2 De Jordannormaalvorm van een lineaire transformatie

2 De Jordannormaalvorm van een lineaire transformatie We zagen dat iedere lineaire transformatie L : V V van een vectorruimte (V, K) over een algebraïsch afgesloten lichaam K op bovendriehoeksvorm kan worden gebracht. Dit betekent dat voor iedere A K n n er een X GL n (K) bestaat met X 1 AX = R bovendriehoeks. We gaan dit resultaat verder aanscherpen middels verdere gelijkvormigheidstransformaties. Definitie 2.1 (Gelijkvormigheidstransformatie) Zij A K n n en X GL n (K). omzetting A X 1 AX heet een gelijkvormigheidstransformatie van A met X. De We introduceren nu eerst gelijkvormigheidstransformaties met bekende elementaire matrices. 2.1 Gelijkvormigheidstransformaties met elementaire matrices We brengen drie types elementaire matrices in de herinnering uit context van Gauß-eliminatie. Definitie 2.2 Voor alle gehele k, l met 1 k < l n en h K definiëren we de matrices D n k (h) = I n + (h 1)e k e k en E n kl (h) = I n + he k e l, (1) die mogelijk alleen op positie (k, k), respectievelijk (k, l), afwijken van de identiteit I n K n n. Laat tot slot Π kl = I n (e k e l )(e k e l ), (2) dus Π kl is de identiteit I n met kolommen k en l verwisseld. Opmerking 2.3 De matrix Dk n(h) is een diagonaalmatrix met inverse Dn k (h 1 ) als h, en Ekl n (h) is een bovendriehoeksmatrix met inverse En kl ( h) voor alle h K, en Π 1 = Π kl. Voorbeeld 2.4 We geven hier een voorbeeld van ieder van deze elementaire matrix types, 1 1 1 D2(2) 4 2 =, E24(3) 4 3 = en Π 4 23 =. Links/rechtsvermenigvuldiging met deze matrices correspondeert met elementaire rij/kolomoperaties. In het volgende voorbeeld illustreren we hun effect op een bovendriehoeksmatrix. Voorbeeld 2.5 Toepassing van D2 4 (2) vermenigvuldigt de tweede rij of kolom met 2, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 D2(2) 4 1 1 2 2 2 1 1 = en D 4 2 1 1 2(2) =. 1 Linksvermenigvuldiging met E24 4 (3) telt 3 maal de vierde rij op bij de tweede, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 E24(3) 4 1 1 1 4 1 1 = en E 4 24(3) = 1 1 kl 1 1 1 4 1 4,

dus rechtsvermenigvuldiging met E24 4 (3) telt 3 maal de tweede kolom op bij de vierde. Tot slot verwisselt linksvermenigvuldiging met Π 4 23 de tweede en derde rij, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Π 4 1 1 1 1 23 = 1 1 en Π 4 1 1 23 =, 1 oftewel, rechtsvermenigvuldiging met Π 4 23 verwisselt de tweede en derde kolom. Definitie 2.6 (Elementaire gelijkvormigheidstransformatie) A X 1 AX heet een elementaire gelijkvormigheidstransformatie als X van één van de types D n k (h), En kl (h), Π kl is. De volgende observatie is niet moeilijk, maar wel belangrijk. Opmerking 2.7 Iedere X GL n (K) is product van elementaire matrices, dus iedere gelijkvormigheidstransformatie een opéénvolging van elementaire gelijkvormigheidstransformaties. In de volgende drie lemma s en voorbeelden beschouwen we daarom het effect van elementaire gelijkvormigheidstransformaties toegepast op bovendriehoeksmatrices. Lemma 2.8 Gegeven een bovendriehoeksmatrix R K n n en h K en 1 k n. Laat T = Dk n (h) 1 R Dk n (h). (3) Dan kan T = (t ij ) alleen afwijken van R in entries t 1k,..., t k 1,k en entries t k,k+1,..., t kn. Links in Figuur 2.1 illustreren we het effect van een gelijkvormigheidstransformatie met D n k (h). Alleen in de donkere delen van de k-de rij en de k-de kolom kunnen entries veranderen. Voorbeeld 2.9 Beschouw de gelijkvormigheidstransformatie van een bovendriehoeksmatrix met D22 4 (2) 1 1 1 1 1 2 1 1 D22(2) 4 1 1 1 D22(2) 4 1 1 = 2 2. De tweede kolom en de tweede rij worden hierdoor respectievelijk vermenigvuldigd met 2 en 1 2. Dit verandert de entries boven en rechts naast de positie (2, 2). Lemma 2.1 Gegeven een bovendriehoeksmatrix R K n n en h K en 1 k < l n. Laat T = Ekl n (h) 1 R Ekl n (h). (4) Dan kan T = (t ij ) alleen afwijken van R in entries t 1l,..., t k,l en entries t k,l+1,..., t kn. Bewijs. De vermenigvuldiging S = REkl n (h) telt h maal de k-de kolom op bij kolom l. Omdat R bovendriehoeks is, verandert dit hooguit de bovenste k entries in de l-de kolom. De vermenigvuldiging Ekl n ( h)s verandert evenzo hooguit de laatste n l entries in rij k. Opmerking 2.11 Dus R en T verschillen hooguit in, boven, en rechts naast de positie (k, l). 2

Voorbeeld 2.12 Beschouw de gelijkvormigheidstransformatie van een bovendriehoeksmatrix met de elementaire matrix E24 4 (1), 2 1 1 1 2 1 1 2 E24(1) 4 1 2 1 1 3 1 E24(1) 4 2 1 = 3 1. De rechtsvermenigvuldiging telt de tweede kolom op bij de vierde, de linksvermenigvuldiging trekt de vierde rij af van de tweede. Hierdoor veranderen de entries op en boven positie (2, 4). Figuur 2.1 rechts illustreert het effect van een gelijkvormigheidstransformatie met E n kl (h). Alleen de entries in het donkere deel van de k-de rij en l-de kolom kunnen veranderen. In het bijzonder is het effect van de transformatie op de entry r kl op positie (k, l) aangegeven. k D n k (h) k E n kl (h) l k D n k (h) 1 } h } 1 h k +h h r kl r kl + h(r kk r ll ) E n kl (h) 1 l D n k (h) 1 R D n k (h) E n kl (h) 1 R E n kl (h) Figuur 2.1 Elementaire gelijkvormigheidstransformaties van een bovendriehoeksmatrix R. Lemma 2.13 Gegeven een bovendriehoeksmatrix R K n n en 1 k < l n. Laat T = Π 1 kl R Π kl. (5) Dan kan T = (t ij ) alleen afwijken van R in t 1m,..., t lm en t mk,..., t mn met m {k, l}. Opmerking 2.14 Dus R en T verschillen hooguit in de entries t ij in de k-de en l-de rij en kolom, maar niet als i < k of j > l. In het algemeen is T niet bovendriehoeks. Voorbeeld 2.15 Beschouw de gelijkvormigheidstransformatie van een bovendriehoeksmatrix met Π 4 23 ( ) Π 4 1 23 Π 4 23 =. 1 1 1 1 2 2 2 3 3 4 1 1 1 1 3 3 2 2 2 De tweede en derde kolom worden verwisseld, en de tweede en derde rij. Na de gelijkvormigheidstransformatie in Voorbeeld 2.12 is de (2, 4)-entry gelijk is aan nul. We onderzoeken nu wanneer we welke entries in de bovendriehoek naar nul kunnen transformeren met behulp van de gelijkvormigheidstransformaties met matrices van type E n kl (h). Opmerking 2.16 Het is niet mogelijk om het aantal nullen in een matrix te veranderen met elementaire gelijkvormigheidstransformaties met matrices van de types D n k (h) en Πn kl. 3

2.2 Strategische gelijkvormigheidstransformaties met E n ij(h) Het volgende lemma verwoordt het resultaat van Voorbeeld 2.12 in zijn volle algemeenheid. Lemma 2.17 Gegeven een bovendriehoeksmatrix (r ij ) = R K n n, h K en 1 k < l n. Laat T = Ekl n (h) 1 R Ekl n (h), (6) en schrijf T = (t ij ). Dan geldt dat t kl = r kl + hr kk hr ll. (7) Als bovendien r kk r ll en dan geldt dat t kl =. h = r kl r ll r kk, (8) Bewijs. Rechtsvermenigvuldiging van R met Ekl n (h) telt h maal de k-de kolom van R op bij de l-de kolom, en dus in het bijzonder hr kk op bij r kl. Linksvermenigvuldiging met Ekl n ( h) trekt h maal de l-de rij af van de k-de rij, en dus in het bijzonder hr ll af van r kl + hr kk. Dit bewijst (7). De bewering over de keuze van h in (8) is vervolgens eenvoudig. Opmerking 2.18 Als (r ij ) = R K n n bovendriehoeks is en r kk = r ll voor zekere 1 k < l n dan volgt uit (7) dat met (t ij ) = T = E n kl (h) 1 RE n kl (h) dat t kl = r kl voor alle h K. Voorbeeld 2.12 was al een goede illustratie van Lemma 2.17, want het transformeerde de (2, 4)-entry naar nul. We proberen nu ook de (2, 3)-entry naar nul te transformeren. Voorbeeld 2.19 Beschouw de matrix die resulteerde in het rechterlid in Voorbeeld 2.12. De entry op positie (2, 3) is gelijk aan 1. Met h = 1/(3 2) = 1 als in (8) volgt 2 1 1 2 2 1 2 2 E23(1) 4 1 2 1 3 1 E4 23(1) = 2 1 3 1 (9) en in overeenstemming met Lemma 2.17 is de entry op positie (2, 3) gelijk aan nul. De entry erboven en er rechts naast zijn ook veranderd. Lemma 2.1 gaf al aan dat dit kan gebeuren. Opmerking 2.2 Merk op dat de (4, 2)-entry, die we in Voorbeeld 2.12 naar nul hadden getransformeerd, na de transformatie in Voorbeeld 2.19 weer ongelijk is aan nul. Lemma 2.1 laat zien in welke volgordes de transformaties kunnen worden toegepast om nullen te creëren op alle posities (i, j) waarvoor r ii r jj in een gegeven bovendriehoeksmatrix R. Stelling 2.21 Zij R = (r ij ) K n n een bovendriehoeksmatrix, en laat U(R) = {(i, j) {1,..., n} {1,... n}, i < j r ii r jj }. (1) Er bestaat een volgorde (i 1, j 1 ),..., (i p, j p ) van de p elementen van U(R) en een keuze van getallen h 1,..., h p K zo, dat met het product X = E n i 1 j 1 (h 1 )... E n i pj p (h p ) (11) 4

geldt dat X 1 RX = T, met T = (t ij ), (12) een bovendriehoeksmatrix is waarvoor t ij = voor alle (i, j) U(R). Bewijs. Het volstaat een volgorde (i 1, j 1 ),..., (i p, j p ) te kiezen waarin voor ieder tweetal opeenvolgende posities (i q, j q ) en (i q+1, j q+1 ) geldt dat j q < j q+1 of i q > i q+1. Hieruit volgt immers dat als q < r dan j q < j r of i q > i r. In beide gevallen zal volgens Lemma 2.1 een gelijkvormigheidstransformatie Ei n rj r (h) de entry op positie (i q, j q ) niet veranderen. In het bijzonder zal dus iedere tranformatie een nul creëren, die daarna niet meer zal verdwijnen. Het volgende algoritme toont aan dat er volgordes als in het bewijs van Stelling 2.21 bestaan. Algoritme 2.22 Laat R K n n en schrijf U = U(R). Selecteer (i, j) U met i maximaal, en als er daar meerdere van zijn, met j minimaal. Pas een transformatie toe om de (i, j)-entry naar nul te transformeren. Verwijder (i, j) uit U en herhaal het proces tot U leeg is. Vanaf nu zullen we vaak een gelijkvormigheidstransformatie B = X 1 AX noteren met A X B om op die manier wat meer transformaties naast elkaar op dezelfde bladzijde te krijgen. Voorbeeld 2.23 We illustreren Stelling 2.21 met de matrix R uit Voorbeeld 2.12, 2 1 1 1 2 1 1 R = 3 1, waarvoor U(R) = {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)}. De door Algoritme 2.22 gegeven volgorde is (2, 3), (2, 4), (1, 3), (1, 4). De respectievelijke elementaire gelijkvormigheidstransformaties geven we schematisch weer als 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 R = 3 1 E4 23 (1) 2 3 1 E4 13 (2) 2 3 1 E4 14 ( 1) 2 3 1 = T. Omdat de entry op positie (2, 4) toevallig al nul is na toepassing van E23 4 (1), is de transformatie E24 4 (h 2) = I hier weggelaten. Het product X van de transformatiematrices is X = E 4 23(1) E 4 24() E 4 13(2) E 4 14( 1) = en met deze X is X 1 RX dus gelijk aan T. Een gevolg van Stelling 2.21 is een bekend resultaat. 1 2 1 1 (13) Gevolg 2.24 Als alle eigenwaarden van R verschillen dan produceert Algoritme 2.22 een matrix X zo, dat X 1 RX = Λ een diagonaalmatrix is. Dus Algoritme 2.22 diagonaliseert R. 5

Voorbeeld 2.25 Laat R gegeven zijn door 1 2 3 R = 2 3 en dus U(R) = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)}. (14) 3 De door Algoritme 2.22 gegeven volgorde voor de elementaire gelijkvormigheidstransformaties is (2, 3), (1, 2), (1, 3). We vinden: R = 1 2 3 2 3 3 E3 23 (3) 1 2 9 2 3 met als bijbehorende transformatiematrix E3 12 (2) 1 9 2 3 X = E23(3) 3 E12(2) 3 E13( 3 9 2 ) = waarvoor het eenvoudig te verifiëren is dat RX = XΛ. E3 13 ( 9 2 ) 1 2 9 2 3 1 1 2 3 = Λ, (15), (16) Opmerking 2.26 Zowel de matrix X = (x ij ) in (13) als de matrix X = (x ij ) in (16) heeft de eigenschap dat x iqj q = h q voor alle (i q, j q ) U(R). Dit is geen toeval. Immers, Algoritme 2.22 geeft een lijst entries (i 1, j 1 ),..., (i p, j p ) met bijbehorend product X van transformatiematrices X = E n i 1 j 1 (h 1 )... E n i pj p (h p ) = (I n + e i1 e j 1 )... (I n + e ip e j p ) (17) Als q < r geldt voor de paren indices (i q, j q ) en (i r, j r ) dat i q < j q en i r < j r omdat ze corresponderen met posities boven de diagonaal. Daarnaast geldt of i q > i r, of i q = i r en j q < j r, per definitie van Algoritme 2.22. Hieruit volgt dat het uitvermenigvuldigen van het product in (17) geldt dat X = I n + e i1 e j 1 +... e ip e j p (18) Immers, als i q > i r volgt uit i q < j q dat j q > i r. Anderzijds, als i q = i r dan volgt uit i q < j q ook dat i r = i q < j q. In beide gevallen is dus e j q e ir = en dus ook e iq e j q e ir e j r =. Voorbeeld 2.27 Voor n = 4 bewijst Opmerking 2.26 niets anders dan dat 1 1 d e b c 1 a 1 = 1 d e f b c 1 a voor alle a, b, c, d, e, f K. 1 f Overeenkomstige identiteiten gelden ook voor iedere andere waarde van n, als de matrices in deze door Algoritme 2.22 gegenereerde volgorde staan. 6

2.3 Strategische gelijkvormigheidstransformaties met Π kl Gelijkvormigheidstransformaties met elementaire matrices van het type Π kl kunnen worden ingezet om gelijke eigenwaarden naast elkaar op de diagonaal van R te positioneren. Het gevolg daarvan is dat de nullen boven de diagonaal in rechthoekige blokken terechtkomen. Voorbeeld 2.28 Gegeven de matrix 2 1 2 1 3 1 3 R = 2 1, met U(R) = {(1, 2), (1, 4), (2, 3), (3, 4)}. (19) Algoritme 2.22 geeft als transformatievolgorde (3, 4), (2, 3), (1, 2), (1, 4). De respectievelijke elementaire gelijkvormigheidstransformaties geven we schematisch weer als 2 1 2 3 2 1 1 3 2 1 2 R E4 34 (1) 3 1 4 2 E4 23 ( 1) 3 4 2 E4 12 (1) 3 4 2 E4 14 ( 1) 3 4 2. Deze matrix kunnen we met een permutatie Π kl nu zo transformeren, dat gelijke eigenwaarden naast elkaar op de diagonaal komen te staan, 2 3 4 2 Π4 23 2 1 2 3 4. (2) De getransformeerde matrix is blok-diagonaal is en beide blokken op de diagonaal zijn bovendriehoeks. Het bijbehorende product X van de elementaire matrices is X = E 4 34(1) E 4 23( 1) E 4 12(1) E 4 14( 1) Π 4 23 = Merk op dat X zelf geen bovendriehoeksmatrix meer is. 1 1 1 1 Π 4 23 = 1 1 1 1 Opmerking 2.29 De gelijkvormigheidstransformatie met Π 23 kan al toegepast worden zodra de entry op positie (2, 3) gelijk is aan nul. Immers, dan is het resultaat al bovendriehoeks. Opmerking 2.3 Het is ook mogelijk om de volgorde van de diagonaalentries om te draaien in vergelijking tot (2), middels Π 4 23Π 4 34Π 4 12 2 3 4 2 Π 4 12Π 4 34Π 4 23 = 3 4 3 2 1 2 Sterker nog, iedere volgorde van de getallen op de diagonaal kan worden bewerkstelligd. Bovenstaand voorbeeld met opmerkingen geeft aanleiding tot de volgende stelling... 7

Lemma 2.31 Laat (r ij ) = R K n n bovendriehoeks zijn, en k zo dat r kk r k+1,k+1. Dan is T = Π 1 k,k+1 En k,k+1 (h) 1 R Ek,k+1 n (h) Π r k,k+1 k,k+1 met h = (21) r k+1,k+1 r kk bovendriehoeks met t kk = r k+1,k+1 en t k+1,k+1 = r kk. Bewijs. De gelijkvormigheidstransformatie met Ek,k+1 n (h) creëert een nul op positie (k, k+1), waarna verwisseling van rijen k en k + 1 en kolommen k en k + 1 de beide diagonaalentries r kk en r k+1,k+1 verwisselt. De entries op posities (k, k + 1) en (k + 1, k) zijn en blijven nul. Lemma 2.31 wordt geïllustreerd in het volgende eenvoudige voorbeeld. Voorbeeld 2.32 Zie hoe R naar T wordt getransformeerd in 1 2 3 1 2 1 1 1 2 R = 2 2 E3 23 ( 2) 2 Π3 23 1 2 = T (22) en dat de volgorde 1, 2, 1 van de diagonaalentries van R is veranderd in 1, 1, 2 voor T. We kunnen nu een van de hoofdresultaten uit deze sectie formuleren. Stelling 2.33 Laat R K n n bovendriehoeks zijn met verschillende eigenwaarden λ 1,..., λ p met respectievelijke algebraïsche multipliciteiten m 1,..., m p. Dan bestaat er een X GL n (K) zodanig dat T 1.... X 1 T.. RX = 2...... = T, (23)..... T p waarbij T j een m j m j bovendriehoeksmatrix is met alle diagonaalentries gelijk aan λ j. Bewijs. Laat k het kleinste gehele getal zijn waarvoor r kk = λ 1. Dan zijn in het bijzonder r 11,..., r k 1,k 1 allemaal ongelijk aan r kk. Pas nu Lemma 2.31 toe om de entries op posities (k, k) en (k 1, k 1) te verwisselen, vervolgens nogmaals om de entries op posities (k 1, k 1) en (k 2, k 2) te verwisselen, enzovoorts, totdat λ 1 op positie (1, 1) staat. Doe nu hetzelfde met de overige diagonaalentries die gelijk zijn aan λ 1, dan met alle diagonaalentries die gelijk zijn aan λ 2, enzovoorts. Pas tot slot Stelling 2.21 toe om nullen te creëren op alle posities (k, l) waarvoor de entries op posities (k, k) en (l, l) verschillen. Dit geeft precies een matrix van de vorm T in (23). In Sectie 2.5 bestuderen we verdere transformaties van de matrices T 1,..., T p uit Stelling 2.33. Eerst besteden we Sectie 2.4 aan de beschrijving van het beoogde doel. 2.4 De klasse van nilpotente Jordanvormen In deze sectie introduceren we de matrices die uiteindelijk als bouwstenen zullen fungeren voor de eenvoudigste matrix J die gelijkvormig is met een gegeven A K n n. 8

Definitie 2.34 (Nilpotente Jordanvorm) Een matrix (s ij ) = S K n n waarvoor iedere entry die ongelijk aan is, gelijk is aan 1 en direct boven de diagonaal op een positie (i, i + 1) staat, oftewel, s ij j = i + 1 en s ij = 1, (24) noemen we een nilpotente Jordanvorm. Definitie 2.35 (Nilpotent Jordanblok) De nilpotente Jordanvorm in K n n met n 1 entries gelijk aan 1 heet het nilpotente Jordanblok, en wordt genoteerd als N n. Opmerking 2.36 Voor n = 1 is de matrix N 1 = [] het 1 1 nilpotente Jordanblok. Opmerking 2.37 Er bestaan precies 2 n 1 nilpotente Jordanvormen in K n n, want iedere entry op positie (i, i+1) wordt gekozen uit {, 1}. Er is precies één n n nilpotent Jordanblok. Voorbeeld 2.38 Voor n = 4 bestaan er dus precies acht nilpotente Jordanvormen, te weten,,,,,, De matrix rechtsonder is het 4 4 nilpotente Jordanblok N 4., Opmerking 2.39 Een nilpotente Jordanvorm S K n n beeldt iedere standaardbasisvector e k af op of op e k 1. In het bijzonder is Se 1 =. Hieruit volgt direct dat S n =, en dus dat S inderdaad nilpotent is. Het grootste gehele getal p waarvoor S p, de nilpotentie-index van S, is gelijk aan het grootste aantal naast elkaar staande enen op posities (i, i + 1). Het nilpotente Jordanblok is dus de enige nilpotente Jordanvorm met nilpotentie-index n 1. Lemma 2.4 Voor het nilpotente Jordanblok N t K t t geldt dat voor alle j {1,..., t}, en ker(n j t ) = Kt voor alle j t.. ker(n j t ) = span{e 1,..., e j } (25) Bewijs. De matrix N t beeldt de standaardbasisvectoren van K t als volgt op elkaar af, e t N t et 1 N t N... t e1 N t. (26) Dus N j t beeldt e k af op als k j, en op e k j als k > j. Voorbeeld 2.41 Bovenstaand lemma wordt geïllustreerd door 1 N 4 =, N4 2 1 =, N 3 4 = en hogere machten van N 4 zijn uiteraard ook gelijk aan nul. 9, N 4 4 =

Iedere nilpotente Jordanvorm is als volgt opgebouwd uit nilpotente Jordanblokken. Lemma 2.42 Elke nilpotente Jordanvorm S K n n heeft een blokpartitionering als N t1.... N.. S = t2........ (27)... N tp met nilpotente Jordanblokken N t1,..., N tp op de diagonaal, en nullen buiten deze blokken. Bewijs. Laat i 1 < < i p = n de indices zijn van de rijen in S die gelijk aan nul zijn. Laat i = en definieer t j = i j i j 1 voor alle j {1,..., p}. Dan is S van de vorm (27). Opmerking 2.43 De blokpartitionering van S ontstaat derhalve door onder iedere rij nullen een horizontale streep te zetten, en links van iedere kolom nullen een verticale streep. Voorbeeld 2.44 We illustreren Lemma 2.42 middels het blokpartitioneren van vier van de matrices uit Voorbeeld 2.62 en en en. met respectievelijke diagonaalblokken N 2, N 1, N 1 en N 1, N 2, N 1 en N 1, N 3 en N 2, N 2. We introduceren nu eerst wat nieuwe terminologie, die resultaten compacter helpt verwoorden. Partities en de partitiefunctie spelen een grote rol binnen de wiskunde. Definitie 2.45 (Partitie(-functie)) Laat n N. Een partitie τ van n N, notatie τ n, is een tupel τ = [t 1,..., t k ] van getallen t 1,..., t k N zo, dat n = t 1 + + t k met t 1 t k. (28) De getallen t 1,..., t k heten de delen van n, en k n is de lengte van de partitie. De functie p : N N die aan n het aantal partities p(n) van n toevoegt heet de partitiefunctie. Voorbeeld 2.46 De volgende tupels zijn alle verschillende partities van 5, en dus is p(5) = 7. [5], [4, 1], [3, 2], [3, 1, 1], [2, 2, 1], [2, 1, 1, 1], [1, 1, 1, 1, 1], Partities kunnen inzichtelijk worden gevisualiseerd met behulp van Young tableaus. Definitie 2.47 (Young tableau) Het Young tableau van een partitie τ = [τ 1,..., τ p ] n is een afbeelding bestaande uit n vierkanten van gelijke grootte. Deze zijn verdeeld over p aansluitende rijen, met τ j aansluitende vierkanten links uitgelijnd naast elkaar in rij j. 1

Figuur 2.2 Young tableaus van de zeven partities van n = 5. Sommige paren van Young tableaus zijn elkaars gespiegelde in de hoofddiagonaal. Definitie 2.48 (Geconjugeerde partitie) Laat τ = [τ 1,..., τ p ] n N. Voor iedere j {1,..., n}, schrijf τj voor het aantal delen van τ dat groter dan of gelijk is aan j. De positieve getallen τ1,..., τ q vormen de geconjugeerde partitie τ = [τ1,..., τ q ] n van τ. Voorbeeld 2.49 Beschouw de partitie τ = [2, 2, 1] 5. Alledrie de delen zijn groter dan of gelijk aan 1, dus τ1 = 3. Alleen het eerste en tweede deel zijn groter dan of gelijk aan 2 dus τ2 = 2. Er zijn geen delen groter dan twee. Dus τ = [3, 2] is de geconjugeerde partitie van τ. Eenvoudig gesteld telt τ het aantal vierkanten per kolom in het Young diagram van τ. Als gevolg hiervan is het Young diagram van τ de gespiegelde van het Young diagram van τ. τ = [2, 2, 1] τ = [3, 2] conjugatie Figuur 2.3 Young tableaus van geconjugeerde partities zijn elkaars gespiegelde. We gaan nu in op de vraag wat partities te maken hebben met nilpotente Jordanvormen. Definitie 2.5 (Type nilpotente Jordanvorm) De aflopend gesorteerde groottes van de Jordanblokken op de diagonaal van de volgens (27) gepartitioneerde nilpotente Jordanvorm S K n n vormen een partitie τ n. Deze partitie heet het type van S. Voorbeeld 2.51 De acht matrices in Voorbeeld 2.62 hebben de volgende types, [1, 1, 1, 1] [2, 1, 1] [2, 1, 1] [2, 1, 1] [3, 1] [2, 2] [3, 1] [4] waarbij de types op de overeenkomstige positie staan genoteerd als de matrices. Opmerking 2.52 Het type τ n van het n n Jordanblok N n is de partitie τ = [n]. Lemma 2.53 Zij S K n n een nilpotente Jordanvorm van type τ met geconjugeerde τ. Dan is τl het aantal nilpotente Jordanblokken van S van afmetingen l l of groter. Stelling 2.54 Laat S K n n een nilpotente Jordanvorm zijn van type τ n. Dan geldt dat dim(ker(s l )) = τ 1 + + τ l (29) voor alle l q, waarbij τ = [τ 1,..., τ q ] de geconjugeerde van τ is. 11

Bewijs. Laat l {1,..., q} gegeven zijn. Wegens de blokvorm van S in (27) geldt dat S l v = als en alleen als N l t j v j = voor alle j {1,..., p}, waarbij v j bestaat uit de entries van v die in dezelfde rijen staan als N tj. In het bijzonder geldt dus dat dim(ker(s l )) = dim(ker(n l t 1 )) + + dim(ker(n l t p )). (3) Lemma 2.63 geeft dat dim(ker(nt l j )) gelijk is aan het minimum van t j en l. Dus, dim(ker(nt l j )) is precies dan 1 groter dan dim(ker(nt l 1 j )) als het blok N tj afmetingen l l of groter heeft, oftewel, als t j l. Dus dim(ker(s l )) dim(ker(s l 1 )) is gelijk aan het aantal nilpotente Jordanblokken N tj van S met t j l, en dus volgens Lemma 2.53 gelijk aan τ l. Een eenvoudig inductieargument bewijst nu de bewering. Voorbeeld 2.55 Bekijk de machten van de nilpotente Jordanvorm S van type τ = [3, 2], 1 S =, S2 =, S3 =, dan is τ = [2, 2, 1] en zien we dat dim(ker(s)) = τ1 = 2, dim(ker(s2 )) = τ1 + τ 2 dim(ker(s 3 )) = τ1 + τ 2 + τ 3 = 5. Dit illustreert de uitspraak van Stelling 2.54. = 4, en e 3 S e 2 S e 1 S ker(s 1 ) = span{e 1, e 4 } ker(s 2 ) = span{e 1, e 4, e 2, e 5 } e 5 e 4 S S ker(s 3 ) = span{e 1, e 4, e 2, e 5, e 3 } Figuur 2.4 Illustratie horend bij Voorbeeld 2.55. Reden dat we het concept type van een Jordanblok introduceren, is de volgende stelling. Stelling 2.56 Gegeven nilpotente Jordanvormen S, T K n n met types σ n en τ n. Dan zijn S en T gelijkvormig als en alleen als σ = τ. Bewijs. Veronderstel dat σ τ. Dan is ook σ τ en bestaat er dus een l N zo, dat dim(ker(s l )) = σ 1 + + σ l τ + + τ l = dim(ker(t l )). (31) Hieruit volgt dat S l en T l niet gelijkvormig zijn, en dus S en T ook niet. Immers, als B = X 1 AX dan is B l = (X 1 AX) l = X 1 A l X, en als b 1,..., b q een basis is voor ker(b l ) dan is Xb 1,..., Xb q een basis voor ker(a l ). Omgekeerd, veronderstel dat σ = τ. Dan bestaat er een permutatie Π GL n (K) zodanig dat B = Π 1 AΠ. Voor details, zie Lemma 2.57. Lemma 2.57 (Blokpermutatie) Zij X K n n en k + l = n. Blokpartitioneer X als [ ] A B X = C D 12

waarbij A K k k en D K l l. Dan geldt dat [ ] Π 1 D C XΠ = waarbij Π = B A [ Il I k ]. Bewijs. De rechtsvermenigvuldiging met Π zet kolommen l + 1,..., n voor de kolommen 1,..., k, en de linksvermenigvuldiging met Π 1 doet hetzelfde met de rijen. Opmerking 2.58 Iedere permutatiematrix Π is unitair, en dus is Π 1 = Π. We laten nu zien dat iedere nilpotente matrix gelijkvormig is met een nilpotente Jordanvorm. 2.5 Gelijkvormigheidstransformaties van stricte bovendriehoeksmatrices Ieder van de bovendriehoeksmatrices T 1,..., T p in (23) heeft de eigenschap dat de entries op de diagonaal allemaal hetzelfde zijn. Deze matrices zijn dus van de vorm T l = λ l I l + M l (32) voor zekere λ l K, en waarbij M l een stricte bovendriehoeksmatrix is. Definitie 2.59 (Stricte bovendriehoeksmatrix) Een bovendriehoeksmatrix (r ij ) = R K n n heet strict als r jj = voor alle j {1,..., n}. Merk op dat alle eigenwaarden van een stricte bovendriehoeksmatrix gelijk zijn aan nul. Opmerking 2.6 Als M K n n strict bovendriehoeks is en T = λi +M voor zekere λ K, dan is voor iedere X GL n (K), X 1 T X = λi + X 1 MX. (33) Als ook X 1 T X bovendriehoeks is, zijn al zijn diagonaalentries gelijk aan λ. Immers, de eigenwaarden van T en X 1 T X zijn gelijk. In dat geval is X 1 MX strict bovendriehoeks. Om gelijkvormigheidstransformaties van matrices T = λi + M met M strict bovendriehoeks te begrijpen volstaat het dus om die van M te begrijpen. Stelling 2.61 (Jordan) Laat M K n n strict bovendriehoeks zijn. X GL n (K) zo, dat S = X 1 MX een nilpotente Jordanvorm is. Dan bestaat er een Bewijs. Het volgende eenvoudige voorbeeld bewijst deze stelling voor n = 2, en doet als zodanig dienst als inductiebasis. Voorbeeld 2.62 Laat M K 2 2 strict bovendriehoeks zijn. Dan is M van de vorm [ ] k M = met k K. Als k = dan is M een nilpotente Jordanvorm van type τ = [1, 1]. Als k dan is D 2 ( 1 k ) 1 MD 2 ( 1 [ ] [ ] [ ] [ ] 1 k 1 1 k ) = 1 = = S (34) k k en is S een nilpotente Jordanvorm van type τ = [2], oftewel, het 2 2 nilpotente Jordanblok. 13

Inductiehypothese. Veronderstel dat als ˆM K (n 1) (n 1) strict bovendriehoeks is, er een Y GL n 1 (K) bestaat zo, dat Y 1 ˆMY = Ŝ een nilpotente Jordanvorm is. Eerste deel Inductiestap. Laat M K n n strict bovendriehoeks zijn. Dan kunnen we M blok-partitioneren als [ ] ˆM b M =, met ˆM K (n 1) (n 1) strict bovendriehoeks en b K n 1. Volgens de inductiehypothese bestaat er een Y GL n 1 (K) zo, dat [ ] 1 [ ] [ ] Y Y S c M = waarbij c = Y 1 b, (35) en S = Y 1 ˆMY een nilpotente Jordanvorm is van ˆM. De taak die resteert is om de matrix in (35), die op de laatste kolom na in de gewenste vorm staat, nog verder te transformeren. Tweede deel Inductiestap. We laten nu zien hoe we de entry c k van c naar nul kunnen transformeren als er op positie (k, k + 1) in Ŝ een 1 staat. Lemma 2.63 Veronderstel dat S = (s ij ) een nilpotente Jordanvorm is met s k,k+1 = 1. Dan geldt na de transformatie [ ] [ ] S c E n k+1,n ( c k ) S ĉ (36) dat ĉ j = c j voor alle j k en ĉ k =. Bewijs. De linksvermenigvuldiging met Ek+1,n n ( c k) telt een veelvoud van de n-de rij op bij de (k + 1)-ste rij. Echter, de n-de rij is nul en dit verandert dus niets aan de matrix. De rechtsvermenigvuldiging met Ek+1,n n ( c k) 1 trekt c k maal de (k +1)-ste kolom af van de n-de kolom. Maar die (k + 1)-ste kolom is gelijk aan e k. Dit bewijst de bewering. Lemma 2.63 wordt duidelijk geïllustreerd door het volgende voorbeeld. Voorbeeld 2.64 Wegens de enen op posities (1, 2) en (3, 4) kunnen de eerste en derde entry van de laatste kolom met behulp van Lemma 2.63 naar nul worden getransformeerd, 1 2 E25 5 3 ( 1) 2 E45 5 3 ( 3) 2 4 4 4. Omdat ieder van beide transformaties slechts één entry verandert, kunnen ze ook in omgekeerde volgorde worden toegepast met hetzelfde resultaat, er geldt namelijk en hiermee is X = X = E 5 25( 1)E 5 45( 3) = E 5 45( 3)E 5 25( 1) 1 1 1 1 1 3 1 en X 1 = oftewel, de inverse kan weer eenvoudig worden bepaald. 14 1 1 1 1 1 3 1

Derde deel Inductiestap. De uitgangssituatie is de matrix na herhaald toepassen van Lemma 2.63, zodat als de i-de entry van ĉ ongelijk is aan nul, de i-de rij van S gelijk is aan nul. Het volgende lemma ligt aan de basis van de resterende transformaties. Opmerking 2.65 Wegens Lemma 2.57 nemen we zonder verlies van algemeenheid aan, dat S in de vorm (27) staat met oplopende blokgroottes t 1 t p. Lemma 2.66 Zij S K n n een nilpotente Jordanvorm met nilpotente Jordanblokken in oplopende groottes van linksboven naar rechtsonder. Laat [ ] S d, en neem aan dat elke entry van d = (d j ) die niet nul is, staat naast een rij van S die wel nul is. Laat l het grootste gehele getal zijn met d l. Veronderstel dat d l = 1 en dat d k met k l. Dan is [ S d ] [ E n k,n 1 (d k ) En k q+1,n q (d k) S ˆd waarbij q de grootte is van het nilpotente Jordanblok waartoe de entry (k, k) van S behoort, en geldt dat ˆd j = d j voor alle j k en ˆd k =. Bewijs. Toepassing van Ek,n 1 n (d k) maakt de (k, n)-entry gelijk aan nul, en de entry op positie (k 1, n 1) gelijk aan d k als kolom k 1 niet nul is. In dat geval zal Ek 1,n 2 n (d k) de entry op positie (k 1, n 1) nul maken, maar de entry op positie (k 2, n 2) gelijk aan d k als kolom k 2 niet nul is. Omdat het aantal rijen van het nilpotente Jordanblok waar entry (l, l) toe behoort groter dan of gelijk is aan het aantal kolommen van het blok waar entry (k, k) toe behoort, zal in stap q met transformatiematrix Ek q+1,n q n (d k) de entry d k op positie (k q + 1, n q) nul worden zonder verdere veranderingen. Opmerking 2.67 De aanname dat d l = 1 is zonder verlies van algemeenheid. Als d l kan dit immers bewerkstelligd worden middels de transformatie D n (d 1 l ). Lemma 2.66 laat zich goed uitleggen middels een voorbeeld. Hierin zijn de entries in de laatste kolom in beide nul-rijen ongelijk aan nul, oftewel, op posities (2, 6) en (5, 6). Voorbeeld 2.68 In termen van Lemma 2.66 is hier l = 5 en k = 2 en q = 2, en dus 2 2 E25 6 (2) E14 6 (2). Toepassing van E25 6 (2) maakt weliswaar de (2, 5) entry gelijk aan nul, maar introduceert een 2 op positie (1, 4) omdat de tweede kolom niet nul is. Toepassing van E14 6 (2) maakt deze entry weer nul. Echter, omdat de eerste kolom nul is, gebeurt er verder niets en is het doel bereikt. ], 15

Opmerking 2.69 Het product X van de transformatiematrices X = E n kl (h 1) E n k 1,l 1 (h 2)... E n k t,l t (h t) kan, net als in Opmerking 2.26, direct worden opgeschreven. Lemma 2.66 kan worden toegepast om op c l na iedere entry ongelijk aan nul in de laatste kolom, liggende in een nulrij, naar nul te transformeren. De entry c l = 1 blijft als enige ongelijk aan nul over in de laatste kolom. Tot slot kan een blok-permutatie worden toegepast zo, dat deze 1 aansluit bij het blok waar hij rechts naast ligt. Voorbeeld 2.7 Stel dat de laatste kolom op één entry na naar nul is getransformeerd, dan sluit een blokpermutatie deze entry aan op het Jordanblok waar hij bij hoort, zoals bijvoorbeeld Π met Π = 1. Er resulteert dus een nilpotente Jordanvorm van type τ = [3, 3]. Hiermee is het inductiebewijs van Stelling 2.61 voltooid. We geven nu ook een volledig voorbeeld waarin alle stappen van het bewijs van Stelling 2.61 achter elkaar worden uitgevoerd op een expliciet gegeven 4 4 matrix. Voorbeeld 2.71 We bepalen inductief een nilpotente Jordanvorm van de gegeven matrix M. De eerste drie stappen liggen voor de hand, 2 1 3 1 3 3 2 M = D4 2 ( 1 2 ) 4 E4 23 ( 1) 5 E4 24 ( 3) 5. De eerste stap brengt het 2 2 linksbovenblok in Jordanvorm, de tweede stap het 3 3 linksbovenblok met Lemma 2.63, dat in de derde stap gebruikt wordt om entry (1, 3) nul te maken. Omdat het grootste Jordanblok van de 3 3 matrix niet rechtsonder staat, permuteren we beide blokken, 5 Π 5 met Π = 1 1 Vervolgens passen we Lemma 2.66 toe, waarbij l = 3, k = 1 en q = 1, maar niet voordat we de entry op positie (3, 4) middels een diagonaalschaling naar 1 hebben getransformeerd, 1 5 D4 4 ( 1 5 ) 5 E4 13 ( 1 5 ), 16 1

en dit is derhalve een nilpotente Jordanvorm van M, met type τ = [3, 1]. Om de bijbehorende transformatiematrix X uit te rekenen, berekenen we X = D 4 2( 1 2 ) E4 23( 1) E 4 24( 3) Π D 4 4( 1 5 ) E4 13( 1 5 ). De eerste drie termen zijn eenvoudig samen te nemen, net als de laatste drie, wat resulteert in 1 1 X = 2 1 2 3 2 1 1 5 = 1 5 4 3 1 2. 1 5 2 Deze matrix X is dus zo, dat X 1 MX een nilpotente Jordanvorm is. Opmerking 2.72 Als X 1 MX een nilpotente Jordanvorm is, is ook (λx) 1 M(λX) dat voor alle λ K. Dus als K = Q dan kan een X met gehele entries worden gekozen. 2.6 Jordanvormen en de Jordannormaalvorm van een matrix We koppelen nu de nilpotente Jordanvormen via Stelling 2.33 aan willekeurige matrices. Definitie 2.73 (Jordanvorm) Een matrix J K n n heet een Jordanvorm als J 1.... J.. J = 2........ waarbij J t K nt nt = λ t I t + S t (37)... J p voor iedere t {1,..., p} en iedere matrix S t is een nilpotente Jordanvorm. Stelling 2.74 (Jordan) Zij K algebraïsch afgesloten. Iedere matrix A K n n is gelijkvormig met een Jordanvorm. Bewijs. Volgens Stelling 2.33 is A gelijkvormig met een blok-diagonaalmatrix met diagonaalblokken gelijk aan T t = λ t I + M t met M t strict bovendriehoeks. Volgens Stelling 2.56 bestaat er een inverteerbare X t zo, dat Xt 1 M t X t = S t een nilpotente Jordanvorm is, en dus 1 X 1... T 1... X 1... J 1.... X... 2. T... 2. X... 2...................... = J.. 2........,... X p... T p... X p... J p waarbij J t = λ t I t + S t. Definitie 2.75 (Jordannormaalvorm) Zij A K n n. Een Jordanvorm J die gelijkvormig is met A heet een Jordannormaalvorm van A. 17