ) ( ) 8 8 8 AD EG P Q (,, ) ; (,, ) PQ us ( ) us Invull vn in geeft ( ) us P Q (,, ); (,, ) e PQ f BD CG P(,, ) op BD; Q(,, ) op CG PQ looreht us gelt ( ) ( ) Links rehts lles optell geeft us Verer is ook Dree is PQ is PQ 9 9 l Moerne wiskune 9e eitie vwo D eel Noorhoff Uitgevers v
Hoofstuk - Hoek fstn Invull vn e ktll vn e lijn in e vergelijking vn het vlk geeft ( ) ( ) ( ) De oplossing hiervn is ot (,, ) het snijpunt is P V PQ (, ) 8 9 9 Kies ijvooreel het punt P(,, ) vn vlk U Snij e lijn et het vlk W Dn voloet e vn het snijpunt Q n e vergelijking 9 9 Dn gelt ( ) PQ 9 9 R(,, ) Q(,, ) us RQ BGP heeft norlvetor Dus is 8 e vergelijking vn BGP Het snij vn e lijn et BGP geeft (,, ) ls snijpunt De fstn is us Stel X ligt op OA n X(,, ) Y op PQ ny(,, ) Vervolgs oet looreht stn op op Dit geeft e fstn is n e lgte vn, us Dit kun je ook ini ls je ekt t OA in het linker ijvlk ligt t PQ et het vlk OAED evwijig is OE is evwijig n QP us is e lijn OE evwijig n het vlk PQR PQR heeft ls norlvetor Dn is e vergelijking vn PQR OE snij et het vlk PQR geeft Dus is is e fstn - Moerne wiskune 9e eitie vwo D eel Noorhoff Uitgevers v
Hoofstuk - Hoek fstn Blije (,, ) (,, ) PQ is e norlvetor vn V Dus gelt V Invull vn e oörint vn M geeft t V Zijn gelijk Voor e willekeurig punt vn V gelt, Je oet vervolgs ngn of Dus oet gel ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),, 9,, 9 8, 8, it ltste klopt! E norlvetor vn W is Dn is W De lijn oor P looreht W is n 9 Het snijpunt hiervn et W voloet n ( ) ( 9 ) De oplossing hiervn is, e -wre vn het snijpunt De -wre vn het spiegeleel is hiervn het uele, us is Q(,, 9 ) (, 8, ) 8 De punt P ligg op e lijn e punt Q ligg op e lijn Dit ijn twee kruise lijn us is er niet e lijn of e vlk wrin lle punt P Q ligg P (, Q) ( ) ( ) 8 De inile fstn wort ereikt ls 8 (geruik e fgeleie) us ls Het i vn PQ is (,, ) Als it i op e lijn l ligt gelt Nee het vershil vn e eerste e ere vergelijking n us Invull hiervn in ijvooreel e eerste vergelijking geeft Moerne wiskune 9e eitie vwo D eel Noorhoff Uitgevers v
Hoofstuk - Hoek fstn 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 Blije Het vlk oor A, B C is V 8 Je oet n nog ontroler of punt D ook in V ligt Dus oet voor ekere gel 8 Dit ltste klopt ls je neet n V V 8 Je oet n nton t AB DC BAD 9 AB 8 DC 8 8 8 8 Verer is AD 8 Ot 8 is BAD 9 8 De oppervlkte is n 8 8 AT AP OA AT, 8, us is P(,, ) Moerne wiskune 9e eitie vwo D eel Noorhoff Uitgevers v
Hoofstuk - Hoek fstn BP, AT DP, AT 8, 8, De hoek tuss eie vlkk is BPD ls it e sherpe hoek is! Voor e hoek ϕ tuss BP, DP, gelt 8, 8,, 8, (,, 8 )osϕ 8,, osϕ os ϕ ϕ 9 9 Dus is e hoek tuss eie vlkk 8 CT us gelt Q(,, ) Dn is BQ oet gel t BQ Dn is 8 En us is Q(,, ) e Het vlk BPD heeft norl gt oor (,, ) Dus is e vergelijking f Invull vn e oörint vn Q geeft it ltste klopt De lijn QT is eelfe ls e lijn CT Hiervn is e rihting E norl vn BQPD is Voor e hoek tuss e lijn QT e norl gelt os os, Dus is e geohte hoek 9 P(,, ); Q(,, ) CFP Lijn AG heeft rihting ee stt looreht op, e norl vn CFP Dus is AG evwijig n CFP HQ is e norl vn CFP Moerne wiskune 9e eitie vwo D eel Noorhoff Uitgevers v
e Voor e hoek ϕ tuss gelt os ϕ ϕ Dus is e hoek ie CFP et het htervlk kt Voor e hoek ϕ tuss gelt os ϕ ϕ Dus is e hoek ie CFP et e ijvlk kt Voor e hoek ϕ tuss gelt os ϕ ϕ Dus is e hoek ie CFP et het gronvlk kt f HQ Nee n is het ijehore punt (,, ) g H(,, ) CP Kies e lgee punt X op CP n X(,, ) Dn oet gel HX us, De geohte fstn is e lgte vn 8 9,, us 8 9 9,,,, h Voor e punt X op AH gelt X(,, ) Voor e punt Y op PQ gelt Y(,, ) Zot XY Dee ltste oet looreht stn op e rihting vn AH PQ Dus gelt De oplossing hiervn is 8 De fstn is n e lgte vn 8 8 us i HF ; AG ; DP τ E lgee punt op HF is X(,, ) e lgee punt op AG is Y(,, ) Hoofstuk - Hoek fstn Moerne wiskune 9e eitie vwo D eel Noorhoff Uitgevers v
Hoofstuk - Hoek fstn τ Voor e lijn l oet n gel τ ee oet evwijig ijn n het vlk CFP Dus oet e rihting vn l looreht stn op e norl vn CFP Dus oet gel 8 us gt l oor het punt (8, 8, ) Dit invull in e vetorvoorstelling vn l geeft 8 τ 8 τ 8 8 τ Dit geeft het stelsel 8 τ 8 Optell vn e eerste e tweee vergelijking geeft τ vershil vn e tweee e ere vergelijking is τ Optell oplossing is τ us gt e lijn ook oor het punt (,, ) 8 Zot uiteinelijk gelt l 8 Blije T- M(, ) OM AB 8 OM OB 8 os 8 Het gt n o e sherpe hoek tuss OM Dn oet gel os 8 8 T- Stel e norlvetor is n oet gel Optell vn ee twee vergelijking geeft Kies n is is us is e norlvetor Moerne wiskune 9e eitie vwo D eel Noorhoff Uitgevers v
Hoofstuk - Hoek fstn Lt L(,, ) e lgee punt vn lijn l ijn Voor e geohte lijn gelt n γ De rihting hiervn stt looreht op us oet ( ) Dus is, is e rihting vn e geohte lijn Dus is e geohte lijn Lt L(,, ) e lgee punt vn lijn l ijn Evo is M(,, ) e lgee punt vn lijn Dn is e rihting vn LM Dee rihting oet looreht ijn et e eie rihtingsvetor vn het vlk V Dus oet gel De oplossing vn it stelsel is us is L(,, ) Dit voloe o e lijn te gev T- Stel e norlvetor is n oet gel Verigvulig e eerste vergelijking et twee tel het resultt op ij e tweee vergelijking n krijg je Dn oet gel us is T- De -s heeft owel ls rihtingsvetor Dus oet os ± Dus is ± wruit n kwrter volgt Dus is ot ± Moerne wiskune 9e eitie vwo D eel Noorhoff Uitgevers v
Hoofstuk - Hoek fstn Dn oet e vetor e hoek vn et e norl k Dus gelt os Dit uitwerk kwrter geeft us ± ( ) Blije T- Het punt Q(,, ) is e lgee punt vn lijn l Dn is AQ ie oet looreht stn us us is De fstn is e lgte vn AQ us Het vlk is n Voor e lgee punt Q vn het vlk gelt n Q(,, ) Dn is AQ ee oet looreht stn op e eie rihtingsvetor vn het vlk Dit geeft uiteinelijk e vergelijking 8 et ls oplossing Dn is AQ is e fstn gelijk n e lgte vn AQ, us T- P(,, ) Q(,, ) PG FQ Stel is e norlvetor n oet ee looreht PG ijn us oet p 8 p ree is p E norlvetor is n E vergelijking vn V is vn e vor Invull vn (,, ) geeft V 8 Moerne wiskune 9e eitie vwo D eel Noorhoff Uitgevers v
9 Hoofstuk - Hoek fstn Invull vn K (,, ) in V geeft ree is e lgte vn BK gelijk n Invull vn L (,, ) in V geeft ree is e lgte vn DL gelijk n Voor het vlk CKL gelt Invull vn e oörint vn Q geeft Dit lijkt voor e eerste tweee ktl te klopp ls Ehter voor het ere ktl gt het is Conlusie Q ligt niet in één vlk et C, K L Ot e lijn l in het vlk ligt oor (,, ) gt gelt l Ot er gelijke hoek oet wor gekt et CM et rihting EM et rihting gelt ± us oet gel ± Dus ijn er twee ogelijkhe voor e lijn ± e De fstn vn R tot lijn BG oet n inil ijn R(,, ) γ γ is e lgee punt op lijn AF T(,, ) τ τ is e lgee punt op BG Dn is TR τ γ τ γ ee oet looreht looreht stn Dit geeft γ τ γ τ τ γ uiteinelijk τ γ En us is R(,, ) T- l Stel P(,, ) Q(,, ) n is PQ Vnwege e gelijke hoek oet gel t ± Dus oet gel t ± Moerne wiskune 9e eitie vwo D eel Noorhoff Uitgevers v
Hoofstuk - Hoek fstn Dn is AP BP T-8 Lt L(,, ) e lgee punt ijn vn lijn l lt Z(,, ) e lgee punt vn e -s ijn Dn is ZL Dee oet looreht stn op owel ls Dus oet gel Dit geeft De fstn is n e lgte vn ZL is us Lt A(,, ) e lgee punt ijn vn lijn l lt B(,, ) e lgee punt vn e -s ijn Dn is BA ee oet looreht ijn et e norl vn vlk V Dus gelt 8 Dit geeft Voor het i M gelt n M( ( ),, ( ( ))) Dit geeft Stel W Op e lijn l ligg ijvooreel e punt (,, ) (,, ) Invull vn e oörint vn ee punt geeft het stelsel Het vershil vn eie vergelijking geeft n of Dus is e vergelijking vn W te shrijv ls Norl vn W V ijn nw n V Vnwege e hoek vn oet gel ± os ( ) Uitshrijv kwrter geeft ( ) 9 Kruislings verigvulig hkjes wegwerk geeft 8 8 8 9 Kies n volgt 8 us is Dit resultt invull in geeft uiteinelijk W 8 8 Moerne wiskune 9e eitie vwo D eel Noorhoff Uitgevers v