TENTAMEN ELEKTROMAGNETISME 3NA35/3AA3 juni, 4 7 uur Geef bij ieere toepssing vn een kring- of oppervlkte-integrl uielijk n lngs welke weg of over welk oppervlk wort geïntegreer Het formulebl en beoorelingsformulier is bijgevoeg ná e opgven Het is niet toegestn een rekenpprt te gebruiken De uitwerkingen woren n floop vn het tentmen uitgereikt De uitslg hngt uiterlijk vnf 5 juli op het publictiebor in N-lg Opgve In het y-vlk bevint zich een zeer unne cirkelvormige stroomring met binnenstrl en buitenstrl (zie figuur) De stroomring bevint zich in vcuüm In e stroomring loopt een oppervlktestroom met oppervlktestroomichthei s S J ( r) = J e De richting ervn is tegen e wijzers vn e klok in (zie figuur) r ϕ z y Toon n t e bijrge vn een ring ter breete vn r n e mgnetische inuctie in een willekeurig punt op e z-s gelijk is n: S J rr B = e 3/ z ( r + z ) Bereken e mgnetische inuctie B voor e gehele ring in een punt op e z-s 3 Bereken e mgnetische inuctie B voor het gevl t z ; verklr e gevonen fhnkelijkhei vn z
Opgve Gegeven een oneinig lnge en niet-mgnetische ciliner ( r = ) met strl R De s vn e ciliner is evenwijig n e z-s De mgnetische inuctie binnen e ciliner br wort gegeven oor e uitrukking B( r) = breϕ voor r R / en B( r) = eϕ voor R / < r < R, met r e fstn tot e s vn e ciliner Er loopt geen oppervlktestroom over het oppervlk vn e ciliner Bereken e stroomichthei J (r) binnen e ciliner Bereken B (r) buiten e ciliner y Vervolgens wort een eel vn e ciliner weggenomen Drbij ontstt een oneinig lnge cilinrische holte, gecentreer ron e lijn = R / 4 en met een strl R / 4 In het overgebleven eel vn e ciliner blijft e stroomichthei onverner Zie nevenstne figuur 3 Bereken e mgnetische inuctie B( ) voor een willekeurige positie positieve -s R = R / 4 < < R op e
Opgve 3 In het y-vlk vn een rechthoekig coörintenstelsel bevint zich op z = een grote, oneinige unne, vlkke geleiene plt (zie tekening) Hieroor loopt een homogene constnte oppervlktestroom Bovenop eze geleiene plt (tussen z = en z = ) bevint zich een grote vlkke plt vn een prmgnetisch mteril met een mgnetische susceptibiliteit χ m = C( z ) wrbij C een constnte is In het punt P(,,) heerst een mgnetische inuctie B in e positieve y-richting In e omgeving vn e oorsprong zijn geen nere vrije stromen nwezig z P S R O y Q 3 Hoe groot is e mgnetische inuctie B in het ngegeven punt Q(,,-)? 3 Geef een uitrukking voor e stroomichthei vn e vrije stroom in het y-vlk 33 Stel een uitrukking op voor e mgnetistie M in het punt R(,,/) 34 Wr bevinen zich e mgnetistiestromen? Geef uitrukkingen voor e stroomichthei hiervn 35 Punt S ligt op e rn vn het prmgnetische meium Bereeneer welke vn e vectorgrootheen B, H, en M hier continu zijn
Opgve 4 Door een lnge spoel met vierknte oorsnee (ribbe W, oppervlkte 4W, lengte L, N wikkelingen; zie ook onerstne figuur) loopt een tijsfhnkelijke stroom I t = I + αt De spoel bevint zich in vcuüm en ligt evenwijig n e z-s ( ) I W 4 Bereken grootte en richting vn B, M en H in e spoel Vervolgens wort een kubusvormig blok composiet (smengestel) mteril mien in e spoel gepltst De composiet bestt uit een rmwerk vn unne metlen plten met rtussen blken vn een homogeen, isoleren mteril met mgnetische susceptibiliteit χ m zols weergegeven in e onerstne figuur De ribbe vn e kubus heeft grootte W, e weerstn vn een enkele plt is R = + + 3 4 4 Bereeneer wr vrije stromen gn lopen en wr oppervlktemgnetistiestromen gn lopen Neem onerstne tekening over en geef hierin e richting vn eze stromen n
I W W 43 Bereken e grootte vn e vrije stroom oor plt en oor plt (zie tweee figuur) s 44 Bereken e grootte vn e oppervlktemgnetistiestroomichthei J m op blk 3 en 4 (zie tweee figuur) De wre vn R is zonig groot t e vrije stromen in e composiet te verwrlozen zijn tov e stroom oor e buitenste spoel
BEOORDELINGSFORMULIER EM juni Dit formulier ingevul overleggen bij het eventuele onerhou met e corrector Nm: Vrgstuk Te behlen Toegeken oor Toegeken oor punten corrector stuent 7 6 3 7+ + + 6 3 8+ + + 5 3 3 4 3 6 33 7 34 8 35 5+ + + 3 4 4 6 4 6 43 7 44 6+ + + 5 Totl Totl behl Totl behl Voor elk onereel woren slechts gehele punten toegeken Het cijfer wort bepl oor het totl ntl punten te elen oor en rn f te ronen op hele cijfers Totl ntl punten = Cijfer =
Formulebl EM 7 Permittiviteit vc: ε 8845 C Nm ; permebiliteit vc: = 4π Ns C / 9 Elementire ling: e 677 C Il e r Wet vn Biot en Svrt: B = 4 π r / Mwell-verg in meium, permittiviteit ε = ε r ε = (+χ e )ε, permebiliteit = r = (+ χ m ) : D A = Q omsl, vrij B A = H l = ic + D A t E l = B A t I I Inuctie: ε = L ε = M Complee impentie: t t Mterie: M l = P A = I M, omsl Q P,omsl ZR = R ZL = iωl ZC = iωc B = ( H + M ) M = χ mh D = ε E + P P = ε χ ee Elektrische en mgnetische energie-ichtheen: u = D E = B H E ub Afgeleien n e = n n sin = cos cos = sin = e ln = Integrlen = rcsin = ln( + + = rctn + = 3 / ( + ) ( + ) 3 / = + + + ) Reeksontwikkeling Integrlen n+ n = ( n ) n + = ln sin = cos cos = sin e = e n n( n ) n( n )( n ) 3 ( + ) = + n + +! 3! 3 5 7 sin( ) = + + 3! 5! 7! 4 6 cos( ) = + +! 4! 6! 3 5 7 7 tn( ) = + + + + ( < π / ) 3 5 35 3 e = + + + +! 3! 3 4 ln( + ) = + + ( < ) 3 4 ( < )
TENTAMEN ELEKTROMAGNETISME 3NA35/3AA3 juni, 4 7 uur Antwooren Opgve Voor e stroomsterkte I oor een ringetje ter breete r volgt: I = J r ; r Met Biot Svrt (wrbij e vector r e vector vn het ringetje tot het punt op e z-s is) volgt n: S J r S I l er r rπ r J rr B = = e z = e 3/ z 4π r 4π r + z ( r + z ) ( r + z ) S S J Integrtie levert: B = e z + z 4 + z 3 Voor z volgt: S S S J J 4 J 3 B = e z + e z = e 3 z z z z z 4z + + z z De mgnetische inuctie is us fhnkelijk vn z 3 ; hetgeen overeenkomt met het vel vn een mgnetische ipool Dit is te verwchten, wnt e gegeven stroomvereling is voor z op te vtten ls een stroomkringetje
Opgve De stroom loopt in e positieve z-richting Toepssen wet vn Ampère op een unne ring met binnenstrl r en buitenstrl r+r levert voor e component vn ( rb) e stroomichthei: π ( rb( r) ( r + r) B( r + r) ) = π rrj, of = rj r b br Voor r R / vinen we zo: J ( r) = ez en voor R / < r < R : J ( r) = ez r De totle stroom wort gevonen uit e integrl over e stroomichthei: πbr πbr πbr I = + = Toepssen vn e wet vn Ampère op een kring met br strl r > R levert n B( r) = eϕ r 3 We vinen e totle mgnetische inuctie oor toepssing vn het superpositieprincipe Drtoe introuceren we een stroomichthei binnen e cilinrische holte ie ect tegengestel is n e oorspronkelijke b stroomichtehei: Jholte( ) = ez Het totle B-vel is n e som vn het oorspronkelijk vel (zols gegegeven in e opgve) en het vel tgv e etr stroomichthei Toepssing vn e wet vn Ampère levert voor e etr br bijrge: B holte ( ) = ( R / 4) beϕ voor R / en B holte ( ) = eϕ 6( R / 4) R br voor R / < < R Het totle B-vel is n: B totl ( ) = ( ) beϕ = eϕ 4 4 br R voor < R /, en B totl ( ) = eϕ voor R / < R 8( R / 4) De ltste uitrukking is te vereenvouigen tot: B totl br 8 3R ( ) = eϕ 8 R
Opgve 3 3 Er gelt BP = B ey hetgeen betekent t e (vrije) stroom oor e plt in e e loopt Uit e Wet vn Ampère (zie ook 3) volgt n t het B-vel in Q even groot mr tegengestel gericht is n het B-vel in P Dus BQ = B ey 3 Wet vn Ampère toepst op een rechthoekige integrtiekring ie oor e punten P en Q loopt en e plt met prmgnetisch mteril (e mterie ) geeeltelijk B omsluit levert BL + + BL + = JvrijL zot Jvrij = e 33 De vectorgroothei H hngt lleen vn e vrije stroom f en is us onfhnkelijk B vn e positie voor z > : H = ey zot B M = χm H = C( z ) ey voor < z < In punt R geeft it M = 34 In e mterie kunnen zich op z = en z = oppervlktemgnetistiestromen bevinen Binnen e mterie kn zich een ruimtemgnetistiestroom bevinen C B Voor z = gelt M = e zot S C B y Jm = M n = e 4 4 C B Voor z = gelt M = e zot S C B y Jm = M n = e 4 4 De ruimtemgnetistiestroomichthei is uit te rekenen vi e Wet vn Ampère voor M toegepst op een rechthoekig integrtiep evenwijig n het oppervlk met zijen op positie z + z en z: M z+ zl + + M zl + = J mlz Dit levert B Jm( z) = C( z ) e Ter controle kn vstgestel woren t e totle mgnetistiestroom oor e mterie iner is 35 Omt er op z = geen vrije stromen lopen is H continu in S M = buiten e mterie en M binnen e mterie zot M en B beie niet continu zijn in S
Opgve 4 4 Ampère-kring met lengte l L, evenwijig n e z-s, hlf binnen en hlf NI N ( I +αt) buiten e spoel geeft: H l = Hl = l H = ez en us M = L L N ( I t) (vcuüm) en B + α = e z L 4 Het vernerene B-vel inuceert een emk in elk vn e 3*3 cellen Deze emk s heffen elkr overl op, behlve op e buitenrn, wr us een vrije stroom gt lopen ie e vernering in flu tegenwerkt Deze stroom loopt us in e tegengestele richting ls e stroom in e spoel, zie gestreepte pijlen De mgnetistie vn e blokken mgnetisch mteril zorgt voor een oppervlktestroomichthei vn mgnetistie op elk vn e 9 blokken in e zelfe richting ls e stroom in e spoel, zie ikke pijlen B, z 43 Door plt loopt geen stroom, zie 4 Door plt : De in een enkele cel α NW geïnuceere emk volgt uit emk = B A = t Deze wekt een 9L stroom op oor het omringene metl (totle weerstn 4R/3) met grootte α NW RL ( + αt) s 44 Mbv M n = χmn I J m en M = χmh = e s χmn I + αt z volgt Jm =, L L lopen op e buitenknt vn elke blk, in e richting ie geteken is bij 4 ( )