Voorblad bij tentamen (in te vullen door de examinator) Vaknaam: MECHANICA Vakcode: 8MB09 Datum: 14 APRIL 2016 Begintijd: 18.00 Eindtijd: 21.00 Aantal pagina s: 10 Aantal vragen: 10 Aantal te behalen punten/normering per vraag: 10 Wijze van vaststellen eindcijfer: Totale score / 10 Wijze van beantwoording vragen: formulering, ordening, onderbouwing, multiple choice: Open vragen Inzage: op afspraak Overige opmerkingen: Instructies voor studenten en surveillanten Toegestane hulpmiddelen (mee te nemen door student): Notebook x Rekenmachine x Grafische rekenmachine Dictaat/boek 1 A4-tje met aantekeningen Woordenboek(en). Zo ja, welke: Let op: toiletbezoek is alleen onder begeleiding toegestaan binnen 15 minuten na aanvang en 15 minuten voor het einde mag de tentamenruimte niet worden verlaten, tenzij anders aangegeven er dient altijd tentamenwerk (volledig ingevuld tentamenpapier: naam, studentnummer e.d.) te worden ingeleverd tijdens het tentamen dienen de huisregels in acht te worden genomen aanwijzingen van examinatoren en surveillanten dienen opgevolgd te worden etui ligt niet op tafel onderling worden geen hulpmiddelen geleend/uitgewisseld Tijdens het maken van schriftelijke tentamens wordt onder (poging tot) fraude in ieder geval verstaan: gebruik van andermans ID-bewijs/campuskaart mobiele telefoon of enige andere media dragende devices liggen op tafel of zijn opgeborgen in de kleding (poging tot) gebruik van ongeoorloofde bronnen en hulpmiddelen, zoals internet, mobiele telefoon e.d. het gebruik van een clicker die niet je eigen clicker is ander papier voor handen hebben dan door de TU/e is verstrekt, tenzij anders aangegeven toiletbezoek (of naar buiten lopen) zonder toestemming of begeleiding Behorende bij Regeling centrale tentamenafname TU/e
HERKANSING: MECHANICA, 8MB09 Donderdag 14 April 2016; 18.00-21.00 Dit is een gesloten-boek-examen. Het gebruik van een laptop is niet toegestaan. Een elektronische rekenmachine mag worden gebruikt. Elke vorm van draadloze communicatie is verboden. De in dit examen voorkomende kolommen en matrices bevatten componenten betrokken op een xyz-coördinatensysteem behorende bij de Cartesische basis { e x, e y, e z }. Vraag 1: 10 punten Gegeven is een Cartesische basis { e x, e y, e z }. Gegeven zijn de vectoren: a = 4 e x + 3 e y e z b = 6 ex e z c = e y e z Zijn a, b en c lineair onafhankelijk? Bereken de hoek tussen c en a. Vraag 2: 10 punten Een persoon trekt aan een touw. Dit resulteert in een kracht F op de hand in het punt H als aangegeven in de figuur. Daartoe zijn de volgende vectoren gegeven: x 1 = 2 e x 5 e y x 2 = 4 e x + e y F = 2 e x 2 e y Bereken het moment in de schouder (punt S) en de elleboog (punt E) als gevolg van de kracht F. 1
Vraag 3: 10 points We willen de vervorming als functie van de plaats berekenen in een ontspannen spier waar met een kracht F aan wordt getrokken. De spier heeft een dwarsdoorsnede die een functie is van x als weergegeven in de figuur. De onderzoekers besluiten de halve spier te modelleren als een trapezium waarvan de dwarsdoorsnede als functie van x (0 x l) te schrijven is als: A(x) = (A l A 0 ) l x + A 0 met A 0 en A l constant. Vanwege symmetrie wordt slechts de helft van de spier gemodelleerd, waarbij het middenvlak wordt beschreven als een vlak dat niet verplaatst. Daarom wordt de verplaatsing van het punt x = 0 onderdrukt. Bereken het verplaatsingsveld u(x). 2
Vraag 4: 10 points Beschouw een dunne vlakke plaat in de vorm van een parallellepipedum als gegeven in de figuur. De plaat wordt onderworpen aan een uniforme spanningsdistributie langs de zijden als gegeven in de figuur. De x as loopt parallel aan het boven en ondervlak. Omdat het een vlakke plaat betreft mag het probleem volledig twee-dimensionaal worden beschouwd (vlakspanning). Bereken de spanningscomponenten σ xx, σ yy en σ xy van de Cauchy spanningsmatrix t.o.v. van de basis { e x, e y }. Vraag 5: 10 punten Beschouw een domein in de vorm van een kubus in de drie-dimensionale ruimte, gegeven door: 3l x 3l, 3l y 3l en 3l z 3l, waarbij l constant is en x, y en z de Cartesische coördinaten. Binnen dit domein bestaat een temperatuurveld T (x, y, z) waarvoor geldt: T = θx, met θ een constante In het domein is een curve gegeven, waarvan de punten op de curve voldoen aan: x(φ) = l e x + sin(φ) e x + cos(φ) e y + l e z Bereken de richtingsafgeleide (Eng. directional derivative) dt/de van de temperatuur langs de curve. 3
Vraag 6: 10 punten Beschouw een kubusvormig blokje van een isotroop, lineair elastisch materiaal waarvan het materiaalgedrag beschreven wordt met de wet van Hooke met een Youngsmodulus E = 8 [MPa] en een dwarscontractiecoëfficiënt (Poisson constante) van ν = 1/3. De zijden van de kubus lopen parallel aan de assen van een Cartesisch x, y, x-coördinatenstelsel. In de figuur worden de normaal- en schuifspanningen gegeven. Ga uit van kleine rekken. De spanningen zijn in [kpa]. Bereken de rekmatrix ε t.o.v. het x, y, z-assenstelsel. 4
Vraag 7: 10 punten Van een klein volume in een continuum is de volgende deformatietensor gegeven in de vervormde toestand t.o.v. de referentietoestand: F = I + 2 e x e x 2 e x e y 2 e y e x met I de eenheidstensor. De tensor F is constant, dus de deformatie is homogeen. In het onvervormde volume worden twee materiële punten P en Q gegeven: x 0P = e x + e y, x 0Q = 2 e x 3 e y + e z Verder is de positie van het punt P in de huidige vervormde toestand gegeven: x P = 2 e x + 2 e y + 2 e z Bereken de positievector x Q van het punt Q in de vervormde toestand. Vraag 8: 10 punten Op een vierkant membraan van een incompressibel materiaal wordt een biaxiale trekproef uitgevoerd, die kan worden beschreven met een deformatie matrix t.o.v. van de Cartesische basis { e x, e y, e z }: F = λ 1 0 0 0 λ 2 0 0 0 1 λ 1 λ 2 met λ 1 en λ 2 de verlengingsfactoren in x en y-richting. Het materiaal wordt beschreven met een Neo-Hookean materiaal model: σ = pi + GB d Met σ de Cauchyspanning, p de hydrostatische druk, G de Shear modulus en B d het deviatorische deel van de Linkse Cauchy Green tensor, B d = B 1 3 tr(b)i. Geef een uitdrukking voor σ xx en σ yy als functie van λ 1,λ 2 en G. 5
Vraag 9: 10 punten Een kubusvormig blokje materie van 1 1 1 [mm 3 ] wordt homogeen vervormd. Van drie vectoren die de kubus opspannen in onvervormde toestand zijn de vectoren in de vervormde toestand bekend: vector in onvervormde toestand vector in vervormde toestand vector 1 e x 2 e x 1 vector 2 e y 2 e y + 1 4 e z 3 vector 3 e z 4 e y + e z Bereken het volume van de vervormde kubus. Vraag 10: 10 punten In een twee-dimensionaal xy-assenstelsel (onderling loodrechte eenheidstensoren e x en e y langs de assen) wordt een twee-dimensionale stationaire vloeistofstroming beschouwd die wordt veroorzaakt door een materiebron in de oorsprong. Een willekeurig punt in het assenstelsel wordt aangegeven met de vector x = x e x + y e y. Op enige afstand vanaf de oorsprong (met x > λ) kan het snelheidsveld v( x) worden geschreven als: v( x) = α x x 2 met α een positieve constante De ligging van een punt P wordt gedefinieerd met de positievector x P = l( e x + e y ) met l > λ. Bepaal in het punt P de snelheidsgradiënttensor L. 6
Equations Mechanica 1 Chapter 1 Inner product: a b = a b cos(φ) Cross product or vector product: c = a b ; c = a b sin(φ) Triple product: a b c = ( a b) c Dyadic product: a b p = a( b p) Operations that are used once a Cartesian vector basis { e x, e y, e z } is defined: Inner product a b = a x b x + a y b y + a z b z Cross product a b = (a y b z a z b y ) e x + (a z b x a x b z ) e y + (a x b y a y b x ) e z Chapter 2 The component F t of a force F in the direction of a unit vector e is given by: ( ) F t = F e e The moment of a force F acting on point Q with position vector x Q with respect to point P with position vector x P is given by: Chapter 6 M = ( x Q x P ) F Differential equation for a one-dimensional continuous elastic medium: ( d EA du ) + q = 0 dx dx Chapter 7 The directional derivative dp de dp de = e P of a scalar property P in the direction of the unit vector e: Velocity of a point x that rotates with angular velocity ω around an axis through point x S : v( x) = ω ( x x S ) 7
Chapter 8 Equilibrium equations (absence of a distributed load): σ xx x σ xy x σ xz x + σ xy y + σ yy y + σ yz y + σ xz z + σ yz z + σ zz z = 0 = 0 = 0 The equivalent stress σ M according to von Mises: σ M = with: σ d = σ 1 3 tr(σ)i 3 2 tr(σd σ d 3 ) = 2 tr(σd σ d ) The stress vector s working on a plane with outward unit normal n can be derived from the stress tensor σ by: s = σ n Chapter 9 The material time derivative of a scalar variable T : [ ] T T = t x 0 constant The spatial time derivative of a scalar variable T : [ ] δt T δt = t x constant Relation between material and spatial time derivative: T = v T + δt δt The acceleration satisfies: a = v = v v + δ v δt Chapter 10 The deformation tensor: d x = F d x 0 ; F = ( 0 x) T = I + ( 0 u 0 = F T ; J = det(f ) The right Cauchy Green deformation tensor: C = F T F ) T 8
The left Cauchy Green deformation tensor: B = F F T The Green Lagrange strain tensor: E = 1 ( 2 F T F I ) ( ( 0 ) ( ) ) T The linear strain tensor: ɛ = 1 2 u + 0 u The velocity gradient tensor: d x = L d x ( ) T L = v = Ḟ F 1 The rate of deformation tensor: D = 1 ( L + L T ) = 1 ( ( v ) T ( ) ) + v = 1 (Ḟ ) F 1 + F T 2 2 2 Ḟ T The rotation velocity or spin tensor: Ω = 1 2 Logarithmic strain rate: λ = e D e λ Rate of volume change: J = Jtr(D) Chapter 12 ( L L T ) = 1 ( ( v ) T ( ) ) v = 1 (Ḟ ) F 1 F T 2 2 Ḟ T Hooke s law for solids (small deformations!): ( σ = K 2G ) tr(ɛ)i + 2Gɛ 3 Constitutive law for Newtonian fluid: σ = pi + 2ηD 9
Alternative formulations for linear Hooke s law: ε xx = 1 E ( σ xx ν σ yy ν σ zz ) ε yy = 1 E ( ν σ xx + σ yy ν σ zz ) ε zz = 1 E ( ν σ xx ν σ yy + σ zz ) The reverse relation: σ xx = σ yy = σ zz = E (1 + ν)(1 2ν) ((1 ν)ɛ xx + ν ɛ yy + ν ɛ zz ) E (1 + ν)(1 2ν) ( ν ɛ xx + (1 ν)ɛ yy + ν ɛ zz ) E (1 + ν)(1 2ν) ( ν ɛ xx + ν ɛ yy + (1 ν)ɛ zz ) The equations for the shear strains and stresses: ɛ xy = ɛ yx = 1 2G σ xy = 1 2G σ yx ɛ xz = ɛ zx = 1 2G σ xz = 1 2G σ zx ɛ zy = ɛ yz = 1 2G σ yz = 1 2G σ zy Relation between shear modulus, Young s modulus and Poisson s constant: G = E 2(1 + ν) 10