2 Verwisselingsstellingen en oneigenlijke integrlen 2.1 Verwisseling vn de differentitievolgorde Lt V een open deelverzmeling vn R 2 zijn, en f : V R een reëelwrdige funtie op V die prtieel differentieerbr is nr de eerste vribele. Neem n dt de funtie D 1 f : V R op zijn beurt prtieel differentieerbr is nr de tweede vribele. We kunnen dn de gemengde tweede orde prtiële fgeleide D 2 D 1 f = D 2 (D 1 f) vormen, de prtiële fgeleide nr de tweede vribele vn de prtiële fgeleide vn f nr de eerste vribele. Men noteert deze ook wel ls 2 f(x, y) y x := y ( f(x, y) x ). (2.1) We hebben nu de volgende stelling over de verwisselbrheid vn de differentitievolgorde. Stelling 2.1 Lt V R 2 een open deelverzmeling zijn, en f : V R een prtieel differentieerbre funtie. Lt (ξ, η) V, en veronderstel dt n de volgende voorwrden voldn is: () D 1 f is prtieel differentieerbr nr de tweede vribele; (b) D 2 f is prtieel differentieerbr nr de eerste vribele; () D 2 D 1 f en D 1 D 2 f zijn ontinu in (ξ, η). Dn is D 1 D 2 f(ξ, η) = D 2 D 1 f(ξ, η). (2.2) Bewijs Omdt V open is, bestt er een δ > zo dt B((ξ, η); 2δ) V. Voor h, k R met h, k < δ geldt dt (ξ + h, η + k) tot B((ξ, η); 2δ) en dus tot V behoort. Voor dergelijke h, k die bovendien ongelijk nul zijn definiëren we: Q(h, k) = (hk) 1 (f(ξ + h, η + k) f(ξ + h, η) f(ξ, η + k) + f(ξ, η)). (2.3) Ons eerste doel is om te bewijzen dt lim Q(h, k) = D 2D 1 f(ξ, η). (2.4) (h,k) (,) Hiertoe introdueren we voor k de hulpfuntie v k :] ξ δ, ξ + δ [ R door v k (x) := f(x, η + k) f(x, η). k Het is nu gemkkelijk te ontroleren dt voor < k, h < δ geldt dt De funtie v k is differentieerbr met fgeleide Q(h, k) = v k(ξ + h) v k (ξ). h v k (x) = D 1f(x, η + k) D 1 f(x, η) k 21
Door toepssing vn de middelwrdestelling vinden we dt er een tussen ξ en ξ + h gelegen getl ξ(h, k) bestt zo dt Q(h, k) = v k (ξ(h, k)) = D 1f(ξ(h, k), η + k) D 1 f(ξ(h, k), η). k Door toepssing vn de middelwrdestelling op de differentieerbre funtie ϕ : ] η δ, η + δ [ R, y D 1 f(ξ(h, k), y) volgt dt er en tussen η en η + k gelegen getl η(h, k) bestt zo dt Uit het bovenstnde volgt dt Q(h, k) = ϕ (η(h, k)) = D 2 D 1 f(ξ(h, k), η(h, k)). (2.5) (ξ(h, k), η(h, k)) (ξ, η) ξ(h, k) ξ + η(h, k) η h + k, dus met de insluitstelling volgt dt lim (ξ(h, k), η(h, k)) = (ξ, η). (h,k) (,) Combineren we dit met de ontinuiteit vn D 2 D 1 f in (ξ, η), dn vinden we door toepssing vn de substitutiestelling voor limieten op (2.5) dt (2.4) inderdd geldt. We merken nu op dt de eerste en de tweede vribele in de definitie vn Q preies dezelfde rol spelen. Bovendien zijn de eisen ()-() symmetrish in de eerste en de tweede vribele. Hieruit volgt dt (2.4) ook geldt met verwisseling vn de volgorde vn de prtiële fgeleiden. Dus: lim Q(h, k) = D 1D 2 f(ξ, η). (2.6) (h,k) (,) Wegens de uniititeit vn limieten leiden we uit (2.4) en (2.6) f dt (2.2) geldt. Met het bovenstnde resultt we nu lgemener herhld prtieel differentiëren behndelen in n 2 vribelen. Zij X een open deelverzmeling vn R n en f : X R p een funtie. Met indutie over k zegt men dt de funtie f k keer differentieerbr is, indien f k 1 keer differentieerbr is en voor iedere keuze vn indies j(1),..., j(k 1) de fbeelding D j(k 1)... D j(1) f : X R p totl differentieerbr is. (Wegens Lemm 1.23 is deze fbeelding dn ook ontinu.) Hierbij is D j(k 1)... D j(1) f de herhlde prtiële fgeleide, die met indutie over k wordt gedefinieerd ls D j(k) D j(k 1)... D j(1) f = D j(k) ( Dj(k 1)... D j(1) f ), 1 j(k) n. Men zegt dt f k keer ontinu differentieerbr is, nottie f C k (X, R p ) of f C k, ls bovendien lle k-de orde prtiële fgeleiden D j(k) D j(k 1)... D j(1) f ontinu zijn. Wegens Stelling 2.1 kn men de differentitievolgorde hierin nr believen verwisselen, door een willekeurige permuttie vn de indies te shrijven ls een smenstelling vn buursverwisselingen (dwz. verwisselingen vn indies die nst elkr stn). Als α j het ntl der rngnummers l voorstelt wrvoor j(l) = j, dt wil zeggen het ntl keren dt D j in de herhlde prtiële fgeleide voorkomt, dn kunnen we dus shrijven D j(k) D j(k 1)... D j(1) f(x) = D α 1 1... Dαn n f(x) = 22 k f(x) x 1 α 1... xn α n.
Hierin shrijven we α j = ls de prtiële fgeleide nr de j-de vribele niet voorkomt. Als veel vn deze uitdrukkingen voorkomen, dn kort men dit ook wel f tot D α f(x), wrin α = (α 1,..., α n ) een rij vn niet-negtieve gehele getllen voorstelt. Het getl k = α := n α j (2.7) heet de orde vn de differentilopertor D α. Men zegt dt f willekeurig vk differentieerbr of gld is, nottie f C (X, R p ) of f C, ls voor ieder positief geheel getl k geldt dt f C k. Uit Lemm 1.3 en de rekenregels voor limieten volgt dt ls f, g C k (X, R), dn is f + g C k (X, R) en f g C k (X, R), terwijl f/g C k (X, R) ls bovendien g(x) voor iedere x R. Vervolgens geeft Stelling 1.32 met indutie over k dt g f C k ls f C k en g C k. 2.2 Limietnemen onder het integrlteken In de nlyse komt het dikwijls voor dt men een integrl beshouwt vn een funtie, die behlve vn de integrtievribele nog vn een ntl ndere vribelen fhngt. Preiezer, zij V R n,, b R, < b en lt een funtie f : V [, b] R gegeven zijn. Voor iedere x V is f x : t f(x, t) een reëelwrdige funtie op [, b]. Als de funtie f x voor iedere x V Riemnn-integreerbr is over [, b], dn wordt door F (x) := j=1 f x (t) dt = f(x, t) dt (2.8) een funtie F : V R gedefinieerd. Men zegt ook wel dt de integrl in (2.8) nog fhngt vn de prmeters (x 1,..., x n ). De volgende stelling zegt dt ls de funtie f ontinu is ls funtie vn lle vribelen (x 1,..., x n, t), dn hngt de integrl over t [, b] ontinu f vn de prmeters (x 1,..., x n ). Stelling 2.2 Zij V R n en, b R, < b. Veronderstel dt de funtie f : V [, b] R ontinu is op de deelverzmeling V [, b] vn R n+1. Dn is de funtie F : V R, gedefinieerd door middel vn (2.8), ontinu. De ontinuïteit vn de funtie F betekent dt F in ieder punt ξ V ontinu is. Dit ltste betekent weer dt lim F (x) = F (ξ). x ξ Vullen we in het bovenstnde de definitie vn F in, en gebruiken we dt f ontinu is in (ξ, t), voor iedere t [, b], zodt f(x, t) f(ξ, t) voor x ξ, dn vinden we dt ( ) lim f(x, t) dt = f(ξ, t) dt = lim f(x, t) dt, (2.9) x ξ x ξ De formule (2.9) zegt dt we limieten en integrlen mogen verwisselen. Volgens Stelling 2.2 is dit geoorloofd indien de funtie f ontinu is ls funtie vn lle vribelen. Het bewijs vn Stelling 2.2 berust op de volgende, op zihzelf interessnte, toepssing vn de stelling vn Bolzno Weierstrss, die bekend is uit het ollege Inleiding Anlyse. 23
Lemm 2.3 Zij K een begrensde en gesloten deelverzmeling vn R p, V R n en ξ V. Veronderstel dt f : V K R q ontinu is in lle punten vn de verzmeling {ξ} K. Dn is er bij iedere ɛ > een δ >, zo dt voor lle x V B(ξ; δ) en lle y K geldt dt f(x, y) f(ξ, y) < ɛ. Opmerking 2.4 Omdt in het bovenstnde bij iedere ɛ > een δ > gevonden kn worden die tot de gegeven shtting leidt voor lle y K, zeggen we ook wel dt f(x, y) f(ξ, y), voor x ξ, uniform ten nzien vn y K. Bewijs We veronderstellen dt de onlusie niet geldt en zullen lten zien dt dit tot een tegensprk leidt. De ontkenning vn de onlusie in Lemm 2.3 geeft dt er een ɛ > bestt zo dt er voor iedere δ > een x V B(ξ; δ) bestt en een y K die niet voldoen n de shtting f(x, y) f(ξ, y) < ɛ, dus wrvoor f(x, y) f(ξ, y) ɛ. Door hierin δ = 1/j te nemen, met j een positief geheel getl, krjgen we een rij (x (j) ) j 1 in V en een rij (y (j) ) j 1 in K, met de eigenshp dt voor iedere j 1 geldt dt x (j) ξ < 1/j en f(x (j), y (j) ) f(ξ, y (j) ) ɛ. (2.1) Uit y (j) K en de begrensdheid vn K volgt dt de rij (y (j) ) j 1 begrensd is in R p. Hieruit volgt wegens de stelling vn Bolzno Weierstrss dt de rij (y (j) ) j 1 een onvergente deelrij heeft. Met ndere woorden, er is een deelrij vn rngnummers j k, met j k ls k, met de eigenshp dt de rij (y (j k) ) k 1 voor k onvergeert nr een punt η R p. In het bijzonder is η een limietpunt vn K, en omdt K gesloten is, geldt η K. Omdt x (j k) ξ < 1/j k en j k ls k, zien we dt x (j k) ξ ls k. We onluderen dt de rij (x (j k), y (j k) ) in R n+p voor k onvergeert nr het punt (ξ, η). Tevens onvergeert de rij (ξ, y (j k) ) nr (ξ, η). Uit de ontinuïteit vn f in het punt (ξ, η) onluderen we dt f(x (j k), y (j k) ) f(ξ, y (j k) ) f(x (j k), y (j k) ) f(ξ, η) + f(ξ, η) f(ξ, y (j k) ) + = ls k. Dit leidt tot een tegensprk met de tweede shtting in (2.1). Bewijs vn Stelling 2.2 Omdt [, b] een begrensde en gesloten deelverzmeling is vn R, mogen we Lemm 2.3 toepssen met p = 1 en K = [, b]. Zij ξ V en µ >. Dn is er een δ > met de eigenshp dt voor x V met x ξ δ, en voor iedere t [, b] geldt dt Dit leidt tot de shtting f(x, t) f(ξ, t) ɛ := µ/(b ). F (x) F (ξ) = 24 (f(x, t) f(ξ, t)) dt f(x, t) f(ξ, t) dt ɛ dt = ɛ (b ) = µ,
voor iedere x V met x ξ < δ. Hieruit volgt dt F (x) F (ξ) ls x ξ. Voorbeeld 2.5 We beshouwen de funtie f : R [ 1, 1] R gegeven door f(x, t) = e xt. Door toepssen vn het bovenstnde resultt met V = R en [, b] = [ 1, 1] zien we dt de funtie F : R R, gedefinieerd door F (x) = 1 e xt dt ontinu is. Als x, dn heeft de integrnd de funtie t e xt /x ls primitieve, wruit volgt dt F (x) = (e x e x )/x. Anderzijds is de integrnd voor x = onstnt 1, en we zien dt F () = 2. De ontinuïteit vn F geeft dt F (x) F () = 2 voor x. Uiterrd kunnen we dit resultt ook fleiden door gebruik te mken vn de stelling vn de l Hopitl, zie het ditt Inleiding Anlyse. Voorbeeld 2.6 Het bovenstnde resultt is niet diret toepsbr op funties die gedefinieerd worden door zogenmde oneigenlijke integrlen. Als voorbeeld beshouwen we de Gmm-funtie Γ : ], [ R vn Euler, Γ(x) = t x 1 e t dt. (2.11) Dit is een funtie vn de vorm F (x) = f(x, t) dt, met f(x, t) = t x 1 e t. Er zijn hier twee problemen. In de eerste plts is het intervl vn integrtie onbegrensd nr boven. In de tweede plts is de funtie f x : t f(x, t) niet ontinu in voor < x < 1. In de volgende prgrf zullen we lgemene theorie ontwikkelen wrmee we kunnen lten zien dt de zo gedefinieerde Gmm funtie ontinu, en zelfs C is op het intervl ], [. 2.3 Oneigenlijke integrlen We zullen eerst het begrip oneigenlijke integrl preies invoeren. Drn komt prmeter fhnkelijkheid ps n de orde. Veronderstel dt I R een intervl vn de vorm I = [, b[ is, met < b. Veronderstel nu dt f : I R een funtie is, en veronderstel dt f Riemnn-integreerbr is over elk intervl [, q] I, met < q < b. Definitie 2.7 limiet De funtie f heet oneigenlijk Riemnn-integreerbr over het intervl [, b[ indien de β lim f(x) dx β b bestt. Is dit het gevl, dn noemen we de limiet de oneigenlijke integrl vn f over [, b[ en we noteren hem met f(x) dx := lim β b β f(x) dx. Indien de limiet niet bestt, dn zeggen we ook wel dt de oneigenlijk integrl f(x) dx divergeert. Voorbeeld 2.8 We beshouwen de funtie f : x x s op I = [1, [, met s R een onstnte, ongelijk n 1. Deze funtie is ontinu, dus Riemnn-integreerbr op ieder deelintervl [1, β] I. 25
Voor β > 1 geldt dt β 1 f(x) dx = xs+1 s + 1 β 1 = βs+1 1 s + 1. (2.12) De ltste uitdrukking heeft een limiet voor β dn en slehts dn ls s + 1 <. In dit gevl is de funtie f oneigenlijk Riemnn integreerbr over [1, [, met ls oneigenlijke integrl de limiet: 1 x s β s+1 1 dx = lim = 1 β s + 1 s + 1, (s < 1). De uitdrukking (2.12) heeft geen limiet voor s > 1, ofwel, de integrl divergeert in dt gevl. Tenslotte beshouwen we ook nog het gevl dt s = 1. Dn heeft f(x) = 1/x de funtie log x ls primitieve, en dus heeft β 1 dx = log β x 1 geen limiet voor β. De bijbehorende integrl β 1 x 1 dx is dn ook divergent. Smenvttend onluderen we dt het onderstnde lemm geldt. Lemm 2.9 Zij s R. Dn onvergeert de oneigenlijke Riemnn-integrl 1 x s dx (2.13) dn en slehts dn ls s < 1. In dt gevl is de wrde vn de integrl gelijk n 1/( s 1). Soortgelijke beshouwingen ls hier boven leiden tot het begrip vn oneigenlijke Riemnn-integreerbrheid op intervllen vn de vorm I = ], b] met < b <. Een interessnt voorbeeld wordt gegeven door het onderstnde lemm. Lemm 2.1 Zij s R. De oneigenlijke integrl x s dx is onvergent dn en slehts dn ls s > 1. In dt gevl is de oneigenlijke integrl gelijk n 1/(s + 1). Bewijs De funtie f : x x s is ontinu op het intervl I =], 1], dus Riemnn-integreerbr op ieder deelintervl [α, 1] I. We veronderstellen eerst dt s 1. Dn is (s + 1) 1 x s+1 primitieve vn f, dus x s dx = 1 α s + 1 αs+1 s + 1 voor lle < α < 1. We zien dt de limiet voor α bestt dn en slehts dn ls s > 1. In dt gevl geldt x s = 1 s + 1. We beshouwen tenslotte het gevl dt s = 1. Dn heeft f de funtie log ls primitieve op I, zodt α x 1 dx = log α. Deze uitdrukking heeft geen limiet voor α, zodt de bijbehorende oneigenlijke integrl divergent is. Het lemm volgt. 26
Ook het gevl vn een tweezijdig open intervl I = ], b [, met < b dient bekeken te worden. Lt f : I R en veronderstel dt f Riemnn-integreerbr is over elk deelintervl [α, β] I met < α < β < b. De volgende observtie is voor de hnd liggend, mr belngrijk. Lemm 2.11 De volgende twee uitsprken zijn equivlent. () Er is een < < b zo dt f oneigenlijk Riemnn-integreerbr is over ], ]. (b) Voor lle < < b is de funtie f oneigenlijk Riemnn-integreerbr over ], [. Bewijs Zij < < < b. Dn geldt voor lle α met < α < dt α f(x) dx = α f(x) dx + f(x) dx. Hieruit blijkt dt de limiet voor α vn de eerste integrl bestt dn en slehts dn ls de limiet vn de tweede integrl bestt. Dus f is oneigenlijk Riemnn-integreerbr over ], ] dn en slehts dn ls f oneigenlijk Riemnn-integreerbr is over ], ]. Bovendien geldt in dt gevl dt Het lemm volgt. f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx. Uiterrd geldt een soortgelijk lemm met betrekking tot de bovengrens b vn het intervl. Dit mkt dt de volgende definitie zinvol is. Definitie 2.12 Lt I =], b [ een open intervl zijn, met < b. Lt f : I R. De funtie f heet oneigenlijk Riemnn-integreerbr indien voldn is n de volgende eisen. () de funtie f is Riemnn-integreerbr over ieder deelintervl [α, β] I; (b) er is een I zo dt f oneigenlijk Riemnn-integreerbr is over ], ] en over [, b[. Indien n de bovenstnde eisen voldn is, dn wordt de oneigenlijke integrl vn f over I gedefinieerd door f(x) dx = f(x) dx + Opmerking. Conditie () zullen we in het vervolg ook wel smenvtten ls: () : de funtie f is lokl Riemnn-integreerbr op I. f(x) dx. (2.14) Om in de prktijk ook ddwerkelijk te kunnen beslissen of een funtie oneigenlijk integreerbr is, is het volgende Cuhy-riterium voor limieten belngrijk. We formuleren het in de lgemeenheid vn metrishe ruimten, zie het ditt Inleiding Anlyse. Het gevl dt V R n en W = R m is ehter l voldoende voor onze toepssingen. Stelling 2.13 (Cuhy-riterium voor limieten) Lt V, W een tweetl metrishe ruimten zijn, en F : V D W een fbeelding. Zij D en veronderstel dt W ompleet is (d.w.z., iedere Cuhy-rij in W onvergeert). Dn zijn de volgende uitsprken equivlent: () F(x) heeft een limiet voor x ; 27
(b) voor iedere ɛ > bestt een δ > zo dt voor lle x, y V geldt: x, y B(; δ) D = d W (F (x), F (y)) < ɛ. Bewijs Stel (), en noem de limiet b. Zij ɛ >. Er bestt een δ > zo dt voor lle x B(; δ) D geldt dt d W (F (x), b) < ɛ/2. Veronderstel nu dt x, y B(; δ) D. Dn geldt dt d W (F (x), F (y)) d W (F (x), b) + d W (b, F (y)) < ɛ/2 + ɛ/2 < ɛ. Hiermee is (b) bewezen. Veronderstel omgekeerd dt (b) geldt. Kies een rij (x n ) n in D met limiet (zo n rij bestt, omdt limietpunt vn D is). We zullen eerst ntonen dt (F (x n )) n een Cuhy-rij in W is. Dit gt ls volgt. Zij ɛ >. Er is een δ > met de in (b) geformuleerde eigenshp. Tevens is er een N N zo dt voor lle n > N geldt dt x n B(; δ) D. Voor lle n, m > N geldt dus dt x n, x m B(; δ) D, dus wegens (b) ook n, m > N = d W (F (x n ), F (x m )) < ɛ. De rij (F (x n )) is dus inderdd een Cuhy rij in W. Angezien W volledig is, heeft de rij (F (x n )) n een limiet b W. We zullen lten zien dt lim F (x) = b. (2.15) x Dit gt ls volgt. Lt ɛ >. Dn is er een δ > met de eigenshp vn (b). Tevens is er een N N zo dt x N B(; δ) D. Voor lle x B(; δ) D geldt nu d W (F (x), F (x N )) < ɛ/2, dus Hiermee is (2.15) ngetoond. d W (F (x), b) < d W (F (x), F (x n )) + d W (F (x n ), b) < ɛ/2 + ɛ/2 = ɛ. Op de gebruikelijke mnier kunnen we hieruit het volgende onrete resultt voor limieten vn funties vn één vribele fleiden. Gevolg 2.14 Lt I = ], b[ een open intervl zijn met met < b. Lt F : I R een funtie zijn. Dn zijn de volgende uitsprken equivlent: () lim x b F (x) bestt; (b) voor elke ɛ > bestt een β I zo dt voor lle x, y I : x, y > β = F (x) F (y) < ɛ. Uiterrd bestt een soortgelijk resultt ten nzien vn de ondergrens vn I. Stelling 2.15 (Mjorntie-kenmerk) Lt I = ], b[ een open intervl zijn, met < b. Veronderstel dt f, g : I R lol Riemnn-integreerbr zijn, en dt f g op I. Indien g oneigenlijk Riemnn-integreerbr is op I, dn is f dt ook, en er geldt bovendien dt f(x) dx g(x) dx. 28
Bewijs Uit de voorwrden blijkt in het bijzonder dt g op het intervl I. Lt < < b. We lten eerst zien dt f Riemnn-integreerbr is op [, b[. Shrijf F (ξ) = ξ f(x) dx en G(ξ) = ξ g(x) dx, voor ξ [, b[. De belngrijke opmerking is nu dt voor lle p, q [, b[ met q p geldt dt q q F (p) F (q) = f(x) dx f(x) dx p q p g(x) dx = p G(p) G(q). Angezien g oneigenlijk Riemnn-integreerbr is, bestt de limiet lim ξ b G(ξ). Zij ɛ >. Dn bestt er wegens het Cuhy-riterium voor G een β [, b[ zo dt voor lle p, q [, b[ met p, q > β geldt dt G(q) G(p) < ɛ. Hieruit volgt dt voor lle p, q I met p, q > β geldt dt F (q) F (p) G(q) G(p) < ɛ. Met het Cuhy-riterium onluderen we nu dt F (ξ) een limiet heeft voor ξ b. Dus f is oneigenlijk Riemnn-integreerbr over [, b[. Voor lle ξ [, b[ geldt ξ ξ f(x) dx g(x) dx. Door de limiet voor ξ b te nemen en te gebruiken dt niet-strikte ongelijkheden behouden blijven onder limietnme onluderen we de ongelijkheid f(x) dx g(x) dx. Op soortgelijke mnier leiden we f dt f oneigenlijk integreerbr is over ], ] en dt f(x) dx g(x) dx. Hieruit volgt: f(x) dx = = f(x) dx + f(x) dx b f(x) dx + f(x) dx g(x) dx + g(x) dx. 29 g(x) dx
Voorbeeld 2.16 (De Gmm-funtie) We beshouwen wederom de volgende integrl voor de Gmm-funtie, zie ook Voorbeeld 2.6, Γ(x) := t x 1 e t dt, x >. (2.16) Als < x < 1, dn gt de integrnd nr oneindig ls t, dus dn moeten we ook bij de ondergrens t = de integrl ls een oneigenlijke integrl opvtten. We zullen nu met behulp vn het mjorntie-riterium ntonen dt de integrl voor de Gmmfuntie onvergeert. Drtoe verdelen we het intervl ], [ in de stukken ], 1] en [1, [. Voor t ], 1] geldt dt t x 1 e t t x 1 en tx 1 dt onvergeert, dus ook t x 1 e t dt (2.17) onvergeert. We beshouwen nu het deel vn de integrl over [1, [. Zij N N, N > x 1. Dn geldt voor t 1 dt t x 1 e t t N e t. Uit lim t t N e t/2 = volgt het bestn vn een onstnte C > zo dt t N e t Ce t/2, (t 1). Omdt de integrl 1 e t/2 dt onvergent is, onluderen we nu dt 1 t x 1 e t dt (2.18) onvergent is. Uit de onvergentie vn (2.17) en (2.18) onluderen we tenslotte dt de integrl (2.16) onvergent is voor lle x >. Men kn ntonen dt de Gmm-funtie niet op een lgebrïshe mnier in termen vn de bekende funties is uit te drukken. Voorbeeld 2.17 De Bèt-funtie De Bèt-funtie vn Euler is de funtie vn twee vribelen p, q, die is gedefinieerd door B(p, q) := t p 1 (1 t) q 1 dt. (2.19) Deze funtie is, net ls de Gmm-funtie, niet op lgebrïshe mnier in termen vn de bekende funties uit te drukken. De gegeven integrl voor B(p, q) onvergeert voor p, q >. Dit is ls volgt in te zien. Voor genoemde p, q is de funtie f : t t p 1 (1 t) q 1 ontinu dus lokl Riemnn-integreerbr op het intervl ], 1[. We splitsen dit intervl in twee delen, nmelijk ], 1 2 ] nd [ 1 2, 1[ en behndelen de bijbehorende integrlen fzonderlijk. De funtie t (1 t) q 1 is ontinu op [, 1 2 ], dus begrensd door een onstnte C >. Voor < t 1 2 geldt drom dt f(t) Ct p 1. De funtie in het rehterlid vn deze uitdrukking is oneigenlijk Riemnn-integreerbr over ], 1 2 ] wegens Lemm 2.1. Hieruit volgt de onvergentie vn de integrl vn f over ], 1 2 ]. De funtie 3
t t p 1 is ontinu op [ 1 2, 1] dus begrensd door een onstnte C >. Voor 1 2 t < 1 geldt drom dt f(t) C (1 t) q 1. De funtie in het rehterlid vn deze uitdrukking is oneigenlijk Riemnn-integreerbr over [ 1 2, 1[, wegens Lemm 2.1 (ps de substitutieregel toe om dit in te zien). We onluderen dt f oneigenlijk integreerbr is over ] 1 2, 1]. Uit het mjorntiekenmerk voor de onvergentie vn oneigenlijke integrlen volgt het eveneens gemkkelijk hnteerbre limietkenmerk. Gevolg 2.18 (Limietkenmerk) Lt I een intervl vn de vorm [, b[ zijn, met < < b. Veronderstel voorts dt f, g : I R lokl Riemnn-integreerbre funties zijn, terwijl g > op I en f(x) lim = L [, [. x b g(x) Als g oneigenlijk integreerbr is op I, dn is f dt ook. Bewijs Er bestt een β > zo dt f(x) /g(x) L < 1 voor lle x [β, b[. Hieruit volgt dt f(x) (L + 1)g(x) voor l dergelijke x. De funtie (L + 1)g(x) is oneigenlijk integreerbr over I, dus ook over [β, b[, en wegens het mjorntiekenmerk volgt dt f oneigenlijk integreerbr is over [β, b[. Hieruit volgt dt f oneigenlijk integreerbr is over I. Opmerking 2.19 Uiterrd geldt een soortgelijk limietkenmerk voor lokl integreerbre funties op een intervl vn de vorm I = ], ], met < <. Ook voor oneigenlijke integrlen geldt een verwisselingsstelling met limieten. We bewijzen eerst een tehnish resultt. Druit leiden we dn een mjorntieriterium f dt in de prktijk vk goed werkt. Lemm 2.2 Lt I =], b[ een open intervl zijn met < b. Lt V R n zijn en f : V I R een ontinue funtie. Veronderstel verder dt de volgene voorwrden vervuld zijn. () Voor elke x V is de funtie t f(x, t) oneigenlijk integreerbr over I. (b) Voor iedere ɛ > bestn α, β I zo dt voor lle x V geldt dt: α b f(x, t) dt < ɛ en f(x, t) dt < ɛ. Dn is de funtie F : V R gedefinieerd door β ontinu. F (x) = f(x, t) dt 31
Bewijs Lt ξ V. Dn is het voldoende de ontinuïteit vn F in het punt ξ n te tonen. Zij ɛ >. Dn bestn er α, β I zo dt < α < β < b en zo dt α b f(x, t) dt < ɛ/5 en f(x, t) dt < ɛ/5, voor lle x V. Uit Stelling 2.2 volgt dt de funtie F : x β α β f(x, t) dt ontinu is op V, dus in het bijzonder in ξ. Er bestt dus een δ > zo dt voor lle x B(ξ; δ) geldt dt F (x) F (ξ) < ɛ/5. We merken nu op dt voor lle x B(ξ; δ) geldt dt dus F (x) = α f(x, t) dt + F (x) + β f(x, t) dt, F (x) F (ξ) F (x) F (ξ) + α α + f(x, t) dt + b f(ξ, t) dt + b [f(x, t) dt + f(ξ, t) dt < ɛ/5 + 4ɛ/5 = ɛ. Uit het bovenstnde leiden we het volgende prtish goed toepsbre mjorntie kenmerk f. Stelling 2.21 (Mjorntie kenmerk) Lt I = ], b[ een open intervl zijn met < b. Zij V R n en f : V I R een ontinue funtie. Veronderstel verder dt er een oneigenlijk Riemnn-integreerbre funtie g : I R bestt zo dt Dn is de funtie F : V R gedefinieerd door ontinu. f(x, t) g(t) voor lle (x, t) V I. F (x) = β f(x, t) dt Bewijs We zullen lten zien dt de voorwrden vn Lemm 2.2 vervuld zijn. Zij x V. Dn is de funtie f x : t f(x, t), I R ontinu, dus lokl Riemnn-integreerbr, terwijl f x g op I. Dus f x is oneigenlijk integreerbr wegens Stelling 2.15. Hiermee is voorwrde () ngetoond. Zij ɛ > en zij I. Uit de oneigenlijke Riemnn-integreerbrheid vn g volgt het bestn vn een < α < zo dt α g(t) dt = g(t) dt g(t) dt < ɛ. Volgens Stelling 2.15 geldt nu ook, voor elke x V, dt α α f(x, t) dt g(t) dt < ɛ. Op soortgelijke wijze volgt de tweede ongelijkheid uit voorwrde (b). 32 α β
Het idee vn de voorwrde in Stelling 2.21 is dt t f(x, t) gedomineerd wordt door de oneigenlijk integreerbre (niet-negtieve) funtie t g(t), met uniformiteit in de prmeter x V. Dit dwingt de voorwrden vn Lemm 2.2 f. Voorbeeld 2.22 We pssen het bovenstnde toe op de Gmm-funtie Γ(x) = t x 1 e t dt, (x > ). Zij < < b en X =], b[. Dn geldt voor lle t ], 1] dt t x 1 = e (x 1) log t t 1. De funtie f(x, t) = t x 1 e t is ontinu op ], b[ ], 1] en voor lle (x, t) X ], 1] geldt dt f(x, t) g(t) := t 1 e t, terwijl g oneigenlijk integreerbr is, dus F : x t x 1 e t dt definieert een ontinue funtie op X. Anderzijds is f ook ontinu op ], b[ [1, [, terwijl op deze verzmeling een mjorntie vn de vorm f(t, x) t b 1 e t bestt. De ltste funtie is weer oneigenlijk integreerbr op ]1, [, dus F 1 : x 1 t x 1 e t dt definieert een ontinue funtie op ], b[. Hieruit volgt dt Γ = F + F 1 ontinu is op ], b[. Angezien, b willekeurig wren volgt dt Γ ontinu is op ], [. Opmerking 2.23 We merken op dt Γ(1) = Zij x >, dn volgt uit het bovenstnde dt e t [ dt = lim e t ] R R = 1. Γ(x + 1) = lim R R t x e t dt. De integrl is met behulp vn prtiële integrtie ls volgt te hershrijven: R t x e t dt = R t x d dt e t dt = [ t x e t] R R + x t x 1 e t dt. De ltste integrl is onvergent. Omdt x > is, geldt t x t= =. Tevens geldt R x e R voor R. Door de limiet voor R te nemen onluderen we drom dt dus Γ(x + 1) = x t x 1 e t dt Γ(x + 1) = xγ(x), (x > ). 33
Pssen we dit toe met x = n 1, n Z +, dn vinden we met indutie dt Γ(n) = (n 1)! Γ(1) = (n 1)!. Anders gezegd, de Gmm-funtie x Γ(x) levert een ontinue uitbreiding tot de positieve reële s vn de fulteitsfuntie n (n 1)!, wrbij de ltste funtie lleen voor de gehele positieve getllen n is gedefinieerd. Voorbeeld 2.24 We pssen het bovenstnde toe op de Bèt-funtie B(p, q) := t p 1 (1 t) q 1 dt De integrnd is ontinu ls funtie vn (p, q, t), voor p, q > en < t < 1. Fixeer p, q >. Dn geldt voor lle p p, q q en t ], 1[ dt t p 1 (1 t) q 1 t p 1 (1 t) q 1. Zols we eerder in Voorbeeld 2.17 zgen is de funtie in het rehterlid oneigenlijk integreerbr over ], 1[. Met Stelling 2.21 onluderen we nu dt B ontinu is op [p, [ [q, [. Dit geldt voor iedere p, q >. Dus B is ontinu op de verzmeling ], [ ], [. 2.4 Differentitie onder het integrlteken We beshouwen weer een integrl met prmeter ls in (2.8) en onderzoeken wnneer deze integrl een differentieeerbre funtie F definieert. Ter voorbereiding behndelen we een tehnish lemm over deling. Lemm 2.25 Zij X een intervl in R en Y een open deel vn R p. Lt f : X Y R differentieerbr nr de eerste vribele zijn en neem n dt de funtie D 1 f ontinu is op X Y. Definieer de funtie q : X X Y R door f(x, y) f(ξ, y) x ξ ls ξ X, x X \ {ξ}, y Y ; q(x, ξ, y) := D 1 f(ξ, y) ls ξ X, x = ξ, y Y. Dn is de funtie q ontinu op X X Y. Bewijs Zij ξ, x X en y Y. Dn is f(x, y) f(ξ, y) = = = d f(ξ + t(x ξ), y) dt dt D 1 f(ξ + t(x ξ), y) (x ξ) dt D 1 f(ξ + t(x ξ), y) dt (x ξ). 34
Hieruit volgt dt q(x, ξ, y) = D 1 f(ξ + t(x ξ), y) dt. (2.2) ls x ξ. De formule (2.2) is ehter ook geldig ls x = ξ, omdt in dt gevl de integrnd in het rehterlid voor iedere t gelijk is n D 1 f(ξ, y). Ps nu Stelling 2.2 toe met (x, ξ, y) ls de prmeters. Lemm 2.25 zl worden gebruikt in het bewijs vn de volgende stelling over differentitie onder het integrlteken. Stelling 2.26 Zij X een open intervl in R en I = [, b] een gesloten intervl met < b. Lt een funtie f : X I R gegeven zijn en neem n dt de volgende ondities vervuld zijn. () Voor iedere x X is de funtie t f(x, t) Riemnn-integreerbr over I. (b) De funtie f is prtieel differentieerbr nr de eerste vribele en D 1 f is ontinu op X I. Dn is de integrl F (x) in (2.8) een differentieerbre funtie vn de prmeter x X en F (x) = d dx f(x, t) dt = f(x, t) x dt. (2.21) Bewijs Zij q(x, ξ, t) gedefinieerd ls Lemm 2.25, met y vervngen door t. Omdt de funtie q ontinu is ls funtie vn lle vribelen, definieert volgens Stelling 2.2 de formule Q(x, ξ) := q(x, ξ, t) dt een ontinue funtie Q op X X. Verder volgt uit de definitie vn q dt F (x) F (ξ) x ξ ls ξ X, x X \ {ξ}; Q(x, ξ) = D 1f(ξ, t) dt ls ξ X, x = ξ. Uit de ontinuïteit vn Q op X X volgt nu dt voor iedere ξ X geldt dt lim x ξ x ξ F (x) F (ξ) x ξ hetgeen preies de bewering vn de stelling is. = D 1 f(ξ, t) dt, De formule (2.21) zegt dt we differentitie en integrtie mogen verwisselen, in de zin dt de fgeleide nr x vn de integrl over t gelijk is n de integrl over t vn de fgeleide nr x. Gevolg 2.27 Zij X een open deelverzmeling vn R n en, b R, < b. Lt voorts f : X [, b] R een funtie zijn die k keer prtieel differentieerbr is nr de eerste n vribelen. Neem verder n dt lle prtiële fgeleiden D j(l)... D j(1) f, met l k en 1 j(i) n, ontinu zijn op X [, b]. Dn definieert (2.8) een k keer ontinu differentieerbre funtie op X en voor iedere 1 l k en 1 j(i) n en iedere x X geldt dt D j(l)... D j(1) F (x) = D j(l)... D j(1) f(x, t) dt. (2.22) 35
Bewijs Dit wordt bewezen met indutie over k, wrbij in de indutiestp gebruik wordt gemkt vn Stelling 2.26. Toepssing vn Stelling 2.2 op (2.22), geeft dt lle prtiële fgeleiden vn F tot en met de orde k ontinu zijn op X, hetgeen implieert dt F C k (X, R). Hieruit volgt op zijn beurt de volgende vrint vn het delingslemm 2.25. Gevolg 2.28 Zij X een open intervl in R, k Z, f C k+1 (X, R). Definieer f(x) f(ξ) x ξ ls ξ X, x X \ {ξ}; q(x, ξ) = f (ξ) ls ξ X. Dn is q C k (X X, R). Bewijs We pssen Lemm 2.25 toe met p = en Y = {}, hetgeen betekent dt de y-fhnkelijkheid uit lle formules verdwijnt. Formule (2.2) geeft dn dt q(x, ξ) = f (ξ + t(x ξ)) dt, wrbij de integrnd een C k funtie is vn de vribelen (x, ξ, t). Toepssing vn Gevolg 2.27 geeft dt q C k (X X). De uitsprk over differentieerbrheid is voorl interessnt in de punten (x, ξ) met x = ξ, omdt we op grond vn de bekende rekenregels l wisten dt op de verzmeling der (x, ξ) met x ξ de funtie q(x, ξ) een C k+1 funtie is. Als de funtie ook nog fhngt vn extr prmeters y, zodnig dt lle prtiële fgeleiden met betrekking tot x tot en met de orde k + 1 ontinue funtie zijn vn (x, y), dn hngen lle prtiële fgeleiden vn q(x, ξ, y) nr de vribelen (x, ξ) ontinu f vn (x, ξ, y). Voorbeeld 2.29 De funtie σ(x), gedefinieerd door σ(x) = (sin x) /x ls x en σ() = 1, is willekeurig vk differentieerbr op de hele reële s. Voorbeeld 2.3 De Bèt-funtie vn Euler, zie (2.19), is willekeurig vk differentieerbr op ]1, [ ]1, [ en voor iedere k en l geldt dt k+l B(p, q) p k q l = (log t) k t p 1 (log(1 t)) l (1 t) q 1 dt. (2.23) Het is evident dt de integrnd in de bovenstnde integrl ontinu is ls funtie vn (p, q, t) ]1, [ ]1, [ ], 1[. Voor het toepssen vn Gevolg 2.27 is het nu voldoende n te tonen dt de integrnd vn (2.27) voor elke keuze vn k, l Z ontinu is in de punten (p, q, ) en (p, q, 1), met p, q > 1, mits we de integrnd in die punten de wrde toekennen. Door substitutie vn (1 t) voor t zien we dt we ons kunnen beperken tot punten vn de eerste soort. We merken op dt de funtie [log(1 t)] k (1 t) q 1 ontinu is in (p, q, ). Het is dus voldoende n te tonen dt (log t) l t p 1 ls (p, q, t) (p, q, ), t >. (2.24) 36
Dit doen we ls volgt. Veronderstel dt < t < 1 2 en dt p (1 + p )/2. Dn geldt dt log t l t p 1 log t l t z, met z = p 1 2 >. Het is bekend dt de funtie in het uiterst rehtse lid limiet nul heeft voor t, dus ook voor (p, q, t) (p, q, ), t >. Met behulp vn de insluitstelling volgt hieruit diret dt (2.24). Er is ook een versie vn differentitie onder het integrlteken voor oneigenlijke integrlen. Ook dit gt weer in termen vn een geshikte uniforme dominntie. Stelling 2.31 Zij X R een open intervl en I =], b[ een open intervl met < b. Zij verder f : X I R een ontinue funtie die voldoet n de volgende eigenshppen. () voor lle x X is de funtie f x : t f(x, t) oneigenlijk Riemnn-integreerbr over I; (b) de funtie f is prtieel differentieerbr nr de eerste vribele, D 1 f is ontinu op X I en er is een oneigenlijk Riemnn-integreerbre funtie g : I R zo dt D 1 f(x, t) g(t) voor lle (x, t) X I. Dn is de funtie F : X R gedefinieerd door F (x) = (ontinu) differentieerbr op X en er geldt dt F (x) = f(x, t) dt D 1 f(x, t) dt. (2.25) Bewijs Zij ξ X. We zullen de differentieerbrheid vn F in ξ ntonen. Hiertoe definiëren we de funtie q : X I R door en q(x, t) = f(x, t) f(ξ, t), (x X \ {ξ}, t I), x ξ q(ξ, t) = D 1 f(ξ, t), (t I). Dn is de funtie q ontinu op X I wegens Lemm 2.25. We zullen lten zien dt voor lle x X en t I geldt dt q(x, t) g(t). (2.26) Voor x = ξ volgt dit uit de voorwrde (b). Lt (x, t) (X \ {ξ}) I. Dn geldt vnwege de middelwrdestelling toegepst op de eerste vribele vn f dt er een tussen ξ en x gelegen η = η(x, t) bestt zo dt q(x, t) = D 1 f(η, t). De shtting (2.26) volgt nu ook uit voorwrde (b). Wegens het mjorntiekenmerk is de funtie q : t q(x, t) oneigenlijk Riemnn-integreerbr over I, voor elke x X. Wegens Stelling 2.21 is de funtie Q : X R gedefinieerd door Q(x) = 37 q(x, t) dt
ontinu op X, dus in het bijzonder in ξ. Uit de definities volgt diret dt F (x) F (ξ) = Q(x)(x ξ) voor lle x X \ {ξ}. En uiterrd is de bewering ook geldig voor x = ξ. Omdt Q ontinu is in ξ leiden we hieruit f dt F differentieerbr is in ξ, en dt de fgeleide gegeven wordt door F (ξ) = Q(ξ) = D 1 f(ξ, t) dt. Hieruit volgt dt F differentieerbr is op X. Uit de formule (2.25) volgt door toepssing vn Stelling 2.21 dt de fgeleide ontinu is. Voorbeeld 2.32 We tonen n dt de Gmm-funtie willekeurig vk differentieerbr is op ], [, terwijl Γ (k) (x) = (log t) k t x 1 e t dt, (k N, x > ). De Gmm-funtie is drmee een gldde uitbreiding tot de positieve reële s vn de fulteitsfuntie (n 1)!, n Z >. Zij ɛ > willekeurig. Dn is lim t (log t) k t ɛ =, dus er bestt een onstnte C ɛ > zo dt (log t) k C ɛ t ɛ voor lle t ], 1]. Dit geeft een shtting vn het type f k (x, t) C ɛ t x 1 ɛ, ( < t 1). Hierbij kunnen we ɛ > kiezen met ɛ < x, zodt de dominerende funtie funtie t C ɛ t x 1 ɛ oneigenlijk integreerbr is op het intervl ], 1]. Hieruit volgt de onvergentie vn f k(x, t) dt. Voor de integrtie over [1, [ merken we op dt lim (log t t)k t N e t/2 = voor lle k, N N. Hieruit volgt dt er een C k > bestt zo dt f k (x, t) C k e t/2 (t 1). Hieruit volgt de onvergentie vn 1 f(x, t) dt. Lt nu < < b zijn, en veronderstel dt k N. Dn geldt voor lle x ], b[ dt en dt Voor lle k N, x >, t > geldt dt f k (x, t) f k (, t), ( < t 1), f k (x, t) f k (b, t), (t 1). x f k(x, t) = f k+1 (x, t). Het resultt volgt nu met indutie nr k, door toepssing vn Stelling 2.31. 38
Voorbeeld 2.33 We beshouwen nogmls de Bèt-funtie vn Euler, zie (2.19), wrvoor we nu de sterkere uitsprk zullen bewijzen dt hij willekeurig vk differentieerbr is op ], [ ], [ terwijl voor lle k, l Z geldt dt k+l B(p, q) p k q l = (log t) k t p 1 (log(1 t)) l (1 t) q 1 dt. (2.27) De ontinuïteit, vn de integrnd ls funtie vn (p, q, t) ]1, [ ]1, [ ], 1[ is evident. Als funtie vn t is de integrnd dus lokl Riemnn integreerbr op ], 1[. Zij nu p, q >. Dn geldt voor p > 2p en q > 2q dt met (log t) k t p 1 (log(1 t)) l (1 t) q 1 ψ(t) t p 1 t q 1 ψ(t) := (log t) k t p (log(1 t)) l (1 t) q. Deze funtie is ontinu voortzetbr tot [.1], omdt lim ψ(t) = en lim ψ(t) =. t t 1 Hieruit volgt dt er een M > bestt zo dt ψ(t) M voor lle < t < 1. e onluderen dt de funtie in het rehterlid vn () op ], 1[ gemjoreerd kn worden door de funtie t Mt p 1 (1 t) q 1, die bsoluut onvergent is op ], 1[, wegens Voorbeeld 2.24. Door herhld Stelling 2.31 toe te pssen op de vribelen p en q onluderen we dt de funtie B willekeurig vk differentieerbr is op ]2p, [ ]2q, [, met prtiële fgeleiden die gegeven worden door (2.27). Angezien dit geldt voor lle p, q > zien we dt B willekeurig differentieerbr is op ], [ ], [ met de gegeven prtiële fgeleiden. 2.5 Verwisseling vn de integrtievolgorde Ter fronding vn het hoofdstuk Verwisselingsstellingen geven we nog het volgende resultt. Stelling 2.34 Zij, b R, < b en, d R, < d. Neem n dt de funtie f : [, b] [, d] R ontinu is. Dn geldt: d ( ) f(t, s) dt ds = ( d ) f(t, s) ds dt. (2.28) Bewijs Definieer, voor iedere x [, b] en s [, d], φ(x, s) := x f(t, s) dt. Merk op dt φ(, s) =. 39
Uit de nlyse vn funties vn één vribele weten we dt voor iedere s [, d] de funtie x φ(x, s) differentieerbr is, met fgeleide gelijk n φ(x, s) x = f(x, s), hetgeen een ontinue funtie is vn (x, s) [, b] [, d]. Definieer Φ(x) := d φ(x, s) ds. Merk op dt Φ() =, omdt voor iedere s [, d] geldt dt φ(, s) =. Stelling 2.26 geeft dt de funtie Φ differentieerbr is op [, b], met fgeleide gelijk n Φ (x) := d φ(x, s) x Integrtie hiervn over x [, b] geeft nu ( d ) f(x, s) ds dx = ds = d f(x, s) ds. Φ (x)dx = Φ(b) Φ() = Φ(b) d ( ) = f(t, s) dt ds. Hieruit volgt (2.5) ls we in het linkerlid de integrtievribele x vervngen door t. In het vervolg zullen we de identiteit (2.34) ook zonder hken shrijven ls d f(t, s) dt ds = d f(t, s) ds dt omdt uit de volgorde vn de integrltekens en vn ds en dt blijkt in welke volgorde de integrties genomen dienen te worden. Voorbeeld 2.35 In een lter ollege zul je kennis mken met een theorie vn meerdimensionle integrtie. Drin wordt de verwisselbrheid vn de integrtievolgorde fgeleid zonder gebruik te mken vn Stelling 2.26. Deze verwisselingsstelling geldt bovendien voor een klsse vn funties vn meer vribelen die veel ruimer is dn de klsse vn ontinue funties. Met het oog hierop is het interessnt dt omgekeerd Stelling 2.26 ook fgeleid kn worden uit Stelling 2.34. Bewijs Neem n dt f een funtie is ls in Stelling 2.26. Zij I. Voor iedere x I met x > geldt dt ( x ) f(s, t) f(x, t) dt = f(, t) + ds dt = = f(, t) dt + f(, t) dt + 4 s x x f(s, t) s f(s, t) s ds dt dt ds.
Hierin is in de derde identiteit Stelling 2.34 gebruikt, met f vervngen door de ontinue D 1 f (en met s en t verwisseld). Omdt in het rehterlid de vribele x ls bovengrens vn het integrtie-intervl voorkomt, is de onlusie dt het linkerlid differentieerbr is nr x, met fgeleide gelijk n f(s, t) s dt = s=x f(x, t) x Dit is preies de onlusie is vn Stelling 2.26. Omdt er bij iedere x I een I is met x >, geldt de onlusie voor iedere x I. dt. 41
42