5 Warmtewisselaars Warmtewisselaars zijn thermische apparaten waarin warmte wordt uitgewisseld tussen twee media. In dit hoofdstuk komen twee, al wat oudere methodes aan de orde om verschillende typen warmtewisselaars thermisch te analyseren. Deze technieken worden vervolgens gebruikt om voor een concreet probleem een warmtewisselaar te dimensioneren. De drijvende kracht bij de warmte uitwisseling tussen twee media is het temperatuurverschil. Het temperatuurverschil tussen twee media kan worden verkleind door een warmtewisselaar groter te maken, maar dit betekent ook een toename in gewicht en economische investering. In het complete ontwerp traject van een warmtewisselaar, moet de thermische karakteristiek altijd samen met het benodigde pompvermogen en materiaalgebruik worden gezien. 5. Typen warmtewisselaars Warmte kan op drie manieren worden overgedragen tussen twee media: direkt, regeneratief en recuperatief. ij direkte warmte-uitwisseling wordt het ene medium direkt door het andere medium geleid. Zo kan een gas bijvoorbeeld worden gekoeld door het door een vloeistof te laten stromen. Een ander voorbeeld van direkte warmte-uitwisseling is een koeltoren, waarin een vloeistofnevel van de bovenkant naar beneden valt en wordt gekoeld door een opwaartse luchtstroom. Voor andere toepassing wordt direkte warmte-uitwisseling (nog) niet veel toegepast. ij een regeneratieve warmtewisselaar vindt het warmtetransport plaats via een tussenmedium waardoor beide media op verschillende tijdstippen stromen. Een bekend voorbeeld van een regenerator is een packed bed van keramische of metalen korrels waardoor periodiek twee gassen stromen. Figuur 5. geeft een voorbeeld van een eenvoudige tweeweg regenerator waarbij de gasstromen via een drieweg klep afwisselend door beide regeneratoren worden geleid. Door meer regeneratoren op verschillende temperatuurniveaus toe te passen kan de variatie in uitgangstemperaturen worden verminderd. heet gas uit heet gas in matrix 3-weg klep koud gas in heet gas uit figuur 5. twee weg regenerator procestechnische constructies 4660 7
Met een regenerator kan een relatief goedkope warmtewisselaar worden gebouwd, wanneer geen hoge eisen aan de uitgangstemperatuur en de afmetingen worden gesteld. Doordat een regenerator van het packed bed type zeer eenvoudig kan zijn, worden er geen bijzondere eisen aan de materialen gesteld, waardoor het mogelijk is om uitvoeringen te maken die bestand zijn tegen hoge temperaturen of drukken. Het warmtewiel (figuur 5.2) is een voorbeeld van een regenerator waarbij wel een constante uitgangstemperatuur wordt verkregen. De regenerator-matrix roteert tussen de beide stromen en draagt zo continu warmte over van de ene tak naar de andere. figuur 5.2 warmtewiel In dit college staan recuperatieve warmtewisselaars centraal. ij een recuperatieve warmtewisselaar worden de beide media altijd via een wand van elkaar gescheiden. De warmte wordt getransporteerd via een combinatie van convectieve warmtetransport mechanismen aan de vloeistof kant en geleiding door de wand. Om de warmte-uitwisseling te verbeteren kan het wandoppervlak worden vergroot door het toepassen van bijvoorbeeld vinnen. De eenvoudigste uitvoering van een recuperator is een pijp in pijp warmtewisselaar (figuur 5.3). Een pijp in pijp warmtewisselaar kan zowel in gelijk als in tegenstroom worden bedreven. We zullen zien dat een tegenstroom schakeling altijd een hogere thermische prestatie levert dan een gelijkstroom configuratie. r i r u figuur 5.3 pijp-in-pijp warmtewisselaar Een pijp in pijp warmtewisselaar wordt zelden toegepast omdat de warmteverliezen naar de omgeving via het buitenoppervlak groot zijn ten opzichte van het warmtewisselend oppervlak (de binnenpijp). Een variant op de pijp-in-pijp warmtewisselaar is de shell and tube warmtewisselaar (figuur 5.4) waarin het ene medium door de pijpen stroomt en het andere medium langs de pijpen tussen de omhulling. 72 procestechnische constructies 4660
figuur 5.4 shell en tube warmtewisselaar De shell van een shell en tube warmtewisselaar is meestal gemaakt van gietijzer of een stalen pijp. Voor bijzondere omstandigheden kan echter een grote variëteit aan materialen worden gebruikt. De pijpen worden in positie gehouden door de gaten die in de pijpplaten aan de voor- en achterkant zijn geboord. Om enige sterkte over te houden kunnen de pijpen niet al te dicht op elkaar worden gezet. In de romp van de warmtewisselaars zijn meestal baffles geplaatst om de stroming te geleiden (figuur 5.5-5.7). Het doel is om de warmteoverdracht te verhogen, dit gaat echter ten koste van een hogere drukval over de warmtewisselaar. romp baffle pijpen figuur 5.5 shell en tube warmtewisselaar met gesegmenteerde baffles romp baffle pijpen figuur 5.6 shell en tube warmtewisselaar met disk and doughnut baffles procestechnische constructies 4660 73
figuur 5.7 shell en tube warmtewisselaar met orifice baffles Er zijn veel constructieve uitvoeringen bedacht om twee hoofdproblemen bij shell en tube warmtewisselaars te ondervangen: verschil in thermische expansie tussen de shell en de buizen en vervuiling. Om het eerste te ondervangen moeten de buizen ten opzichte van de romp kunnen bewegen. Om de warmtewisselaar te kunnen reinigen moet de warmtewisselaar eenvoudig geopend kunnen worden. In figuur 5.8 staat een basisuitvoering van een -2 warmtewisselaar. In figuur 5.9 is een U-bend warmtewisselaar geschetst, de rechter pijpplaat hoeft niet vast gemonteerd te worden, zodat de buizen kunnen schuiven in de shell. Als de warmtewisselaar ook nog eenvoudig geopend moet kunnen worden, kan een floating head type uitkomst brengen (figuur 5.0). figuur 5.8-2 warmtewisselaar figuur 5.9-2 U-bend warmtewisselaar figuur 5.0-2 pull trhuogh, floating head warmtewisselaar. Een uitvoeringsvorm die veel wordt toegepast bij luchtverhitting of koeling is geschetst in figuur 5.. De vloeistof stroomt door de pijpen terwijl het gas loodrecht op de pijpen door een kast gaat, gedwongen, of door vrije convectie. De gasstroom wordt gemengd genoemd omdat de gasstroom vrij om de pijpenbundel heen kan stromen. De vloeistofstroom daarentegen wordt als ongemengd beschouwd omdat de vloeistof in één pijp niet kan mengen met een andere stroom tijdens het uitwisselingsproces. In een variant hierop (figuur 5.2) stroomt het gas niet vrij langs de pijpen maar tussen schotten. Deze uitvoeringsvorm wordt veel gebruikt in luchtverwarmingsapparatuur. In dit geval is ook de gasstroom ongemengd. ij een ongemengde kruisstroom configuratie is er zowel een temperatuurprofiel parallel als loodrecht op de stroming (figuur 5.3). Als de stroming goed gemengd is zal het temperatuurprofiel in loodrechte richting nivelleren. Voor gas-gas warmtewisselaars kan eenvoudig een warmtewisselaar gebouwd worden door gevormde platen kruiselings te stapelen gas stroom gas stroom vloeistof stroom vloeistof stroom figuur 5. gemengde-ongemengde gas-vloeistof kruisstroom warmtewisselaar figuur 5.2 ongemengde gas-vloeistof warmtewisselaar 74 procestechnische constructies 4660
T, gas uit T, gas in gas gas 2 figuur 5.3 temperatuur profiel in een ongemengde kruisstroom warmtewisselaar figuur 5.4 gas-gas kruisstroom warmtewisselaar opgebouwd uit gevormde platen 5.2 Warmteoverdracht Voor het analyseren van warmtewisselingstoestellen, worden enkele hoofdpunten uit het college warmteoverdracht kort herhaald, voor een uitgebreide behandeling wordt verwezen naar ejan (993). Warmte kan via (een combinatie van) de volgende mechanismen worden overgedragen: geleiding, convectie en straling. De eerste twee mechanismen spelen onveranderlijk een belangrijke rol in warmtewisselingstoestellen. Hoewel ook straling een grote invloed kan hebben, zeker bij hogere temperaturen, wordt daar in dit college geen aandacht aan geschonken. 5.2. Geleiding In het college warmteoverdracht is op grond van de eerste hoofdwet afgeleid dat voor een willekeurige doorsnede in een vast lichaam met een warmtestroom in één dimensie moet gelden dat (figuur 5.5) x λ T x + q = ρ c T p t (5.) De eerste term staat voor de geleiding in longitudinale richting, de tweede term is een bronterm, bijvoorbeeld ohmse verhitting en de derde term staat voor de opslag van energie in het lichaam. λ is de warmtegeleidingscoëfficiënt, ρ de dichtheid en c p de soortelijke warmte. Naarmate de thermische capaciteit van het lichaam ρc p kleiner is, kan het lichaam sneller in temperatuur veranderen. geïsoleerd T x=l q x x+dx q x+dx x=0 q x figuur 5.5 schets van een vast lichaam met longitudinale warmtegeleiding Als mag worden aangenomen dat de stofwaarden constant zijn, vereenvoudigt uitdrukking (5.) tot 2 T x 2 + q λ = a T t a = λ ρc p (5.2) a staat bekend als de warmtediffusiviteit met als eenheid m 2 s -. Hoewel we in dit college inderdaad steeds zullen aannemen dat de stofwaarden constant zijn, zij erop gewezen dat dit in zijn algemeenheid zeker niet opgaat. Zeker in het geval van gassen veranderen de stofwaarden sterk met de druk en de temperatuur. Dit kan echter ook gelden voor vaste stoffen. Ter illustratie zijn in de figuren 5.6 tot en met 5.9 de warmtecapaciteit en geleidingscoëfficiënt van lucht en RVS-36 weergegeven. procestechnische constructies 4660 75
0. 200 conductivity [Wm - K - ] 0.08 0.06 0.04 0.02 heat capacity [Jkg - K - ] 50 00 050 0 0 500 000 500 temperature [K] 000 0 500 000 500 temperature [K] figuur 5.6 warmtegeleiding van lucht als functie van de temperatuur onder atmosferische condities figuur 5.7 warmtecapaciteit van lucht als functie van de temperatuur onder atmosferische condities 25 700 conductivity [Wm - K - ] 20 5 specific heat [Jkg - K - ] 650 600 550 500 450 0 0 500 000 500 temperature [K] 400 0 500 000 500 temperature [K] figuur 5.8 warmtegeleiding van RVS-36 als functie van de temperatuur figuur 5.9 warmtegeleiding van RVS-36 als functie van de temperatuur De functionele vorm van de uitdrukking voor de warmteoverdracht moet er zo uitzien dat de warmtestroom per eenheid van oppervlak q verdwijnt wanneer het medium een constante temperatuur heeft. De wet van Fourier wordt gevonden door aan te nemen dat de warmtestroom in de richting van, bijvoorbeeld, de x coördinaat proportioneel is met het lokale temperatuurverschil in de richting van x, q x =C(T x - T x+dx ). Experimenteel is gevonden dat de factor C weer evenredig is met / x, oftewel C = λ/ x. Als we de limiet x 0 nemen, volgt de wet van Fourier q x = λ dt dx Voor een isotroop (λ hetzelfde in elke richting) medium waarin de temperatuur in elke richting varieert kunnen we schrijven (5.3) q x = λ dt dx, q y = λ dt dy, q z = λ dt dz (5.4) dit zijn componenten van de vector vergelijking q = λ T (5.5) 76 procestechnische constructies 4660
Als er sprake is van twee aan elkaar grenzende wanden met een verschillende warmtegeleidingscoëfficiënt (figuur 5.20) geldt volgens de eerste hoofdwet dat de warmtestroom q per eenheid van oppervlak overal hetzelfde moet zijn, voor de eerste twee platen geldt bijvoorbeeld Φ =A d λ T T 2 =A λ T a d 2 T 3 Φ = A b d a λ + d T T 3 (5.6) b λ De reciproque term uit vergelijking (5.6) staat bekend als de warmtedoorgangscoëfficiënt k. De wijze waarop k wordt bepaald is analoog aan de wijze waarop een vervangingsweerstand in een electrisch circuit. Als de thermische weerstand van elke wand wordt gedefinieerd als R = L/λA, geldt voor de warmtedoorgangsweerstand k = = n R vervanging R + R 2 +...+R n Σ i = (5.7) T d 2 3 n Q R R 2 R 3 R n Q figuur 5.20 geleiding door een samengestelde wand innen de procestechniek komt de wet van Fourier ook vaak voor in cilindercoördinaten, bijvoorbeeld in het geval van pijpisolatie. Neem bijvoorbeeld de cylinder van figuur 5.2 met een lengte L, binnenradius r i en buitenradius r u. De temperatuur aan de binnenwand is T i en de temperatuur aan de buitenkant T o. Er is geen warmtestroom in z-richting. r u r i z θ r T i isotherm q i T i q u T u r T u figuur 5.2 radiale geleiding door een wand De totale warmtestroom is de oppervlakteïntegraal van de warmtestroom (per oppervlakte eenheid) aan de binnenwand Φ =2πr i Lq i Volgens Fourier geldt voor de warmtestroom aan de binnenwand q i = λ dt dr r = ri (5.8) (5.9) De temperatuur distributie door het medium moet eerst worden bepaald. Analoog aan (5.2) kunnen we voor een stationaire situatie zonder brontermen schrijven procestechnische constructies 4660 77
d r r dt dr dr =0 (5.0) met als randvoorwaarden T=T i op r=r i en T=T o op r=r o. Door (5.0) twee keer naar r te integreren volgt Tr = C ln r + C 2 Invullen van de randvoorwaarden geeft (5.) Tr = T i T i T 0 ln r r i ln r o r (5.2) of, na combineren met Fourier Φ = 2πλL ln r o r i T i T o (5.3) De thermische weerstand van een cylindervormige wand neemt toe met het logaritme van de radius ln r o r R = i (5.4) 2 λl Indien de wand samengesteld is uit verscheidene componenten kan weer volgens uitdrukking (5.7) de vervangingsweerstand en de warmtedoorgangscoëfficiënt worden bepaald. 5.2.2 Convectie Convectie is het warmteoverdrachtsmechanisme dat in gang wordt gezet door het stromen van een vloeistof of een gas. Het basisprobleem bij de analyse van convectie is het vaststellen van de relatie tussen de warmteoverdracht en het verschil in temperatuur van het medium en de wand (T w -T ). T staat voor de bulktemperatuur van het medium, gedefinieerd als T = A d ρvc p T da d ρc p m (5.5) of in woorden: de integraal van de lokale snelheid u maal de temperatuur over een bepaalde dwarsdoorsnede gedeeld door de gemiddelde snelheid maal het oppervlak van de dwarsdoorsnede. In het vervolg van dit hoofdstuk zal de gemiddelde snelheid overigens met v worden aangeduid. Het aandeel van de convectieve warmteoverdracht wordt traditioneel aangegeven met de warmteoverdrachtscoëfficiënt α, gedefinieerd als Φ conv = α A w T w T (5.6) waarin Aw staat voor het warmtewisselend oppervlak. In het geval van vrije convectie stroomt het medium onder invloed van dichtheidsverschillen in het medium zelf. Uitgebreid experimenteel en theoretisch onderzoek heeft uitgewezen dat de warmteoverdrachtscoëfficiënt voor natuurlijke convectie redelijk kan worden uitgedrukt in empirische relaties. Hier hanteren we de experimentele relatie van Churchill-Chu: Nu = αl λ = 0.68 + 0.67 Ra /4 + 0.492 9/6 4/9 Ra = Gr Pr = gβ T w T L 3 νa <0 9,0<Pr = a ν < Pr (5.7) L is een krakteristieke lengtemaat van het systeem, betrokken op de lengte waarover de thermische grenslaag zich opbouwt. β is de thermische expansiecoëfficiënt β = /T.. De fysische betekenis van de verschillende dimensieloze groepen is terug te vinden in tabel 5. 78 procestechnische constructies 4660
tabel 5. iot i dimensieloze kentallen αl λv verhouding tussen convectieve warmteoverdracht en geleiding rinkman r ηv 2 Froude Fr λ l T s T v 2 gl verhouding tussen visceuze dissipatie en warmteoverdracht verhouding stationaire traagheidskrachten en zwaartekracht Grashof Gr Nusselt Nu Prandtl Pr Peclet Pe Reynolds Re gβ T s T L 3 αl λl Cpη λ l ν 2 Pe = Re Pr ρvd η verhouding natuurlijke convectie tot de visceuze krachten dimensieloze representatie van de convectieve warmteoverdracht verhouding warmtetransport en impulstransport verhouding van convectief en geleidings warmtetransport in een stroming verhouding stationaire traagheidskrachten tot de visceuze krachten ij gedwongen convectie wordt de stroming extern op gang gebracht. Zoals in paragraaf 2.2 aan de orde is gekomen kan de stroming volledig analytisch worden beschreven voor een ontwikkelde laminaire stroming. Voor deze situatie is ook de warmteoverdrachtscoëfficiënt α analytisch te bepalen. In eerste instantie beperken we ons weer tot pijpstroming (figuur 5.22) figuur 5.22 laminaire convectie in een pijp Als eerste komen de warmtestromen als gevolg van geleiding aan de orde. In het geschetste volumeelement gaat een warmtestroom als gevolg van geleiding dq λ,r = λ2πrdx T r en uit het element gaat (5.8) procestechnische constructies 4660 79
dq λ,r+dr = λ2π r+dr dx T r + 2 T dx 2 (5.9) r Door het mechanisme van convectie wordt overgedragen dq c =2πrdrρ Cp u(r) T x dx Uit een energiebalans volgt dan bij verwaarlozing van de 2 e orde termen (5.20) λ T r + T r 2 dx dr = r ρ Cp u T 2 r x dx dr (5.2) oftewel ur r r T r = ρ Cp λ T x ij wijze van illustratie wordt vergelijking (5.22) opgelost voor de conditie dat er een constante warmtestroom per eenheid van oppervlak q aan de wand van de pijp heerst. Dan geldt (5.22) T = constant, T =0op r=0, λ T = q = constant op r=r x r r s (5.23) r = rs De snelheidsverdeling in een laminaire buisstroming (Poiseuille) is in hoofdstuk 2 al afgeleid ur = r2 r s 2 4η dp dx (5.24) Als de stofwaarden constant zijn, kan vergelijking (5.22) met de randvoorwaarden van (5.23) en het snelheidsprofiel (5.24) worden omgeschreven tot r r T r = a T x u max r2 r s 2 r (5.25) Na twee keer integreren naar r volgt Tr,x = a T x u max 4 r2 r2 4r s 2 + T center (5.26) Door gebruik te maken van de definitie van de bulktemperatuur (3) kan dit ook worden geschreven als T T c = 96 7 2 u max r s T a x of in termen van de temperatuur in het midden van de stroming T s T c = 6 3 2 u max r s T x x De gemiddelde warmteoverdrachtscoëfficiënt α kan worden geschreven als (5.27) (5.28) q c α = A w T s T b = λ T/ r T s T b Aangezien in dit college verder alleen met gemiddelde warmteoverdrachtscoëfficiënten wordt gewerkt, wordt het streepje in het vervolg weggelaten. Invullen geeft vervolgens een uitdrukking voor de warmteoverdrachtscoëfficiënt α = r 24λ = 48λ s D Nu = αd λ = 48 = 4.364 (5.29) In tabel 5.2 is een overzicht gegeven van Nusseltgetallen voor andere kanaalvormen en randvoorwaarden. 80 procestechnische constructies 4660
tabel 5.2 Nusseltgetallen voor volledig ontwikkelde laminaire stromingen Geometrie (L/D h > 00) Nu Dh,H Nu Dh,H2 Nu Dh,H3 2a 60 2b 2b 2a = 3/2 3..892 2.470 2a 2b 2b 2a = 3.608 3.09 2.976 4.002 3.862 3.340 2a 2b 2b 2a = 2 4.23 3.07 3.39 2a 2b 2b 2a = 8 6.490 2.904 5.597 2a 2b 2b 2a = 8.235 8.235 7.54 4.364 4.364 3.657 2b 2a 2b 2a =. 5.33 2.930 4.439 randvoorwaarden: H uniforme warmtestroom in stromingsrichting en uniforme wandtemperatuur in elke doorsnede H2 uniforme radiale en axiale warmtestroom H3 constante wandtemperatuur In veel praktische gevallen moet echter rekening gehouden worden met de intree effecten in het gebied waar de laminaire stroming nog niet volledig ontwikkeld is, een bruikbare empirische relatie is bijvoorbeeld de vergelijking van Sieder-Tate Nu = αd e λ =.86 D e Re Pr L /3, Re < 2300, 0.48 < Pr < 6700 (5.30) De L in vergelijking (5.30) is een karakteristieke lengtemaat in de richting van de stroming, bijvoorbeeld de lengte van een pijp. Een gemene valkuil bij het hanteren van de uitdrukking van Sieder Tate is dat deze in tegenstelling tot de Nusseltgetallen uit tabel 2 niet is gedefinieerd op de hydraulische diameter, maar op een equivalente diameter D e, gedefinieerd als D e = 4 doorstroomdoppervlak warmteoverdragendeomtrek D h = 4 doorstroomdoppervlak bevochtigde omtrek (5.3) Of de intree-effecten al dan niet van belang zijn, kan worden afgeschat met de volgende vergelijking voor de lengte van de intreezone, waar de stroming nog niet volledig is ontwikkeld (ejan 993) L intree D h = 0.05 Re Dh (5.32) procestechnische constructies 4660 8
Als de intreelengte L intree klein is ten opzichte van de totale lengte L, kan net zo goed één van de waarden uit tabel 5.2 worden gehanteerd in plaats van Siedler-Tate. Ter illustratie is voor een buisstroming in figuur 5.23 het verschil aangegeven tussen de analytische waarde voor het Nusseltgetal en het resultaat van Sieder-Tate. 8 7 6 Re = 000 Nu [-] 5 4 3 Re = 00 Re = 0 2 0 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.0 D/L [-] figuur 5.23 Nusseltgetal voor laminaire convectie in een vierkant kanaal als functie van de diameter-lengte verhouding en het Reynoldsgetal Om de relatieve waarde te benadrukken van relaties zoals die van Sieder-Tate, volgt hier een kort historisch overzicht. Siedler en Tate publiceerden hun relatie (28) in 936. Deze was echter gebaseerd op een relatie van Pohlhausen uit 92 Nu = 0.664 Re D h L 2 Pr /3 Kennelijk vonden Siedler en Tate het toch aardiger om de derdemachts- in plaats van de tweedemachts wortel te trekken van ReD/L. Hausen was in 959 toch niet helemaal tevreden met de Siedler-Tate vergelijking en hij publiceerde een alternatief 0.9 Re Pr D Nu = 3.65 + h /L 0.8 + 0.7 Re Pr D h /L 0.467 Schlündler vond dit in 972 wel erg ingewikkeld en liet in zien dat de volgende uitdrukking nauwelijks afwijkende resultaten oplevert Nu = 3.66 3 +.6 3 Re Pr D h /L 3 waarbij hij meteen de vroeger gehanteerde eindwaarde van Nu = 5.65 verving door de meer correcte waarde van 5.66. Siedler en Tate zijn overigens vooral bekend worden voor de correctie die ze invoerden voor de richting van de warmtestroom. Het temperatuurverschil tussen de stroming Tm en de wand Tw, heeft vooral via de viscositeit van het medium invloed op de warmteoverdracht. Siedler en Tate introduceerden een factor (ηm/ηw) 0.4 waarmee de waarde van Nusselt volgens één van de bovenstaande relaties kan worden gecorrigeerd. In moderne literatuur is het gebruikelijk om deze relatie in het Prandtl getal uit te drukken. De meetresultaten waarop Siedler en Tate hun correctie baseerden, vertonen een grote spreiding. Hufschmidt en urck (968) hebben laten zien dat een correctie met (Pr/ Prw) 0. zowel voor laminaire als turbulente stromingen een beter resultaat geeft. Om dezelfde reden dat er geen gesloten analytische oplossing voor de wrijvingscoëfficiënt in een turbulente stroming opgesteld kan worden, lukt dit ook niet voor het Nusselt getal. Ook hiervoor geldt dat er tal van empirische relaties zijn bedacht. In dit college wordt de relatie van Dittus-ölter gehanteerd Nu = αd e λ = 0.023Re4/5 Pr n, Re> 0000 (5.33) de factor n heeft een waarde van 0.4 als de vloeistof wordt verhit en een waarde van 0.3 als de vloeistof wordt gekoeld. 82 procestechnische constructies 4660
Met de empirische vergelijkingen van Siedler-Tate en Dittus-ölter hebben we nog steeds een probleem wanneer de stroming zich in het transitiegebied 2300<Re<0000 bevindt. De gebruikelijke praktijk is om dan te interpoleren tussen de waarde van Siedler-Tate op Re=2300 en de waarde van Dittus-ölter op Re=0000. Ter afsluiting van deze paragraaf zijn in tabel 5.3 voor een aantal processen getallen voor de warmteoverdrachtscoëfficiënt en warmtedoorgangscoëfficiënt gegeven die in de praktijk verwacht mogen worden. tabel 5.3 globale waarden van de warmtedoorgangscoëfficiënt voor enkele processen [Wm -2 K - ] Q van\naar stilstaand gas α = 5-5 stromend gas α = 0-00 stilstaande vloeistof α = 50-000 stromende vloeistof α = 500-3000 kokende vloeistof α = 000-60000 gas kamer/buiten oververhitters verbrandings stoom ketel (vrije convectie) door glas k= 3-30 kamer k=0-40 + straling k = -2 k= 0-40 +straling gas gas-gas C.V. ketel (stromend) warmtewisselaar k= 0-50 k= 0-30 vloeistof verhittings olie koel olie met (vrije convectie) bad menger k= 25-500 k= 500-500 vloeistof (stromend) C.V. radiator k= 5-5 gas koelers k= 0-50 verwarmings spiraal water-water warmtewisselaar koelkast verdamper k= 50-50 k= 900-2500 k= 300-000 condenserende damp stoom radiatoren k= 5-20 lucht verhitters k= 0-50 stoomslot k= 50-000 condensor k= 300-4000 verdamper k= 300-2000 5.3 Analyse van warmtewisselaars Twee analyse methoden voor warmtewisselingstoestellen, op basis van het logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil en de effectiviteit, worden besproken die al sinds jaar en dag in de engineering worden gebruikt. Wiskundig is het enige verschil tussen beide methoden dat in het ene geval de vloeistofstromen en in het andere geval enkele temperaturen worden geëlimineerd. 5.3. Het logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil In een warmtewisselaar varieert de temperatuur van beide media over de lengte van de warmtewisselaar. In figuur 5.24 en 5.25 zijn een aantal mogelijke temperatuurprofielen voor een eenvoudige tegenstroom en gelijkstroom warmtewisselaar uitgezet. 5.26 geeft de situatie voor een condensor en 5.27 het temperatuurprofiel in een verdamper. Als we figuur 5.24 en figuur 5.25 met elkaar vergelijken, valt op dat bij een gelijkstroom warmtewisselaar de uitgangstemperatuur van de koude tak nooit boven de uitgangstemperatuur van de warme tak kan komen, terwijl dit bij een tegenstroom warmtewisselaar wel het geval kan zijn. Inderdaad zal blijken dat een tegenstroom configuratie in thermisch opzicht altijd de beste configuratie is. procestechnische constructies 4660 83
T k,in T a C k >C w da -dt w T +dt k oppervlak T w,uit T b T k,uit T k,uit T a C k < C w da dt w T dt k oppervlak T b T w,uit T k,in T k,in T a C k =C w da T -dt w +dt k oppervlak T T w,uit b T k,uit T k,uit T a C k = C w da T dt w dt k oppervlak T w,uit T b T k,in T k,in T a C k > C w -dt w T da +dt k oppervlak T w,uit T b T k,uit T k,uit T a C k > C w da T dt w dt k oppervlak T w,uit T b T k,in figuur 5.24 temperatuurprofielen in een gelijkstroom warmtewisselaar figuur 5.25 temperatuurprofielen in een tegenstroom warmtewisselaar T w T T k,uit T k T T w,uit T k,in C k >> C w oppervlak C k << C w oppervlak figuur 5.26 temperatuurprofiel in een verdamper figuur 5.27 temperatuurprofiel in een condenser In al deze gevallen kan de warmteoverdracht worden gevonden door de volgende uitdrukking te integreren over de lengte van de warmtewisselaar dφ =kda w T (5.34) waarin k staat voor de warmtedoorgangscoëfficiënt. In de meeste gevallen zal dit numeriek moeten gebeuren omdat zowel k als de stofeigenschappen veranderen over de lengte van de warmtewisselaar. Voor een eerste inschatting kan onder de volgende aannames een analytische oplossing worden gevonden: de stofwaarden zijn constant de (lokale) warmtedoorgangscoëfficiënt is constant over de lengte van de warmtewisselaar veranderingen in de kinetische energie zijn verwaarloosbaar geen warmteverliezen naar de omgeving Integratie van (5.34) levert dan dφ = m w c p,w dt w = ± m k c p,k dt k = kda T w T k (5.35) waarin m staat voor de massastroom en c p voor de specifieke warmte. Het plus teken in de tweede term slaat op de gelijkstroom configuratie en het min teken geldt voor tegenstroom. De combinatie mc p wordt vaak aangeduid met de term capaciteitsstroom en het symbool C. Voor elke willekeurige doorsnede van de warmtewisselaar moet gelden C w T w = C k T k T k,in (5.36) 84 procestechnische constructies 4660
oftewel T w T k = + C k C w T k + C k C w T k,in + (5.37) Substitueren van (5.37) in (5.35) levert na wat verplaatsen - + C k C w dt k T k + C k C w T k,in + = kda C k (5.38) Integreren van (5.38) over de gehele lengte van een warmtewisselaar (van A=0 tot A=A w ) geeft na vereenvoudiging ln + C k C w T k,in - T k,uit + - T k,in - T k,in =- C k + C w ka (5.39) Vergelijking (5.37) kan worden omgeschreven tot C k C w =- T w,uit - T k,uit - T k,in (5.40) om zo de capaciteitsstromen uit (5.39) te elimineren ln T w,uit - ka = T w,uit - T k,uit - - T k,in - T k,in Q (5.4) aangezien moet gelden dat Φ = C k T k,uit - T k,in = C w - T w,uit (5.42) Met T w -T k = T kan uitdrukking (5.4) in zijn meer gebruikelijke vorm worden geschreven Φ = ka w T a - T b ln T a / T b = ka w T ln (5.43) Als de subscripts a en b refereren aan de respectievelijke zijden van de warmtewisselaar geldt deze uitdrukking voor zowel tegen als gelijkstroom. T ln staat bekend als het logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil. Deze methode is prettig om te gebruiken wanneer de temperaturen aan beide inlaten en uitlaten van de warmtewisselaar bekend zijn. Eenvoudig valt te verifiëren dat deze uitdrukking zowel bij een gelijkstroom als een tegenstroom warmtewisselaar opgaat. ij andere configuraties moet een correctie worden toegepast, in dat geval geldt Φ =FkA w T a - T b ln T a / T b =F ka w T ln (5.44) De gebruikelijke methode is om de correctiefactor grafisch te bepalen. In de navolgende figuren staan een aantal voorbeelden, ontleend aan éjan (993) procestechnische constructies 4660 85
figuur 5.28 correctiefactor F voor een kruisstroom warmtewisselaar met twee ongemengde takken (éjan 993) figuur 5.29 correctiefactor F voor een kruisstroom warmtewisselaar met een gemengde en een ongemengde tak (éjan 993) 86 procestechnische constructies 4660
figuur 5.30 correctiefactor F voor een kruisstroom warmtewisselaar met twee gemengde takken (éjan 993) figuur 5.3 correctiefactor F voor een shell and tube warmtewisselaar met één shell passage en een dubbele tube passage (éjan 993) procestechnische constructies 4660 87
figuur 5.32 correctiefactor F voor een shell and tube warmtewisselaar met een dubbele shell passage en een vier-dubelle tube passage (éjan 993) 5.3.2 effectiviteits methode Wanneer we op zoek zijn naar de uitgangstemperaturen van de warmtewisselaar is het handiger om de capaciteitstromen niet te elimineren. Deze methode gaat uit van de effectiviteit van een warmtewisselaar, over het algemeen gedefinieerd als ε = overgedragenvermogen maximaal over te dragen vermogen = C k T k,uit - T k,in C min - T k,in = C w - T w,uit C min - T k,in (5.45) waarbij C min de kleinste waarde van C k en C w is. Dit houdt in dat ε = C w - T w,uit C w - T k,in = - T w,uit - T k,in als C w < C k (5.46) ε = C k T k,uit - T k,in C k - T k,in = T k,uit - T k,in - T k,in als C k < C w (5.47) ε = - T w,uit - T k,in = T k,uit - T k,in - T k,in als C w = C k (5.48) oftewel, de effectiviteit van een warmtewisselaar kan altijd uit drie temperatuurmetingen worden bepaald. Als de effectiviteit van een warmtewisselaar bekend is, kan de uitgewisselde hoeveelheid warmte worden berekend volgens Φ = ε C min T k,in (5.49) We zullen de methode illustreren door een uitdrukking af te leiden voor een eenvoudige gelijkstroom warmtewisselaar. Hiertoe substitueren we (5.45) in vergelijking (5.39) ln - ε C min C w + C min C k =- C w + C k ka w (5.50) 88 procestechnische constructies 4660
uitschrijven naar ε geeft ε = -exp + C w C k ka w C w C min /C w + C min /C k (5.5) als C w < C k kan deze uitdrukking worden geschreven als ε = en als C w > C k - exp - + C w C k + C h /C k ka w C w (5.52) ε = - exp - + C k C w + C k /C w ka w C w (5.53) zodat we voor beide situaties kunnen schrijven ε = - exp - + C min C max + C min /C max ka w C min (5.54) op overeenkomstige wijze kan voor een tegenstroom configuratie worden afgeleid (teken in tweede term van uitdrukking 5.49 omdraaien) ε = - -exp C min C max exp C min C max C min C max ka w C min -ka w C min (5.55) In de figuren (5.32) tot en met (5.35) zijn voor enkele warmtewisselaar configuraties de effectiviteiten gegeven als functie van het number of transfer units (NTU). De NTU is gedefinieerd als NTU = ka w C min In Kays (984) zijn een groot aantal van dit soort figuren verzameld. (5.55) procestechnische constructies 4660 89
-2 parallel/gelijkstroom kruis stroom, ongemengd effectiviteit [-] 0.8 0.6 0.4 0.2 Cmin/Cmax = 0 0.25 0.5 0.75 effectiviteit [-] 0.8 0.6 0.4 0.2 C min /C max = 0 0.250.5 0.75 0 0 2 3 4 5 NTU max = ka/c min 0 0 2 3 4 5 NTU max = ka/c min figuur 5.32 effectiviteit van een double pass shell en tube warmtewisselaar figuur 5.33 effectiviteit van een ongemengde kruisstroom warmtewisselaar gelijkstroom tegenstroom warme zijde (mc) h = C h warme zijde (mc) h = C h effectiviteit [-] 0.8 0.6 0.4 0.2 koude zijde (mc) c = C c C min /C max = 0 0.25 0.5 0.75 effectiviteit [-] 0.8 0.6 0.4 0.2 koude zijde (mc) c = C c C min /C max = 0 0.250.5 0.75 0 0 2 3 4 5 NTU max = ka/c min 0 0 2 3 4 5 NTU max = ka/c min figuur 5.34 effectiviteit van een tegenstroom warmtewisselaar figuur 5.35 effectiviteit van een tegenstroom warmtewisselaar 90 procestechnische constructies 4660