Examination cover sheet

Transcriptie

1 Examination cover sheet to be completed by the examiner Course name: Calculus B Course Code: WBB Date: Start time: 9:00 End time : :00 Number of pages: 7 Number of questions: 0 Maximum number of points/distribution of points over questions:50 Method of determining final grade: divide total of points by 5 Answering style: MC and open questions Exam inspection: With your tutor Other remarks: Read the information on page Instructions for students and invigilators Permitted examination aids (to be supplied by students): Pen and paper Important: examinees are only permitted to visit the toilets under supervision it is not permitted to leave the examination room within 5 minutes of the start and within the final 5 minutes of the examination, unless stated otherwise examination scripts (fully completed examination paper, stating name, student number, etc.) must always be handed in the house rules must be observed during the examination the instructions of examiners and invigilators must be followed no pencil cases are permitted on desks examinees are not permitted to share examination aids or lend them to each other During written examinations, the following actions will be deemed to constitute fraud or attempted fraud: using another person s proof of identity/campus card (student identity card) having a mobile telephone or any other type of media-carrying device on your desk or in your clothes using, or attempting to use, unauthorized resources and aids, such as the internet, a mobile telephone, etc. using a clicker that does not belong to you having any paper at hand other than that provided by TU/e, unless stated otherwise visiting the toilet (or going outside) without permission or supervision Associated with the Central Examination Regulations

2 Voorblad bij Tentamen in te vullen door de examinator Vaknaam: Calculus B Code: WBB Datum: Begintijd: 9:00 Eindtijd: :00 Aantal pagina s: 7 Aantal vragen: 0 Aantal te behalen punten/normering per vraag: 50 Wijze van vaststellen eindcijfer: aantal punten delen door 5 Wijze van beantwoording vragen : MC en open vragen Inzage: Bij je tutor Opmerkingen: Lees de aanwijzigingen op pagina 5 Instructies voor studenten en surveillanten Toegestane hulpmiddelen (mee te nemen door student): Pen en papier Let op: toiletbezoek is alleen onder begeleiding toegestaan binnen 5 minuten na aanvang en 5 minuten voor het einde mag de tentamenruimte niet worden verlaten, tenzij anders aangegeven er dient altijd tentamenwerk (volledig ingevuld tentamenpapier: naam, studentnummer e.d.) te worden ingeleverd tijdens het tentamen dienen de huisregels in acht te worden genomen aanwijzingen van examinatoren en surveillanten dienen opgevolgd te worden etui ligt niet op tafel onderling worden geen hulpmiddelen geleend/uitgewisseld Tijdens het maken van schriftelijke tentamens wordt onder (poging tot) fraude in ieder geval verstaan gebruik van andermans ID-bewijs/campuskaart mobiele telefoon of enige andere media dragende devices liggen op tafel of zijn opgeborgen in de kleding (poging tot) gebruik van ongeoorloofde bronnen en hulpmiddelen, zoals internet, mobiele telefoon e.d. het gebruik van een clicker die niet je eigen clicker is ander papier voor handen hebben dan door de TU/e is verstrekt, tenzij anders aangegeven toiletbezoek (of naar buiten lopen) zonder toestemming of begeleiding Behorende bij regeling centrale tentamenafname TU/e

3 English version: pages -3 formulas on page 4 Nederlandse versie: pagina 5-7 formules op pagina 4 Eindhoven University of Technology Department of Mathematics and Computer Science Exam Calculus B (WBB) Monday November, 05, 9:00-:00 Please detach this sheet from the rest of the exam paper. Make sure to fill out your name etc. on this sheet and on all other sheets that you hand in. Scratch paper must not be handed in. The exam consists of 5 multiple-choice and 5 open exercises. The backside of this sheet contains the multiple-choice questions -5. You are required to circle the correct answer. If you wish to change your answer: clearly indicate what your final choice is. The solutions to the open problems 6-0 should be motivated, formulated clearly and arranged orderly. You can give your answers in English or in Dutch. The maximum score for the exam is 50 points, where 4 points can be earned for each of the multiple-choice questions. The points for each of the open exercises are specified within the exercises. The final grade for the exam WBB is obtained by dividing the total score by 5 and rounding it to one decimal place. The final grade for the entire course WBB0 is determined according to the rules clearly stated in the study guide. Use of laptops, calculators, books, or written material, is not allowed. Surname and initials Identity number Faculty Tutor Tutor group

4 . The function f : R R defined by sin(x) x π f(x) = b for x = π x+a π for x > π for x < π is continuous. What are the values of a and b? (a) a = 0 and b = (b) a = 0 and b = (c) a = π and b = (d) a = π and b =. For x > 0 the function f is given by f(x) = x 4 (a) f (x) = sin(x ) sin(x) (b) f (x) = sin(x ) x (c) f (x) = 4x 3 sin(x ) x sin(x) x sin( t)dt. What is its derivative? sin(x) x (d) f (x) = x sin(x ) sin(x) 3. The function f : (0, ) R is given by f(x) = arctan(ln(x)). The function f is invertible. For x in the range of f we have (a) f (x) = tan(e x/ ) (c) f (x) = etan(x) (b) f (x) = tan( ex ) (d) f (x) = e tan(x)/ 4. The line l is tangent to the curve given by the equation x + xy + y = 4 at the point (3, ). What is an equation for the line l? (a) y = 4 x (b) y = 7 (x 3) (c) y = x (d) y = 7 (x 3) 6 5. What is the distance of the point (,, ) to the plane with vector equation x 0 y = 0 + λ + µ z (a) 3 (b) 5 (c) 3 (d)

5 6. The function f : (, ) (, ) R is given by f(x) = (x + ) x. (a) Show that f (x) = x x 3 (x ). ( points) (b) Find all extreme values of f and determine their nature. (that is local/global maximum/minimum) (c) Sketch the graph of f. (No explanation needed.) 7. The function f : (0, ) R is defined by (a) Show that f (x) = (b) Prove that f has an inverse. f(x) = x + arctan(x). (3 points) ( point) (x + ). ( points) ( + x )(x + arctan(x)) ( points) (c) Let g be the inverse of f. Determine g ( 4 ). ( points) 4+π 8. Determine the limits sin(x ) x (a) lim. (3 points) x 0 cos(x 3 ) (b) lim x x 4x x 5x. 9. Determine (3 points) (a) (b) 0 ( + x) ln( + x)dx. (3 points) x + x 3 x dx. (3 points) 0. Solve the following differential equation with given initial value: x dy dx + y = xex + and y() = 0. (6 points) 3

6 Primitieven / Antiderivatives (zonder/without +C ) f(x) f(x) dx f(x) f(x) dx x n x, n n+ n+ cos(x) sin(x) ln( x ) x cos (x) tan(x) e x e x x arcsin(x) a x, a > 0, a arccos(x) a x ln(a) x sin(x) cos(x) +x arctan(x) Taylorpolynomials rond/around x = 0 Function Taylorpolynomial plus O-term e x + x + x + + n! xn + O(x n+ ) cos(x) x + 4 x4 + + ( )n (n)! xn + O(x n+ ) sin(x) x 6 x3 + 0 x5 + + ( )n x n+ + O(x n+3 ) (n + )! x + x + x + + x n + O(x n+ ) ln( + x) arctan(x) x x + 3 x3 + + ( )n n x n + O(x n+ ) x 3 x3 + 5 x5 + + ( )n n + xn+ + O(x n+ ) Goniometrische identiteiten / Trigonometric identities sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) cos(x + y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) sin (x) = cos(x) cos (x) = + cos(x) Vectoren / Vectors Let a = a a a 3 and b = b b b 3 be vectors in R 3. Inproduct / Inwendig product / Inner product / Dot product: a b = a b + a b + a 3 b 3 Uitproduct / Uitwendig product / Cross product / Vector product: a b 3 a 3 b a b = a 3 b a b 3 a b a b 4

7 English version: pages -3 formulas on page 4 Nederlandse versie: pagina 5-7 formules op pagina 4 Technische University Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Calculus B (WBB) Maandag november, 05, 9:00-:00 Maak dit vel los van de rest van het tentamen. Vul uw naam etc. in op dit vel en op alle gelinieerde bladen die u inlevert. Dit vel moet samen met uw uitwerkingen aan het eind worden ingeleverd. Kladpapier hoeft u niet in te leveren. Het tentamen bevat 5 meerkeuzevragen en 5 open vragen. De achterkant van dit vel bevat de meerkeuzevragen -5. Bij deze vragen hoeft u alleen het juiste antwoord te omcirkelen. Indien u uw antwoord wilt veranderen: geef duidelijk aan wat uw uiteindelijke keuze is. De uitwerkingen van de open opgaven 6-0 dienen duidelijk geformuleerd en geordend opgeschreven te worden. Ieder antwoord dient onderbouwd te worden. De maximale score voor het tentamen is 50 punten, voor de meerkeuzevragen 4 punten, en voor de overige vragen het aantal punten dat bij de vraag staat aangegeven. Het cijfer voor dit tentamen WBB wordt bepaald door het aantal behaalde punten door 5 te delen en dat tot op één cijfer na de komma af te ronden. Het eindcijfer voor het vak WBB0 wordt vastgesteld aan de hand van de procedure beschreven in de studeerwijzer. U mag geen gebruik maken van laptop, rekenmachine, boek of schriftelijk materiaal. Achternaam en initialen Identiteitsnummer Opleiding Tutor Tutorgroep 5

8 . De functie f : R R gedefiniëerd door sin(x) voor x > π x π f(x) = b voor x = π voor x < π x+a π is continu. Wat zijn de waarden van a en b? (a) a = 0 en b = (b) a = 0 en b = (c) a = π en b = (d) a = π en b =. Voor x > 0 is de functie f gegeven door f(x) = x 4 (a) f (x) = sin(x ) sin(x) (b) f (x) = sin(x ) x (c) f (x) = 4x 3 sin(x ) x sin(x) x sin( t)dt. Wat is haar afgeleide? sin(x) x (d) f (x) = x sin(x ) sin(x) 3. De functie f : (0, ) R is gegeven door f(x) = arctan(ln(x)). Deze functie f is inverteerbaar. Voor x in het beeld van f geldt (a) f (x) = tan(e x/ ) (c) f (x) = etan(x) (b) f (x) = tan( ex ) (d) f (x) = e tan(x)/ 4. De lijn l raakt de kromme met vergelijking x + xy + y = 4 in het punt (3, ). Wat is een vergelijking voor de lijn l? (a) y = 4 x (b) y = 7 (x 3) (c) y = x (d) y = 7 (x 3) 6 5. Wat is de afstand van het punt (,, ) tot het vlak met parametervoorstelling x 0 y = 0 + λ + µ z (a) 3 (b) 5 (c) 3 (d) 6

9 6. De functie f : (, ) (, ) R is gegeven door f(x) = (x + ) x. (a) Laat zien dat f (x) = x x 3 (x ). ( punten) (b) Vind alle extreme waarden van f en bepaal hun aard. (d.w.z., geef aan of het locale/globale maxima/minima zijn) (c) Schets de grafiek van f. (Uitleg is niet nodig.) 7. De functie f : (0, ) R is gegeven door (a) Laat zien dat f (x) = f(x) = (b) Bewijs dat f een inverse heeft. x + arctan(x). (3 punten) ( punt) (x + ). ( punten) ( + x )(x + arctan(x)) ( punten) (c) Zij g de inverse van f. Bepaal g ( 4 ). ( punten) 4+π 8. Bepaal de limieten sin(x ) x (a) lim. (3 punten) x 0 cos(x 3 ) (b) lim x x 4x x 5x. 9. Bepaal (3 punten) (a) (b) 0 ( + x) ln( + x)dx. (3 punten) x + x 3 x dx. (3 punten) 0. Los de volgende differentiaalvergelijking op met de gegeven beginvoorwaarde: x dy dx + y = xex + en y() = 0. (6 punten) 7