Hoofdstuk 8 - Periodieke functies

Havo B deel Uitwerkingen Moderne wiskunde Hoofdstuk 8 - Periodieke functies ladzijde 8 V-a c Na seconden = slagen per minuut ca., millivolt V-a Ja, met periode Nee Mogelijk, met periode = en amplitude - = en amplitude V-a 8 t in C 8 7 8 9 maand 8 Evenwichtsstand is T = en de amplitude is t in C 8 8 7 8 9 maand 8 77

Havo B deel Uitwerkingen Moderne wiskunde ladzijde 9 V-a Na = seconden; na = seconden meter, de amplitude c V-ac 9 8 7 h 8 g k V- De evenwichtsstand is = en het amplitude is. Omdat de grafiek door (, ) gaat en de periode is, gaat de grafiek dus in het punt ( (, ) door de evenwichtstand en heeft hij in het punt (, ) een minimum en gaat vervolgens in (, ) weer door de evenwichtstand. Naar links toe kun je dat op dezelfde manier doen. ladzijde a Voor elke zijde zijn seconden nodig dus totaal 8 seconden. De rechte lijnstukken die het vierkant vormen en de constante snelheid. 78

Havo B deel Uitwerkingen Moderne wiskunde c Een diagonaal heeft lengte 8 = dus ligt het hoogste punt op hoogte Voor t = is de hoogte. Voor t = is de hoogte Voor t = is de hoogte Voor t = is de hoogte Voor t = is de hoogte. d hoogte 8 8 8 8 7 8 tijd a De omtrek is r met r = Dus is hier de omtrek. seconden c seconden voor de hele cirkel dus Dus seconden voor 8. d deel van 8 dus 8 = e is deel van 8 en dus = ladzijde a Neem X van tot (Via Mode instellen op Degree) en neem Y van tot Plot de functie Y = sin X 9 + = en + = 8 c komt overeen met één rondgang van de stip over de cirkel. d 8 = + = 9 + = 9 + = 7 a = ( 8 ) = ( 8 ) = 7 7 + = + = 7 7 + = 97 a sin AOB = AB = h = h OB cos AOB = OA = OA = OA OB c (, ) B (, ) O A (, ) (, ) C 79

Havo B deel Uitwerkingen Moderne wiskunde d Driehoek OBC is gelijkenig met COB =, dus is de driehoek gelijkzijdig met zijde. Omdat dan AB = geldt sin = AB = e Als je spiegelt in de -as zie je dat ook sin = Met veelvouden van erij of eraf krijg je dan: ; ; ; ; 9 ; a (, ),?? (, ) (, ) O (, ) Met sin, vind je,. graden. Afgerond: graden. c 8 = 8 + = 7 8 = 9 7 + = 7 8 + = 8 ladzijde 9 7a c = = = = = 8 = 8a graden 7,9 9 8 radialen eact radialen enaderd,,78,7,7, ladzijde 9 in,7, 7 7,9 in rad,,,87 Zet je rekenmachine eerst op Radialen! a sin, 77 sin, c sin, d sin( ), 8 8

Havo B deel Uitwerkingen Moderne wiskunde a = = + = + = + = a sin =, = sin,, en,, sin = 9, = sin ( 9, ), (ligt uiten het toegestane interval), +, en (, ), c sin = = a Op [, ] zijn er twee oplossingen. Dus op [, ] zijn er oplossingen. Op [, ] zijn er twee oplossingen. Dus op [, ] zijn er oplossingen. c Geen oplossingen als c > of als c < ladzijde a,, Neem X van tot en Y van tot. sin Toppen: (,) ; (, ) ; (,) ; etc. Nulpunten: (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; etc. a De verticale assen van smmetrie zijn = en = ( = + ) De nulpunten zijn punt van smmetrie. Dus (, ), (, ) en (, ) c Omdat = 9,... passen er 9 perioden in dit interval. 8

Havo B deel Uitwerkingen Moderne wiskunde ladzijde a,, perioden Maimum voor =, =, =, =, = Minimum voor =, = = = = c Het verschil is steeds in zowel de rij van de maima als de minima. 7a sin =, = sin,,,, sin, =, 987... c 9,, + en 9,, 8a sin =, = sin (, ),, + 8, en = (, ), Bedenk dat [, ] [ 7, ;, ] =, +, 8 =, +, 9 =, + 8 8, 7 8, + 8, 7 8, +, 8, + 8, c sin = dus zijn de oplossingen = = + = = + = = + = 7 = + 8 = 9 d Plot Y = sin X en Y=, De optie CALC, Intersect geeft dan, en 9, De overige oplossingen zijn dan, + 8, en 9, + 9, 8

Havo B deel Uitwerkingen Moderne wiskunde ladzijde 9a,,,8,,,, 7 8 9,,,8,, c De vorm is dezelfde alleen is er sprake van een horizontale verschuiving. ±, ±, ±, ±, ±, ±,.. a Bart heeft gelijk. naar rechts of naar rechts of. naar links of naar links of. a = + = + 8 = 9 + = ladzijde 7 a c perioden De assen van smmetrie zijn de verticale lijnen door de toppen. =, =, =, = en = =, = en = a Plot Y = cos X en Y=, CALC, Intersect geeft, 77 of 77, Smmetrie in de -as. c + 77, 9, of 77, 9, d Op elk interval met lengte zijn er twee oplossingen. Dus zijn er oplossingen op[, ]. 8

Havo B deel Uitwerkingen Moderne wiskunde a,,,8,,,,,,,8,, 7 8 9 snijpunten (, )?? (, ) (, ) O (, ) sin PQ = = = OP c,, en en cos OQ = = = OP a cos = 7, cos = cos, 88..., 87 of, 87, 7 of +, 87 7, Geen oplossing want cos c sin = 99, sin sin, 9 Geruik smmetrie om, 7 en, 8 te vinden. d cos = 9, cos = cos, 8 Geruik smmetrie om 9, 9,, 87,, 9 en, 8 te vinden. 8

Havo B deel Uitwerkingen Moderne wiskunde a,,,8,,, 7 8 9,,,,8,, cos = cos = cos cos = cos =± ± veelvoud van =, =, = =, =, = c cos = cos = cos =± ± veelvoud van =, =, =, = ladzijde 8 7a?? De grafiek van g ontstaat uit de grafiek van f door de afstand van elk punt op de grafiek van f tot de -as met te vermenigvuldigen. 8

Havo B deel Uitwerkingen Moderne wiskunde,????, De grafiek van h ontstaat uit de grafiek van f door alle afstanden van punten van f tot de -as door te delen. c f() h(),,,9,,,,9,, 7,9,,,,9,, d f( ) = sin = en h( ) = sin( ) = sin = e f( ) = sin = en h( ) = sin( ) = sin = = ladzijde 9 8a Amplitude f is Amplitude g is Amplitude h is Periode f is 9a Periode g is = Periode h is = De afstanden tot de -as worden keer zo klein. Ook de periode wordt keer zo klein. De afstanden tot de -as worden keer zo groot. Ook wordt de periode keer zo groot. 8

Havo B deel Uitwerkingen Moderne wiskunde c periode a Amplitude van f is en de periode is. 7 8 9 7 8 9 Amplitude g is en de periode is, = a Amplitude f is en periode f is = Amplitude g is en periode g is = Amplitude h is en periode h is = f () = cos g () = sin h () = cos a Dit komt overeen met één periode, dus 7,,... Dus met uur en, 7 minuten. Plot de grafieken van Y=, 8sin, X en Y=, CALC, Intersect geeft,9 en,8 Het verschil is dan,. Dus uur en, minuten c Alleen de evenwichtsstand komt, hoger te liggen. 87

Havo B deel Uitwerkingen Moderne wiskunde ladzijde a Periode, =,,,8,,,,,,,8,, 7 8 9 7 8 9 Twee oplossingen. c CALC, Intersect geeft, en 8, 799 d = e oplossingen f 88, ;, ladzijde a cos = cos = cos =± ± veelvoud van =± ± veelvoud van Alleen = voldoet. Plot de grafieken van Y= cos, X en Y=, Aflezen en het resultaat van de vorige opdracht geruiken geeft [, ]. c Plot Y= cos, X en lees af:, ] a Plot Y= cos X en Y=, 7 CALC, Intersect geeft o.a., Met smmetrie en periode en aflezen vind je de intervallen: [ ;,, 78, ;, en, 9; ] Plot Y= cos( X / ) en Y=, CALC, Intersect geeft, 7 Met smmetrie en periode en aflezen vind je, 7; ] c Voor elke waarde van geldt dat sin, < Dus is de oplossing [, ]. 88

Havo B deel Uitwerkingen Moderne wiskunde a De grafiek van f ontstaat uit die van g door vermenigvuldiging met ten opzichte van de -as gevolgd door een vermenigvuldiging met ten opzichte van de -as. De nulpunten van = cos zijn,,,, Als je deelt door dan krijg je: =, =, =, = c cos = cos = cos = cos =± ± veelvoud van =± ± veelvoud van Op [, ] geeft dit = en = 7a = Dan moet =, dus = c Dan moet =, dus =, d De vergelijking sin = heeft twee oplossingen per periode. De periode is, Op het interval [, ] zijn er, = oplossingen. 8a???? 7 sin = 8, sin sin, 97 sin sin, 97 9, Met smmetrie vind je ook de oplossingen 7, en, c Plot Y = cos X en Y=, CALC, Intersect en geruik van smmetrie en periode geeft: 7,, 7,,, en 7, Aflezen geeft vervolgens de intervallen[ ;, 7 ], [ 7, ;, ] en[ 7, ; 8 ]. d Plot Y = sin X en Y= cos X CALC, Intersect en aflezen geeft:, ;, en, ; 7, 9 9a = Plot Y= sin( X / ) en Y=, 7 CALC, Intersect en smmetrie en periode geeft: t 8, ; t, ; t 8, ; t, 89

Havo B deel Uitwerkingen Moderne wiskunde c Plot Y= sin( X / ) en Y=, 7 CALC, Intersect geeft t, en t, 9 Verder is, 9, =, 9 De uitwijking kan naar links en naar rechts meer dan cm afwijken. Per periode is de afwijking gedurende, 9 = 8, seconde groter dan cm. d Dit is 8, % = % van de periode. = 8, = ut () = 8sin t ladzijde a Amplitude a = en periode = sin = sin =, sin sin,, ± veelvoud of, ± veelvoud, ± veelvoud van of 8, ± veelvoud van Plotten en aflezen op [, 8 ] geeft de intervallen:[ ;,, 8, ;, en, 8; 8] c I : a = en periode = periode = en = = II: a = en periode = periode = en = = III: a = en periode = periode = en = = a,, Periode en amplitude Een nulpunt van p en q is ook nulpunt van f. c f () = sin d,,,, e Omdat f () = sin de maimale waarde heeft. f sin =, sin =,, ± veelvoud van of, ± veelvoud van 9, ± veelvoud van of 7, ± veelvoud van

Havo B deel Uitwerkingen Moderne wiskunde g (sin ) = sin = of sin = = ± veelvoud van of = ± veelvoud van Je kunt deze twee rijen oplossingen comineren tot = ± veelvoud van ladzijde a De periode is, = ms De amplitude is, = Volt De frequentie, Hz, = ms en dus is er -de deel te zien. c Je moet ms verdelen over hokjes, dus, ms per hokje. d???????,,,??? e Zie figuur hieroven. Hz etekent dat de periode =, seconde is, dus ms. a trillingen per seconde dus is de periode, en is = =, ft () = sin t De periode is = en dus is de frequentie. c kt () = sin t d,,,,8 De maimale waarde,97 vind je met TRACE. e De periode van f is en de periode van g is De periode van de som is het kleinste gehele veelvoud van deze eide perioden. Maak twee rijen, veelvouden van en van dan zie je dat =, en =, als eerste in eide rijen gemeenschappelijk voorkomt. Dus is, de periode van h. f De periode van h is het KGV (kleinste gemeenschappelijke veelvoud) van de perioden van f en g. 9

Havo B deel Uitwerkingen Moderne wiskunde ladzijde I-a Amplitude is en de periode is De evenwichtsstand is = (, ), (, ),(, ),(, ) en (, ) c Maimale waarde voor = en voor = Minimale waarde voor = en = d Amplitude en periode De evenwichtsstand is = (, ), (, ),(, ),(, ) en (, ) Maimale waarde voor = en voor = Minimale waarde voor = en = e De amplitude van g is twee keer de amplitude van f, de perioden zijn gelijk en ij de toppen horen dezelfde -waarden. Ook zijn de nulpunten dezelfde. f Alleen de amplitude verandert, wordt groter. Daardoor liggen de toppen verder van de -as. g Alleen de amplitude verandert, wordt kleiner. Daardoor liggen de toppen dichter ij de -as. I-a Amplitude h is, de periode is en de evenwichtsstand is = (, ), (, ), (, ),(,), (, ),(,), (, ), (, ) en (, ) c Maimum voor =, =, = en = Minimum voor =, =, = en = d De grafiek van h ontstaat uit de grafiek van f door horizontale krimp met factor. Alle afstanden van de punten tot de -as worden twee keer zo klein. e De krimp is sterker naarmate toeneemt. f Dan wordt de grafiek horizontaal uitgerekt met factor > ladzijde I-a Amplitude en periode = Amplitude 8 en periode c Amplitude en periode = d Amplitude en periode = e Amplitude en periode = f Amplitude, en periode, = I-a ) = sin ) = cos ) = sin ) = sin ) = cos ) = cos 9

Havo B deel Uitwerkingen Moderne wiskunde 7) = sin 8) = 7cos, 9) = sin ) =, sin I-a g () = sin h () = sin De amplitude is dan en de periode is dan = I-a Dit komt overeen met één periode, dus 7,,... Dus met uur en, 7 minuten. Plot de grafieken van Y=, 8sin, X en Y=, CALC, Intersect geeft,9 en,8 Het verschil is dan,. Dus uur en, minuten c Alleen de evenwichtsstand komt, hoger te liggen. I-7a Vermenigvuldig alle afstanden tot de -as met en spiegel in de -as. Spiegelen in de -as. c De grafiek van = cos is smmetrisch in de -as dus geldt cos( ) = cos De grafiek van = sin is puntsmmetrisch in (, ) dus geldt sin( ) = sin ladzijde 8 T-a Controleer of aan de stelling van Pthagoras wordt voldaan: OA + AB = OB ( ) + ( ) = + = + = sin = AB = = OB Teken in de eenheidscirkel de genoemde hoeken. Door te spiegelen in de assen kun je dan de volgende waarden vinden: sin = sin = sin( ) = T- a in graden 9 7 a in radialen 8 = 8 = = 8 9, = = 8, 8 7, 9

Havo B deel Uitwerkingen Moderne wiskunde T-a Geruik smmetrie om naast = ook = te vinden = + = en = + = c = + = en = + = en = + = en = + = T-a,, (, ) en (, ) c (, ) en (, ) T-a f: amplitude en periode = periode = g: amplitude en periode h: amplitude en periode f () = sin want = g () = sin h () cos = ladzijde 9 T-a Plot Y= sin, X en Y=, 8 CALC, Intersect en smmetrie geeft: 8, en, Plot Y= cos X en Y= / CALC, Intersect en smmetrie geeft:,, 7,,,, 7,,, en 8, c Plot Y= sin, X en Y=, CALC, Intersect en smmetrie en aflezen van de ongelijkheid geeft: 7, ;, en, ;, 8 d Plot Y = sin X en Y= cosx CALC, Intersect en smmetrie en aflezen van de ongelijkheid geeft:, ;, T-7a Amplitude en periode =,, = ut () = sin t c Plot Y= sin X en Y=, 8 CALC, Intersect en smmetrie geeft: t, 7 ; t, 7 Bedenk dat de uitwijking naar eide kanten meer dan mm kan zijn. t t Uit =,, 8 periode, Dus ruim % 9

Havo B deel Uitwerkingen Moderne wiskunde T-8a Maimale daglengte is 9 uur in week. Voor t = en voor t = 7 is de daglengte overal uur. Rond maart en rond septemer is dit het geval. c Dan gaat de grafiek van d stijgend door de evenwichtswaarde. d,, 79 dus afgerond,. 7 e De amplitude voor NB is, 7 =, 7 dus is a = 7, f dt ()= aflezen geeft t 8, en t 7, Daglengte uur op NB op 8, weken na maart en 7, weken na maart. T-9a,, f () = cos Q( Q, Q ) = O P( P, P ) A c Bij spiegelen in de lijn = zijn de punten P en Q elkaars spiegeleeld. Dan geldt = en = P Q P Q Verder geldt: als AOP = dan is AOQ = Dan is sin( ) = = = cos Q P,, g () = sin want cos( ) = = = sin Q P 9