SYNOPSIS STROMINGSLEER Voorjaar 2011 RU Nijmegen Willem van de Water

SYNOPSIS STROMINGSLEER Voorjaar 2011 RU Nijmegen Willem van de Water

2

Inhoudsopgave 1...................................... 7 1.1 Fenomenologische natuurkunde................ 7 1.2 Dit drijft de stroming..................... 7 1.3 Het vectorveld u(x,t)..................... 8 1.4 Stroomlijnen en stroomfunctie................ 9 1.5 Vorticiteit............................ 10 1.6 Quiz............................... 12 2...................................... 13 2.1 Behoud van massa....................... 13 2.2 Verandering van impuls.................... 13 2.3 De spanningstensor...................... 15 2.4 Verandering van impuls.................... 16 2.5 De vervorming van het stromingsveld............ 17 2.6 Vervorming geeft spanning.................. 18 2.7 Navier-Stokes vergelijking................... 20 2.8 Quiz............................... 20 3...................................... 23 3.1 Behoud van energie: Bernoulli s vergelijking......... 23 3.2 Behoud van impulsmoment: Kelvin s theorema....... 24 3.3 Quiz............................... 25 4...................................... 29 4.1 Dimensieloze kentallen..................... 29 4.2 Orden van grootte....................... 29 4.3 Dynamische gelijkvormigheid................. 31 4.4 Hoeveel dimensieloze parameters?.............. 31 4.5 Quiz............................... 33 5...................................... 35 5.1 Laminaire stromingen..................... 35 5.2 Wandwrijving......................... 36 5.3 Cilindercoördinaten...................... 37 5.4 Randvoorwaarden....................... 39 5.5 Tijdsafhankelijke stromingen................. 40 5.6 De wet van Stokes....................... 42

5.7 Quiz............................... 43 6...................................... 45 6.1 De grenslaag.......................... 45 6.2 Loslating............................ 46 6.3 Integrale grootheden...................... 47 6.4 Von Kármán vergelijking: gemakkelijk............ 48 6.5 Von Kármán vergelijking: algemeen............. 49 6.6 De grenslaag aan een vlakke wand.............. 50 6.7 Benaderde oplossing von Kármán vergelijking........ 50 6.8 Quiz............................... 52 7...................................... 53 7.1 Potentiaalstromingen..................... 53 7.2 Bouwstenen voor de potentiaalstroming........... 54 7.3 Spiegeling............................ 56 7.4 De kracht in een potentiaalstroming............. 57 7.5 Lift............................... 59 7.6 Complexe functies....................... 59 7.7 De Kutta voorwaarde..................... 60 7.8 Meer complexe functies.................... 60 7.9 Quiz............................... 61 Antwoorden Quiz................................ 63 Historie..................................... 67 Formules..................................... 73 Kundu: Fluid Mechanics............................ 77

5 VOORWOORD Dit is een samenvatting van het college stromingsleer zoals dat gegeven werd in 2006. Achtergronden en verdieping kunnen worden gevonden in het boek Fluid Mechanics door Kundu en Cohen, Ac. Press, 1990/2000/2001. Een overzicht van de hoofdstukken van dit boek die belangrijk zijn voor dit college is gegeven op blz. 77. Deze samenvatting kan niet wedijveren met dat boek. Bij het college hoort het Oefenboek Stromingsleer, een verzameling opgaven en uitwerkingen die oefening en verdieping biedt.

6

7 COLLEGE 1 1.1 Fenomenologische natuurkunde Stromingsleer is fenomenologische natuurkunde, waarin we eenvoudige relaties tussen oorzaak en gevolg geven, en we ons niet bekommeren over de moleculaire basis daarvan. In de stromingsleer is dat de relatie tussen spanning τ (kracht per eenheid van oppervlakte) en vervorming van het snelheidsveld. Die relatie luidt voor één component van het snelheidsveld die slechts in één richting varieert τ = F A = µdu dy (1.1) De berekening van de evenredigheidsconstante µ (de viscositeit) vereist dat we afdalen naar de moleculaire wereld, en dat doen we niet hier maar in de statistische natuurkunde. In dit college nemen we Vgl. 1.1 voor lief, maar leren haar wél te formuleren voor een vectorveld. 1.2 Dit drijft de stroming Het snelheidsveld u(x, t) wordt voortgedreven door de randen en door de druk p(x, t). Voor de randen geldt altijd de no-slip randvoorwaarde : de snelheid van de stroming aan de rand is dezelfde als die van de rand. Alleen in het extreme geval dat de afmeting van de stroming van de orde van de gemiddelde vrije weglengte voor botsingen tussen de moleculen wordt, komt deze randvoorwaarde ter discussie. De druk is een scalar grootheid: hij hangt niet van de richting af. Om precies te zijn: als we de kracht per eenheid van oppervlakte die gericht is langs de normaal druk p noemen, dan is p een scalar.

8 Er is evenwicht van de verticale krachten op de driehoek p 1 ds cos(θ) + p 2 dx 1ρg dx dy = 0, of p 2 1 dx + p 2 dx 1 ρg dx dy = 0. 2 Als de afmeting van het driehoekje naar nul gaat (dy 0) volgt p 1 = p 2, en net zo voor de horizontale component p 1 = p 2 = p 3 ; hetgeen bewijst dat de druk niet afhangt van de richting van het vlak waarop hij werkt. Er werken natuurlijk ook krachten op een oppervlak die niet langs de normaal gericht zijn, die bespreken we in paragraaf 2.3, op blz. 15. In de stromingsleer is (meestal) de werking van de zwaartekracht te verrekenen met de statische druk p y = ρg. (1.2) We zullen zien dat de druk meestal de rol van potentiële energie vervult. In het statische geval zegt Vgl. 1.2 dan ook p + ρgy = C. 1.3 Het vectorveld u(x,t) Om de veranderingen van het vectorveld te beschrijven maken we een afspraak over het gebruik van herhaalde indices. Zo schrijven we bijvoorbeeld de divergentie als u = u 1 x 1 + u 2 x 2 + u 3 x 3 = 3 i=1 u i x i u i x i, (1.3) Waar x 1,x 2,x 3 hetzelfde als x,y,z zijn, u 1 de x component van de snelheid is (soms u genoemd), u 2 de y component (v) en u 3 de z component (w). Dus: herhaalde indices is sommeren. De baan van een deeltje in het stromingsveld dat volledig meegesleept wordt door het snelheidsveld (bijv een stukje van de stromende vloeistof of gas) wordt bepaald door dx dt = u(x,t), of components-gewijs dx i dt = u i(x,t). (1.4) Het fundamentele probleem van de stromingsleer is dat de stroming zijn eigen veranderingen meevoert. Neem de verandering van een scalar grootheid F (bijvoorbeeld de temperatuur van de stroming). De verandering van F wordt voortgebracht door de verandering van de tijd, maar ook door de verandering van de plaats (die immers met

9 Figuur 1.1: Stroomlijnen van een varend schip volgens (a) de kapitein: de deeltjesbanen zijn stroomlijnen, en (b) de stuurman op de wal: omdat de stroming nu tijdsafhankelijk is, vallen stroomlijnen en deeltjesbanen niet meer samen. Een deeltjesbaan is gestippeld getekend. Voor de twee snelheidsvelden bij (a) en (b) geldt de relatie u (x, t) + U = u(x Ut). de stroming meereist). df = F t df dt dt + F x i dx i, dus = F t + F x i dx i dt = F = F t t + u F i x i + (u ) F. (1.5) Omdat df/dt de verandering in een met de vloeistof meebewegend coordinatensysteem is, wordt ze de materiële afgeleide genoemd (voortaan geschreven als DF/Dt). 1.4 Stroomlijnen en stroomfunctie Stroomlijnen zijn lijnen waaraan elke raakvector de locale snelheid weergeeft, dus de vergelijking van de stroomlijnen is dx u = dy v = dz w Alleen in een tijdsonafhankelijke stroming vallen de stroomlijnen samen met de deeltjesbanen. Dit is niet zo (in het algemeen) voor een tijdsafhankelijke stroming, zoals geïllustreerd wordt in figuur 1.1b. Samenvattend kunnen we schrijven dat voor een twee-dimensionaal stromingsveld

10 u(x,y,t),v(x,y,t) de vergelijking van de stroomlijnen is dy dx = v(x,y,t) u(x,y,t), terwijl de deeltjesbanen gegeven worden door dx dt = u(x,y,t), dy dt = v(x,y,t). In twee dimensies kunnen we een stroomfunctie Ψ(x,y) definieren volgens u = Ψ,v = Ψ y x (1.6) De stroomfunctie heeft de stroomlijnen als hoogtelijnen, zie maar dψ = Ψ x Ψ dx + dy = vdx + udy = 0, y omdat langs een stroomlijn geldt u dy = v dx. Als we een stroomfunctie kunnen vinden, is het snelheidsveld automatisch divergentievrij u = 0. (We zullen zo zien dat onsamendrukbare stromingen altijd divergentievrij zijn). Het verschil van de waarde van de stroomfunctie op twee stroomlijnen is gelijk aan de volumestroom Q V tussen die twee stroomlijnen. L B dq V u dy A -v dx Figuur 1.2: Om de volumestroom door de lijn L uit te rekenen, splitsen we de lijn op in kleine segmentjes waarin we behoud van massa gebruiken. Q V = B A u dy v dx = B A Ψ y Ψ B dy + x dx = dψ = Ψ B Ψ A. A Hieraan zien we dat de snelheid toeneemt als de stroomlijnen naar elkaar toe buigen, en vice-versa. De absolute waarde van de stroomfunctie op een stroomlijn is niet relevant, alleen de verschillen doen er toe. Het snelheidsveld blijft onveranderd als we bij de stroomfunctie een constante optellen. Tenslotte, in het snijpunt van twee stroomlijnen is de richting van de raakvector ambigu, en moet de snelheid dus nul zijn. 1.5 Vorticiteit De vorticiteit van het stromingsveld is gedefinieerd als ω = u. Voor een tweedimensionaal vectorveld in Carthesische coördinaten is er alleen een z component

11 van de vorticiteit ω z = v/ x u/ y. 1. In twee dimensies in poolcoördinaten (snelheidscomponenten u r,u θ ) is ω z = 1 r r (ru θ) 1 u r r θ (1.7) Terwijl de divergentie figureert in de stelling van Gauss, speelt de vorticiteit een rol in de stelling van Stokes u ds = ω n da (1.8) C A waarbij de gesloten kromme C de rand is van oppervlak A. De grootheid C u ds wordt de circulatie Γ genoemd. Figuur 1.3: Roterende stromingen. (a) Een draaiende emmer water, waarvoor ω = 2 Ω. (b) De badkamer vortex waarvoor ω = 0. Voor vloeistof in een uniforme rotatie, u θ = Ωr,u r = 0 geeft Vgl. 1.7 ω = 2Ω. Voor de badkamer vortex u θ = Γ/(2πr) is ω = 0, behalve in r = 0. En dat laatste moet wel zo zijn omdat de circulatie volgens Vgl. 1.8 Γ is. De badkamervortex lijkt paradoxaal: hij bezit geen vorticiteit, behalve in het singuliere punt midden in het afvoerputje. U kunt gemakkelijk nagaan dat in deze vortex vloeistofpakketjes niet roteren. Tweedimensionale vectorvelden waarvoor u = 0 kunnen beschreven worden door een snelheidspotentiaal Φ, u = Φ. De functies Ψ en Φ beschrijven tezamen onsamendrukbare rotatievrije stromingen in twee dimensies. We zullen ze later tegenkomen als imaginair en reëel deel van een complexe functie. Het zal daar blijken dat er een één op één relatie is tussen (analytische) complexe functies en stromingen in twee dimensies. 1 Vorticiteit kunnen we op een handige manier schrijven met behulp van de Levi-Civita tensor ǫ ijk, die gedefinieerd is als 1 voor ijk = 123, 312, 231 (even permutaties van 123) ǫ ijk = 1 voor ijk = 213, 132, 321 (oneven permutaties van 123) 0 als twee indices hetzelfde zijn Dan is ω i = ǫ ijk u k x j, bijvoorbeeld ω 3 = ǫ 3ij u j x i = ǫ 312 u 2 x 1 ǫ 321 u 1 x 2 = u 2 x 1 u 1 x 2 Voor het ǫ ijk symbool geldt nog de volgende regel ǫ ijk ǫ klm = δ il δ jm δ im δ jl. Daarmee kunnen alle vectoridentiteiten van het formuleblad (blz. 76) afgeleid worden.

12 1.6 Quiz 1. Is het onderstaande plaatje met stroomlijnen realistisch? Wat kunt U zeggen over de grootte van de snelheid in punt A? 2. Getekend zijn de stroomlijnen in een tijdsonafhankelijke wrijvingsloze stroming. Is het waar dat de snelheid in punt A groter is dan die in punt B? 3. Wordt de hieronder getekende stroming beschreven door de stroomfunctie Ψ(x, y) = xy? Is de getekende stroming incompressibel? 4. Is de snelheidspotentiaal van de boven getekende stroming φ(x,y) = (x 2 y 2 )/2? Is die stroming rotatievrij? 5. Volgen in het snelheidsveld u(x,y,t) = (x cos t, y sin t) de vloeistofdeeltjes de stroomlijnen? 6. Gegeven is het snelheidsveld u(x,t) u(x,y) = ax + by 2, v(x,y) = ay. Wat is de divergentie, wat is de rotatie, en wat is de circulatie over het vierkant x [0, H], y [0, H]. Controleer Uw antwoord met de stelling van Stokes. 7. Wat is de versnelling die een deeltje ondervindt in de stroming met snelheidsveld u = (u,v) = (αx + βy), met α en β constanten.

13 COLLEGE 2 2.1 Behoud van massa Beschouw een vast (maar willekeurig) volume V met daarin een vloeistof of gas met soortelijke massa ρ. De totale massa in het volume verandert doordat er een stroming (met u(x,t)) door de rand A naar binnen of naar buiten is. ρ dv + ρ u n da = 0, (2.1) t V A het volume V is vast, en voor de integratie over het oppervlak gebruiken we de stelling van Gauss, ρ u n da = (ρ u) dv, A zodat V V { } ρ t + (ρu) dv = 0, of ρ t + (ρu) = 0, omdat het volume V willekeurig was. Als we gebruik maken van de materiële afgeleide Vgl. 1.5 op blz. 9 kunnen we dit schrijven in termen van de totale verandering van de dichtheid ρ, Dρ Dt + u = 0 (2.2) Als ρ constant is, wordt vergelijking 2.2: u = 0. Voor bijna alle stromingen mogen we ρ constant veronderstellen. Dit gaat pas fout als de snelheid u die van het geluid nadert, immers, een ongelijkheid in dichtheden in verschillende punten van het stromingsveld wordt gladgesmeerd met de geluidssnelheid. 2.2 Verandering van impuls De verandering van impuls in een vast testvolume is gelijk aan de kracht op de vloeistof in dat testvolume. Die kracht kan uitgeoefend worden op alle moleculen in het volume, maar kan ook uitgeoefend worden op de rand A van het testvolume. Een voorbeeld van een volumekracht is de zwaartekracht, een voorbeeld van een oppervlaktekracht is de druk of de schuifspanning.

14 Voor de i de component ρu i van de impuls volgt op dezelfde manier als bij Vgl. 2.1 ρu i dv + ρu i u n da = F i, (2.3) t V A waar F de kracht is die op de vloeistof in het volume V wordt uitgeoefend. Vergelijking 2.3 is niets anders dan Newton s wet voor de verandering van de impuls ṗ imp, ṗ imp = F; de conceptuele moeilijkheid is echter de verandering van impuls A ρu i u n da doordat het medium door de randen van het testvolume stroomt. Deze term is kwadratisch in het snelheidsveld. Als voorbeeld berekenen we de kracht die een stationair ( / t = 0) stromende rivier op de brugpijler uitoefent uit de vervorming van het snelheidsveld. Daartoe beschouwen we het in figuur 2.1 getekende controle volume. Figuur 2.1: De kracht op een pijler in de rivier kan berekend worden uit de vervorming van het vectorveld. Daarbij veronderstellen we dat de stroomlijnen alle (nagenoeg) horizontaal zijn, en dat de impuls die door de vlakken (3) uit het controlevolume stroomt, ρ Ue x is. Vóór de pijler is het snelheidsveld uniform met snelheid U. Door de vervorming van het snelheidsveld verdwijnt er een massaflux Q m door de zijvlakken bij (3). Die massaflux volgt uit massabehoud +b b ρ U dy + Q m + +b b ρ u(y) dy = 0, dus Q m = ρ +b b (U u(y)) dy (2.4) De kracht die de pijler op de stroming in het controlevolume uitoefent volgt uit de x-component van de impulsbalans +b b ρ U 2 dy + +b b ρ u 2 (y) dy + Q m U = F, waar we hebben verondersteld dat de snelheid door de zijvlakken horizontaal gericht is en gelijk is aan U, en dus dat de impuls die door de massastroom Q m wordt meegenomen Q m U is. Gebruikmakend van Vgl. 2.4 volgt F = ρ +b b u(y)[u u(y)] dy, aangezien u(y) U, is F < 0, zoals het hoort.

15 Figuur 2.2: De werking van de spanningstensor op een oneindig klein kubusje. 2.3 De spanningstensor Stromingsleer gaat over een vectorveld, waarvan de veranderingen méér dan een vector zijn: tensoren. Voor ons is het voldoende om een tensor te zien als een grootheid met 2 indices (die in elk daarvan onder rotaties transformeert als een vector). Zo is τ ij de kracht per eenheid van oppervlakte werkend in de j richting op het vlak waarvan de normaal in de i richting staat. Uit de spanningstensor kunnen we de kracht op een willekeurig georienteerd oppervlak uitrekenen. We bekijken daartoe het krachtenevenwicht op de driehoek in figuur 2.3. Op de rechte zijden werken de componenten van de spanningstensor volgens de definitie. Op de schuine zijde met normaal n werkt de kracht F. Figuur 2.3: De spanningstensor werkend op het vlak met normaal n geeft een kracht F. De x component F 1 van F moet hetzelfde zijn als de resulterende kracht van de spaningstensor F 1 = τ 11 dx 2 + τ 21 dx 1. Per eenheid van oppervlakte is f 1 F 1 /ds dx 2 f 1 = τ 11 ds + τ dx 1 21 ds = τ 11 cos(θ 1 ) + τ 21 sin(θ 1 ) = τ 11 n 1 + τ 21 n 2 = τ i1 n i (2.5)

16 Figuur 2.4: De werking van de spanningstensor op een eindig groot vierkant met het punt (x,y) als centrum levert een resulterend draaimoment op tenzij τ 12 = τ 21. Dat geldt evenzo voor de andere componenten, f j = τ ij n i, of f = τ n. (2.6) Let wel dat τ ij n i niet het inproduct van Vgl. 2.6 is, maar τ ji n i ; we zullen echter zó laten zien dat τ symmetrisch is in zijn indices, zodat Vgl. 2.6 toch correct is. Als de spanning slechts bestaat uit de druk, heeft τ alleen diagonale componenten. τ ij = δ ij p, (2.7) in termen van de Kronecker δ, δ ij = 1 als i = j en anders 0. De spanningstensor is symmetrisch in zijn indices τ ij = τ ji. Dit bewijzen we in twee dimensies. Bekijk daartoe de werking van de schuifkrachten (de niet-diagonale componenten van τ) op een vierkant met afmetingen dx = dy. De resultante van de τ 12 en τ 21 is een draaimoment T dat leidt tot een hoekversnelling dω/dt = T/I, met I de massatraagheid van het vierkantje, I dx 3. Het draaimoment berekenen we als T = [τ 12 (x + dx/2,y) + τ 12 (x dx/2,y)] dy dx/2 [τ 21 (x,y + dy/2) + τ 21 (x,y dy/2)] dx dy/2 = [τ 21 (x,y) τ 12 (x,y)] dx dy + O(dx 3 dy) + O(dx dy 3 ), (2.8) waar de laatste twee termen afkomstig zijn van de Taylorontwikkeling van τ 12 en τ 21. Voor het vierkantje (dx = dy), is de hoekversnelling dus dω dt = T I = 1 dx (τ 12 τ 21 ) + O(dx,dy) Dit gaat mis als dx 0, tenzij τ 12 = τ 21. Het bewijs in drie dimensies gaat net zo. Dus τ ij = τ ji, en we hoeven ons dus geen zorgen meer te maken over de volgorde van τ s indices. 2.4 Verandering van impuls Een gedeelte van de kracht F i in Vgl. 2.3 is de spanning die werkt op het oppervlak A van het testvolume, met Vgl. 2.6 volgt dan F i = (τ n) i da +... A

17 Een ander stuk van de kracht (de...) is bijvoorbeeld de zwaartekracht ρ g i die alle moleculen in het testvolume naar beneden trekt, dus F i = (τ n) i da + ρg i dv. (2.9) A V Stel dat de spanning τ alleen de druk bevat, dan wordt de integrale vergelijking voor impuls d ρ u i dv + ρ u i (u n) da = p n i da + ρ g i dv. (2.10) dt V A A V De integrale formulering van de stromingsleer, Vgl. 2.1, en Vgl. 2.10 (maar nog zonder wrijving) is een mooi instrument om globale eigenschappen van een stroming uit te rekenen. We zijn immers blind voor de details van het stromingsveld waarover we integreren. Voor de precieze vorm van het snelheidsveld hebben we de vergelijkingen in differentiaalvorm nodig. 2.5 De vervorming van het stromingsveld Om de volgende stap te maken, relateren we nu de spanning τ aan de vervorming van het snelheidsveld. Voor het gemak bekijken we de vervorming weer in twee dimensies. In Fig. 2.5 zijn de drie elementaire vervormingen van een vierkantje geschetst. U kunt zélf gemakkelijk de uitbreiding naar drie dimensies doen. Figuur 2.5: (a) Van de drie denkbare vervormingen van het vectorveld brengen alleen de dilatatie en de afschuiving spanningen met zich mee. (b) De verandering van de snelheid met de plaats veroorzaakt een relatieve lengteverandering ( u 1 / x 1 ) dt van lijnstukjes. Dit is de bron van alle vervormingen. In een uniform snelheidsveld is er slechts een translatie van vloeistofelementen. Dilatatie. De relatieve verandering van het oppervlak is 1 δv d dt (δv ) = 1 d δx 1 δx 2 dt (δx 1 δx 2 ) = 1 d δx 1 dt (δx 1) + 1 d δx 2 dt (δx 2) = u 1 x 1 + u 2 x 2 = u

18 Afschuiving. Deze vervorming beschrijven we met de verandering van de hoeken van het vierkantje dα 1 dt + dα 2 dt = ( u1 + u ) 2 x 2 x 1 We veronderstellen vervolgens dat alleen de dilatatie en de afschuiving spanningen veroorzaken. De rotatie doet dat niet, immers een vloeistof in een uniforme rotatie heeft geen spanningen. Beide oorzaken van spanningen kunnen we samenvatten in de vervormingstensor e met elementen e ij = 1 2 ( ui x j + u j x i ), met de dilatatie het spoor e ii = u (2.11) Met de tensor e hebben we de voor ons relevante vervorming van het vectorveld u vastgelegd. 2.6 Vervorming geeft spanning Het diagonale stuk van de spanningstensor is de alzijdig werkende hydrostatische druk. Die wordt niet bepaald door de vervorming van het snelheidsveld. Daarom splitsen we de druk af door te schrijven τ ij = p δ ij + σ ij. (2.12) Het stuk σ van de spanning is het gevolg van de vervorming. We maken de plausibele veronderstelling van de fenomenologische fysica dat het gevolg (de spanning σ) lineair evenredig is met de oorzaak (de vervorming e). σ ij = K ijmn e mn (2.13) De evenredigheidsfactor K is een tensor met 81 elementen, echter in een isotroop medium kunnen we K schrijven als K ijmn = λδ ij δ mn + µδ im δ jn + γδ in δ jm, die nog maar van drie parameters afhangt. Dit is een algemene eigenschap van tensoren die bewezen wordt in elke inleiding in de tensorrekening. 2 2 We geven een eenvoudig argument voor deze omstandigheid. In de eerste plaats is K een evenredigheidsfactor die niet van de vectoren x of u afhangt. Vervolgens beseffen we dat we K gebruiken

19 Omdat τ ij symmetrisch is in i,j, is K dat ook, waaruit volgt dat µ = γ. Dus σ ij = 2µe ij + λe mm δ ij (2.14) Uit Vgl. 2.12, 2.14 volgt dat τ best ongelijke diagonale componenten mag hebben tengevolge van de vervorming van de vloeistof, echter, we eisen dat het gemiddelde van de diagonale componenten gelijk is aan de druk. τ ii = 3p + (3λ + 2µ)e jj, waar τ ii, en e jj de som van de diagonaalelementen is (δ ii = 3). Dus 3λ + 2µ = 0, waarmee er nog maar één parameter over is in de lineaire relatie tussen oorzaak en gevolg: de viscositeit µ. Resumerend τ ij = ( p + 2 3 µ u) δ ij + 2µe ij (2.15) De veronderstelling Vgl. 2.13 is correct voor gassen en veel vloeistoffen; die vloeistoffen heten Newtonse vloeistoffen. Karakteristiek is dat het medium geen geheugen heeft voor de vervorming (en dus niet elastisch is). Sommige vloeistoffen (oplossingen van polymeren bijvoorbeeld) voldoen hier niet aan. Tenslotte, onze keuze λ = 2µ/3, werd ingegeven door de wens om maar één druk te hebben, die dan via de toestandsvergelijking van het gas of de vloeistof gekoppeld is aan de temperatuur. Dus, onze keuze impliceert dat er maar één temperatuur is: alle vrijheidsgraden van het gas zijn in perfect thermodynamisch evenwicht. Dat is niet altijd het geval, met name als de moleculen van het gas roteren of vibreren, en als het heel veel botsingen kost om die interne energie in evenwicht te brengen met de translatie energie. In dat geval kunnen we λ niet meer uitdrukken in µ, en verschijnt er een tweede viscositeit: de bulkviscositeit. We herinneren ons nu de impulsbalans Vgl. 2.10, ρ u i dv + ρ u i u n da = (τ n) i da + t V A A V ρ g i dv Beide oppervlakteintegralen schrijven we met de stelling van Gauss, en aangezien het volume V vast is, volgt t (ρu i)+ (ρu i u) = (τ) i +ρg i, of t (ρu i)+ (ρu i u j ) = τ ij +ρg i (2.16) x j x j Voor de divergentie van de spanningstensor in het rechterlid volgt met Vgl. 2.15 gemakkelijk τ = p + µ 2 u + 1 µ ( u), (2.17) 3 om practische scalar-grootheden uit te rekenen, zoals de component van de kracht f in de richting q die werkt op een vlak met normaal n: ( 1 um f q = q i n j σ ij = q i n j K ijmn 2 + u ) n x n x m In een isotroop medium is dit resultaat invariant onder rotaties en spiegelingen. Maar dat kan alleen als de rechterkant slechts inproducten van de vectoren q, n, u en x bevat. Daar wordt precies voor gezorgd door de Kronecker delta s.

20 terwijl we het linkerlid kunnen herschrijven tot ρ u t + ρ(u )u, waarbij we gebruik gemaakt hebben van massabalans Vgl. 2.2 op blz. 13 ρ t + (u )ρ = 0. 2.7 Navier-Stokes vergelijking Het resultaat is de Navier-Stokes vergelijking (voor een Newtons medium). ρ u t + ρ(u )u = p + µ 2 u + 1 µ ( u) + ρ g (2.18) 3 Voor een onsamendrukbare stroming wordt de vergelijking voor massabalans u = 0, terwijl de op één na laatste term van het rechterlid van Vgl. 2.18 verdwijnt. Voor andere media, met een andere relatie tussen spanning en vervorming, wordt Vgl. 2.18 natuurlijk een andere vergelijking. Het linkerlid van Vgl. 2.18 kunnen we met behulp van de materiële afgeleide schrijven als ρ Du/Dt. Deze traagheidskracht bestaat uit twee delen, een deel dat de instationaire versnelling u/ t bevat en een deel dat de convectieve versnelling (u )u bevat. 2.8 Quiz 1. Is in een twee dimensionaal kanaal dat zich vernauwt, zó dat de doorsnede d(x) = A/x, de versnelling van de stroming evenredig met x? 2. Lucht stroomt stationair door een ronde buis waarvan de diameter verloopt als d(x) = d 0 + Ax. Is de vertraging van de stroming dan evenredig met (d(x)) 5? 3. Laat zien dat voor een tijdsonafhankelijke horizontale (v = 0) onsamendrukbare stroming in het x,y vlak, waarvan de snelheid niet van x afhangt, u(x,y) u(y), de Navier-Stokes vergelijking wordt 1 ρ dp dx + ν d2 u dy = 0 2 4. Een bizarre vloeistof heeft de volgende relatie tussen spanning en vervorming τ xy = µ ( ) 3 du. dy Wat wordt, onder dezelfde voorwaarden als bij vraag 3, nu de Navier-Stokes vergelijking?

21 5. Een stationaire stroming gaat door een contractie. Bereken de snelheid en de versnelling van de stroming aan het einde van de contractie.

22

23 COLLEGE 3 3.1 Behoud van energie: Bernoulli s vergelijking Als de viscositeit µ = 0, is er geen viskeuze wrijving en wordt de Navier-Stokes vergelijking de Euler vergelijking. u i t + u j u i = 1 p (g z), (3.1) x j ρ x i x i waar we de zwaartekracht die werkt op alle moleculen van de stroming (het is een volumekracht) geschreven hebben als gradiënt van een potentiaal. Als een stationair ( / t = 0) snelheidsveld slechts één component i heeft die alleen maar in de i-richting verandert, dan kunnen we het linkerlid van Vgl. 3.1 schrijven als 1 d 2 dx i (u 2 i), en komt de Euler vergelijking helemaal in gradiënt vorm d dx i ( 1 2 u2 i + p ρ + gz ) = 0, (3.2) de vergelijking van Bernoulli. In het algemene geval maken we gebruik van de vectoridentiteit 3 (u )u = ( 1 2 u2 ) u ( u), of u j x j u i = x i ( 1 2 u ju j ) (u ( u)) i. (3.3) Voor rotatievrije snelheidsvelden u = 0 vinden we de opnieuw de vergelijking van Bernoulli 1 u 2 ju j + p + gz = C (3.4) ρ Als het snelheidsveld niet rotatievrij is, nemen we van de vectorvergelijking ( d 1 dx u 2 ju j + p ) i ρ + gz + (u ( u)) i het inproduct met u, (vermenigvuldigen met u i en sommeren over i), dan is u (u ( u)) = 0, terwijl u i d/dx i precies de gradiënt in de richting van de stroomlijn is. Dus Bernoulli geldt overal in een wrijvingsloze, rotatievrije stroming. Maar als u 0 geldt ze slechts langs een stroomlijn. Tot nu toe namen we aan dat het snelheidsveld onsamendrukbaar is. De vergelijking van Bernoulli geld echter ook als de dichtheid ρ uitsluitend een functie van de druk is, ρ = ρ(p). Dat is het geval bij een ideaal gas bij constante temperatuur of constante entropie. Dan kunnen we 1 ρ p x i 3 Deze en nog veel meer vectorformules zijn te vinden in de formuleverzameling op blz. 73. Deze verzameling is ook beschikbaar op het tentamen.

24 Figuur 3.1: De Pitot buis is een handig instrument om de snelheid te meten. In de buurt van de punten 1 en 2 is de stroming rotatievrij. Voor de punten 1 en 2 geldt de vergelijking van Bernoulli: 1 2 u2 1 + p 1 /ρ = 1 2 u2 1 + p 1 /ρ. Aangezien de stroming stagneert bij punt 1 is u 1 = 0, en volgt u 2 uit het gemeten drukverschil u 2 2 = 2(p 1 p 2 )/ρ. schrijven als de gradiënt x 1 x i x 0 ρ dp = [F(p(x)) F(p(x 0 ))] = F x i p p x i = 1 ρ p x i, (3.5) waar F(p) de primitieve is van de functie 1/ρ(p). In dit geval neemt de vergelijking van Bernoulli dus de gedaante aan x 1 u 1 2 ju j + dp + gz = C. x 0 ρ 3.2 Behoud van impulsmoment: Kelvin s theorema Een vortexlijn is een stroomlijn, maar nu voor de vorticiteit: in elk punt wijst de raaklijn in de richting van de vorticiteit ω. De badkuipvortex heeft één vortexlijn. Een vortexbuis is een verzameling vortexlijnen die door een gesloten kromme gaan. De stelling van Kelvin zegt dat in een wrijvingsloze stroming vortexlijnen hun identiteit behouden. Laat Γ de circulatie zijn van een door het snelheidsveld meegenomen vortexbuis (Fig. 3.2), Γ = u ds, C waar s(ξ,t) de parametrische voorstelling is van de rand van het oppervlak waarover we de circulatie berekenen. In de stroming verandert zowel het snelheidsveld als de rand. De materiële afgeleide van de circulatie is daarom DΓ Dt = D Dt C u ds = = = C C C Du Dt ds dξ dξ + d Ds u C dξ Dt dξ [ 1ρ ] p + g ds + u du C [ 1ρ ] p + g ds

25 Figuur 3.2: (a) Een vortexbuis is een bundel van vortexlijnen die gaan door een gesloten kromme (B). De raakvector aan een vortexlijn is de vorticiteit ω. De stelling van Kelvin drukt uit dat een vortexbuis zijn topologische identiteit behoudt. Het gevolg is dat een situatie zoals geschetst bij (b) in een wrijvingsloze stroming niet kan gebeuren. Als ρ constant is, kunnen we Du/Dt schrijven als de gradiënt van ( p/ρ + g z). Zoals we zagen in Vgl. 3.5 kan dat ook nog als ρ alléén een functie is van p. Aangezien de kringintegraal over een gradiënt verdwijnt, F ds = 0, volgt onmiddelijk de stelling C van Kelvin DΓ Dt = 0. (3.6) Het grijze oppervlak van Fig. 3.2 is op de wand van een vortexbuis geplakt. Aangezien alle vortexlijnen raken aan dat oppervlak is Γ = 0. De stelling van Kelvin zegt dat dit zo blijft, en impliceert dus dat een vortexbuis zijn topologische identiteit behoudt. Let wel, we kunnen de circulatie alleen identificeren met het impulsmoment als de rand C een cirkel is. Behoud van ciculatie is hetzelfde als behoud van impulsmoment als de cirkelvormige rand niet vervormd wordt. 3.3 Quiz 1. De hieronder getekende vaten stromen leeg door de eraan bevestigde slangetjes. Het slangetje van vat A is het langst, L A > L B. Is het juist dat vat A dan ook het langzaamst leegstroomt? 2. Getekend zijn de stroomlijnen in een tijdsonafhankelijke wrijvingsloze stroming. Is het waar dat de druk in punt A groter is dan die in punt B? 3. Kunnen we in de wrijvingsloze stroming met u = cy,v = cx de druk overal berekenen met de vergelijking van Bernoulli?