Jurje Bos heef ee eigeziige maier va he opvouwe va zij sokke: radom er ee ui de wasmad eme, kijke of er ee bijpassede sok op schoo lig, zo ie: sok erbij, zowel: vouwe maar. Ee werkwijze als deze lever mooie vrage op me verbazigwekkede awoorde. Losse sokke Ileidig Wiskudige zij e mese. Ne als biologe overal ieressae beesjes e plajes egekome, zie wiskudige overal ieressae wiskudeprobleme. Als wiskudige valle mij de ieressae beesjes e plajes ie zoveel op, maar af e oe kom ik wel ee wiskudeprobleem ege da zowel releva als lasig geoeg is om ieressa e zij. Di arikel gaa over ee probleem da aavakelijk veel eevoudiger leek da he was. Ik kwam he probleem ege ijdes he opvouwe va mij schoe sokke. Nada ik er ees goed over had agedach, heb ik ee aaal vrage die ik mezelf selde kue oplosse, maar er is ook og ee aaal vrage overgebleve. Uieidelijk besloo ik (a veel uisel) om he ees ejes op e schrijve; da is he arikel geworde da u u voor u zie. De meese wiskudige arikele zij geschreve als ee keurig uigeschreve beoog da laa zie hoe de oplossig i elkaar zi, zoder de dwalige va de odekker e oe. Di arikel gaa meer over de zoekoch zelf; ik wil lae zie hoe wispelurig de zoekoch ka zij om ee ogeschijlijk simpel probleem op e losse. Ik hoop hiermee e lae zie waarom wiskude zo leuk is. Maar da wis u auurlijk al, aders las u di ie. Hoe ik sokke opvouw Om e begie ee kore iroducie i he opvouwe va sokke, zoals ik he doe. Ik geef oe da he makkelijker is om de sokke op kleur bij elkaar e zoeke, maar gelukkig be ik ie zo gesrucureerd, aders was di arikel er ooi gekome. Ik pak seeds zoder i de wasmad e kijke éé sok. Als deze sok ie pas bij he rijje sokke da ik op schoo heb ligge, leg ik hem erbij. He rijje op mij schoo beva zo seeds de sokke va ee paar waarva de adere sok og i de wasmad zi. Als ik ee sok heb gepak die wel i he rijje voorkom, pak ik de bijbehorede sok erbij, vouw ik ze same op, e leg ze weg. He rijje sokke op mij schoo word dus seeds éé sok lager of korer. Tijdes he sokkevouwe word he rijje lagzamerhad seeds lager, e a verloop va ijd word he weer korer. Als he goed is, is he rijje leeg aa he eid va he proces, aders be ik ee sok kwij (da kom maar al e vaak voor, maar daar hebbe we he laer over). Als ik eveel sokke op mij schoo heb ligge, word he vouwe lasig. Op ee dag vroeg ik me af hoe groo he rijje eigelijk word, gegeve hoe vol de wasmad is. Die vraag bleek gemakkelijker om e selle da om e beawoorde, zoals da meesal gaa. Variabele Om hier ee ech wiskudeprobleem va e make, moee we eers wa variabele ivoere. We splise e als bij eche wiskude de ijd i discree eehede: éé sap voor elke sok die opgevouwe moe worde. We bekijke seeds de siuaie a he pakke va sokke. loop dus va 0 (aa he begi) aar (alle sokke opgevouwe). De wasmad is aavakelijk gevuld me paar sokke, dus sokke. Na sappe heb ik dus og sokke i de wasmad; losse sokke behadele we laer. He pakke va de sokke ui de mad is ee aselece rekkig. He aaal pare da ik heb gevouwe e weggelegd, is da ee sochasische fucie: die oem ik p(). (He aaal gevouwe sokke op ijdsip is da p().) Voorlopig ga ik er bij de formules va ui da ik volkome willekeurig sokke ui de mad haal; laer ga ik aleraieve verkee. De hoeveelheid sokke i he rijje op mij schoo oem ik s(). Gebruikmaked va bovesaade oaie ka de we va behoud va sokke worde geschreve als s() +p(). Kasverdelig Me bovesaade oaie kue we aa de slag. De kas da bij he pakke va sok ummer + ee ieuw paar word gevormd, word bepaald door de siuaie a sokke. Op da mome moe ik ee sok kieze ui 4 Losse sokke
ee wasmad me sokke; s() va de sokke i de mad hebbe ee bijbehorede sok op mij schoo. Sel da ik iderdaad ee passede sok op mij schoo heb ligge. De formule word da voor > 0: P paar ( + ) I di geval is s( +)s() e p( +)p() +. De kas da er gee ieuw paar word gevormd bij he pakke va sok + is: He is duidelijk da i di geval geld da s( +)s() + e p( +)p(). Gebruikmaked va he bovesaade ka de fucie s() recursief worde gedefiieerd als: s( 0) 0 e s () Tijdes he was opvouwe is he gemakkelijk i e zie da s() 0 als er gee losse sokke i de mad zie; aa de formules is di ie zo duidelijk e zie. Laer gaa we di bewijze. Voorbeeld I figuur saa ee voorbeeld va he verloop va he aaal sokke op mij schoo i ee werkelijke sokkevouwsessie va zeve paar sokke. fig. He opvouwe va zeve paar sokke Uiwerkig s () ------------- P los () P paar ( + ) s ( + ) s () me kas P paar () ------------- s () + me kas P los () P paar ( + ) Nu we de verschillede variabele hebbe geïroduceerd, kue we gaa rekee. De oorsprokelijke vraag is hoeveel ruime de sokke maximaal ieme op mij schoo. I formules is da: max s() 0 Di is ee sochas, waarva we he liefs de kasverdelig wille wee. Deze sochas is ie zo eevoudig als de sochase die we op school egekwame. De fucie s, me zij + waarde voor 0,,...,, is als geheel als ee sochas e beschouwe. s is e zie als ee rekkig ui de verzamelig va alle mogelijke fucies S. De verwachigswaarde va he aaal sokke op mij schoo is bijvoorbeeld: E max s() s S 0 Hier kome we laer op erug. Coiue vorm He eerse wa ik deed was probere ee idee e krijge va de uikoms. Daarom maake ik s() eers coiu, i de hoop da he me ee idee gaf waar de uikoms aaroe gaa. Ik oem de coiue versie va de fucie s. Voor s () kue we ee differeiaalvergelijkig make door voor zij afgeleide s () de verwachigswaarde e kieze va s( +) s(): s () Es [ ( + ) ] Es [ ()] Es [ ( + ) s ()] P paar () + P los () P paar () ------------- s () De oplossig va deze differeiaalvergelijkig is ee eevoudige kwadraische fucie, die ik voor de duidelijkheid op drie verschillede maiere schrijf: s () ----- ( ) ----- + ( ) ---------------------------- Da deze oplossig aa de voorwaarde voldoe, is gemakkelijk e zie door subsiuie: ------------- s () ----- ( ) ----------------------- s () Ik geef eerlijk oe da ik die oplossig va de differeiaalvergelijkig door ee compuer heb lae bepale. De lol va wiskude zi ie i he rekewerk, maar i he izich i de maerie. Toe ik di resulaa had, gig ik auurlijk meee kijke of he aa de verwachige voldeed. De fucie voldoe keurig aa s( 0) s( ) 0, he bereik va s is 0,, -- e he domei is [0, ]: da zou kue kloppe me mij ervarige ui de prakijk. He grafiekje hieroder zie er ook plausibel ui. Di geef me he gevoel da ik op de goede weg be. fig. De coiue vorm va s() voor 0 Eerse aalyse Me deze coiue vorm, die i zekere zi de gemiddelde siuaie aageef, kue we al zie wa voor oplossig we kue verwache. He aaal sokke op m schoo zal Nieuwe Wiskra 6-/sepember 006 43
eers sel, da seeds lagzamer sijge. Op he mome da ik de helf va de sokke ui de mad heb gehaald is he aaal sokke op mij schoo ogeveer de helf va he aaal pare. Daara daal he aaal sokke lagzaam, maar seeds seller o de laase sok is opgevouwe. He aaal sokke i de wasmad p() sijg kwadraisch me de ijd: p() s() ---------------- ----- 4 zoda aa he eid de mad he sels vol gaa. De oplossig is overduidelijk symmerisch. Op de vraag of di door de beaderig kom, of doorda he probleem ihere symmerisch is, kom ik laer erug. Deze coiue vorm geef os wel ee idee va de oplossig va he oorsprokelijke probleem, maar og ie de uikoms. We ware oorsprokelijk geïeresseerd i he maximum va s(). He is duidelijk da he maximum va s () gelijk is aa --. He eche aaal sokke s() flucueer waarschijlijk om de coiue oplossig s () hee, zoda he verwache aaal sokke da ik maximaal op m schoo leg ijdes he opvouwe ie precies op zal plaasvide e groer zal zij da --. Hoeveel groer ka ik hier ie zie. Kasverdelig va s() Voor de hoofdvraag va de hoeveelheid ruime op mij schoo is he odig om de kasverdelig va de fucies s S e bepale. We bepale eers hoeveel sokke er op ee gegeve mome op mij schoo ligge. I wiskudeaal: de kasverdelig va s() voor ee gegeve waarde va. Hiervoor moee we om e begie de kas berekee da op ee gegeve mome ee bepaald aaal sokke op mij schoo lig. Die kas hag af va wa er i de wasmad lag voorda ik ee sok pake, e auurlijk ook va wa er oe op mij schoo lag. Lae we di eve ee ech wiskudige aam geve: De kasfucie k (i) geef de kas op i sokke op mij schoo op ijdsip : k () i P [ s() i ] Da we ech ies hebbe aa deze defiiie, ku je zie aa he fei da we gemakkelijk k + kue berekee ui k me de recursieformule voor s. Kijk maar: k + i () i k ( i + ) P paar () + k ( i ) P los () i + k ( i + ) ------------- i + k ( i ) ------------- e we moee aaeme da k (i) 0 voor i <0. Door sysemaisch de waarde va i e op e hoge, kue we alle waarde va k (i) bepale. Numerieke beaderig Bovesaade berekeig va k (i) lee zich voor ee compuerprogramma. Daar be ik oevallig goed i. We kue de waarde va k voor ee bepaalde waarde va i gemakkelijk i ee array opslaa, e elkes voor elke volgede waarde va i alle ieuwe waarde berekee. Da lever sel umerieke waarde op va de kasverdelig va s(), zoda we ee idee kue krijge va he verloop va de sapel sokke op m schoo. Je ku de waarde va k (i) zelfs me ee spreadshee berekee: zo heb ik odersaade abelle vasgeseld. De waarde voor 00 k () i zij e vide i odersaade abel. I deze abel saa de kase i procee da i sokke op mij schoo ligge (vericale as) a sappe (horizoale as). Waarde die 0 zij, zij weggelae. Tabel : Kasverdelig va s() i procee voor 6 i 6 7 4 4 4 48 48 3 73 6 6 73 9 48 39 48 9 00 7 7 00 0 00 9 3 3 9 00 0 3 4 6 7 8 9 0 Ik heb veel geleerd door deze abel e besudere. Uieraard zij de kolomsomme gelijk aa 00 (op afrodig a), omda iedere kolom ee kasverdelig is. Di is ie zoder meer aa de formule voor k (i) e zie. Ik heb de kolomsomme gebruik om foue ui de formule i he spreadshee e hale. Wa me he mees opviel va s is da s() eve is als eve is, e oeve als oeve. Bij ader izie is di eevoudig aa de recursieformule e zie, e he is ook eevoudig e beredeere. Ik had me di ie va evore gerealiseerd; pas oe ik deze abel had uigereked, werd me duidelijk da di zo is. Zo zie je maar da izich ie zomaar kom; meesal moe je eers gewoo hard werke. Zo umerieke beaderig ka helpe om ee probleem beer e begrijpe. Zelfs groe wiskudige als Leibiz gebruike umerieke beaderige om izich e krijge i hu formules. Di is vooral bijzoder als u bedek da Leibiz die umerieke beaderige allemaal me de had heef moee doe, bij gebrek aa rekemachies. Symmerie He weede da mij opval aa de umerieke gegeves is da de verdelig symmerisch is om, e als de coiue beaderig. Deze symmerie is gee gevolg va de beaderig op wee cijfers: ader oderzoek (me Excel) leer da de waarde zo precies zij als va de precisie va de berekeig verwach ka worde. He is zeer owaarschijlijk da he da ie exac is. Toe ik di odek had, moes ik he auurlijk ook bewijze. De gemakkelijkse maier om he i e zie, is da he proces symmerisch is i de ijd, zoals ik u zal lae zie. Hiermee bewijze we e passa da s() 0, zoals hierbove beloofd. He bewijs is i he Nederlads; er saa al geoeg formules i di verhaal. We bekijke allee he aaal sokke op schoo, e lae de wasmad eve weg. Va ee gegeve paar sokke word eers éé sok gepak, e laer de adere. I de ijd usse deze wee gebeureisse lig er éé sok op mij 44 Losse sokke
schoo. He mome waarop ee sok (eerse of weede) gepak word, is ook ee sochas. De eerse e weede sok va ee paar hebbe dezelfde kasverdelig, zoda he ie uimaak als je de ijd omkeer, wa da veradere allee de ame ( eerse e weede ) va de sokke. De kasverdelig va de sokke op schoo is dus symmerisch i de ijd. De vergissig Me bovesaade kasverdelig kue we gemakkelijk he verwache aaal sokke op mij schoo op ee gegeve mome i de ijd berekee. Voor he voorbeeld hierbove va zes paar sokke krijge we de verwachigswaarde ui de volgede abel. Hier is af e leze da de maximum verwachigswaarde gelijk is aa 3,3; die word geheel aar verwachig i he midde aageome. Tabel : verwachigswaarde va s() voor 6 0 3 4 6 7 8 9 0 E 0,0,8,,9 3, 3,3 3,,9,,8,0,0 We hebbe u wel he maximum uigereked va de verwachigswaarde, maar ie de verwachigswaarde va he maximum. We zij gesui op ee subiliei waarover meig wiskudige he hoofd heef gebroke: je mag ie klakkeloos operaies verwissele, hoe oschuldig da ook lijk. We wille amelijk de verwachigswaarde (over alle mogelijke fucies s) va he maximum (over ) va s() uirekee: E max s() s S 0 e da is ie hezelfde als he maximum (over ) va de verwachigswaarde (over alle fucies s): max E s () 0 s S We hebbe dus he verkeerde probleem opgelos. U wee da u al; ik deed er ee paar weke over om daaracher e kome. Maar ja, da is ou eemaal de maier waarop oderzoek gaa. Adrew Wiles, die beroemd is geworde door a meer da ie (!) jaar werk de laase sellig va Ferma op e losse, zei: He oplosse va di probleem was als he zoeke va je weg i ee vreemd huis i he doker. Eers sommel je ee ijdje door ee kamer, je seeds soed aa he meubilair, oda je he lichkopje heb gevode. Da ku je je weg vide i de kamer, e zie je de deure aar de volgede kamers. Pas als je alle kamers va he huis op deze maier heb verked, is he probleem opgelos. Goed, he gaa om he subiele verschil usse de verwachigswaarde va he maximum aaal sokke e he maximum va de verwachigswaarde va he aaal sokke. Bij slechs drie paar sokke maak di al ui: ik zal di precies lae zie aa de had va abel 3. Er zij vijfie verschillede volgordes waarop ik drie paar sokke ka pakke, zoals i abel 3 is uigeschreve. Ik ga er voor he gemak va ui da de eerse sok va elk paar respecievelijk (r)ood, (g)roe of (b)lauw is. Bij he ivulle va de abel kom je vazelf ui op de recheroderhoek. Da sa je voor de keuze wa we moee ivulle: 9 He maximum va de verwachigswaarde -- 8,. Di is de waarde die we e hebbe uigereked i abel. 7 De verwachigswaarde va he maximum -- 33,. 3 Di is de waarde die ik wil wee: de e verwache hoeveelheid ruime die ik op schoo odig heb. Tabel 3: Alle mogelijkhede voor drie paar sokke Volgorde Op schoo Max. b b g g r r 0 0 b b g r g r 0 b b g r r g 0 b g b g r r 0 b g b r g r b g b r r g b g g b r r 0 b g g r b r b g g r r b b g r b g r 3 3 b g r b r g 3 3 b g r g b r 3 3 b g r g r b 3 3 b g r r b g 3 3 b g r r g b 3 3 Verwachigswaarde 8 -- 9 -- 8 -- 9 7 -- of -- Oplossig Da word he u ijd om he probleem ech op e losse, zoals ik heb beloofd. Om de verwache waarde va he aaal sokke: E max s() s S 0 max s() e bepale, moee we eers 0 bepale voor verschillede waarde va s. He vervelede is da s ee fucie is, zoda he lasig is om de kasruime S e beschrijve. Ik heb ee ijdje zie worsele om ies over max s() ui e rekee, 0 maar ik merke da da ies werd. He is alsof de formule helemaal ie zo beaderd wil worde. I de aal va Adrew Wiles: ik bleef me maar soe aa he meubilair. Na lag deke realiseerde ik me da ik ies ees wis hoe ik mij S moes voorselle; daar moes ik dus eers maar ees mee begie. I woorde is de mees voor de had liggede defiiie va S: de kas da alle pue gelijk zij aa ee gegeve fucie S(), gegeve de voorgaade pue. I formule- 3 Nieuwe Wiskra 6-/sepember 006 4
vorm is di auwkeuriger op e schrijve: Ps [ S] Ps [ () S () 0 k sk ( ) Sk ( )] 0 Omda de defiiie va s recursief is, zi er iks aders op da de beschrijvig va S ook recursief e make i, hoe ologisch da ook lijk. Di izich was he lichkopje da ik odig had; oe ko ik eidelijk weer verder. Dus, we gaa he hebbe over ee voorsuk va s, o aa m: P 0,, m [ s () S ()] Ps [ () S () 0 k < sk ( ) Sk ( )] 0 m waarbij we m lae lope va 0 o ; als m, hebbe we de uikoms. Kas op ee gegeve verdelig Da kue we u eidelijk aa de slag. Ui de formule hiervoor kue we zie da he gaa om ee eevoudige vermeigvuldigig: P [ s () S () ] P [ s () S ()] 0,, m 0,, m Psm [ ( ) Sm ( ) sk ( ) Sk ( )] 0 k < m De facor waar we mee vermeigvuldige hag i pricipe af va alle voorgaade waarde s(0) o e me sm ( ), maar hierbove hebbe we al gezie da de eige waarde die va belag is de voorgaade is. Eerder saa da de kas afhag of er ee paar word gevormd of ie: Ps [ ( + ) S ( + ) ] ------------- S () als S ( + ) S () S () ------------- als S ( + ) S () + 0 aders Wiskudige hebbe de ziekelijke eigig om zo formule me keuzes als ee obegrijpelijke gesloe uidrukkig op e schrijve. Ik ka auurlijk ie acherblijve: Ps [ ( + ) S ( + ) ] -- + [ S ( + ) S ()] ------------- S () -- Nu kue we dus de kas op ee gegeve verdelig precies uischrijve door m + e selle: Ps [ S] Ps [ ( + ) S ( + ) ] 0 + Ps [ ( + ) S ( + ) ] 0 < S () -- + [ S ( + ) S ()] ------------- -- 0 < We hebbe ies aa deze formule, maar we kue i elk geval u de kas op ee gegeve fucie uirekee. Hiermee kue we de uieidelijke uikoms verkrijge: E max s () max s S 0 s () Ps ( ) 0 S s S Maar, zoals u zie, ech hadig is de formule ie: he is voor kleie waarde va ee hele berg rekewerk, e we kue er ook gee schaig mee make. I feie is da wa we i abel 3 hebbe gedaa. Tabel 4: Numerieke beaderig voor drie paar sokke k s(k) max0 k sk ( ) kas 0 0 0,000,000 0 0,00 0,800 3 0,00 3 0,400 3 3 3 0,400 4 0 0,067 4 0 0.33 4 0,400 4 3 0,400 0,067 0,33 3 0,400 6 0 0,067 6 0 0,33 6 0 3 0,400 Numerieke beaderig Als he gaa om ee umerieke beaderig, kue we ee echiek gebruike die op de vorige paragraaf is geïspireerd: gewoo va 0 aar werke. We berekee E max s () s S 0 k waarbij we k lae lope va 0 o. I iedere sap va deze bewerkig moee we de gegeves beware die odig zij i de volgede sappe. He grappige is da we ie alle kase va alle s S hoeve e berekee, he gaa om de fucies die ee gegeve maximum hebbe. I woorde: we houde seeds bij, voor ee voorsuk va he rajec va 0 o, wa de mogelijke maxima zij, e welke kasverdelig daar bijhoor. Voor de volgede sap kue we da gemakkelijk uirekee of he maximum verader, e wa de ieuwe kasverdelig is. Aa he eid va de berekeig kue we zo de hele kasverdelig va he maximum zie. Voor he verlege va he rajec me éé sok hoeve we da allee de kasverdelige door e rekee, e e kijke wa er me he 46 Losse sokke
maximum gebeur. Ies wiskudiger geformuleerd houde we de kasverdelig bij va de pare ( s ()max, s() ) 0 k De kas op zo paar is gemakkelijk e bepale me de formule va he begi i combiaie me he he riviale fei max s() max( sk ( + ), max s() ) 0 k 0 k Ee e ader is gedemosreerd i abel 4. U zie da de kasverdelig va he maximum aa he eid va de abel saa; de verwachigswaarde (of wa je maar wil) ka zo worde uigereked. Di alles is i ee compuer e krijge. He is wa werk om e programmere, maar we kue u eidelijk abel uibreide me de eche verwachigswaarde va he maximum, zoals e zie i abel. U zie he maximum oplope, e ook seeds ies hoger da de verwachigswaarde. Di klop me mij iuïie da de kas da er i he verlede ee groo aaal sokke was he gemiddelde iesje hoger maak. Tabel : De juise berekeig va max s() voor 6 0 3 4 6 7 8 9 0 E 0,0,8,,9 3, 3,3 3,,9,,8,0,0 max 0,0,9,6 3, 3,6 3,9 4, 4, 4, 4, 4, 4, Eve sug doorrekee lever os abel 6 op me de uikoms o 30 paar sokke. Tabel 6: Verwachigswaarde va he maximum voor 30 E E E,000 7,0,70,667 7,68 3, 3,333 3 8,77 3 3,6 4,96 4 8,733 4 4,9 3,74 9,87 4,730 6 4,7 6 9,839 6,67 7 4,76 7 0,388 7,804 8,343 8 0,936 8 6,339 9,99 9,48 9 6,874 0 6,489 0,06 30 7,408 Nadele va umerieke beaderige Nu hebbe we ee prachige abel, maar die zeg ies over hoe de verwachig verloop voor zeer groe waarde va. Da is voor mij origiele probleem ie zo ieressa, maar he is wel leuk vaui ee heoreisch perspecief. Ik heb me daar verder ie i verdiep, ook door gebrek aa wiskudige keis, moe ik oegeve. De lij is i elk geval e ie rech, zoals u ku zie i figuur 3. Uibreidige We hebbe u he wiskudige probleem va he sokke vouwe redelijk oder de kie. Bij wiskudige beaderige va huishoudprobleme is he meesal zo da als gevolg va he modellere ee aaal prakische omsadighede worde verwaarloosd. We zulle ee aaal va deze omsadighede i de formule probere op e eme. Nie-blid grijpe I de prakijk zal ik ie precies blideligs aar de volgede sok grijpe, maar och me ies meer kas de bijpassede sok grijpe. Di ka osaa doorda de sokke dich bij elkaar i de wasmad ligge, of doorda ik expres ga zoeke als mij schoo e vol is. He zou mooi zij als ik ka kwaificere hoeveel u he heef om evejes rod e kijke op zoek aar de adere sok voorda ik ee sok pak. He lijk me duidelijk da he verwache aaal plaase op schoo da mider word, maar hoeveel? Om e begie oderzoeke we he effec als ik seeds a sokke bekijk, e als daar ee sok usse zi waarva de bijpassede sok op mij schoo lig, da pak ik die. De kas P los is da de kas da alle sokke die ik pak ie op mij schoo ligge; di berekee we me de loerijformule e auurlijk P los () s () a --------------------------------- a P paar () P los () (Opgave voor de lezer: coroleer da di he geval a klop me de oorsprokelijke formules.) Als we os voorbeeld voor 6 opieuw doorrekee, krijge we abel 7. De verschille zij schokked: om e begie is de kas da va alle pare ee sok op mij schoo erech kom bija 0 geworde. Maar og schokkeder is da de symmerie is verdwee! He mome da he verwache aaal sokke maximaal is lig u duidelijk bij, erwijl da oorsprokelijk i he midde bij 6 was. Tabel 7: s() voor 6; seeds wee sokke bekijke i 6 0 4 9 6 3 3 4 8 8 68 68 73 4 00 49 4 3 8 00 0 00 8 00 0 3 4 6 7 8 9 0 Na wa verder rekee heb ik de resulae ui de grafiek i figuur 3 kue berekee. U ku goed zie da he iderdaad u heef om meerdere sokke e bekijke. Bedek wel da de berekeig erva uigaa da als je meerdere sokke pak, je wel seeds opieuw aselec de Nieuwe Wiskra 6-/sepember 006 47
groepjes pak. Als je di ie doe, werk he mider goed, wa de sok die de vorige keer ie bij ee sok op mij schoo pase, pas vermoedelijk og seeds ie. wel lager auurlijk, omda ik vaker sokke moe pakke; he ka zelfs willekeurig lag dure! Tabel 8 laa zie hoeveel exra ijd he kos om sokke erug e gooie i de mad. I de kolomme exra is e zie hoe vaak je ee sok moe eruggooie. Hierui blijk he volgede: Teruggooie is gee slech idee als je schoo bija groo geoeg is. Je moe ie e gauw sokke eruggooie, aders blijf je bezig. He bekijke va meerdere sokke egelijk bespaar ijd, als je beperke schooruime heb. Tabel 8: sokke eruggooie bij 6 paar i de mad bekijke bekijke 3 bekijke 4 bekijke Schoo E max exra E max exra E max exra E max exra fig. 3 Meerdere sokke egelijk pakke Ee adere odekkig die ik deed, is da he verschil usse he verwache maximum e he maximum va de verwachig seeds groer word als je meerdere sokke egelijk bekijk. Di kom omda de periode waari m schoo bija vol is, lager word. Hierdoor is he maximum meer afhakelijk va oevallige uischieers i he aaal sokke. Di zie je ie als je he maximum eem va de verwachigswaarde, maar wel als je de verwachigswaarde va he maximum eem. Di was he pu waarop ik bij de eerse versie va he arikel odeke da er ies mis was. Toe ko ik weer helemaal opieuw begie... Losse sokke Afhakelijk va de orgaisaiegraad va uw huishoude blijve er soms ee paar losse sokke i de mad zie, die gee bijpassede sok hebbe. (Zo dig hee bij os ee oeve sok, maak ik wee ie of di i Va Dale saa.) We gaa er eve va ui da er éé sok obreek i de mad. Je ku he zie als ee sokkevouwproces waarbij éé sap voor he eide word gesop. De uikoms voor ee mad me ee obrekede sok is dus hezelfde als waeer de sok er wel was. Ideeë om ruime op mij schoo e spare De vraag is of er og adere slimme dige zij e bedeke die zorge da he geheel op mij schoo blijf passe. Ee idee is om de sokke die ie meer op mij schoo passe gewoo i de mad erug e gooie. He opvouwe duur da,000,0,000 0,0,000 6,3,000 4,,000 0,,000 47,9,000 9,6,000 0,4 3 3,000 6,3 3,000 8, 3,000 6,9 3,000, 4 4,000 40,3 4,000 7,7 3,994 9,8 3,96,6,000 7, 4,990 0,9 4,90,0 4,69, 6,999 8,7,909 6,,60,0,06 0,6 7 6,98, 6,63,8,896 0,6,86 0, 8 7,98 7,3 7,07,0 6,0 0,, 0,0 9 8,74 3,8 7,7 0,3 6,044 0,0, 0,0 0 9,89,7 7,338 0, 6,049 0,0,6 0,0 9,839 0,0 7,37 0,0 6,049 0,0,6 0,0 Ee ader idee is om ee apare sapel e make voor sokke die ie meer op mij schoo passe. Als er ruime op mij schoo osaa, vul ik die op me sokke va de sapel. Di kos auurlijk ee exra sapelje aas de wasmad, maar he lever wel wa op. E zo ku je doorgaa me dige uirekee... Coclusie Ik hoop da u a di arikel geïspireerd be om ook om u hee e kijke e de wiskude e zie die os omrig. Verder sa ik ope voor ideeë om he sokkeprobleem verder ui e werke: is er og ee maier e bedeke om he aaal sokke op mij schoo e reducere? Ku je zo oplossig ook og doorrekee? Ik be beieuwd. Jurje Bos Ierpay Nederlad B.V., Urech 48 Losse sokke