Wiskunde voor 1 havo/vwo

Wiskunde voor 1 hvo/vwo Deel 2 Versie 2013 Smensteller

2013 Het uteursreht op dit lesmteril erust ij Stihting Mth4All. Mth4All is derhlve de rehtheende zols edoeld in de hieronder vermelde retive ommons lientie. Het lesmteril is met zorg smengesteld en getest. Stihting Mth4All nvrt geen enkele nsprkelijkheid voor onjuistheden en/of onvolledigheden in de module. Ook nvrden ze geen enkele nsprkelijkheid voor enige shde, voortkomend uit (het geruik vn) dit lesmteril Voor deze module geldt een Cretive Commons Nmsvermelding-Niet-ommerieel 3.0 Nederlnd Lientie. (zie http://retiveommons.org/lienses/y/3.0). Dit lesmteril is open, grtis en vrij toegnkelijk lesmteril fkomstig vn www.mth4ll.nl en is speil ontwikkeld voor het vk wiskunde in het voortgezet onderwijs. Het lesmteril op de wesite www.mth4ll.nl is fgestemd op kerndoelen wiskunde, tussendoelen wiskunde en eindtermen voor de vkken wiskunde A, B en C. Dit lesmteril is mediumneutrl ontwikkeld en op diverse mnieren te ekijken en te geruiken. Voor informtie en vrgen kunt u ontt opnemen vi info@mth4ll.nl. Ook houden we ons ltijd nevolen voor suggesties, vereteringen en/of nvullingen.

Inhoud Voorwoord 3 1 Hoeken 5 1.1 Hoeken 6 1.2 Hoeken meten 12 1.3 Hoeken tekenen 19 1.4 Gelijke hoeken 25 1.5 Hoeken erekenen 31 1.6 Totleeld 36 2 Negtieve getllen 41 2.1 Wt is negtief? 42 2.2 Negtieve getllen optellen 48 2.3 Negtieve getllen ftrekken 54 2.4 Negtieve getllen vermenigvuldigen 61 2.5 Negtieve getllen delen 67 2.6 Totleeld 72 3 Grfieken 77 3.1 Glole grfieken 78 3.2 Grfieken flezen 86 3.3 Grfieken tekenen 94 3.4 Som- en vershilgrfiek 100 3.5 Mximum en minimum 106 3.6 Periodieke grfieken 114 3.7 Totleeld 121 4 Kijkmeetkunde 127 4.1 Kijklijnen 128 4.2 Kijkhoeken 136 4.3 Anzihten 142 4.4 Bouwtekeningen 150 4.5 Perspetief 152 4.6 Totleeld 158 5 Vernden 165 5.1 Vernden 166 5.2 Formules 172 5.3 Vn formule nr grfiek 178 5.4 Kort mr krhtig 184 5.5 Vergelijkingen 191 5.6 Totleeld 198 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 1

6 Digrmmen 203 6.1 Shem's 204 6.2 Afstndstellen 213 6.3 Gemiddelden 220 6.4 Frequentietellen 225 6.5 Digrmmen 233 6.6 Steellddigrm 242 6.7 Cirkeldigrm 247 6.8 Totleeld 254 Register 260 PAGINA 2 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

Voorwoord Het lesmterl in dit oek is geseerd op het mteril dt je kunt vinden op de wesite www.mth4ll.nl. In de tekst stn dn ook regelmtig verwijzingen nr die wesite. Wr je preies moet zijn op die wesite kun je zien in de kopregel vn iedere pgin. Bij estudering vn het lesmteril kom je in de tekst ook nwijzingen tegen. Je ziet dn ijvooreeld in de tekst: Bekijk eerst: www.mth4ll.nl > 1/2 HAVO/VWO > Afstnden > Toepssen Je kunt met de muis elk deel vn de wereld ekijken en er op inzoomen. Als zo n nwijzing in een opgve stt, kun je die opgve wrshijnlijk lleen mr mken ls je inderdd op de wesite het gekeken. Ieder hoofdstuk estt uit een ntl prgrfen en wordt steeds fgesloten met een prgrf Totleeld wr de leerstof wordt smengevt en/of herhld. Iedere prgrf is ingedeeld in vste rurieken die houvst geven ij de estudering vn het lesmteril. > Verkennen > Uitleg > Theorie en Vooreelden > Verwerken > Toepssen Indien er in het lesmteril wordt verwezen nr werklden dn kun je deze terugvinden op de wesite. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 3

PAGINA 4 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

1Hoeken Hoeken 6 Hoeken meten 12 Hoeken tekenen 19 Gelijke hoeken 25 Hoeken erekenen 31 Totleeld 36

1.1 Hoeken Verkennen Opgve 1 Hier zie je de plttegrond vn een pprtement in een fltgeouw. Hij stt ook op het werkld. Er zijn nogl wt kmers die niet de vorm vn een rehthoek heen. d e f Welke kmers heen de vorm vn een rehthoek? De hoyruimte heeft twee rehte hoeken. Geef die met een rehte hoek teken n. De hoyruimte heeft ook twee hoeken die niet reht zijn. Eén vn eide noem je sherp en de ndere stomp. Zet een tekentje in de sherpe hoek. Op welke shl is deze tekening gemkt? In de hoyruimte moeten vierknte plvuizen vn 40 m ij 40 m op de vloer komen. Teken de hoyruimte n en teken in je figuur de plvuizen. Hoeveel plvuizen moeten in de juiste vorm worden geslepen? Uitleg Iedere hoek heeft een hoekpunt en twee enen. Bij het hoekpunt zet je een hoofdletter. In de hoek zet je een oogje. De nm vn de hoek is: hoek A. In plts vn hoek A shrijf je ook wel A. In een ingewikkelde figuur geruik je meestl drie letters om een hoek n te geven. De middelste letter hoort dn ij het hoekpunt. In deze figuur is BAC door een oogje ngegeven. PAGINA 6 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

Opgve 2 Deze vierhoek stelt een op mt geslepen vloertegel voor. Er zijn vier hoeken. Welke vn deze vier hoeken is reht? Welke enen heeft B? Welke hoeken zou je kleiner noemen dn de rehte hoek? Opgve 3 Teken de figuur in de Uitleg op pgin 6 n. (Hij hoeft niet preies hetzelfde te zijn, mr wel ongeveer die vorm heen.) d Wrom moet je de hoeken ij A met drie letters ngeven? Shrijf eide hoeken ij A met drie letters op. Zijn ze gelijk, denk je? Wrom is dt voor C niet noodzkelijk? Zet een sterretje in ADE en een rondje in AED. Welke vn eide lijkt je groter? Theorie en vooreelden Vooreeld 1 De enen vn hoek B stn verder uit elkr dn de enen vn hoek A: B > A. Hoek C is gelijk n hoek A, lleen de enen zijn korter: C = A De lengten vn de enen vn de hoek heen geen invloed op de grootte vn de hoek. (Eigenlijk heen die enen heleml geen lengte, het zijn hlve lijnen die in het hoekpunt eginnen mr oneindig ver doorlopen.) STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 7

Opgve 4 Hier zie je de vierhoek vn opgve 2 op pgin 7 nog eens. Welke hoek is het grootst? Welke hoek is het kleinst? Zet lle hoeken op volgorde vn klein nr groot. Opgve 5 Je ziet hier zes hoeken. Welke hoek lijkt op het eerste geziht het grootst? Hoe kun je zeker weten of hij dt ook is? Welke hoeken zijn even groot? Shrijf de hoeken op vn klein nr groot. Vooreeld 2 Sommige ijzondere hoeken heen een nm gekregen: > Als eide enen loodreht op elkr stn spreek je vn een rehte hoek. > Een hoek die kleiner is dn een rehte hoek heet een sherpe hoek. > Als eide enen in elkrs verlengde liggen, spreek je vn een gestrekte hoek. > Een hoek die kleiner is dn een gestrekte hoek, mr groter dn een rehte hoek is een stompe hoek. > Een hoe die groter is dn een gestrekte hoek heet een overstrekte hoek. PAGINA 8 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

Opgve 6 Bekijk de figuur vn opgve 2 op pgin 7 nog eens. Welke hoek is stomp? Welke hoeken zijn sherp? Controleer met de rehte hoek vn je geodriehoek dt A inderdd reht is. Opgve 7 Shrijf ij elk vn de hoeken vn opgve 5 op pgin 8 of hij sherp, of reht, of stomp is. d d Opgve 8 Teken een stompe hoek met hoekpunt A. Verdeel A in twee sherpe hoeken. Lukt dit ltijd? Verdeel A in een stompe en een sherpe hoek. Lukt dit ltijd? Kun je A in twee stompe hoeken verdelen? Kun je A ltijd verdelen in een rehte hoek en een sherpe hoek? Opgve 9 Bekijk de plttegrond vn het pprtement in opgve 1 op pgin 6. Let op de entree. Hoeveel stompe hoeken heeft de entree? Zijn er ook sherpe hoeken? Hoeveel rehte hoeken heeft de entree? Eén vn de hoeken vn de entree is een overstrekte hoek. Wr zit die hoek? Hoeveel sherpe hoeken heeft de woonkmer? Verwerken Opgve 10 Hieronder stn zes vershillende hoeken getekend. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 9

d Zet ze op volgorde vn klein nr groot. Welke hoeken zijn sherp? Welke hoeken zijn stomp? Welke hoek is gestrekt? En welke is overstrekt? Opgve 11 Een muur op een zolderkmer moet ehngen worden. De muur is 3 meter lng en de nen ehng zijn 50 m reed. Op één rol zit 8 m ehng. De eerste n ehng zit er l op. Welke hoek is de grootste hoek vn deze muur? De rol ehng is sheef fgesneden. Wnneer je een nieuwe n fsnijdt pst het sheef fgesneden stuk dn preies op het volgende stuk muur? Hoeveel rollen ehng zijn er nodig voor deze muur? Opgve 12 Je kent vst het tngrmspel nog wel. In driehoek nummer 3 zie je een rondje en een rehte hoek teken stn. Deze figuur stt ook op het werkld. Zet in iedere hoek die ook reht is het rehte hoek teken. Zet een rondje in de hoeken die gelijk zijn n de hoek wr een rondje in stt. Zijn de hoeken wr geen rehte hoek teken of rondje in stt gelijk n elkr? Zet in de gelijke hoeken hetzelfde tekentje. PAGINA 10 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

Opgve 13 Hier zie je een rehthoekig trpezium met drin twee digonlen. Hierin geef je hoeken met drie letters n. Shrijf de twee rehte hoeken met drie letters op. Is ASB sherp of stomp? Welke hoek is even groot? Toepssen Geef ij elk vn de volgende opgven een uitgereide toelihting. Opgve 14: De wijzers vn een klok De wijzers vn een klok vormen een hoek. Drmee wordt meestl de kleinste hoek edoeld die ze met elkr mken. Zie > www.mth4ll.nl > 1/2 HAVO/VWO > Hoeken > Toepssen d e Wrom is het elngrijk om f te spreken dt de hoek tussen de wijzers vn een klok de kleinste hoek is? Mken de wijzers om 4:00 uur een sherpe of een stompe hoek met elkr? En wt voor hoek mken ze ls het 4:30 uur is? Op welk tijdstip mken de wijzers een gestrekte hoek met elkr. Geef één vooreeld. Op welke twee gehele uren mken de wijzers vn de klok een rehte hoek met elkr? Opgve 15: Biljrt Als een iljrtl tegen de donkergroene rnd vn het iljrt stuit, mkt hij een eplde hoek. De speler die n de eurt is om te stoten speelt met de witte l rehtsonder op het iljrt. Teken de n die deze witte l moet fleggen om ls eerste de rode l te rken vi één nd. Shrijf in de hoek die de l ij deze nd mkt of hij sherp is of stomp. Geruik de figuur op het werkld. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 11

1.2 Hoeken meten Verkennen Opgve 1 Hier zie je een windroos met de windrihtingen er in getekend. Hij is verder verdeeld in 360 hoekjes, elk vn die hoekjes heet 1 grd. Bij het Noorden (N) hoort 0 grden (en dus ook 360 grden). d Wrom kun je ij het Noorden twee getllen neerzetten? Geldt dit ook voor ndere windrihtingen? Hoeveel grden hoort er ij het Oosten? Hoeveel grden hoort er ij het Noord-Oosten? En ij Noord-Noord-Oost? e Hoeveel grden hoort er ij Zuid? En ij Zuid-Zuid-Oost? f Hoeveel grden hoort er ij West? En ij West-Noord-West? Uitleg Als je wilt weten hoe groot een hoek preies is, moet je er een irkel opleggen met het middelpunt preies in het hoekpunt. Op die irkel mk je dn een shlverdeling, ijvooreeld een verdeling in 12 uren zols op een klok. Het is tegenwoordig geruikelijk om zo n irkel in 360 gelijke hoekjes te verdelen die grden heten. Een kompsroos ijvooreeld is verdeeld in 360 grden. Je ziet de shlverdeling op de irkel lopen vn 0 tot 360. (Hoewel de 0 niet is neergezet, wnt op dezelfde plts ls 360.) Elk hoekje is 1 grd. Je shrijft 1. Op je geodriehoek (geometrishe driehoek, geometrie is meetkunde ) stt een hlve kompsroos, die dus loopt vn 0 tot 180. Bekijk je geodriehoek mr eens goed. Je geruikt hem om hoeken te meten. Opgve 2 Gegeven is een rehte hoek A. Teken A. Hoeveel grden pssen er in de rehte hoek? Hoeveel grden is de helft vn een rehte hoek? Is zo n hoek sherp of stomp? Hoeveel grden is een kwrt vn een rehte hoek? Is zo n hoek sherp op stomp? PAGINA 12 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

Opgve 3 Bekijk je geodriehoek. Welke vershillen zijn er tussen de verdeling in grden vn de kompsroos (of windroos) en de geodriehoek? Hoe groot (dus hoeveel grden) is een gestrekte hoek? Theorie en vooreelden Vooreeld 1 Als je heleml ronddrit leg je 360 f: een volle hoek is 360. Dit etekent: > een rehte hoek is een kwrt vn zo n volle hoek, dus 90 > een gestrekte hoek is de helft vn een volle hoek, dus 180 > een sherpe hoek ligt tussen de 0 en de 90 in > een stompe hoek ligt tussen 90 en 180 in Opgve 4 Je ziet hier een sherpe hoek en een stompe hoek. d Tussen welke ntllen grden ligt de sherpe hoek B? Is B kleiner of groter dn een hlve rehte hoek? Sht de grootte vn B. Sht ook de grootte vn A. Opgve 5 Bij het werken met de geodriehoek is het voorf shtten vn de grootte vn een hoek erg hndig. Er stn immers telkens twee getllen ij een mtstreepje. Je ziet hier zes hoeken. Sht vn elk hoek de grootte. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 13

Vooreeld 2 Zo moet je de geodriehoek op een hoek leggen om hem te meten: Opgve 6 Hier en op het werkld zie je een driehoek met drie sherpe hoeken. Om te meten hoeveel grden die hoeken zijn geruik je je geodriehoek. Soms moet je de zijden vn de driehoek lnger mken. Sht eerst de grootte vn A. Leg vervolgens je geodriehoek zo op deze hoek, dt de 0 (het midden vn de lngste zijde) op het hoekpunt A ligt, de lngste zijde lngs een een vn de hoek ligt en de hoek wordt edekt. Bepl nu de grootte vn A in grden nuwkeurig. Meet vervolgens de twee ndere hoeken. PAGINA 14 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

Opgve 7 Het meten vn een sherpe hoek kun je oefenen vi > www.mth4ll.nl > 1/2 HAVO/VWO > Hoeken meten > Prtium Je mkt eerst een sherpe hoek door de punten A, B en C te verpltsen. Dn dri je met het punt drien de geodriehoek in de goede stnd en vershuif je hem met vershuiven nr de goede plek. Je kunt de driehoek nog een eetje ijdrien en vershuiven tot hij preies goed ligt. Lees nu het juiste ntl grden f en ontroleer je ntwoord. Oefen jezelf (of met een medeleerling). Vooreeld 3 Bij het meten vn een hoek moet je er goed op letten of hij sherp of stomp is! Hier zie je hoe een stompe hoek wordt gemeten: A 142. Opgve 8 Hier en op het werkld zie je een driehoek met twee sherpe en één stompe hoek. Om te meten hoeveel grden die hoeken zijn geruik je je geodriehoek. Soms moet je de zijden vn de driehoek lnger mken. Welke hoek is stomp? Wrom kn een driehoek geen twee stompe hoeken heen? Sht eerst de grootte vn de stompe hoek en meet hem vervolgens in grden nuwkeurig. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 15

Opgve 9 Het meten vn een stompe hoek kun je ook oefenen vi > www.mth4ll.nl > 1/2 HAVO/VWO > Hoeken meten > Prtium Je mkt eerst een stompe hoek door de punten A, B en C te verpltsen. Je legt dn de geodriehoek op de juiste plts. Lees nu het juiste ntl grden f en ontroleer je ntwoord. Oefen jezelf (of met een medeleerling). Opgve 10 Leg uit hoe je met je geodriehoek een overstrekte hoek meet. Geef een vooreeld. Verwerken Opgve 11 Hieronder en op het werkld stn zes vershillende hoeken getekend. Meet elke hoek in grden nuwkeurig. Opgve 12 Hier en op het werkld zie je een plttegrond de kmer vn Mrieke. Ze krijgt nieuwe vloeredekking. Dt zijn vloertegels vn 50 m ij 50 m. Om ze in de juiste vorm te snijden meet ze de hoeken vn hr kmer die niet reht zijn. Meet lle niet rehte hoeken vn Mrieke s kmer. Teken de vloertegels op de plttegrond. Hoeveel hele tegels heeft ze nodig? En hoeveel moeten er worden ijgesneden? PAGINA 16 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

Opgve 13 De Toren vn Pis stt sheef. Meet op de foto hiernst de hoek die de toren vn Pis met de grond mkt. Hoeveel grden wijkt dit f vn de 90? Opgve 14 Je ziet hier en op het werkld een driehoek en een pijlpuntvlieger. d Meet de hoeken vn de driehoek in grden nuwkeurig. Hoeveel grden zijn de hoeken vn deze driehoek smen? Meet de hoeken vn de pijlpuntvlieger in grden nuwkeurig. Hoeveel grden zijn de hoeken vn deze pijlpuntvlieger smen? Opgve 15 Hier zie je een rehthoekig trpezium met drin twee digonlen. Hierin geef je hoeken met drie letters n. Meet ASB. Geruik de figuur op het werkld. Welke hoek is even groot? Controleer je ntwoord door meten. Meet de hoeken ABC en BCD. Hoeveel grden zijn de hoeken vn het trpezium smen? STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 17

Toepssen Geef ij elk vn de volgende opgven een uitgereide toelihting. Opgve 16: Hoekmeter Er estn llerlei instrumenten om hoeken te meten. Ze worden voorl geruikt in de ouw en door lndmeters. Lees hierover > www.mth4ll.nl > 1/2 HAVO/VWO > Hoeken meten > Toepssen Mk een overziht vn minstens drie vershillende hoekmeters en de eroepen wrij ze geruikt worden. Beshrijf ook hoe ze worden geruikt. Opgve 17: Vliegerij Je ziet hier op het werkld een krt vn een deel vn Nederlnd. Elke m op deze krt is 5 km. Je kunt vliegveld Teuge zien liggen. Een vliegtuig vliegt een eplde fstnd met een eplde koers. De fstnd geef je in km en de koers in grden. Die koers is steeds een hoek met het Noorden, net ls op de kompsroos met de wijzers vn de klok mee gemeten. Als je ngeeft dt een vliegtuig vliegt volgens (40 20) dn edoel je dt het 20 km vliegt met een koers vn 40 ten opzihte vn het Noorden. (40 20) heet de koersvetor. Je ziet hier een vluht getekend. Die vluht kn worden eshreven door vier koersvetoren. Shrijf elk vn die vier koersvetoren op. Bedenk zelf zo n rondvluht vnf Teuge en lt een medeleerling de koersvetoren eplen. PAGINA 18 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

1.3 Hoeken tekenen Verkennen Opgve 1 In de vliegerij wordt de vliegrihting epld met een kompsroos zols deze. Je gt nu op roosterppier een koers uitzetten, 1 m komt overeen met 1 km. Een koers is een ntl grden ten opzihte vn het Noorden, gemeten met de wijzers vn de klok mee. d Teken eerst op doorzihtig ppier zelf een kompsroos, trek eventueel de figuur hieroven over. Punt V stelt het vliegveld voor, zet het ergens ls roosterpunt op je roosterppier. Je wilt eerst 5 km met een koers vn 30 vliegen. Teken dit op je ppier, geruik je kompsroos op doorzihtig ppier. Vervolgens g je 6 km met een hoek vn 110. Teken dit. Drn wil je weer terug nr het vliegveld V. Wt wordt je koers? Uitleg Zo teken je met je geodriehoek een hoek: > Teken het hoekpunt en het eerste een vn de hoek. > Leg de lnge zijde vn je geodriehoek lngs dit een met de 0 op de plts vn het hoekpunt. Zet een streepje ij het juiste ntl grden (is het een sherpe of een stompe hoek?). > Teken het tweede een vn de hoek. > Zet de juiste letter ij het hoekpunt. In Vooreeld 1 op pgin 20 zie je hoe je een sherpe hoek tekent. In Vooreeld 2 op pgin 21 zie je hoe je een sherpe hoek tekent. Opgve 2 Je wilt een hoek A tekenen vn 30. Teken het hoekpunt A en één een vn de hoek. Teken nu n de hnd vn de eshrijving in de uitleg de gevrgde hoek A. Lt een medeleerling je tekening ontroleren door de hoek n te meten. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 19

Theorie en vooreelden Vooreeld 1 Hier zie je het tekenen vn een sherpe hoek: A = 72. Opgve 3 Teken de volgende hoeken: A = 60, B = 24 en C = 87. Opgve 4 Mk de volgende figuur f ls D = 31 en E = 76. Geruik het werkld. PAGINA 20 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

Opgve 5 Hier zie je het egin vn een driehoek ABC. AB = 6 m, A = 45 en B = 70. Teken zelf deze figuur en teken B in punt B zo, dt je ΔABC krijgt. Hoe groot is C? Vooreeld 2 Hier zie je het tekenen vn een stompe hoek: A = 113. Opgve 6 Teken de volgende hoeken: A = 160, B = 124 en C = 97. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 21

Opgve 7 Mk de volgende figuur f ls D = 131 en E = 93. Geruik het werkld. Opgve 8 Hier zie je het egin vn een driehoek ABC. AB = 6 m, A = 30 en B = 100. Teken de figuur n. Teken B in punt B zo, dt je ΔABC krijgt. Hoe groot is C? Verwerken Opgve 9 Teken de volgende vier hoeken: A = 65, B = 170, C = 111 en D = 14. Opgve 10 Hier zie je een plttegrond de kmer vn Mrieke. Ze krijgt nieuwe vloeredekking. Dt zijn vloertegels vn 50 m ij 50 m. Om ze in de juiste vorm te snijden meet ze de hoeken vn hr kmer die niet reht zijn. Meet lle niet rehte hoeken vn Mrieke s kmer. Geruik het werkld. Teken de vier vloertegels die moeten worden ijgesneden en in de niet rehte hoeken moeten komen. PAGINA 22 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

Opgve 11 Vn driehoek ABC is het egin getekend. C = 62. Mk de driehoek f. Geruik het werkld. Meet de grootte vn A en B in grden nuwkeurig. Hoeveel grden zijn de hoeken vn de driehoek smen? Opgve 12 Een root eweegt op een groot vlk. Hij egint in punt S (het strtpunt) in een eplde rihting vooruit te rijden. Je kunt zijn ewegingsrihting vernderen met een fstndsediening. Drmee kun je een hoek instellen. Stel je ijvooreeld 10 in, dn drit de ewegingsrihting tegen de wijzers vn de klok in met 10. Je lt de root eerst 5 m vooruit ewegen, dn 4 m onder 10, dn 3 m onder 20, dn 2 m onder 30 en tenslotte 1 m onder 40. Teken de n vn de root. Je lt de root nu rehtstreeks nr het strtpunt teruglopen. Hoeveel m en onder welke hoek moet hij lopen? Je lt de root eerst 4 m vooruit lopen, dn 4 m onder 10, dn 4 m onder 20, enzovoorts. Steeds dezelfde fstnd, mr een hoek die telkens 10 groter wordt. Komt deze root weer in het strtpunt S uit? d Wt geeurt er ls je de root eerst 4 m vooruit lopen, dn 5 m onder 10, dn 6 m onder 20, enzovoorts. Steeds wordt de fstnd 1 m groter en hoek 10 groter. Toepssen Geef ij elk vn de volgende opgven een uitgereide toelihting. Opgve 13: Driehoeken tekenen Een driehoek wordt vk epld door drie gegevens: een zijde en twee hoeken, twee zijden en een hoek, drie zijden. Lees hierover > www.mth4ll.nl > 1/2 HAVO/VWO > Hoeken tekenen > Toepssen d Teken zelf eide driehoeken die worden eshreven. Teken ΔKLM met K = 60, M = 40 en KM = 4 m. Meet vervolgens de grootte vn L. Teken ΔDEF met E = 117, DE = 4 m en EF = 3 m. Meet vervolgens eide ndere hoeken vn de driehoek. Teken ΔGHI met GH = 5 m, HI = 4 m en GI = 3 m. (Geruik je psser.) Meet de drie hoeken vn deze driehoek. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 23

Opgve 14: Vliegerij Zoek vi Google-mps een deel vn een krt vn Nederlnd rond vliegveld Teuge tussen Apeldoorn en Deventer en druk die krt f. Zorg dt Teuge ongeveer in het midden ligt en je nr lle knten ongeveer 10 km kunt vliegen. Een vliegtuig stijgt op vliegveld Teuge op en vliegt een eplde fstnd met een eplde koers. De fstnd geef je in km en de koers in grden. Die koers is steeds een hoek met het Noorden, net l op de kompsroos met de wijzers vn de klok mee gemeten. Als je ngeeft dt een vliegtuig vliegt volgens (40 20) dn edoel je dt het 20 km vliegt met een koers vn 40 ten opzihte vn het Noorden. (40 20) heet de koersvetor. Teken de vluht met de koersvetoren (40 5), (110 4), (240 5) en geef n wr het vliegtuig dn vliegt. Bereken de koersvetor voor de terugvluht nr vliegveld Teuge. Bedenk zelf zo n rondvluht vnf Teuge en lt een medeleerling de vluht tekenen en de koersvetor vn de terugvluht eplen. PAGINA 24 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

1.4 Gelijke hoeken Verkennen Opgve 1 Hier zie je de tfellden vn vier hoektfeltjes die preies in de hoeken vn Mrieke s kmer pssen. Mrieke wil elk ld zo shilderen dt er twee gelijke helften ontstn met een vershillende kleur. Hoe krijgt ze dt voor elkr? De vier tfellden pssen tegen elkr. Hoe groot is de hoek die de vier tfellden dn mken? Welke twee tfellden mken smen een hoek vn 180? d Tfelld I heeft een hoek vn 101. Vn welke tfeltje weet je nu ook de hoek? Uitleg De lijn die een hoek in twee gelijke hoeken verdeelt, heet de deellijn of issetrie vn die hoek. Zo teken je de deellijn vn een hoek: > Meet hoe groot de hoek is, ijvooreeld 64. > Deel het ntl grden door twee: 64 / 2 = 32. > Ps 32 f en teken de deellijn. Er zijn nog ndere situties wrin hoeken gelijk zijn. Drvn zie je er enkele in de vooreelden. Het gt om X-hoeken, F-hoeken en Z-hoeken. Dt hoeken gelijk zijn geef je n door er hetzelfde tekentje (een oogje, een rondje, een sterretje) in te zetten. Opgve 2 Hier zie je een hoekpunt A met twee hoeken A 1 en A 2 die smen een gestrekte hoek vormen. Meet A 1 op en teken de deellijn vn A 1. Geruik het werkld. Hoe groot is A 2? Teken de deellijn vn A 2. d Welke hoek mken de twee getekende deellijnen met elkr? Moet je die hoek opmeten? STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 25

Opgve 3 Teken ΔABC met AB = 6 m, A = 50 en B = 70. Teken de deellijn vn A. Teken ook de deellijnen vn B en C. Vlt je iets op? Theorie en vooreelden Vooreeld 1 Deze vier hoeken vormen een volle hoek. Je ziet hoe ze zijn genummerd. Je ziet dt A 1 = 53. Dn is: > A 1 en A 2 zijn smen 180. Dus A 2 = 180 53 = 127. > A 3 en A 2 zijn smen 180. Dus A 3 = 180 127 = 53. > Dus A 3 = A 1. Je noemt A 1 en A 3 wel overstnde hoeken of X-hoeken. Ook ls A 2 een ndere grootte heeft lijven deze overstnde hoeken gelijk. Op dezelfde mnier kun je lten zien dt A 2 en A 4 gelijk zijn. Ook dt zijn overstnde hoeken. Je het nu lten zien: Overstnde hoeken zijn ltijd gelijk. Opgve 4 Bekijk de pplet in > www.mth4ll.nl > 1/2 HAVO/VWO > Gelijke hoeken > Vooreeld 1 Je kunt A 1 npssen door in de pplet de rode punten te verpltsen. Stel A 1 in op 37. Hoe kun je dn de grootte vn A 2 weten? Leg nu uit wrom A 3 = A 1. Leg ook uit wrom A 4 = A 2. PAGINA 26 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

Opgve 5 Bekijk de figuur hiernst. Wrom is nu A 1 A 3? Stel je voor dt A 1 = 56. Vn welke hoek weet je dn ook de grootte? Hoe groot is die hoek? Vooreeld 2 Hier zie je nog twee situties wrin hoeken gelijk zijn. Omdt de lijnen u en u evenwijdig zijn, zijn: > F-hoeken zols A 1 en B 1 gelijk. > Z-hoeken zols A 2 en B 4 gelijk. Dt komt omdt lijn u en punt B eigenlijk lleen evenwijdige vershuivingen zijn vn lijn u en punt A. De hoeken vershuiven dn gewoon mee... De F-hoeken herken je n de vorm vn een (soms omgekeerde) F die ze mken. En zo herken je de Z-hoeken n de Z-vorm. Opgve 6 Bekijk de pplet in > www.mth4ll.nl > 1/2 HAVO/VWO > Gelijke hoeken > Vooreeld 2 Met welke hoek vormt A 2 een stel F-hoeken? Met welke hoek vormt A 2 een stel Z-hoeken? Leg uit wrom A 4 = B 2. d Stel in A 2 = 30. Hoe groot is dn B 3? STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 27

Opgve 7 Bekijk de volgende figuur. De lijnen u en u zijn evenwijdig, evenls de lijnen u en u. Wrom is A 1 B 1? Wrom is A 1 = C 1? Wrom is C 1 D 3? d e Welke hoek is ook gelijk n A 1? En wrom? Stel dt A 1 = 60. Vn welke hoeken weet je nu ook hoe groot ze zijn? Shrijf ze lleml op. Opgve 8 In deze figuur zijn de lijnen u en u evenwijdig. Verder is A 1 = 43. Bereken lle ndere genummerde hoeken in deze figuur. Verwerken Opgve 9 Teken zelf drie vn deze hoeken en in elke hoek de deellijn. PAGINA 28 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

Opgve 10 Hier zie je een plttegrond de kmer vn Mrieke. Ze krijgt nieuwe vloeredekking. Dt zijn vloertegels vn 50 m ij 50 m. Om ze in de juiste vorm te snijden meet ze de hoeken vn hr kmer die niet reht zijn. Wrom hoeft ze mr twee hoeken te meten? Welke twee ijvooreeld? Opgve 11 Teken ΔABC met A = 50, AB = 6 m en AC = 4 m. Lt zien dt de issetries vn de hoeken vn deze driehoek door één punt S gn. Om punt S zitten nu zes hoeken. Geef met gelijke tekentjes n welke vn die hoeken gelijk zijn. Opgve 12 Bereken in deze figuur lle hoeken ls de lijnen u en u evenwijdig zijn en gegeven is: B 4 = 40 en B 6 = 25. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 29

Toepssen Geef ij elk vn de volgende opgven een uitgereide toelihting. Opgve 13: Doelmn Het uitlopen vn de doelmn op een doorgeroken speler die op doel wil shieten is een mooi vooreeld vn het toepssen vn een deellijn. Lees > www.mth4ll.nl > 1/2 HAVO/VWO > Gelijke hoeken > Toepssen Bij een voetlwedstrijd heeft een speler vnf de punt vn het strfshopgeied een vrije shietkns op doel. De keeper komt uit zijn doel om het soren te emoeilijken. Hoe moet hij uitlopen? In de Wikipedi: voetlveld vind je de fmetingen vn een voetlveld. Opgve 14: Prllellogrm Gegeven is een prllellogrm ABCD met AB = 6 m en AD = 4 m. Verder is BAD = 50. Teken dit prllellogrm. Leg uit, hoe je met ehulp vn F-hoeken de ndere hoeken vn dit prllellogrm kunt erekenen. PAGINA 30 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

1.5 Hoeken erekenen Verkennen Opgve 1 Hiernst zie je een klok met een minutenwijzer (de lnge wijzer) en een urenwijzer. De klok stt op 2:00 uur. Hoe groot is de hoek die de minutenwijzer en de urenwijzer met elkr mken? Eigenlijk zijn er twee ntwoorden mogelijk. Hoe zit dt? Op welke tijdstippen is de kleinste hoek tussen eide wijzers 90? Opgve 2 Het erekenen vn de hoeken tussen de minutenwijzer en de urenwijzer vn een klok is nog niet zo heel eenvoudig. Proeer de hoek te erekenen tussen eide wijzers ls het 5 over 3 is. Uitleg Het is niet ltijd verstndig om hoeken te meten. Meten levert nmelijk onnuwkeurigheden op. En soms is meten niet nodig: > Als twee hoeken smen een rehte hoek vormen en je weet er één dn weet je ook de ndere. Ze zijn immers smen 90. > Als twee hoeken smen een gestrekte hoek vormen en je weet er één dn weet je ook de ndere. Ze zijn immers smen 180. > Als twee hoeken smen een volle hoek vormen en je weet er één dn weet je ook de ndere. Ze zijn immers smen 360. > Een deellijn verdeelt een hoek in twee gelijke hoeken. Weet je er één vn, dn weet je ook de ndere. > Overstnde hoeken (X-hoeken) zijn gelijk. > Als twee evenwijdige lijnen worden gesneden door een derde lijn, dn zijn de F-hoeken en de Z-hoeken gelijk. En zo kun je soms door redeneren de grootte vn een hoek te weten komen. Dt noem je hoeken erekenen. Opgve 3 Bekijk de situties die in de Uitleg op pgin 31 worden genoemd. Geef ij elk vn die situties een vooreeld met een ijpssende figuur. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 31

Opgve 4 Ayse wil een hoek vn 210 tekenen. De geodriehoek gt mr tot 180. Ayse tekent een hoek vn 150. Leg uit wrom ze nu ook een hoek vn 210 heeft getekend. Teken een hoek vn 310. Theorie en vooreelden Vooreeld 1 De twee hoeken hiernst vormen smen een gestrekte hoek. De kleinste hoek is 45. De grootte vn de ndere hoek kun je uitrekenen: 180 45 = 135. In de tweede figuur zijn de lijnen u en u evenwijdig. Je wilt A 3 uitrekenen. Dt kn zo: > B 1 = 90 25 = 65. > B 2 = B 1 (overstnde hoeken). > Dus A 3 = B 2 = 65 (F-hoeken). Opgve 5 Bereken in de volgende figuren de hoek met het vrgteken erin. Opgve 6 Bekijk de figuur hieronder, u en u zijn evenwijdige lijnen. Bereken de hoek met het vrgteken er in. PAGINA 32 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

Vooreeld 2 In de figuur hiernst zie je een vooreeld vn de stelling: > De som vn de hoeken in elke driehoek is 180. Er is een lijn door hoekpunt C evenwijdig n zijde AB getekend. Met ehulp vn Z-hoeken kun je nu lten zien dt de drie hoeken vn elke driehoek smen een gestrekte hoek vormen. En drom zijn ze smen ltijd 180. Dit etekent dt ls je twee hoeken vn een driehoek weet je de derde kunt uitrekenen. En dt is soms erg hndig ls je een driehoek wilt tekenen... Opgve 7 Bekijk de pplet in > www.mth4ll.nl > 1/2 HAVO/VWO > Hoeken erekenen > Vooreeld 2 Beweeg punt C. Wrom zijn de drie hoeken ij hoekpunt C smen ltijd 180? Noem de hoeken ij C vn links nr rehts C 1, C 2 en C 3. d e Met welke hoek vormt C 1 een stel Z-hoeken? Met welke hoek vormt C 3 een stel Z-hoeken? Leg uit wrom de som vn de hoeken vn deze driehoek 180 is. Wrom geldt deze regel voor elke driehoek? (In de pplet kun je de punten A, B en C verpltsen.) Opgve 8 Je wilt een driehoek ABC tekenen met A = 60, C = 40 en AB = 6 m. Bereken eerst de grootte vn B. Teken nu ΔABC. Opgve 9 Een driehoek met drie gelijke zijden heeft ook drie gelijke hoeken. Hoe groot zijn die hoeken? Opgve 10 In een rehthoek ABCD snijden de digonlen AC en BD elkr in punt S. Verder is BAC = 32. Bereken de grootte vn ACB en ASB. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 33

Opgve 11 Je ziet hier een vierhoek ABCD. d e f Hoe kun je de vierhoek in twee driehoeken verdelen? Hoeveel grden zijn de hoeken vn deze vierhoek smen? Op hoeveel mnieren kun je deze vierhoek in twee driehoeken verdelen? Geef een vooreeld vn een vierhoek die je mr op één mnier in twee driehoeken kunt verdelen. Zijn er ook vierhoeken die je niet in twee driehoeken kunt verdelen? Hoeveel grden zijn de hoeken vn elke vierhoek smen? Verwerken Opgve 12 Bereken in deze figuur de hoeken die met een vrgteken zijn ngegeven. (De pijltjes geven n dt de twee horizontle lijnen ook eht evenwijdig zijn.) Opgve 13 Je ziet hier twee lijnen u en u gesneden door derde lijn onder hoeken vn 60 en 70. Het snijpunt vn u en u ligt uiten eeld. Welke hoeken mken de lijnen u en u in dt snijpunt? Opgve 14 Teken ΔABC met B = 50, C = 100 m en AC = 4 m. PAGINA 34 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

Opgve 15 Je wilt weten hoeveel grden de hoeken vn een vijfhoek smen zijn. Teken een vijfhoek ABCDE en verdeel hem in drie driehoeken. Hoeveel grden zijn de hoeken vn jouw vijfhoek smen? Geldt dit voor elke vijfhoek? Een regelmtige vijfhoek is een vijfhoek wrvn lle zijden even groot zijn en lle hoeken even groot zijn. d Hoe groot zijn de hoeken vn zo n regelmtige vijfhoek? Toepssen Geef ij elk vn de volgende opgven een uitgereide toelihting. Opgve 16: De wijzers vn een klok Het erekenen vn de hoek tussen de minutenwijzer en de urenwijzer op een klok is nog est lstig. Lees > www.mth4ll.nl > 1/2 HAVO/VWO > Hoeken erekenen > Toepssen G er vn uit dt onder de hoek tussen de minutenwijzer en de urenwijzer steeds de kleinste hoek tussen eide wordt verstn. d Welke hoek mken de minutenwijzer en de urenwijzer met elkr om 12:25 uur? En om 7:35 uur? En om 11:19 uur? Om 0:00 uur mken de urenwijzer en de minutenwijzer een hoek vn 0. Op welke tijdstippen is dt weer zo? Geef nuwkeurige ntwoorden, ook in delen vn minuten. Opgve 17: Honderdhoek Hoeveel grden is het ntl hoeken vn een honderdhoek (een veelhoek met 100 hoekpunten)? STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 35

1.6 Totleeld Smenvtten Hoe vk g je niet een hoek om of ekijk je iets onder een eplde hoek. Het woord hoek is norml sprkgeruik. In de wiskunde moet je iets nuwkeuriger fspreken wt een hoek is. En vervolgens wil je hem kunnen meten, tekenen en erekenen... De volgende opgven zijn edoeld om overziht over het onderwerp Hoeken te krijgen. Dit etreft de onderdelen 1, 2, 3, 4 en 5 vn dit onderwerp. Het is nuttig om er een eigen smenvtting ij te mken. De opgven hieronder zijn edoeld om je drij te helpen. Je het geleerd > de egrippen hoek met hoekpunt en enen en sherpe, stompe, rehte, gestrekte en overstrekte hoeken herkennen ( Uitleg op pgin 6); > het egrip grd en het meten vn hoeken in grden ( Uitleg op pgin 12); > hoeken tekenen ls het ntl grden ervn is gegeven ( Uitleg op pgin 19); > de deellijn (issetrie) vn een hoek tekenen, werken met X-hoeken (overstnde hoeken), F-hoeken en Z-hoeken ( Uitleg op pgin 25); > de grootte vn hoeken eredeneren, de som vn de hoeken vn een driehoek geruiken ( Uitleg op pgin 31); Voorkennis > de nmen en siseigenshppen vn de elngrijkste vlkke (rooster)figuren (Figuren); > oppervlkte en omtrek vn vlkke (rooster)figuren eplen (Oppervlkte en omtrek); Opgve 1 Teken een A. Zet er op de juiste plts de woorden hoekpunt en een (2 ) ij en zet de letter ij het hoekpunt. Wrom is een oogje in de hoek nodig? Opgve 2 Hier zie je zes vershillende hoeken. Ze stn ook op het werkld. Shrijf ij elk vn de hoeken of hij sherp, stomp, reht, gestrekt of overstrekt is. Zet in de rehte hoek het rehte hoek teken. Zet in elke hoek het juiste ntl grden. Opgve 3 Met een geodriehoek kun je hoeken tekenen. Teken A = 24 en B = 100 Teken in A en in C een deellijn. PAGINA 36 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

Opgve 4 In deze figuur kun je gelijke X-hoeken, F-hoeken en Z-hoeken herkennen. Shrijf vn elk vn deze drie soorten gelijke hoeken één pr op. Geef de hoeken met drie letters n of met ehulp vn een genummerde letter. De vier hoeken ij punt C zijn reht en A 1 = 110. Hoe groot is dn CDE? Opgve 5 Met drie gegevens kun je een driehoek tekenen. Teken ΔABC met zijden AB = 3 m, AC = 2 m en BC = 4 m. Teken ΔKLM met KL = 6 m, K = 40 en M = 110. Testen De volgende opgven zijn edoeld om n te gn of je de onderdelen 1 tot en met 5 vn het onderwerp Hoeken voldoende eheerst. Opgve 6 Deze vier hoeken vind je ook op het werkld. Zet ij elke hoek of hij sherp, stomp, reht, gestrekt of overstrekt is. Meet hoe groot de hoeken zijn in grden nuwkeurig. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 37

Opgve 7 Teken de hoeken A = 32, B = 161, C = 199. Opgve 8 Teken op het werkld in deze twee hoeken een deellijn en shrijf in je figuur hoe groot de eide delen vn de hoek zijn. Opgve 9 Beredeneer de grootte vn ABC ls A 1 = 112. Opgve 10 De hoeken A 1 en A 2 vormen smen een gestrekte hoek en A 1 is vier keer zo groot ls A 2. Beredeneer de grootte vn A 1. Opgve 11 Teken de volgende driehoeken. ΔKLM met L = 40, KM = 4 en KL = 5 m. ΔPQR met P = 40, Q = 60 en QR = 4 m. Opgve 12 Bereken de exte hoek die de wijzers vn de klok met elkr mken ls het vijf voor hlf drie is. Toepssen Geef vn de volgende opgven een uitgereide uitwerking. Opgve 13: Hoe ver uit de kust? Een ship vrt s nhts evenwijdig n de (rehte) kust vn Noord-Hollnd. Op een eplde positie ziet de stuurmn de vuurtoren vn Egmond n Zee onder een hoek vn 20 ten opzihte vn de vrrihting vn het ship. N 5 km vren ziet de stuurmn diezelfde vuurtoren onder een hoek vn 60 met de vrrihting. Mk een tekening op shl vn deze situtie en epl hoe ver de fstnd vn het ship tot de kust is. PAGINA 38 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

Opgve 14: Borden oven de snelweg Het volgende proleem is heel mooi op te lossen met ehulp vn GeoGer. Boven de snelweg hngen vk orden om je de weg te wijzen. Die orden hngen zuiver vertil met hun onderrnd 5 m oven het wegdek. Neem n dt zo n ord 1,50 m hoog is. Je zit voorin een uto en rijdt onder dit ord door. Je oog zit steeds op 1 m oven het wegdek. De hoek tussen de twee lijnen vnuit je oog nr de onderrnd en de ovenrnd vn het ord verndert drdoor steeds. Op welke fstnd voor het ord is die hoek het grootst? STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 39