Hoofdstuk - Periodieke functies ladzijde 98 V-a Na seconden. Het hart klopt c, millivolt = slagen per minuut. V-a Ja, met periode ; nee; misschien met periode. Evenwichtsstand y = ; -; y =. Amplitude is ; - ;. V-a t in C 8 8 7 8 9 maand 8 Evenwichtsstand ist = + 8 = Amplitude is 8 =. t in C 8. 8 7 8 9 8 maand Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers v
Hoofdstuk - Periodieke functies ladzijde 99 V-a Na = seconden en daarna na = seconden. Gelijk aan de amplitude, dus meter. c y V- Het hoogste punt ligt op hoogte + =. Het laagste punt ligt op hoogte =. De grafiek gaat door (, ) en met periode ook door (, ) en (, ). Het minimum wordt ereikt in de punten (, ) en (, ). y V-a, y h 8 g ladzijde a Als de stip een volledige draai heeft gemaakt dan is de lijn over gedraaid. Bij een hoek van 9 is de hoogte maimaal. De stip is dan meter hoog. c Bij en. d Bij en. e Ongeveer,7 meter. Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers v
Hoofdstuk - Periodieke functies a Zijde AC - c sin = BC = BC AC = BC, dus BC = sin = 9,. d BC = sin =, BC = sin =, 77 BC = sin 8 =, 99 e cos = AB = AB, dus AB = cos =, 99 f AB = cos 8 =, 87 g De lengte van de overstaande zijde is in een rechthoekige driehoek is altijd kleiner dan de lengte van de langste zijde. Als ze even groot zijn, dan is sinα = (je kunt dan niet meer van een driehoek spreken). ladzijde a De hoogte van P is de lengte van PQ. In de rechthoekige driehoek met langste zijde is PQ = sin 7,. PQ PQ In driehoek OPQ geldt: sinα = = = PQ. OP c De hoogte is sin 7 9,. d Het punt P ij α= is het in de y -as gespiegelde punt P ij α= 7. e De hoogte is sin = sin =,. f 8 < α < a min =, ma =, y min = en y ma = Door ma = 7 te nemen. c, 9, en 7 d,, 7 en 9 a en 7, 7, 7 en hoogte in m 8 7 hoek in graden Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers v
Hoofdstuk - Periodieke functies 7a hoogte in m 8 7,,, tijd in sec De grafiek verschilt niet, alleen de variaele op de horizontale as. ladzijde 8a De omtrek van de eenheidscirkel is =. Het punt P is dan over gedraaid. Bij een hoek van 8 heeft P de halve cirkel afgelegd, dus een cirkeloog met lengte. Een kwart cirkeloog met lengte. c = 8, dus de afgelegde weg is = = 8, dus de afgelegde weg is 7 = 8, dus de afgelegde weg is 7 d 8 = 9 graden 7, 9 8 radialen eact radialen enaderd,,79,,7, ladzijde hoek in graden 7 7 hoek in rad,,,,87,9 a sin, 77 7 sin =, c sin = d sin, 8 a sin, =,, of =,, sin 9, =,, +, of +,, c = Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers v 7
Hoofdstuk - Periodieke functies a - = c + = = + = = d Het interval evat vijf perioden. Elke periode evat twee oplossingen. In totaal dus oplossingen. a hoogte in m,8,,,, 8 8,,,8 t in sec Na 8 seconden heeft het punt A een afstand van meter afgelegd. Na seconde =, 78 meter. 8 c Na seconde heeft het punt A een afstand afgelegd van,78 meter. Het punt is dan gedraaid over een hoek van,78 radialen en de hoogte is dan sin, 78 7, meter d Na = seconden. Alle oplossingen zijn, + 8= 9, + = 7 en,, 9. e Na seconde is A over, 78, rad gedraaid. sin,, f Na + = seconde. ladzijde a min =, ma =, y min = en y ma = sin Nulpunten: (, ), (, ), (, ), (, ),.. Toppen: (, ), (, ), (, ),.. a De assen van symmetrie zijn = + veelvouden van. Dus hier: = en = Alle nulpunten zijn punten van symmetrie. Dus hier: (, ), (, ) en (, ) c 9, Er passen dus 9 perioden in het interval. 8 Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers v
Hoofdstuk - Periodieke functies ladzijde 7a c = perioden. Maimum voor =, =, =, =, = Minimum voor =, =, =, =, = Ze verschillen veelvouden van met elkaar. 8a sin, =,,, c, + 9, en,, 9a Plot y = sin en y =, Met CALC, intersect vind je, en 8, Let op: [, ] [ 7, ;, ], +, 8, +, 9, + 8 8, 7 8, + 8, 7 8, +, 8, + 8, c =, =, =, = 7 en = 9 d Plot y = sin en y =, Met CALC, intersect vind je, De andere oplossingen zijn,, 9,, + 8, en 9, + 9, ladzijde a Een verschuiving van de grafiek van f( ) = sin over naar links geeft de grafiek van g ( ) = cos. Evenals ij de sinusfunctie. c De nulpunten zijn =, vermeerderd met alle veelvouden van. a Ja Naar rechts met:,,,. Naar links met:,,,.. a = = = + = = + 8= 9 = + = Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers v 9
Hoofdstuk - Periodieke functies ladzijde 7 a c 8 = perioden De symmetrieassen zijn de verticale lijnen door de toppen. Dus: =, =, = en = De symmetriepunten zijn de nulpunten. Dus: =, = en = a Plot y = cos en y =, Met CALC, intersect vind je, 77. Met symmetrie vind je ook 77, De oplossingen zijn symmetrisch in de y-as. c + 77, 9, en 77, 9, d Het aantal perioden in het interval is =. Per periode zijn er oplossingen. Totaal dus oplossingen. a Op [, ] zijn er snijpunten, dus ook op[, ]. Op het interval [, ] zijn er dus 8 snijpunten. (, ) cos sin (, ) (, ) O P Q sin (, ) = PQ = OQ = cos c =, =, =, = =, =, =, = a Plot y = cos en y = 7, Met CALC, intersect vind je, 8 De andere oplossingen zijn : 8, + 7, en, 8, Geen oplossing, want voor elke is cos. c Plot y = sin en y = 99, Met CALC, intersect vind je, De andere oplossing is symmetrisch t.o.v. de lijn = en is, 8 d Plot y = cos en y = 9, Met CALC, intersect vind je 9, 9 Spiegelen in de lijn = geeft de oplossing, De andere twee oplossingen zijn 9, 9 +, 8 en, +, 8 7 Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers v
Hoofdstuk - Periodieke functies ladzijde 8 7a Als je de afstand van punten op de grafiek van f tot de -as is keer zo groot maakt, krijg je punten op de grafiek van g. Als je de afstand van punten op de grafiek van f tot de y-as is keer zo klein maakt, krijg je punten op de grafiek van h. c f() h(),,,9,77,,,77,77,8,,9,77,, 7,9,77,8,,77,77,,,9,77,, d f ( ) = sin en h( ) = sin = sin f ( ) = sin en h( ) = sin = sin e De periode is = ladzijde 9 8 De amplitude van f is, die van g is en die van h is. De periode van f is, die van g is = en die van h is =. 9a De grafiek krimpt horizontaal in en de periode wordt dus kleiner dan. De grafiek wordt horizontaal uitgerekt en de periode wordt dus groter dan. c = = periode = = a De amplitude is en de periode is = De amplitude is en de periode is = a De amplitude van f is en de periode is = De amplitude van g is en de periode is = De amplitude van h is en de periode is = f( ) = cos ; g ( ) sin = ; h ( ) = cos Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers v 7
Hoofdstuk - Periodieke functies a De tijdsduur tussen twee hoogwaterstanden is gelijk aan de periode, dus, 7 uren., Dit zijn uren en, 7 minuten. Plot ook y =,. Met CALC, intersect vind je t, 9 en t 8,. Het verschil is de tijd dat het water hoger is dan, meter. Dit verschil is, uur, ofwel uur en, minuten. c De evenwichtsstand wordt, hoger. De amplitude en de periode veranderen niet. ladzijde a De wieken draaien in seconden rond, dus de periode is en = =. De straal van de wieken is meter, dus de amplitude is. De formule wordt h= sin t. H = sin t+ a De amplitude is en de periode is =. g ( ) = cos + c Je moet de grafiek van g met naar eneden schuiven. a De periode is h in liter,, seconden., t in sec c Minimaal,, 7=, liter d Plot ook y =. Met CALC, intersect vind je, 7 en, 79. Uit de grafiek volgt dat gedurende, 79, 7 =, seconden per ademhaling minder dan liter lucht in de longen zit. ladzijde 7 + 7, a De evenwichtsstand is =,. De periode is maanden. c a =, 7, = 7,, = = en D= 7, sin t+, d Plot y = 7, sin t+, en y = e Met CALC, intersect vind je t 7 en t dus gedurende maanden is de daglengte minder dan uur. Volgens de grafiek is dat ongeveer maand. De erekende waarde t.o.v. de gemeten waarde is, procent hoger., 7 Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers v
Hoofdstuk - Periodieke functies 7a De maimale waterhoogte is 7, + =, 7 meter. hoogte in m,8,,,,8,,,,, 8 8 t in sec c Plot ook y =,. Met CALC, intersect vind je dat voor het eerst na. uur de waterhoogte ij 9, uur ofwel 9. uur hoger wordt dan centimeter. Ze doen over de wandeling uur, dus moeten ze uiterlijk starten om. uur. Ze kunnen slechts minuten vertragen. ladzijde 8a Om de wederzijdse invloed in eeld te rengen. Grafiek B hoort ij de prooidieren, want die nemen ij een klein aantal roofdieren eerder toe dan de roofdieren. c Nee want dan zijn er, prooidieren en roofdieren. d Grafiek A: het maimum is ongeveer en het minimum is ongeveer. De evenwichtsstand is ongeveer en de amplitude dus. De periode is ongeveer dagen. Grafiek B: het maimum is ongeveer en het minimum is ongeveer. De evenwichtsstand is ongeveer 7 en de amplitude dus. 9a a = en periode is, dus de periode is = en = = a = en periode is, dus de periode is = en = = c a = en periode is, dus de periode is = en = = ladzijde a periode is seconde, dus de periode is seconde. In seconden maakt het hart = 9 slagen. c De amplitude is, dus a =, de periode is, dus = = d De evenwichtsstand wordt nu 7 + = 9 en de periode is = = en a verandert niet, dus pt () = 9 + sin t = seconde. Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers v 7
Hoofdstuk - Periodieke functies a = Plot y = 8 sin( t) en y = Met CALC, intersect vind je ijvooreeld t 8, De andere waarden van t vind je met ehulp van symmetrieas = 7, en de periode. Je krijgt dan t = 8, ; t =, ; t =, c Plot ook y = en y =. Met CALC, intersect vind je ijvooreeld (, ; ) en met ehulp van de symmetrieas = 7, vind je (, ; ). Dus gedurende,, =, 7 seconden is de slinger meer dan cm naar rechts uitgeweken. Dit geldt eveneens voor een uitwijking van meer dan naar links. 7, +, 7 Totaal is dit =, 7 procent. d = =, dus ut () = 8sin t 8, ladzijde I-a De amplitude van f is, de periode is en de evenwichtsstand is y = (, ), (, ), (, ), (, ) en (, ) c Maimum is voor = en = Minimum is voor = en = d De amplitude van g is, de periode is en de evenwichtsstand is y = Snijpunten (, ), (, ), (, ), (, ) en (, ) Maimum is voor = en = Minimum is voor = en = e De amplitude van g is twee keer zo groot. Dit heeft alleen invloed op de uiterste waarden. f Alleen de amplitude verandert, wordt groter en de toppen liggen dus verder van de -as af. g Alleen de amplitude verandert, wordt kleiner en de toppen liggen dichter ij de -as. I-a De amplitude van h is, de periode is en de evenwichtsstand is y = (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ) en (, ) c Maimum is voor =, =, = en = Minimum is voor =, =, = en = d De periode is keer zo klein, dus de grafiek is de helft ingekrompen. De amplitude en de evenwichtsstand veranderen niet. e De grafiek wordt steeds sterker ingekrompen. f De grafiek wordt steeds sterker uitgerekt. ladzijde I-a Amplitude is en de periode is = Amplitude is 8 en de periode is 7 Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers v
Hoofdstuk - Periodieke functies c Amplitude is en de periode is = d Amplitude is en de periode is = e Amplitude is en de periode is = f Amplitude is, en de periode is =, I-. y= sin. y= cos. y= sin. y= sin. y= cos. y= cos 7. y= sin 8. y= 7cos, 9. y= sin. y =, sin I-a g ( ) = sin a = en = = I-a, dus ijvooreeld f( ) = sin De tijdsduur tussen twee hoogwaterstanden is gelijk aan de periode, dus =, 7 uren., Dit zijn uren en, 7 minuten. Teken in dezelfde figuur de grafiek van ht () =, c Alleen de evenwichtsstand verandert en ligt, meter hoger. d Plot Y=, 8sin(, X) +, en Y=, en ereken de snijpunten. Die liggen ij, en,. Dit tijdsinterval heeft lengte,9. Dit kom overeen met uur en minuten. I-7a Spiegel de grafiek van f in de -as en vermenigvuldig de afstand tot de -as met. f( ) = sin of f( ) = sin( ) c g ( ) = cos( ) of g ( ) = cos( ) ladzijde 8 T-a Bij 8 7 = = 7 en 7 = T- hoek in graden 9, 7, hoek in radialen,78,8,7, T-a Plot y = sin en y =, Met CALC, intersect vind je, Met ehulp van de symmetrieas = vind je ook 89,. Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers v 7
Hoofdstuk - Periodieke functies Met ehulp van het symmetriepunt (,) vind je, en 89, c 89, + 98,, 89, +, 9, +,,, + 8, T-a y,, ( ) De toppen zijn (,), (, ) en, c Met ehulp van de symmetrieas = vind je het snijpunt (, ) en met de symmetrieas =vind je (, ). T-a f: de amplitude van is en keer de periode is, dus de periode is g: de amplitude is en perioden is, dus de periode is h: de amplitude is en de periode is ladzijde 9 T-a Voor = is sin( ) = f ( ) =, +, = 77, c De functie wordt g ( ) =, sin( ) 8, Het maimum is,7, het minimum is, en de periode is Toppen: ( ; 7, ), ( ;, 7), ( ;, ) en ( 7 ;, ) T-7a De periode is =, en de amplitude is. = = en ut () = sin( t), c Plot y = u () t en y = Met CALC, intersect vind je t, 7 en met symmetrie t =, 7 =, 7, 7, 7 De uitwijking naar rechts is meer dan voor het =, deel, van de periode. Voor de uitwijking naar links is dat ook het geval, dus totaal deel van de periode. T-8a c In week wordt een maimale daglengte ereikt van 9 uur. Voor t = en t = 7. Dit komt overeen met de week van maart en die van septemer, Dan passeert de grafiek de evenwichtsstand en stijgt., d De periode is, weken. 7 e a =, 8 =, 8 f Plot y = + 8, sin( t) en y, = Met CALC, intersect en symmetrie vind je t 7, 9 en t 8,. Na iets meer dan 8 weken en ijna 8 weken na maart is de daglengte in Nederland uur. 7 Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers v
Hoofdstuk - Periodieke functies T-9a Sinus: de afstanden tot de horizontale as van twee punten die symmetrisch liggen t.o.v. de verticale as zijn gelijk. Cosinus: de afstanden tot de verticale as van twee punten die symmetrisch liggen t.o.v. de horizontale as zijn gelijk. De periode is en in één periode he je symmetrieassen. Het interval [,] evat perioden, dus symmetrieassen. Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers v 77