Differentilvergelijkingen Technische Universiteit Delft Roelof Koekoek wi2030wbmt Roelof Koekoek (TU Delft) Differentilvergelijkingen wi2030wbmt 1 / 1
De Lplce vergelijking De tweedimensionle wrmtevergelijking heeft de vorm α 2 (u xx + u yy ) = u t met u = u(x, y, t) Driedimensionl is dit: α 2 (u xx + u yy + u zz ) = u t met u = u(x, y, z, t) Evenzo hebben we voor de golfvergelijking: 2 (u xx + u yy ) = u tt met u = u(x, y, t) of 2 (u xx + u yy + u zz ) = u tt met u = u(x, y, z, t) Roelof Koekoek (TU Delft) Differentilvergelijkingen wi2030wbmt 2 / 1
De Lplce vergelijking We beperken ons nu tot de stbiele toestnd, wrbij geen verndering in de tijd optreedt, dt wil zeggen: u t = 0 In beide gevllen (wrmte- en golfvergelijking) volgt dn: u xx + u yy = 0 (2-dim.) of u xx + u yy + u zz = 0 (3-dim.) Dit heet de Lplce vergelijking of potentilvergelijking Beschouw nu bijvoorbeeld het Dirichlet probleem: u xx + u yy = 0, 0 < x <, 0 < y < b u(x, 0) = f 1 (x), u(x, b) = f 2 (x), 0 < x < u(0, y) = g 1 (y), u(, y) = g 2 (y), 0 < y < b Roelof Koekoek (TU Delft) Differentilvergelijkingen wi2030wbmt 3 / 1
De Lplce vergelijking De functie u(x, y) beschrijft dn de tempertuur in het punt (x, y) vn een dunne metlen plt met lengte en breedte b De metlen plt wordt over het hele oppervlk perfect geïsoleerd Op de rnden wordt dn een tempertuursverdeling ngebrcht die wordt bepld door de functies f 1 (x), f 2 (x), g 1 (y) en g 2 (y) In plts hiervn kn men ook kijken nr een Neumnn probleem: u xx + u yy = 0, 0 < x <, 0 < y < b u y (x, 0) = f 1 (x), u y (x, b) = f 2 (x), 0 < x < u x (0, y) = g 1 (y), u x (, y) = g 2 (y), 0 < y < b Combinties vn Dirichlet en Neumnn problemen zijn ook mogelijk Roelof Koekoek (TU Delft) Differentilvergelijkingen wi2030wbmt 4 / 1
Dirichlet probleem voor een rechthoek Beschouw het Dirichlet probleem u xx + u yy = 0, 0 < x <, 0 < y < b u(x, 0) = f (x), u(x, b) = 0, 0 < x < u(0, y) = 0, u(, y) = 0, 0 < y < b met drie homogene rndvoorwrden en één inhomogene Stel u(x, y) = X (x) Y (y) 0 (methode vn scheiden vn vribelen), dn volgt: u xx + u yy = 0 = X (x) Y (y) + X (x) Y (y) = 0 Dus: X (x) X (x) = Y (y) Y (y) = σ (seprtieconstnte) Roelof Koekoek (TU Delft) Differentilvergelijkingen wi2030wbmt 5 / 1
Dirichlet probleem voor een rechthoek Hieruit volgt: X (x) σ X (x) = 0 en Y (y) + σ Y (y) = 0 Uit de (homogene) rndvoorwrden volgt: u(x, b) = 0 : X (x)y (b) = 0 = Y (b) = 0, en u(0, y) = 0 : X (0)Y (y) = 0 = X (0) = 0 u(, y) = 0 : X ()Y (y) = 0 = X () = 0 Voor X (x) vinden we dus { X (x) σ X (x) = 0, 0 < x < X (0) = 0, X () = 0 Roelof Koekoek (TU Delft) Differentilvergelijkingen wi2030wbmt 6 / 1
Dirichlet probleem voor een rechthoek Dit is hetzelfde (homogene) rndwrdeprobleem ls voorheen (bij de wrmte- en de golfvergelijking) met eigenwrden σ n = n2 π 2 2, n = 1, 2, 3,... ( n π x ) en eigenfuncties X n (x) = sin, n = 1, 2, 3,... Voor Y n (y) vinden we dn: Y n (y) + σ n Y n (y) = 0 met Y n (b) = 0 ( ) n π (b y) met eigenfuncties Y n (y) = sinh, n = 1, 2, 3,... Dus: ( n π x ) ( ) n π (b y) u n (x, y) = X n (x) Y n (y) = sin sinh voor n = 1, 2, 3,... Roelof Koekoek (TU Delft) Differentilvergelijkingen wi2030wbmt 7 / 1
Dirichlet probleem voor een rechthoek Met behulp vn het superpositieprincipe volgt dn: u(x, y) = c n u n (x, y) = n=1 ( n π x ) ( n π (b y) c n sin sinh n=1 ) Nu gebruiken we de inhomogene rndvoorwrde u(x, 0) = f (x): f (x) = ( ) n π b ( n π x ) sinh c n sin n=1 (Fourier sinusreeks) Dus: ( ) n π b sinh c n = 2 0 f (x) sin ( n π x ) dx, n = 1, 2, 3,... Roelof Koekoek (TU Delft) Differentilvergelijkingen wi2030wbmt 8 / 1
Dirichlet probleem voor een cirkel Voor een cirkelvormig domein mken we gebruik vn poolcoördinten: { x = r cos(θ) y = r sin(θ) met r 0 en 0 θ < 2 π De Lplce vergelijking u xx + u yy = 0 gt dn over in u rr + 1 r u r + 1 r 2 u θθ = 0 Een Dirichletprobleem voor een cirkel met strl R > 0 wordt dn: u rr + 1 r u r + 1 r 2 u θθ = 0, 0 < r < R, 0 < θ < 2 π u(r, θ) = f (θ), 0 θ < 2 π Roelof Koekoek (TU Delft) Differentilvergelijkingen wi2030wbmt 9 / 1
Dirichlet probleem voor een cirkel We gebruiken weer de methode vn scheiden vn vribelen: Stel dt u(r, θ) = R(r) T (θ), dn volgt u rr + 1 r u r + 1 r 2 u θθ = 0 R (r)t (θ) + 1 r R (r) T (θ) + 1 r 2 R(r) T (θ) = 0 Voor u(r, θ) = R(r) T (θ) 0 volgt nu: r 2 R (r) R(r) + r R (r) R(r) = T (θ) T (θ) = σ Hieruit volgt: (seprtieconstnte) r 2 R (r) + r R (r) σ R(r) = 0 en T (θ) + σ T (θ) = 0 Roelof Koekoek (TU Delft) Differentilvergelijkingen wi2030wbmt 10 / 1
Dirichlet probleem voor een cirkel Hierbij treden nog enkele (verborgen) rndvoorwrden op: De functie T (θ) moet 2 π-periodiek zijn en de functie R(r) moet begrensd zijn voor r 0 Dit leidt tot de eigenwrden σ n = n 2 met n = 0, 1, 2,... en eigenfuncties T n (θ) = c n cos(n θ) + k n sin(n θ), n = 0, 1, 2,... De differentilvergelijking voor R(r) is een Euler vergelijking met eigenfuncties R n (r) = r n, n = 0, 1, 2,... Dus: u n (r, θ) = R n (r) T n (θ) = c n r n cos(n θ)+k n r n sin(n θ), n = 0, 1, 2,... Roelof Koekoek (TU Delft) Differentilvergelijkingen wi2030wbmt 11 / 1
Dirichlet probleem voor een cirkel Met het superpositieprincipe volgt nu: u(r, θ) = c 0 2 + r n (c n cos(n θ) + k n sin(n θ)) n=1 De rndvoorwrde u(r, θ) = f (θ) voor 0 θ < 2 π leidt dn tot: f (θ) = c 0 2 + R n (c n cos(n θ) + k n sin(n θ)) n=1 Dit is een (gewone) Fourierreeks voor f (θ) Merk op dt f (θ) gedefinieerd is op het intervl [0, 2 π) en verder 2 π-periodiek moet zijn Roelof Koekoek (TU Delft) Differentilvergelijkingen wi2030wbmt 12 / 1
Dirichlet probleem voor een cirkel Uit de Euler-Fourier formules volgt dn: R n c n = 1 π en R n k n = 1 π Hiermee is de oplossing gevonden 2 π 0 2 π 0 c 0 = 1 π 2 π 0 f (θ) dθ, f (θ) cos(n θ) dθ, n = 1, 2, 3,... f (θ) sin(n θ) dθ, n = 1, 2, 3,... u(r, θ) = c 0 2 + r n (c n cos(n θ) + k n sin(n θ)) n=1 Roelof Koekoek (TU Delft) Differentilvergelijkingen wi2030wbmt 13 / 1