TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEI\ Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Basiswiskunde, 2DL03, woensdag 13 april 2011, 9.00 12.00 uur. Ceef op bet eerste ye! met uitwerkingen aan welk programma (Schakeiprogramma of TU/e-minor) u volgt. Het tentamen bestaat uit 12 opgaven. De antwoorden en uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd en over zichtelijk opgeschreven te worden. U mag géén gebruik maken van een laptop, een grafische of programmeerbare rekenma chine, een formulekaart, boeken en ander schriftelijk materiaal. U mag een eenvoudige rekenmachine alleen ter controle gebruiken. 1. Beschouw de functie f gegeven door f(x) = x2 + 4 Bepaal de plaats en de aard van de extrema van de functie I. Ceef bet dornein D(f) en bet bereik R f) van de functie f Schets de grafiek van f. 2. Differentieer de u tdrukking arctan V x2 1 naar x en vereenvoudig het resultaat. Notatie: arctan = tant 3. Bepaal de ilmiet urn 2 x x I x 1 4. Bepaal alle oplossingen x van de ongelijkheid x > 5. Bepaa! alle oplossingen z van de vergelijking cosfr) = cos2(x) sin2cr). I 1 e~, x<o. 6. De functie f is gegeven door f(x) <~, ~ > ~ (a) Laat zien dat de functie f eenduidig (one-to-one) is. (b) Bepaal de inverse f~ van de functie f. 7. (a) Bepaal alle exacte x waarvoor geldt dat sin(arctan(x)) = (b) Vereenvoudig de uitdrukking sin(arctan(x)). Notatie: arctan tan zie volgende pagina
Tentamen Basiswiskunde, 2DL03, woensdag 13 april 2011, 9.00 12.00 uur 1 8. Beschouw de functie f met f(x) voor z > 0. (a) Geef de linearisatie van de functie f rond het punt a = 4. (b) Geef een benadering voor ~/_. met behulp van de linearisatie uit onderdeel (a). (c) Is de benadering uit onderdeel (b) groter dan ~? 9. Beschouw de functies f met f(x) ln(1 + x) en g met g(x) = In(1 + x2). (a) Geef het Taylorpolynoom van f van de orde 4 rond het punt a = 0. (b) Geef het Taylorpolynoom van g van de orde 4 rond het punt a = 0. ~ tan(x) 1 10. Beschouw de integraal J~ =. dx Jo (tan2(x) + 3)2 cos2(x) (a) Herschrijf de integraal 1o met behuip van de substitutie u = tan2(x) + 3. (b) Bereken de integraal 1o~ f 11. Bereken de integraal x2 ln~(x) dx. f 12. L~t zien dat V9x2 + x8 dx > zonder de integraal zeif uit te rekenen. zie volgende pagina
Tentarnen Basiswiskunde, 2DL03, woensdag 13 april 2011, 9.00 12.00 uur Voor de onderdelen van de opgaven kunnen de volgende aantallen punten worden behaald: Opgave 1: 3 punten Opgave 6b: 2 punten Opgave 9a: 2 punten Opgave 2: 3 punten Opgave 7a: 2 punten 9b: 2 punten Opgave 3: 3 punten 7b: 2 punten Opgave loa: 2 punten Opgave 4: 3 punten Opgave 8a: 2 punten Opgave lob: i punt Opgave 5: 3 punten 8b: 1 punt Opgave 11: 3 punten Opgave 6a: 2 punten 8c: 1 punt Opgave 12: 3 punten Het cijfer voor het tentamen wordt bepaald door het totaal der behaalde punten van dit gedeelte door 4 te delen en tot een geheel getal af te ronden.
EINDHOVEN UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Department of Mathematics and Computer Science Examination Basic Mathematics, 2DL03, Wednesday 13 April 2011, 9.00 12.00 uur. Write clearly the program (Pre-master program or TU e-minor) you are following on the first page of your work. The exam consists of 12 problems. The answers and the computations should be written out well-formulated and wellorganized. It is not allowed to use a laptop, graphical or programmable calculator, chart with for mulas, a book or other written material. You may use a simple calculator simply and solely to check your answers. 1. The function f is defined by f c~ x2 + 4 Locate and classify the extreme values of the function f. Find the domain D(f) and the range RU) of the function f. Sketch the graph of f. 2. Differentiate the expression arctan(vt x2 1) with respect to x and simplify the result. Notation; arctan = tant. 3. Determine the limit lim 2 x x.i x 1 4. Find all x which satisfy the inequality x> X x+1 5. Find all solutions x of the equation cos(x) = cos2(x) sin2(x) 6. The functionf is defined by f(x) (a) Show that the function f is one-to-one. (b) Find the inverse f of the function f. { ~ 1 ~ 7. (a) Find all exact x that satisfy sin(arctan(. )) = (b) Simplify the expression sin(arctan(x)). Notation; arctan = tan see next page
Examination Basic Mathematics, 2DL03, Wednesday 13 April 2011, 9.00 12.00 uur 8. Consider the function f which is defined by f(x) = for all x> 0. a) Find the linearization of the function f about the point a = 4. b) Find an approximation for using the linearization from part (a c Is the approximation from part (b) greater than 392 9. Consider the functions f and g which are defined by f(x) = ln(1 + x) and by g(x) = ln(1 + x2). (a) Determine the Taylor polynomial for f of the order 4 about a = 0. (b) Determine the Taylor polynomial for g of the order 4 about a = 0. ~ tan(x) 1 10. Consider the integral I~ = I. dx Jo (tan2(x) + 3)2 cos2(x) (a) Transform the integral k with the aid of the substitution u = tan2(x 3. (b) Compute the integral J~. 11. Compute the integral f x2 1n2(x) dx. 12. Show that V9x2 + x8 dx> is true without computing the integral itself. see next page
Examination Basic Mathematics, 2DL03, Wednesday 13 April 2011, 9.00 12.00 uur The division of the points over the problems is as follows: Problem 1: 3 points Problem 6h: 2 points Problem 9a: 2 points Problem 2: 3 points Problem 7a: 2 points 9b: 2 points Problem 3: 3 points 7b: 2 points Problem loa: 2 points Problem 4: 3 points Problem 8a: 2 points Problem lob: 1 point Problem 5: 3 points 8b: 1 point Problem 11: 3 points Problem 6a: 2 points 8c: 1 point Problem 12: 3 points The mark for the examination is obtained by dividing the total of scored points by 4 and rounding off to an integer.
Taylor Polynomials Function Taylor polynomial plus 0-term 1 + ± Zn + 72! cos(x) 1_~x2+~x4+...+\ I 4 (2n)! sin(x) ( l)~x2~ Z ~x~+~x~++ (21) +O(x2~2) 1 1+x 12 1 ln(1+x) x ~x +ax3+.+ x ~1 +O(x 42) ii+ 1 1 1 + x2 arctan(x) 1~ ~ + (2n+1)? (an IaN (1 x)a 1+1 I x+ i I I I xn1+o(xh1+j \1J ~2) \nj All Taylor polynomials are polynomials around the point 0. The binomial coefficients are defined by (a~ a (a i)~ (a 2 a k i)) k=i,2,3,... k) 1 2 3 k IaN I 1 ~o)
Integral Table g(x) a, f(x) 0 1 f g(x)dx xfl+i ii+ 1 in (lxi) ln(if(x)i) sin(x) cos(x) a > 0, a ~ 1 a ln(a) cos(x) sin(x) sin1(x) cos2(x) tan(x) sin(x) cos(x) eal~ sin(bx), a2 + b2 > 0 e cos(bx), a2 + b2 > 0 >0 tan (x) in(i cos(x)i) mu tan(~)i) mu tan(~ + ~) ~ (asin(bx) bcos(bx)) ~ (acos(bx) + bsin(bx)) 1 arctan(~) >0 a > 0 >0 x2. a> 0 Va2 + x2, a> 0 a2,a> 0 sinh(x) cosh(x) tanh x) arcsin(~) ln(x +./x2 + a2) mix + ~/x2 a2) ~ Va~ x2 + ~ arcsin(~) ~ Va2 + x2 + ~ ln(x + \/x2 + a2) ~Vx2_a2+c ln(~x+v ~ _a2~) cosh(x) sinh(x) ln(cosh(z)) Remarks All parameters are real numbers. The constants of integration have been omitted.