TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor BMT (2DM20) op vrijdag 12 juni 2009, 9.00 Dit tentamen bestaat uit 5 open vragen, en 4 kort-antwoord vragen. De uitwerkingen van de open vragen dienen volledig, duidelijk geformuleerd en overzichtelijk opgeschreven te worden. Bij ieder onderdeel van een open vraag dient U uw antwoord dus goed te beargumenteren. De kort-antwoord vragen staan op een apart vel. Hierop moeten alléén de antwoorden in het aangegeven kader worden ingevuld. Bij een kort-antwoord vraag is een nadere uitwerking dus niet nodig. Het vel met kort-antwoord vragen dient U aan het einde van het tentamen in het in te leveren tentamenwerk te leggen. Vermeld op elk vel dat U inlevert uw naam, identiteitsnummer en studierichting. Bij dit tentamen mag U alleen gebruik maken van schrijf- en tekengerei, alsmede van een eenvoudige niet-grafische en niet-programmeerbare rekenmachine. Het gebruik van enig ander hulpmiddel is niet toegestaan. Voor de opgaven kunnen de volgende aantallen punten worden behaald: Opgave 1a: 2 punten Opgave 4a: 2 punten Opgave 6: 2 punten Opgave 1b: 2 punten Opgave 4b: 4 punten Opgave 1c: 2 punten Opgave 4c: 2 punten Opgave 7a: 2 punten Opgave 1d: 2 punten Opgave 7b: 2 punten Opgave 1e: 2 punten Opgave 5a: 2 punten Opgave 5b: 2 punten Opgave 8a: 2 punten Opgave 2a: 4 punten Opgave 5c: 1 punt Opgave 8b: 2 punten Opgave 2b: 2 punten Opgave 5d: 2 punten Opgave 2c: 2 punten Opgave 5e: 4 punten Opgave 9a: 2 punten Opgave 2d: 2 punten Opgave 9b: 2 punten Opgave 3a: 1 punt Opgave 3c: 3 punten Opgave 3d: 3 punten Uw tentamenresultaat wordt bepaald door het totaal der behaalde punten door zes te delen, en af te ronden naar het dichtstbijzijnde gehele getal. 1
2
Tentamen Lineaire Algebra voor BMT (2DM20) op vrijdag 12 juni 2009, 9.00 Open vragen 1. Beschouw in IR 3 de punten P = (2,1,1) T, Q = (3,0,1) T en R = (4,3,2) T. Zij l de lijn in IR 3 door de punten P en Q. (a) Bepaal een parametervoorstelling van de lijn l. Zij V het vlak door het punt R, loodrecht op de lijn l. (b) Geef een vergelijking van het vlak V. Zij W het vlak in IR 3, dat zowel de lijn l als het punt R bevat. (c) Geef een parametervoorstelling van het vlak W. (d) Bepaal een normaalvector van het vlak W. (e) Bepaal een parametervoorstelling van de snijlijn van de vlakken V en W. 2. Gegeven zijn de volgende matrix A en vector b: A = 2 4 0 1 7 1 2 2 1 8 0 0 1 1 3, b = 14 0 1 (a) Bepaal de algemene oplossing van de vergelijking Ax = b. (b) Geef een basis van N(A), de nulruimte van A.. (c) Geef de dimensie van R(A), de kolommenruimte van A. (d) Zijn er vectoren c IR 5 zó dat de vergelijking A T y = c een unieke oplossing heeft? Motiveer uw antwoord. 3. Beschouw de volgende matrix A en vector b: A = 1 1 3 1 2 2 1 1, b = 11 3 6 4. (a) Laat zien dat het stelsel Ax = b niet oplosbaar is. (b) Bepaal de kleinste-kwadratenoplossing van het stelsel Ax = b, d.w.z. stel de normaalvergelijking op, en los deze op. (c) Bepaal de loodrechte projectie van de vector b op de kolommenruimte van A. z.o.z. 3
Tentamen Lineaire Algebra voor BMT (2DM20) op vrijdag 12 juni 2009, 9.00 4. In de vectorruimte IR 3 zijn de volgende vectoren gegeven: α + 1 α 1 v 1 = 1, v 2 = 1, v 3 = 0, 2 3 1 met α een reëel getal. (a) Laat zien dat voor alle waarden van α de vectoren v 1,v 2,v 3 een basis van IR 3 vormen. Zij S de basis van IR 3 bestaande uit de vectoren v 1,v 2,v 3 bij de waarde α = 0. Zij T de basis van IR 3 bestaande uit de vectoren v 1,v 2,v 3 bij de waarde α = 1. (b) Bepaal de overgangsmatrix P T S. 1 Van de vector u IR 3 zijn de coördinaten t.o.v. basis S gegeven door [u] S = 2. 2 (c) Bepaal de vector u. 5. Gegeven is de matrix A = ( 1 2 1 0 ). (a) Bepaal alle eigenwaarden van A. (b) Bepaal bij iedere eigenwaarde van A de bijbehorende eigenvectoren. (c) Geef de eigenwaarde-decompositie van A, d.w.z. bepaal een diagonaalmatrix Λ en een inverteerbare matrix P zó dat A = PΛP 1. (d) Bepaal e At. (e) Bepaal de algemene oplossing van de inhomogene differentiaalvergelijking ( ) ẋ(t) = Ax(t) + e 2t 1. 3 zie volgende pagina 4
DIT VEL DIENT U IN TE LEVEREN Tentamen Lineaire Algebra voor BMT (2DM20) op vrijdag 12 juni 2009, 9.00 Naam en voorletters:... Identiteitsnummer:... Studierichting:... Kort-antwoord vragen 1 1 1 1 6. Gegeven is de matrix A = 1 2 3 4 1 3 4 7. Bereken det(a). 1 4 7 11 1 α 7. In IR 3 beschouwen we de vectoren v 1 = α en v 2 = 4, met α IR. 1 α (a) Voor welke waarde(n) van α zijn v 1 en v 2 lineair afhankelijk? (b) Voor welke waarde van α kan men {v 1,v 2 } uitbreiden tot een orthogonale basis van IR 3? Geef in dit geval ook een orthogonale basis van IR 3, die v 1 en v 2 bevat. 8. Zij A een reële 4 8 matrix met dim N(A T ) = 1. (a) Bepaal de rang van A. (b) Bepaal de dimensie van N(A). z.o.z. 5
Tentamen Lineaire Algebra voor BMT (2DM20) op vrijdag 12 juni 2009, 9.00 9. Gegeven is de matrix A = 1 2 2 3 1 1 3 0 2. Deze matrix heeft drie verschillende eigenwaarden, waaronder λ 1 = 1 en λ 2 = 2. (a) Bepaal de derde eigenwaarde λ 3. (b) Zij B = A(A + 2I). Bereken det(b). 6