Departement Wiskunde, Faculteit Bètawetenschappen, UU. In elektronische vorm beschikbaar gemaakt door de TBC van A Eskwadraat. Het college WISB werd in 9- gegeven door Prof. Dr. F. Beukers. Uitwerking Uitwerkingen eerste deeltentamen Lineaire Algebra (WISB) november 9 Opgave De lijnen l, m in R zijn gegeven door: l := Verder is het punt P = (,, ) t gegeven. a) Stel P ligt op l. Dan is er λ zó dat, m := met andere woorden: = + λ, = λ, =. Uit de laatste vergelijking zien we dat het stelsel strijdig is, dus P l. Stel P ligt op m. Dan is er µ zó dat met andere woorden: = + µ, = + µ, = + µ. Uit de eerste vergelijking volgt µ = uit de derde µ = /. Het stelsel is dus strijdig en P m. b) De richtingsvectoren (,, ) t en (,, ) t zijn onafhankelijk en daarom zijn l, m niet parallel. Stel dat l, m elkaar snijden. Dan zijn er λ, µ zó dat Met andere woorden: + λ = + µ, λ = + µ, = + µ. Uit de laatste vergelijking volgt µ =. Ingevuld in de eerste en tweede vergelijking, + λ =, λ =. Hieruit volgen λ = / en λ =. Het stelsel is dus strijdig en l, m snijden elkaar niet. c) Het vlak V bevat de richtingvectoren (,, ) t (van l) en de vector van P naar het steunpunt van l: (,, ) t (,, ) t = (,, ) t. Een steunpunt wordt gegeven door P. Een parametervoorstelling van het vlak is dus x x x Door eliminatie van λ, µ hieruit volgt de vergelijking x + x x = voor V. Het vlak W bevat de richtingvectoren (,, ) t (van m) en de vector van P naar het steunpunt van m: (,, ) t (,, ) t = (,, ) t. Een steunpunt wordt gegeven door P. Een parametervoorstelling van het vlak is dus x x x Door eliminatie van λ, µ hieruit volgt de vergelijking x x = voor W. Deze uitwerkingen zijn met de grootste zorg gemaakt. In geval van fouten kan de TBC niet verantwoordelijk worden gesteld, maar wordt zij wel graag op de hoogte gesteld: tbc@a-eskwadraat.nl
d) Een lijn door P die l snijdt moet in het vlak V liggen. Een lijn die zowel P als m snijdt moet in W liggen. Een lijn door P die zowel V als W snijdt moet dus in de doorsnijding van V en W liggen, maw de gevraagde lijn is precies V W. Kies in de vergelijkingen x +x x =, x x = de variabele x = t met t willekeurig. Uit de tweede vergelijking volget x = x. Ingevuld in de eerste, x t = en dus x = t + en x = x = t. Een parametervoorstelling is Opgave Stel a R en beschouw het volgende stelsel vergelijkingen in de onbekenden x, x, x, x R, x x + x x = x x + x = x + x = 9 + x x + x = a a) Los het stelsel op door Gauss-eliminatie in schemavorm 9 a Elimineer x in de eerste kolom, a Verwissel tweede en derde vergelijking, Elimineer x in tweede kolom Elimineer x, a a a Dit stelsel is strijdig tenzij a =, maw a =. In dat laatste geval is er een oplossing. b) Stel a =. De laatste vergelijking wordt = welke we weg kunnen laten. Er blijft over De pivotvariabelen zijn x, x, x. Kies x = τ met τ willekeurig. Uit derde vergelijking, x = + τ/. Uit de tweede volgt x = + x x / = + + τ/ τ/ = 7. Uit de eerste x = x x + x / + 5 = 7 ( + τ/) + τ/ + 5 = 6 τ/. Oplossing (x, x, x, x ) t = (6, 7,, ) t + τ( /,, /, ) t
Opgave Stel k R en beschouw de volgende matrix: k M = k + a) Voor welke waarde(n) van k is de rang van M gelijk aan? ( punt) We voeren een rijreductie uit op M. Vegen in de eerste kolom geeft k k + k k Vegen in de tweede kolom k k k + k + k (k + )(k )/ k / k + 7/ Als k / k + 7/ dan zijn er drie pivot-elementen en is de rang. Anders is de rang. Uit k / k + 7/ = volgt = ( /)(k + 6k 7) = ( /)(k + 7)(k ). Dus als k = of k = 7 is de rang van M gelijk aan. b) Bereken voor de waarde k = de inverse matrix. ( punt) De inverseberekening voor k = is standaard. Vegen eerste kolom Vegen tweede kolom 6 6 Tweede rij maal / derde rij maal /6 / / / / /6 Jordanreductie De inverse matrix is dus /6 /6 /6 / / / / /6 /6 /6 /6 / / / / /6 Opgave We beschouwen R met daarin het standaard inproduct x y. Ter herinnering: de lengte x van een vector x is gegeven door x = x x. In R is een drietal vectoren p, q, r gegeven zó dat p = q = r >. De verzameling L is de verzameling van alle x R waarvoor geldt dat x p = x q = x r.
a) Beschouw de lineaire deelruimte V in R opgespannen door (,, ) t, (,, ) t en de lineaire deelruimte W opgespannen door (,, ) t, (,, ) t. Bepaal een basis van de deelruimte V W. ( punt) Stel x p = x q. Kwadrateren en inproduct gebruiken geeft x p = x q (x p) (x p) = (x q) (x q) x x x p + p p = x x x q + p q Links en rechts vallen x x tegen elkaar weg, en ook p p en q q omdat gegeven is dat p = q. Na deling door houden we over, xp = xqq. Uitgaande van deze gelijkheid kunnen we door omkering van bovenstaande stappen concluderen dat x q = x p. Dus x q = x p xp = xq. b) De gelijkheden zijn equivalent met het tweetal gelijkheden x p = x q en x p = x r Volgens voorgaand onderdeel zijn deze gelijkheden equivalent met x p = x q en x p = x r Na nemen van verschil zien we dat deze twee equivalent zijn met (p q) x = en (p r) x =. c) Zij V, W een tweetal deelruimtes van R n van dimensie r respectievelijk s. Bewijs dat V W een vector bevat als r + s > n. ( punt) In dit concrete geval geldt dat p q = (,, ) t en p r = (,, ) t. De verzameling L wordt nu dus gegeven door x + x = enx x + x = Dit is een rechte lijn door. Kies x = τ met τ willekeurig. Dan volgt uit de eerste vergelijking dat x = τ en uit de tweede x = x + x = τ τ = τ. Conclusie Opgave 5 L = {τ(,, ) t τ R} a) Een vector u is zowel bevat in V als in W precies dan als er x, x, x, x bestaan zó dat ( ) u = x + x = x + x Brengen we de termen met x, x naar links, dan moeten we oplossen; x x + x + x = Verander x, x in x, x dan luidt het stelsel in schemavorm Eerste kolom vegen Tweede kolom vegen 5 De pivotvariaben zijn nu x, x, x. Kies x = τ met τ willekeurig. Dan volgt uit de laatste vergelijking dat x = 5x = 5τ. De vectoren in V W worden nu dus gegeven door u = x (,, ) t +x (,, ) t = τ(,, 5) t. Conclusie, V W heeft dimensie en basis (,, 5) t.
b) Zij V, W een tweetal deelruimtes van R n van dimensie r respectievelijk s. Bewijs dat V W een vector bevat als r + s > n. Kies een basis v,..., v r van V en een basis w,..., w s van W. Om V W te bepalen moeten we het stelsel x v + + x r v r = y w + + y s w s in x,..., x r, y,..., y s oplossen. Dit is een homogeen stelsel van n lineaire vergelijkingen in r+s onbekenden. Omdat r + s > n moet er een niet-trivale oplossing zijn. Stel ξ,..., ξ r, η,..., η s is een niet-triviale oplossing. Niet alle ξ i zijn nul, anders zou gelden = η w + + η sw s in tegenspraak met de onafhankelijkheid van w,..., w s. Omdat niet alle ξ i nul zijn is ξ v + + ξ r v r een niet-triviale vector in V W.