De Grassmann-variëteit

De Grassmann-variëteit Timo Baas 31 oktober 2009 Bachelorscriptie Begeleiding: prof.dr. Gerard van der Geer KdV Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Universiteit van Amsterdam

Samenvatting Deze scriptie gaat over de Grassmann-variëteit. We beginnen met de definitie van de Grassmann-variëteit en gaan vervolgens in op aantal voorbeelden. Met behulp van wat multilineaire algebra en de Plücker-afbeelding proberen we vervolgens een beter beeld te krijgen van de Grassmann-variëteit en werken we een speciaal voorbeeld hiervan helemaal uit. We besluiten met de celdecompositie van de Grassmann-variëteit en kijken wat voor nut deze celdecompositie heeft. Gegevens Titel: De Grassmann-variëteit Auteur: Timo Baas, tbaas@science.uva.nl, 0525898 Begeleider: prof.dr. Gerard van der Geer Tweede beoordelaar: prof.dr. onbekend Einddatum: 2 november 2009 Korteweg de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam Science Park 904, 1098 XH Amsterdam http://www.science.uva.nl/math

Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 2 De Grassmann-variëteit 3 2.1 Multilineaire algebra....................... 5 3 De Plücker-afbeelding 9 3.1 Plücker-coördinaten........................ 10 3.2 De Grassmann-variëteit als deelvariëteit............ 12 4 De celdecompositie 15 4.1 De Schubert-variëteit....................... 16 5 Populaire samenvatting 19 5.1 Over de Grassmann-variëteit................... 19 5.2 Over de Plücker-afbeelding.................... 20 5.3 Over de celdecompositie..................... 21 1

Hoofdstuk 1 Inleiding Een centraal begrip in de wiskunde is de variëteit. Er zijn verschillende soorten variëteiten, zoals analytische variëiteten. Dit zijn ruimtes die lokaal glad zijn, oftewel lokaal zien ze eruit als R n. Wij gaan het echter hebben over een algebraïsche varieteit. Deze variëteit ziet eruit als een nulpuntsverzameling van een stelsel veeltermen, bijvoorbeeld: een cirkel is de verzameling punten (x, y) in het vlak waarvoor x 2 + y 2 1 gelijk is aan 0. In deze scriptie gaan wij het hebben over de Grassmann-variëteit. De Grassmann-variëteit is een belangrijk onderwerp in de algebraïsche meetkunde. Deze variëteit is vernoemd naar Hermann Günther Grassmann (15 april 1809, Stettin (Szczecin) - 26 september, 1877, Stettin). Dit was een Duitse wiskundige. Hij werd in zijn tijd niet erkend door zijn collega-wiskundigen, maar na zijn dood bleek dat hij in 1844 al een beeld had wat een vectorruimte is en dat hij in zijn werk al het uitproduct gebruikte. De definitie van een vectorruimte werd pas in 1920 algemeen bekend, hij liep zijn tijd dus ver voorruit. De Grassmann-variëteit is een onderwerp dat door wiskundigen uitgebreid is onderzocht en als zeer belangrijk wordt gezien. Het is de meest voor de hand liggende generalisatie van de projectieve ruimte. In het eerste hoofdstuk van deze scriptie gaan we in op de definitie van de Grassmannvariëteit en proberen we die te begrijpen door een aantal voorbeelden uit te werken. In het tweede hoofdstuk hebben we als hoofddoel te laten zien dat de Grassmann-variëteit is in te bedden in een projectieve ruimte. Dit doen we door middel van de Plücker-afbeelding en vervolgens rekenen we van één speciaal voorbeeld de Plücker-relaties it. In het laatste hoofdstuk laten we zien dat de Grassmann-variëteit een natuurlijke celdecompositie heeft met behulp van Schubert-Variëteiten. 2

Hoofdstuk 2 De Grassmann-variëteit Het doel van dit hoofdstuk is de definitie te geven de Grassmann-variëteit en vervolgens die daadwerkelijk te begrijpen. Dit doen we door een aantal voorbeelden uit te werken en met behulp van multilineaire algebra laten we vervolgens zien wat de Grassmann-variëteit precies is. We geven nu eerst de definitie die afkomstig is uit [1]. Definitie 2.1. Laat V een vectorruimte zijn over een lichaam K. Met Gr(k, V ) bedoelen we de verzameling van alle k-dimensionale lineaire deelruimtes van V. Als V = R n, dan schrijven we Gr(k, n). Gegeven een lineaire deelruimte Λ R n van dimensie k. We kunnen Λ beschrijven door een basis in Λ te kiezen, zeg {v 1,, v k } die lineair onafhankelijk zijn en samen Λ opspannen. Deze basis kunnen we vervolgens in coördinaten uitschrijven door de k n matrix v 11 v 1n M =.. v k1 v kn (2.1) van rang k. Deze matrix representeert een element van Gr(k, n) en twee van deze matrices M en M representeren hetzelfde element, dan en slechts dan als Λ = AΛ voor A een lineaire transformatie in GL(Λ). Voor elke multi-index I = {i 1,, i k } {1,, n} van cardinaliteit k, laat V I o R n het opspansel zijn van de vectoren {e j : j / I} en laat U I = {Λ Gr(k, n) : Λ V I o = {0}} (2.2) U I bestaat dus uit elementen Λ Gr(k, n) zodat de I-de k k minor niet nul is. Nu kunnen we de matrixrepresentatie van Λ normaliseren zodat de I-de k k minor de identiteitsmatrix is, waarbij de overige (n k) rijen nog vrij te kiezen zijn. 3

Voorbeeld 2.2. Het eerste voorbeeld van een Grassmann-variëteit is Gr(1, n). Deze ruimte bestaat uit alle lijnen door de oorsprong in V. Dus Gr(1, n) = P(V ) We bekijken eerst het allersimpelste voorbeeld hiervan, namelijk Gr(1, 2). De open deelverzamelingen U I uit (2.2) die we hierbij kunnen krijgen, zien er als volgt uit: U 1 = {L V door 0 : L e 2 = {0}} = P 1 (0 : 1) U 2 = {L V door 0 : L e 1 = {0}} = P 1 (1 : 0) Het volgende voorbeeld waarvoor we de U I gaan bekijken is Gr(1, 3). We hebben hierbij drie open deelverzamelingen, die er als volgt uit zien: U 1 = {L V door 0 : L e 2, e 3 = {0}} = P 2 P 1 U 2 = {L V door 0 : L e 1, e 3 = {0}} = P 2 P 1 U 3 = {L V door 0 : L e 1, e 2 = {0}} = P 2 P 1 Voorbeeld 2.3. Het tweede voorbeeld is logischerwijs Gr(2, n). Omdat V = R n, worden hiermee alle vlakken door de oorsprong bedoeld. We bekijken weer een makkelijk voorbeeld, namelijk Gr(2, 4). Stel we hebben twee vectoren x en y die samen een vlak opspannen. Dan geeft dit aanleiding tot een matrixrepresentatie Λ met: ( ) x1 x Λ = 2 x 3 x 4 y 1 y 2 y 3 y 4 In dit geval hebben we hebben we zes open deelverzamelingen, die er als volgt uit zien: U 1,2 = {Vlakken L ( V door 0 ) : L e 3, e 4 = 0} met matrixrepresentatie Λ 1,2 = 4 1 0 x3 x 0 1 y 3 y 4 U 1,3 = {Vlakken L ( V door 0 ) : L e 2, e 4 = 0} met matrixrepresentatie Λ 1,3 = 4 1 x2 0 x 0 y 2 1 y 4 U 1,4 = {Vlakken L ( V door 0 ) : L e 2, e 3 = 0} met matrixrepresentatie Λ 1,4 = 3 0 1 x2 x 0 y 2 y 3 1 4

U 2,3 = {Vlakken L ( V door 0 ) : L e 1, e 4 = 0} met matrixrepresentatie Λ 2,3 = 4 x1 1 0 x y 1 0 1 y 4 U 2,4 = {Vlakken L ( V door 0 ) : L e 1, e 3 = 0} met matrixrepresentatie Λ 2,4 = 3 0 x1 1 x y 1 0 y 3 1 U 3,4 = {Vlakken L ( V door 0 ) : L e 1, e 2 = 0} met matrixrepresentatie Λ 3,4 = 4 1 0 x3 x 0 1 y 3 y 4 We kunnen hieruit concluderen dat twee matrices Λ en Λ hetzelfde element representeren als ze een lineaire transformatie A van elkaar verschillen, oftewel: Λ = AΛ, met A GL(2, R). Hieruit volgt dat: 1 i<j 4 U i,j = Gr(2, 4), omdat elk element in Gr(2, 4) via een lineaire transformatie kan worden geschreven als één van de U i,j. Dit laatste voorbeeld is erg belangrijk en komt in de rest van deze scriptie uitgebreid aan bod. Om de Grassmann-variëteit beter te kunnen begrijpen, moeten we nu eerst wat multilineaire algebra invoeren. Als we dit gedaan hebben, kunnen we inzien dat Gr(2, 4), oftewel lijnen in P 3, een 1-1 correspondentie heeft met de Klein-kwadriek. Dit is een bijzondere kwadriek vernoemd naar Felix Klein. 2.1 Multilineaire algebra Definitie 2.4. Een alternerende multilineaire vorm van graad p op een vectorruimte V is een afbeelding M : V p = V... V K, met K een lichaam, zodat M(u 1,..., u i,..., u j,..., u p ) = M(u 1,..., u j,..., u i,..., u p ) als i j en verder geldt dat: M(λ 1 v 1 + λ 2 v 2, u 2,..., u p ) = λ 1 M(v 1, u 2,..., u p ) + λ 2 M(v 2, u 2,..., u p ). Definitie 2.5. Het p-de machts uitproduct p V van een eindig-dimensionale vectorruimte is de duale ruimte van de vectorruimte van alle alternerende multilineaire vormen van graad p op V. Elementen hiervan heten p-vectoren. 5

Definitie 2.6. Zij gegeven u 1,..., u p V. Dan is het uitwendig product u 1 u 2... u p p V de lineaire afbeelding naar K die op een alternerende multilineaire vorm M de waarde (u 1... u p )(M) = M(u 1,..., u p ) aanneemt. Het uitwendig product heeft drie belangrijke eigenschappen: Het is lineair in elke variabele u i afzonderlijk. Het wisselen van twee variabelen gaat ten koste van een tekenwisseling. Als u i = u j voor i j, dan is het uitwendig product nul. Lemma 2.7. Het uitwendig product u 1 u 2... u p van p-vectoren u i V is nul dan en slechts dan als de vectoren lineair afhankelijk zijn. Bewijs. : Als er een niet triviale lineaire relatie is met λ 1 u 1 +... +... λ p u p = 0 met zeg λ 1 0, dan is u 1 een lineaire combinatie van u 2,..., u p, zeg u 1 = p i=1 α iu i. Maar dan is: u 1 u 2... u p = ( p α i u i ) u 2... u p = 0, i=1 want in elke term komt een u i op twee plekken voor, dus is het uitwendig product nul. : Als de vectoren u i lineair onafhankelijk zijn, kunnen ze worden uitgebreid tot een basis en is u 1 u 2... u p een basisvector voor p V die niet nul is. Dus is er een lineaire afbeelding van V p naar K die niet nul is op deze basisvector. We willen verderop bewijzen dat Gr(2, 4) een 1-1 correspondentie heeft met een bijzondere kwadriek en daarvoor moeten we dit generaliseren. Daarvoor moeten we eerst definiëren wat een splitsbare vector is en daarna de algebraïsche conditie aangeven. Definitie 2.8. Zij a 2 V met a 0. We noemen a splitsbaar als a te schrijven is a = x y. Stelling 2.9. Zij a 2 V met a 0. Dan is a splitsbaar dan en slechts dan a a = 0 4 V. 6

Bewijs. : Zij a = x y voor twee vectoren x en y. Dan geldt dat: a a = x y x y = x y y x = 0 : Dit gaan we bewijzen door middel van inductie naar de dimensie van V. Stel de dimensie van V = 0 of 1, dan is 2 V = 0, dus het eerste geval wat we bekijken is als de dim(v ) = 2. In dit geval is dim( 2 V ) = 1. Verder geldt dat v 1 v 2 0 als v 1, v 2 een basis zijn voor V, dus elke a is splitsbaar. Om de inductie te laten werken als de dim(v ) = n, moet we nu eerst bekijken wat er gebeurd als dim(v ) = 3. Zij a 0 en a 2 V. We definiëren de afbeelding A : V 3 V zodat A(v) = a v. De dim( 3 V ) = 1, dus is dim(ker(a)) 2. We kunnen dus lineair onafhankelijke vectoren u 1, u 2 in de kern kiezen en die uitbreiden naar een basis u 1, u 2, u 3 van V. Nu kunnen we a schrijven als a = λ 1 u 2 u 3 + λ 2 u 3 u 1 + λ 3 u 1 u 2. Omdat u 1 in de kern van A zit volgt nu dat a u 1 = λ 1 u 2 u 3 u 1 = 0, dus λ 1 = 0 en op analoge wijze volgt dat λ 2 = 0. Dus geldt dat a = λ 3 u 1 u 2 en dus is a een splitsbare vector. Nu nemen we aan dat de stelling waar is voor dim(v ) n 1 en gaan we hiermee bewijzen dat de stelling ook waar is voor dim(v ) = n. We kiezen een basis v 1,..., v n en schrijven a als a = n 1 i<j i=1 a ij v i v j n 1 = ( a in v i ) v n + = u v n + a, n 1 1 i<j a ij v i v j waarbij u U en a 2 U en U is de (n 1)-dimensionale deelruimte opgespannen door v 1,..., v n 1. Gegeven was dat a a = 0. Als we a a nu uitschrijven met behulp van bovenstaande uitdrukking krijgen we: 0 = a a = (u v n + a ) (u v n + a ) = 2(u v n + a ) a. Omdat v n niet voorkomt in de expansie van u a of a a, volgt nu dat u a = 0 en ook dat a a = 0. Met inductie volgt nu dat a een splitsbare vector is, dus zeg a = u 1 u 2 en dus volgt dat u u 1 u 2 = 0. Uit Lemma 2.7 volgt nu dat er een lineaire relatie is zodat: λu + µ 1 u 1 + µ 2 u 2 = 0. 7

Als λ = 0 volgt dat u 1 en u 2 lineair afhankelijk zijn zodat a = u 1 u 2 = 0. Dit betekend dat u = u v n, dus u is splitsbaar. Als λ 0, dan is u = λ 1 u 1 +λ 2 u 2, dus a = λ 1 u 1 v n + λ 2 u 2 v n + u 1 u 2. Dit is het 3-dimensionale geval van de stelling en we hebben al laten zien dat a dan splitsbaar is. Conclusie is dat a altijd splitsbaar is. We gaan nu deze stelling toepassen om in te zien dat lijnen in P 3 een 1-1 correspondentie heeft met de een bijzondere kwadriek, genaamd de Kleinkwadriek. We kiezen de dimensie van V gelijk aan vier. Stel de basis van V is v 0, v 1, v 2, v 3. Dan is de dimensie van 4 V gelijk aan 1 met een basisvector v 0 v 1 v 2 v 3. We kunnen a 2 V dan schrijven als: a = λ 1 v 0 v 1 + λ 2 v 0 v 2 + λ 3 v 0 v 3 + µ 1 v 2 v 3 + µ 2 v 3 v 1 + µ 3 v 1 v 2 en omdat cv i v j = 0 als i = j, volgt dat a a gelijk is aan: Cv 0 v 1 v 2 v 3 met C = 2(λ 1 µ 1 + λ 2 µ 2 + λ 3 µ 3 ) Als we deze vergelijking gelijkstellen aan nul krijgen we de Klein-kwadriek Q die dus ligt in P( 2 V ), met coördinaten Λ i, µ i horend bij een basis basis v i v j met 1 i < j 4 van 2 V. Een andere basiskeuze herschaalt C en dus is Q welgedefinieerd. De vorige stelling vertelt ons nu dat elk punt in Q gerepresenteerd wordt door een splitsbare 2-vector, dus is er 1-1 correspondentie tussen lijnen in een 3-dimensionale projectieve ruimte P 3 en punten in de 4-dimensionale kwadriek Q P( 2 V ). Deze Q is zoals gezegd erg belangrijk en wordt de Klein-kwadriek genoemd. Hij wordt uitgebreid behandelt in [3]. Hoe deze Klein-kwadriek er nu precies uitziet weten we nog niet, want daarvoor hebben we Plücker-coördinaten nodig. In het volgende hoofdstuk komen deze coördinaten uitgebreid aan bod. 8

Hoofdstuk 3 De Plücker-afbeelding In dit hoofdstuk gaan we ons bezig houden met de de Plücker-afbeelding. Deze afbeelding is vernoemd naar Julius Plücker, een Duitse wiskundige die in de negentiende eeuw deze afbeelding heeft bedacht. De Plücker-afbeelding is een manier om de Grassmann-variëteit in te bedden in een projectieve ruimte. Zo kunnen we inzien dat de Grassman-variëteit eigenlijk een projectieve variëteit is. Maar voor het zo ver is geven we eerst de definitie van de Plücker-afbeelding. Definitie 3.1. Zij U een k-dimensionale deelruimte van V met een basis u 1,..., u k. Defineer p(u) als het punt van de projectieve ruimte P( k V ) die bepaald wordt door u 1... u k. De afbeelding p, p : Gr(k, n) P( k V ), heet de Plücker-afbeelding. {u 1,..., u p } u 1... u p We moeten nu eerst laten zien dat deze afbeelding welgedefinieerd is. Zij {u 1,..., u k } en {v 1,..., v k } twee verschillende keuzes van een basis van U, die een coördinatie-transformatie van elkaar verschillen, dus: (v 1,..., v k ) = A(u 1,..., u k ) met A een k k matrix. Dan geldt dat: v 1... v k = det(a)u 1... u k, waarbij geldt dat det(a) 0. Dus volgt dat de Plücker-afbeelding welgedefinieerd is. 9

Stelling 3.2. De Plücker-afbeelding p is een injectieve afbeelding. Bewijs. Dit volgt direct uit Lemma 2.7. Dit Lemma zegt dat u 1... u k = 0 dan en slechts dan als de vectoren u 1,..., u k lineair afhankelijk zijn. Als u 1,..., u k een basis is voor U V, geldt dat deze vectoren lineair onafhankelijk zijn, dus is u 1... u k 0, dus is p injectief. Om in te zien wat de Plücker-afbeelding precies doet, gaan we eerst kijken wat er gebeurd bij Gr(2, 4). Hiervoor moeten we eerst Plücker-coördinaten invoeren, die door Julius Plücker in de 19de eeuw ingevoerd zijn. Hij bekeek Gr(2, 4) als lijnen in een 3-dimensionale projectieve ruimte en bedacht de volgende definitie. 3.1 Plücker-coördinaten Definitie 3.3. Zij x, y R 3. Als homogene coördinaten krijgen we dan x = [x 0 : x 1 : x 2 : x 3 ] en y = [y 0 : y 1 : y 2 : y 3 ]. De lijn die door zowel x als y gaat heeft Plücker-coördinaten: ( ) p 01 p 02 p 03 p 23 p 31 p 12 gegeven door de minoren van de matrix ( ) ( ) x x0 x M = = 1 x 2 x 3 y y 0 y 1 y 2 y 3 Dus: p 01 = x 0 y 1 x 1 y 0 p 23 = x 2 y 3 x 3 y 2 p 02 = x 0 y 2 x 2 y 0 p 31 = x 3 y 1 x 1 y 3 p 03 = x 0 y 3 x 3 y 0 p 12 = x 1 y 2 x 2 y 1 Als x 0 0 en y 0 0, dan kunnen we x en y normaliseren en dit geeft x 0 = y 0 = 1. Dus geldt dat: p 01 = y 1 x 1, p 02 = y 2 x 2, p 03 = y 3 x 3 De Plücker-afbeelding p gaat in dit geval dus van Gr(2, 4) naar P 5. In Stelling 3.2 hebben we gezien dat de Plücker-afbeelding een injectieve afbeelding is. Dit kunnen we mooi illustreren in Gr(2, 4) door gebruik te maken van Plücker-coördinaten. Stel we hebben twee elementen in Gr(2, 4) met matrixrepresentaties ( ) ( ) x0 x Λ = 1 x 2 x 3 u0 u en M = 1 u 2 u 3 y 0 y 1 y 2 y 3 v 0 v 1 v 2 v 3 10

waarvoor geldt dat Λ Plücker-coördinaten ( ) p 01 p 02 p 03 p 23 p 31 p 12 heeft en M Plücker-coördinaten ( ) q 01 p 02 q 03 q 23 q 31 q 12 heeft. We stellen nu dat de Plücker-coördinaten hetzelfde zijn en willen bewijzen dat Λ en M hetzelfde element representeren. Λ heeft rang twee, dus er is een minor die niet nul is. Zonder verlies van algemeenheid kunnen we dus stellen dat de minor x 0 x 1 y 0 y 1 0. Stel ( ) x0 x A = 1 GL(2). Dan representeert Λ y 0 y := A 1 Λ hetzelfde element als ( 1 ) 1 0 x Λ en Λ = 2 x 3 0 1 y 2 y 3. Hieruit volgt dat p 01 = 1. Omdat de Plückercoördinaten ( van ) Λ en M gelijk zijn, volgt nu ook dat q 01 = 1, dus M = 1 0 u 2 u 3 0 1 v 2 v 3 representeert hetzelfde element als M. Nu geldt dat y 2 = v 2, omdat: x 0y 2 x 2y 0 = y 2 = p 02 = q 02 = u 0v 2 u 2v 0 = v 2. Dezelfde redenering kunnen we toepassen bij de overige coördinaten van Λ en M, dus Λ = M. Hieruit volgt dat Λ en M hetzelfde element representeren en dus is de Plücker-afbeelding met p : Gr(2, 4) P 5 een injectieve afbeelding. Dat het geen surjectieve afbeelding is, volgt omdat de Plückercoördinaten moeten voldoen aan de kwadratische vergelijking 0 = p 01 p 23 p 02 p 13 + p 03 p 12 (3.1) wat we impliciet al hebben bewezen in het vorige hoofdstuk bij stelling 2.9, maar nu ook expliciet kunnen aantonen, wederom met behulp van Plückercoördinaten. Er geldt namelijk dat w w = 0 4 V dan en slechts dan als (3.1) geldt. Om dit in te zien kiezen we een splitsbare vector w 2 V oftewel, w = v 1 v 2. Dan is: w w = v 1 v 2 v 1 v 2 = v 1 v 2 v 2 v 1 = 0. (3.2) We kunnen w in termen van een basis schrijven als: w = a 01 e 0 e 1 + a 02 e 0 e 2 + a 03 e 0 e 3 + a 12 e 1 e 2 + a 13 e 1 e 3 + a 23 e 2 e 3. Als we vervolgens w w uitrekenen krijgen we: 2(a 01 a 23 a 02 a 13 + a 03 a 12 )e 0 e 1 e 2 e 3. Er geldt dat a a = 0, dus moet gelden dat (a 01 a 23 a 02 a 13 + a 03 a 12 ) = 0. 11

Conclusie is dat w w = 0 4 V is als (3.1) geldt. Van de andere kant bekeken, moeten we w een vector uitgeschreven in termen van een basis, dus w = a 01 e 0 e 1 + a 02 e 0 e 2 + a 03 e 0 e 3 + a 12 e 1 e 2 + a 13 e 1 e 3 + a 23 e 2 e 3. waarbij (3.1) geldt. Dan geldt natuurlijk dat w w = 0. We hebben in de eerste sectie van dit hoofdstuk gezien dat Gr(k, n) ingebed kan worden in de projectieve ruimte P( k V ) via de Plücker-afbeelding p. In de komende sectie willen we aantonen dat p(gr(k, n)) een gesloten deelruimte van P N met N = ( n k) 1. Dit wordt ook beweerd in [1], maar daar niet bewezen. 3.2 De Grassmann-variëteit als deelvariëteit Definitie 3.4. Zij w k V en v V met v 0. We noemen v een deler van w als er een u k 1 V is zodat w = v u. Lemma 3.5. Zij w k V en v V met v 0. Dan is v een deler van w dan en slechts dan w v = 0 Bewijs. : Stel v is een deler van w, dan is w v = u v v = 0. : Zij {e 1, e 2,..., e k } een basis van V met e 1 = v. De kanonieke basis voor k V is: {e i1... e ik i 1 <... < i k n}. Zij e i1... e ik = e i1,i 2,...,i k w = Elke w k V kan dan worden geschreven als: a i1,i 2,...,i k e i1,..., e ik. 1 i 1 <...<i k n Als we nu v w uitschrijven in termen van deze basis, krijgen we: v w = e 1 a i1,i 2,...,i k e i1,..., e ik. 1 i 1 <...<i k n We weten dat w v = 0, dus volgt dat a i1,i 2,...,i k = 0 voor alle i 1,..., i k met 1 < i 1. Dus geldt dat er een u k 1 V is zodat w = v u en dus is v een deler van w. Bovenstaand lemma kunnen we toepassen om aan te tonen dat de collectie van alle vectoren v V die een deler zijn van een vaste vector w k V, een deelruimte van V zijn. Stel v 1 en v 2 zijn delers van w, dan geldt dat: (v 1 + v 2 ) w = v 1 w + v 2 w = 0. 12

Dus volgt dat v 1 + v 2 een deler is van w. Ook geldt dat v w = 0 impliceert dat αv w = 0 voor elke α, dus de collectie van vectoren v die een deler van w zijn is echt een linieare deelruimte van V. We gaan nu een splitsbare vector definiëren. Deze term zijn we ook al tegengekomen in het vorige hoofdstuk, maar toen we bekeken we een splitsbare vector in 2 V. Nu hebben we het over een splitsbare vector in p V, dus moeten we de definitie iets aanpassen. Definitie 3.6. We noemen w k V splitsbaar als er vectoren v 1,... v k V zijn zodat w = v 1 v k. Lemma 3.7. Zij w k V. Dan is w splitsbaar dan en slechts dan als de ruimte van vectoren die een deler zijn van w van dimensie k is. Bewijs. : Stel w is een splitsbare vector. Zij w = v 1... v k voor lineair onafhankelijke vectoren v i V. Dan volgt uit Lemma 3.5 dat de ruimte opgespannen door de vectoren die een deler zijn van w is gegeven door: U = {v V v 1... v k v = 0}. Dus volgt dat v U dan en slechts dan v lineair afhankelijk is van v 1,..., v k, oftewel U heeft een basis {v 1,..., v k }. : Zij U = {v V : v deler van w}. Stel dat dim(u) = k, dan heeft U dus een basis v 1,..., v k. We breiden deze basis uit tot een basis {v 1,..., v k, v k+1,..., v n } voor V. We kunnen nu w schrijven als w = a i1,i 2,...,i k v i1,i 2,...,i k. 1 i 1 <...<i k n Voor j {1,..., k} weten we dat v j w = 0, dus geldt dat: 0 = v j w = a i1,i 2,...,i k v j v i1,i 2,...,i k = 1 i 1 <...<i k n 1 i 1 <...<i k n i r j a i1,i 2,...,i k v j v i1,i 2,...,i k. Hieruit volgt dat a i1,i 2,...,i k = 0 of i r = j voor een i r. Gegeven was dat v 1 w = = v k w = 0, dus volgt dat a i1,i 2,...,i k = 0 of er geldt dat {1,..., k} {i 1,..., i k }. Dan geldt natuurlijk dat w = a i1,i 2,...,i k v 1... v k en dus is w splitsbaar. Lemma 3.8. Zij w k V. Zij φ w : V k+1 V de lineaire afbeelding gegeven door φ w (v) = w v. Dan is w splitsbaar dan en slechts dan als de kern van φ w dimensie k heeft. 13

Bewijs. Dit lemma volgt direct uit de vorige twee lemma s. De kern van φ w wordt gegeven door ker(φ w ) = {v V w v = 0}. Uit Lemma 3.5 volgt dat dit de ruimte van vectoren is bestaande uit delers van w. Uit Lemma 3.7 volgt dat deze ruimte splitsbaar is dan en slechts dan deze ruimte dimensie k heeft. Stelling 3.9. Het beeld van Gr(k, n) via de Plücker-afbeelding p is een algebraïsche deelverzameling van de projectieve ruimte P N = P( k V ). Bewijs. Het beeld p(gr(k, n)) is de verzameling van alle splitsbare vectoren w in k V. Volgens Lemma 3.8 kan p(gr(k, n)) geïdentificeerd worden met de verzameling vectoren w k V zodat dim(ker(φ w )) = k. Ook volgt dan dat de dimensie van het beeld van φ w gelijk is aan n k. Nu is de afbeelding k V Hom(V, k+1 V ) die w stuurt naar φ w een lineaire afbeelding. De coëfficiënten in de matrix φ w Hom(V, k+1 V ) zijn homogene coördinaten in P( k V ). Dus de deelverzameling p(gr(k, n)) P( k V ) kan worden beschouwd als deelvariëteit gedefinieerd door het nul zijn van de (n k + 1) (n k + 1) minoren van de matrix. Dit is de simpelste manier om Gr(k, n) te zien als deelvariëteit van P( k V ). Het is interessant om te onderzoeken of er bij de Grassmann-variëteit een natuurlijke celdecompositie mogelijk is en dit gaan we bekijken in het volgende hoofdstuk. 14

Hoofdstuk 4 De celdecompositie Uit de projectieve meetkunde weten we dat er bij een projectieve ruimte een natuurlijke celdecompositie is. In zo n celdecompositie wordt de ruimte verdeeld in kleinere ruimtes, de cellen. In dit hoofdstuk gaan we onderzoeken of er ook zo n natuurlijke celdecompositie is bij de Grassmann-variëteit en kijken we vervolgens of we daar iets aan hebben. Definitie 4.1. Een vlag V is een stijgende rij van deelruimtes van een vectorruimte V. Met stijgend bedoelen we hier dat elke deelruimte bevat is in de volgende deelruimte. Er geldt dus dat: {0} = V 0 V 1 V 2... V k = V In de projectieve meetkunde hebben we de recursieve relatie P n = C n P n 1 voor P n. Als we dit voortzetten krijgen we dus een volledige decompositie: P n = C n C n 1... C 1 C 0 Uit Definitie 2.1 weten we nog dat P n = Gr(1, n + 1). Deze celdecompositie is verkregen door een vlag: V = (V 1 V 2... V n 1 V n C n+1 ) bestaande uit 1-dimensionale lineaire deelruimtes l van C n+1 te kiezen en daarna de Ω i te defineren door: Ω i = C i 1 en Ω i = {l C n+1 : l V i, l V i 1 } Dezelfde techniek gaan we nu gebruiken om een celdecompositie te maken van de Grassmann-variëteit. Dit doen we met behulp van Schubert-Variëteiten, deelvariëteiten van de Grassmann-variëteit. 15

4.1 De Schubert-variëteit Om de celdecompositie van de Grassmann-Variëteit te maken, hebben we eerst de definitie van een Young-diagram nodig. Definitie 4.2. Een dalende rij λ = (λ 1 λ 2... < λ k ) van niet negatieve getallen kan geaccocieerd worden met een Young-diagram, bestaande uit k rijen van vierkanten, waarbij rij i λ i vierkanten heeft. Voorbeeld 4.3. Als een voorbeeld van een Young-diagram kiezen we λ = (3, 2, 1, 1). We krijgen dan dit figuur: We gaan nu deze Young-diagrammen gebruiken om een celdecompositie van de Grassmann-Variëteit te maken. Definitie 4.4. Zij V een vlag in C n en λ een Young-diagram, met k rijen en hoogstens bestaande uit n k blokken. Dan is de Schubert-cell Ω o λ (V ) de verzameling van Λ Gr(k, n) zodat de dim(λ V j ) = i als j tussen n + i λ i en n + i λ i+1 ligt. Er geldt dus dat: Ω o λ(v ) = {Λ Gr(k, n) : dim(λ V n+i λi ) = i, 1 i k} De Grassmann-Variëteit Ω λ (V ) is de afsluiting van Ω o λ (V ). Opmerking. Stel λ en µ zijn twee Young-diagrammen zodat λ < µ, oftewel er geldt dat λ i µ i voor alle i. Dan is Ω µ (V ) een deelverzameling van Ω λ (V ). Er geldt zelfs nog iets sterkers, wat we zullen formuleren in het volgende Lemma. Lemma 4.5. De Grassmann Schubert-variëteit Ω λ (V ) is de disjuncte vereniging van de Schubert-cellen Ω o µ(v ) voor alle µ > λ. Bewijs. Dat Ω o µ(v ) Ω λ (V ) volgt onmiddellijk uit bovenstaande opmerking. Hieruit volgt dat als Λ voldoet aan dim(λ V n+i λi ) i, we λ i laten stijgen tot de dimensie gelijk is aan i. Als we dit voor elke i doen, krijgen we dat voor µ > λ geldt dat Λ Ω o µ(v ). 16

Nu moeten we nog inzien dat de Schubert-cellen disjunct zijn. Stel Λ (Ω o µ(v ) Ω o µ (V )). We weten dan dat Λ twee matrixrepresentaties heeft, noem deze M µ en M µ. De coëfficiënten in deze matrix zijn willekeurig, behalve op de (i, n + 1 λ i )-de plaats. Daar staat 1 en in de rest van deze kolom staan nullen. We kijken nu naar de eerste i, zodat µ i µ i en stellen zonder verlies van algemeenheid dat µ i µ i. Dan geldt voor M u dat voor alle k > n + 1 λ i de (i, k)-de coëfficiënt nul is. Deze coëfficiënt is ook de (i, n + 1 µ i)-de coëfficiënt, dus er staat ook een 1. Maar dit is een tegenspraak, dus geldt dat Ω o µ(v ) Ω o µ (V ) =. Met deze twee Lemma s hebben we nu bewezen dat de Schubert-cellen een celdecompositie van de Grassmann-Variëteit geven. Om goed inzicht te krijgen wat deze celdecompositie is, keren we weer terug naar ons belangrijke voorbeeld Gr(2, 4) en bekijken daarvan de celdecompositie. Voorbeeld 4.6. We gaan in dit voorbeeld de celdecompositie van Gr(2, 4) bekijken. Zij gegeven een vlag V = V 1 V 2 V 3. We krijgen bij deze celdecompositie zes Schubert-cellen, die samen Gr(2, 4) vormen. Hieronder zijn ze expliciet opgeschreven in termen van elementen en bovenstaande vlag, met oplopende dimensies. Daarachter staat de matrixrepresentatie, met daarbij een uitleg wat de cel precies is, maar dan wel met het idee dat Gr(2, 4) lijnen in P 3 is. ( ) 0 1 0 0 dim(0) : Ω (2,2) = {V 2 } =. We hebben hier alleen een gegeven 1 0 0 0 lijn. ( ) 0 1 0 dim(1) : Ω (2,1) = {Λ : V 1 Λ V 3 } =. Dit zijn lijnen in een 1 0 0 0 vlak door een punt. ( ) 0 1 dim(2) : Ω (1,1) = {Λ : Λ V 3 } =. Lijnen in een vlak. 1 0 0 0 ( ) 0 1 0 dim(2) : Ω (2,0) = {Λ : V 1 Λ} =. Lijnen door een punt. 1 0 0 ( ) 0 1 dim(3) : Ω (1,0) = {Λ : dim(λ V 2 ) 1} =. Lijnen die een 1 0 0 gegeven lijn snijden in één punt. ( ) 1 0 dim(4) : Ω (0,0) = Gr(2, 4) =. Lijnen in P 0 1 3. 17

Onderstaand plaatje geeft een schets van de celdecompositie. De tekening is wel zo gemaakt dat we lijnen in P 3 bekijken, want anders valt het lastig te tekenen. Bovenaan staat Ω (0,0), dus enkel een gegeven lijn door een vast punt. Als we dan naar onderen gaan, krijgen we steeds een hogere dimensie, met in het midden twee cellen van gelijk dimensie. Daaronder hebben we een cel die gegeven is door alle lijnen door één vast gegeven punt en onderaan alle lijnen in P 3. Met dit voorbeeld besluiten we dit hoofdstuk en daarmee deze scriptie. Met bovenstaande Schubert-cellen vallen allerlei combinatorieke problemen op te lossen, zoals hoeveel lijnen snijden vier gegeven lijnen in algemene positie. Maar hiervoor hebben we Schubert-calculus nodig, wat we niet in deze scriptie zullen behandelen. 18

Hoofdstuk 5 Populaire samenvatting In deze scriptie heb ik gekeken naar drie belangrijke onderwerpen in de algebraïsche meetkunde. De algebraïsche meetkunde is zoals de naam al doet vermoeden een combinatie tussen abstracte algebra en meetkunde. De algebraïsche meetkunde houdt zich bezig met de studie van stelsels veeltermvergelijkingen in meerdere onbekenden, meer specifiek met de meetkundige eigenschappen van de nulpunten van dergelijke stelsels. De invoering van cartesische coördinaten (door Descartes) in de zeventiende eeuw, toen een duidelijk verband tussen de algebra en meetkunde werd gelegd, was het begin van deze tak van de wiskunde. 5.1 Over de Grassmann-variëteit Het eerste belangrijke onderwerp is de naam van deze scriptie, de Grassmannvariëteit. De Grassmann-variëteit is een generalisatie van het begrip projectieve ruimte, maar daarvoor moeten we natuurlijk eerst weten wat een projectieve ruimte is. Een projectieve ruimte is een bijzondere ruimte, want het is een ruimte met punten op oneindig. Dit kunnen we ons als volgt voorstellen. Als we twee lijnen hebben die evenwijdig lopen, zeggen we normaal dat ze elkaar niet snijden. Maar zoals we uit de kunst weten lijkt het net alsof die twee lijnen elkaar snijden in het oneindige, zoals de treinrails bij onderstaand figuur. 19

In een projectieve ruimte gaan we er dus van uit dat alle lijnen elkaar snijden, ook die lijnen die evenwijdig lopen, want die snijden elkaar in het oneindige. De Grassmann-variëteit is zoals eerder gezegd dus een generalisatie van de projectieve ruimte en wel op de volgende manier. De eerste en meest simpele Grassmann-variëteit met de notatie Gr(1, n) is gewoon een projectieve ruimte. Er is in deze ruimte en oorsprong gekozen en de ruimte bestaat uit alle lijnen door deze oorsprong, in alle mogelijke richtingen. Nu gaan we dit dus generaliseren naar een hogere dimensie. Dan komen we uit bij Gr(2, n). Hiermee worden vlakken in alle mogelijke richtingen bedoeld. Als we nog een dimensie hoger gaan, kunnen we helaas ruimtelijk niet meer goed voorstellen wat we aan het doen zijn, maar met Gr(3, n) worden dus alle 3-dimensionale deelruimte van een n-dimensionale deelruimte bedoeld. We kunnen dit nog verder generaliseren, namelijk met Gr(k, n) worden alle k-dimensionale deelruimte in een n-dimensionale ruimte bedoeld. 5.2 Over de Plücker-afbeelding Het tweede belangrijke onderwerp wat er behandeld is in deze scriptie is de de Plücker-afbeelding. Een afbeelding is precies wat het woord zegt, het beeldt iets af. Het koppelt een element uit de ene verzameling aan precies één ander element van een andere (of dezelfde) verzameling. Een voorbeeld van een afbeelding is α : R R met α(x) = x. Deze afbeelding stuurt elk reeël getal naar de absolute waarde van dat getal. De Plücker-afbeelding blijkt injectief te zijn. Een injectieve afbeelding is een bijzonder soort afbeelding waarbij geen twee verschillende elementen hetzelfde beeld hebben, oftewel elk element uit het beeld heeft een uniek origineel. Dit hoeft niet te betekenen dat het hele beeld bereikt wordt, want dit heet een surjectieve afbeelding. Het origineel van de Plücker-afbeelding is de Grassmann-variëteit en hij beeldt af in de projectieve ruimte. In deze scriptie wordt bewezen dat het 20

echt een injectieve afbeelding is, dus dat elk bereikt beeldpunt één uniek origineel heeft. Verder wordt er voor een speciaal geval bewezen dat niet het hele beeld bereikt wordt, oftewel het is geen surjectie. 5.3 Over de celdecompositie Het laatste onderwerp wat in deze scriptie behandeld wordt is de celdecompositie. De celdecompositie deelt een ruimte op in kleinere ruimtes, de cellen. In dit geval wordt er met cellen delen van de Grassmann-variëteit bedoeld. Maar het kan ook om andere cellen gaan. Zo is er ook een celdecompositie van de projectieve ruimte. We hebben in de projectieve ruimte namelijk de recursieve relatie P n = C n P n 1 voor P n. Als we dit voortzetten krijgen we dus een decompositie: P n = C n C n 1... C 1 C 0 Zo n soort celdecompositie is er dus ook bij de Grassmann-variëteit. Sterker nog, die celdecompositie die gebruikt wordt bij de projectieve ruimte wordt ook op een slimme manier gebruikt bij de Grassmann-variëteit. Als er eenmaal zo n celdecompositie is, is het veel makkelijker om te onderzoeken hoe de ruimte er precies uit ziet. 21

Bibliografie [1] Joe Harris, Algebraic Geometry: A First Course, 2nd edition, Springer, 1995. [2] Phillip Griffiths, Joseph Harris, Principles of Algebraic Geometry, 1st edition, John Wiley and sons, 1978. [3] Nigel Hitchin, Projective geometry, 2003. [4] Sheldon Katz, Enumerative geometry and string theory, 1st edition, American Mathematical Society, 2006 22