Permanenten. Hanneke van der Beek. 19 november Bachelorscriptie. Begeleiding: Dr. J.H. Brandts

Transcriptie

1 Permanenten Hanneke van der Beek 19 november 2014 Bachelorscriptie Begeleiding: Dr. J.H. Brandts Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Universiteit van Amsterdam

2 Samenvatting De permanentfunctie kent aan elke m n-matrix een getal uit R toe. Deze functie lijkt in veel opzichten op de determinant, maar doordat de permanent geen alternerende maar een symmetrische functie is, is deze niet invariant onder rijvegen. De permanent kan dus niet worden uitgerekend door de matrix terug te brengen tot echelonvorm. Wel is de permanent in sommige gevallen door een specifiek nulpatroon eenvoudiger uit te rekenen. Een voorbeeld hiervan is de stelling van Frobenius en König. Deze zegt dat de permanent van een niet-negatieve matrix 0 is, dan en slechts dan als de matrix een voldoende grote deelmatrix met enkel nullen bevat. Een belangrijke toepassing van de permanent ligt binnen de grafentheorie. Het aantal perfecte koppelingen van een bipartiete graaf is namelijk gelijk aan de permanent van de verbindingsmatrix. Veel van de stellingen over de permanent kunnen ook geformuleerd worden in de context van grafen. Zo bevat een bipartiete graaf een perfecte koppeling dan en slechts dan als elk punt voldoende buren heeft. In 1812 had Binet al formules om de permanent van een m n-matrix uit te rekenen voor m 4. Later heeft Minc deze formules uitgebreid tot een uitdrukking voor alle m. In complexiteit is deze methode iets beter dan volgens de definitie te werken, maar niet veel. De methode van Ryser daarentegen levert een algoritme met exponentieel algoritme, wat wel een noemenswaardige verbetering is. Titel: Permanenten Auteur: Hanneke van der Beek, hanneke12345@gmail.com, Begeleiding: Dr. J.H. Brandts Tweede beoordelaar: Dr. G. Regts Einddatum: 19 november 2014 Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam Science Park 904, 1098 XH Amsterdam 2

3 Inhoudsopgave 1. Inleiding 4 2. Combinatorische matrixtheorie De permanent Dubbelstochastische matrices Het nulpatroon van matrices De permanent binnen de grafentheorie Het uitrekenen van de permanent De methode van Binet-Minc De methode van Ryser Vergelijking van beide methodes Conclusie Populaire samenvatting 38 Bibliografie 40 A. Berekening volgens de definitie 43 B. Algoritme van Ryser 44 B.1. Vierkante matrices B.2. Niet-vierkante matrices C. Algoritme van Binet-Minc 46 C.1. Vinden van de opdelingen C.2. Berekenen van de permanent D. Stelling van Birkhoff-Von Neumann 48 E. Aanvulling op het bewijs van stelling

4 1. Inleiding In 1812 schreef Augustin Louis Cauchy [6] over permanent symmetrische functies en alternerend symmetrische functies. Onder de eerste verstond hij functies waarvan de uitkomst niet verandert door een permutatie op de variabelen. Functies waarvan de uitkomst alleen in teken verandert door een permutatie noemde hij alternerend symmetrische functies, deze worden nu simpelweg alternerend genoemd. Een voorbeeld hiervan is de determinant gezien als functie op de rijen of kolommen van de matrix. Zeventig jaar later kwam Thomas Muir [13] met een artikel waarin hij een klasse van de permanent symmetrische functies beschouwde, namelijk de permanent symmetrische tegenhanger van de determinant, en noemde dit de permanent. Definitie 1.1. Laat S n de symmetrische groep van permutaties op n objecten zijn. Voor een n n-matrix A is de permanent dan als volgt gedefinieerd: per(a) = σ S n n a iσ(i). Op het eerste gezicht lijkt de permanent eenvoudiger dan de determinant, maar niets is minder waar. Door het alternerende karakter geldt namelijk dat de determinant van een matrix onveranderd blijft onder rijvegen, waardoor de determinant uitgerekend kan worden door de matrix terug te brengen tot echelonvorm. Bij de permanent is dit niet mogelijk. Dit is een belangrijk verschil tussen de determinant en de permanent. Welke verschillen zijn er nog meer, en wat zijn de overeenkomsten? Zijn er voor de permanent ook matrices die een bepaalde structuur hebben waardoor het uitrekenen eenvoudiger is? En wat voor betekenis heeft de permanent van een matrix? Deze vragen worden in het volgende hoofdstuk beantwoord. We zullen het daar hebben over combinatorische matrixtheorie, een wiskundig vakgebied dat combinatoriek, matrixtheorie en grafenleer combineert. Zo zal worden laten zien dat de permanent van een matrix gelijk is aan het aantal perfect matchings van de bijbehorende bipartiete graaf. Hierdoor kunnen veel stellingen en begrippen geformuleerd worden in de context van zowel matrices als grafen. Een goed voorbeeld hiervan is de volgende stelling Stelling 1.2. Frobenius-König De permanent van een niet-negatieve n n -matrix A is nul, dan en slechts dan als A een r s-deelmatrix A bevat met r + s = n + 1 en A = 0. 4

5 Deze stelling wordt in Paragraaf 2.1 al bewezen. Later, in Paragraaf 2.4, wordt laten zien dat deze stelling equivalent is aan de volgende stelling, die eerder bewezen werd door König [10] en Egerváry [7]. Stelling 1.3. De grootte van een maximale koppeling in een bipartiete graaf is gelijk aan die van een minimale knopenbedekking. Voor willekeurige matrices is er geen boven- of ondergrens van de permanent. Voor dubbelstochastische matrices is deze er wel. In 1926 formuleerde de Nederlandse wiskundige Bartel Leendert van der Waerden [17] een vermoeden over een ondergrens voor de permanent van dubbelstochastische matrices. Dit vermoeden is pas vele jaren later, in 1979 en 1980 bewezen. Na de publicatie van dit vermoeden nam de interesse voor de permanent nog verder toe, en met de opkomst van de computers werd het ook steeds interessanter hoe de permanent zo efficiënt mogelijk kan worden uitgerekend. Hier wordt in Hoofdstuk 3 aandacht aan besteed. In 1812 formuleerde Jacques Philippe Marie Binet [4] al enkele identiteiten voor de permanent van 2 n-, 3 n- en 4 n-matrices. Later, in 1979, heeft Henryk Minc [12] deze methode uitgebreid en kwam zo tot een uitdrukking voor alle matrices. Minc merkt echter zelf ook al op [11, p. 126] dat deze methode nog altijd een groot aantal berekeningen vereist en daardoor niet erg geschikt is om te implementeren in een computerprogramma. Hiervoor is de methode van Ryser wel geschikt. In 1963 bewees Herbert John Ryser in 1963 [15] een uitdrukking waardoor de permanent aanzienlijk sneller, namelijk exponentieel in plaats van factorieel, kon worden uitgerekend. Maar hoe veel sneller is sneller? Hoeveel ruimte is er nog voor verbetering? 5

6 2. Combinatorische matrixtheorie In dit hoofdstuk worden enkele basisbegrippen en stellingen uit de combinatorische matrixtheorie behandeld. In de eerste paragraaf wordt de permanent geïntroduceerd, een functie die een matrix naar een reëel getal stuurt en veel weg heeft van de determinant. Daarna worden speciaal types matrices, namelijk de dubbelstochastische matrices in paragraaf 2 en matrices met specifieke nulpatronen in paragraaf 3, belicht. Aan het eind, in paragraaf 4, worden de begrippen in de context van grafentheorie geplaatst. Dit hoofdstuk is gebaseerd op een boek van Minc [11] en het tweede hoofdstuk van een boek van Bapat en Raghavan [1] De permanent Schrijf S n voor de symmetrische groep van alle permutaties van n objecten, en laat G S n een ondergroep zijn. Gegeven een groepshomomorfisme χ : G C, definiëren we de functie f χ met als domein de vectorruimte R n n van reële n n-matrices, als f χ : R n n R, A σ G χ(σ) n a iσ(i). (2.1) Een dergelijke functie f χ heet een Schurfunctie. Eén voorbeeld van een Schurfunctie wordt verkregen door de keuze G = S n en χ : σ sgn(σ), het teken van σ. Deze functie staat bekend als de determinant. In het vervolg zullen we een andere Schurfunctie bestuderen, namelijk de functie die ontstaat door opnieuw G = S n te kiezen, met ditmaal de keuze χ : σ 1. Deze functie heet de permanent. Er zal blijken dat de permanent in sommige opzichten sterk gerelateerd is aan de determinant. Echter, in sommige andere opzichten kunnen beide concepten erg verschillend zijn. Zo is de definitie van de permanent, in tegenstelling tot de determinant, uit te breiden tot een definitie voor rechthoekige matrices. Definitie 2.1. Schrijf S m,n voor de verzameling zijn van injectieve functies σ van {1,..., m} naar {1,..., n}. Gegeven een m n-matrix A, definiëren we de permanent als volgt. per(a) = m a iσ(i). (2.2) σ S m,n 6

7 Gegeven een functie σ S m,n, wordt de rij (a 1σ1,..., a mσ(m) ) een diagonaal van A genoemd. De permanent is dus, zoals in het volgende voorbeeld te zien is, niets meer dan de som over de diagonaalproducten. [ ] Voorbeeld 2.2. Laat A =. In figuur 2.1 zien we de diagonalen van deze matrix. De permanent kan dan als volgt worden berekend: per(a) = = 44. Figuur 2.1.: De diagonalen van een 2 3-matrix Een aantal van de eigenschappen die we van de determinant kennen geldt ook voor de permanent. Zo kunnen we de permanent ook berekenen door te ontwikkelen naar een rij - en voor vierkante matrices, zoals we later zullen zien, ook naar een kolom. Lemma 2.3. Laat A een m n-matrix en noteer A(i c, j c ) voor de matrix verkregen uit A door rij i en kolom j weg te halen. Dan geldt voor alle i {1,..., m} per(a) = n a ij per A(i c, j c ). j=1 Bewijs. Dit is eenvoudig in te zien door te bedenken dat elke diagonaal van A die a ij bevat, zonder a ij een diagonaal is van A(i c, j c ) Voorbeeld 2.4. Laat A = 2 1 5, dan geldt per(a) = 3 per [ ] per 1 1 [ ] per 1 1 [ ] = 3 ( ) + 2 ( ) + 4 ( ) = 44 7

8 Vaak wordt de permanent beschouwd als functie in de rijen van de matrix. Als A = (a ij ) een m n-matrix is noteren we a i voor de i e rij (de vector [a i1 a i2...a in ]) en zeggen dat per(a) = per(a 1,..., a m ). We zien de permanent dan als een functie van (R n ) m naar R en deze functie blijkt - net als de determinant - multilineair te zijn. Lemma 2.5. De permanent is multilineair in de rijen van de matrix. Bewijs. Hiervoor moet worden laten zien dat per(a 1,..., λa i,..., a m ) = λ per(a 1,..., a m ) en dat per(a 1,..., a i + a i,..., a m ) = per(a 1,..., a i,..., a m ) + per(a 1,..., a i,..., a m ). Dit is direct in te zien door te ontwikkelen naar rij i. Merk op dat de permanent van een matrix die een rij met enkel nullen bevat, hiermee nul is. Als een matrix twee dezelfde rijen heeft is de determinant van die matrix ook nul. De determinant blijft daardoor gelijk op het moment dat je de ene rij van de matrix optelt bij een andere rij. Er geldt immers det(a 1 + a 2, a 2,..., a n ) = det(a 1,..., a n ) + det(a 2, a 2,..., a n ) = det(a 1,..., a n ). Hierdoor kan de determinant relatief snel, in polynomiale tijd, berekend worden door hem terug te brengen tot echelonvorm. Voor de permanent geldt dit echter niet, [ zoals ] 1 2 door een eenvoudig voorbeeld te zien is. Zo is de permanent van de matrix [ ] niet gelijk aan die van. In 1979 bewees Valiant [16] dat het berekenen van de 0 2 permanent een #P-probleem is. Als er een algoritme gevonden wordt dat de permanent in polynomiale tijd kan uitrekenen zou dat P = NP bewijzen, wat één van de nog onopgeloste milleniumproblemen is 1. Er zijn wel snellere methodes om de permanent uit te rekenen bekend dan te ontwikkelen naar een rij of door over S n te sommeren. In Hoofdstuk 3 wordt hier meer aandacht aan besteed. De determinant is een alternerende functie. Dat wil zeggen dat het verwisselen van twee rijen kan zorgen voor het veranderen van het teken. De permanent daarentegen is een symmetrische functie zoals uit het volgende lemma blijkt. Lemma 2.6. Gegeven een m n-matrix A. Laat Π 1 en Π 2 respectievelijk m m- en n n-permutatiematrices zijn, dan geldt per(a) = per(π 1 AΠ 2 ). Bewijs. Door het permuteren van de rijen of kolommen blijven alle diagonalen gelijk, ze horen hooguit bij een andere functie σ - maar dat heeft geen invloed op de permanent. Hetzelfde geldt voor het transponeren van een vierkante matrix, dus geldt ook dat per(a) = per(a ). Een vierkante matrix kan hierdoor behalve naar de rijen ook naar de kolommen ontwikkeld worden en is ook multilineair in de kolommen

9 [ ] B 0 Lemma 2.7. Laat A een n n-matrix van de volgende vorm: A =, waarbij C D zowel B als D vierkante deelmatrices zijn. Dan geldt per(a) = per(b) per(d). Bewijs. Neem aan dat B een r r matrix is. Herinner je de definitie van een diagonaal uit Definitie 2.1. Elke niet-nul term uit per(a) wordt gegeven door een permutatie σ S n zodanig dat a iσ(i) 0 voor alle i. Dat kan alleen als voor i {1,..., r} geldt dat σ(i) {1,..., r}. Dit geeft een permutatie σ 1 S r en daarmee een diagonaal van B. Op dezelfde manier vinden we ook σ 2 S n r en dus een diagonaal van D. Voor deze term geldt dan n r n r a iσ(i) = b iσ1 (i) c iσ2 (i). Dus is het ook een term in per(b) per(d). Omgekeerd geldt dat elke term uit per(b) per(d) het product is van twee diagonaalproducten, die samen een diagonaalproduct van A geven. Door gebruik te maken van deelmatrices kan dit resultaat ook meer algemeen geformuleerd worden. Definitie 2.8. Gegeven een m n-matrix A = (a ij ). Laat γ {1,.., m} en δ {1,..., n} met γ = {γ 1,.., γ r } en δ = {δ 1,..., δ s }. Dan is de r s-matrix B = (b ij ) met b ij = a γi δ j een deelmatrix van A. We schrijven dit als B = A(γ, δ). Met A(γ, :) bedoelen we de r n-deelmatrix bestaande uit rijen γ 1,..., γ r van A. Verder schrijven we γ c voor {1,..., n} \ γ. [ ] Laat bijvoorbeeld A =, γ = {1} en δ = {1, 3}. Hiermee kunnen onder andere de volgende deelmatrices beschreven worden. A(γ, δ) = [ 2 6 ] [ ] 2 6 A(:, δ) = 4 2 A(γ, :) = [ ] A(γ c, δ c ) = [ 3 ]. Gevolg 2.9. Laat A een n n-matrix zijn. Als er γ, δ {1,..., n} bestaan zodanig dat A(γ, δ) = 0 en γ + δ = n, dan geldt per(a) = per(a(γ, δ c )) per(a(γ c, δ)). 9

10 Bewijs. Als γ + δ = n, geldt dat γ c = n γ = δ. De deelmatrices A(γ c, δ) en A(γ, δ c ) zijn dus vierkant. Omdat de permanent volgens Lemma 2.6 invariant is onder permutatie, volgt het resultaat uit Lemma 2.7. Deze eigenschap wordt ook in de volgende stelling gebruikt. Stelling (Frobenius-König) De permanent van een niet-negatieve n n-matrix A is nul, als en alleen als er γ, δ {1,..., n} bestaan met γ = r en δ = s zodat A(γ, δ) = 0 en r + s = n + 1. Bewijs. We bewijzen eerst het alleen als - gedeelte. Dit gaat met inductie naar n. Voor n = 1 is het direct duidelijk - de permanent van een 1 1-matrix is nul alleen als de matrix nul is. Stel dat de stelling geldt voor n < N en laat A een N N-matrix zijn met per(a) = 0. We zullen aantonen dat er dan γ, δ bestaan met γ + δ = N + 1 en A(γ, δ) = 0. Als A = 0 valt er niks te bewijzen, dus kunnen we aannemen dat er een a ij > 0 bestaat. Beschouw nu de matrix A(i c, j c ) verkregen uit A door rij i en kolom j weg te halen. Omdat elk diagonaalproduct van A nul is, is ook elk diagonaalproduct en dus de permanent van deze matrix nul. Door de inductiehypothese weten we dat dit betekent dat er ι en κ bestaan met ι + κ = N en A(ι, κ) = 0. Uit gevolg 2.9 volgt dan dat per(a) = per(a(ι, κ c )) per A(ι c, κ)) = 0. We kunnen nu twee gevallen onderscheiden, namelijk ofwel per (A(ι, κ c )) = 0 ofwel per (A(ι c, κ)) = 0. Neem eerst aan dat per (A(ι, κ c )) = 0. Merk op dat, omdat ι + κ = N, de deelmatrix A(ι, κ c ) een ι ι -matrix is. Omdat ι < N volgt uit de de inductiehypothese dat deze matrix een u v 0-deelmatrix heeft met u + v = ι + 1. Oftewel er bestaan ι en κ (respectievelijk van grootte u en v) zodanig dat A(ι, κ ) = 0 en ι ι en κ κ c. Laat nu γ = ι en δ = κ κ. Dan geldt dat A(γ, δ) = 0 en γ + δ = ι + κ + κ = ι κ = N + 1. Voor het geval dat per (A(ι c, κ)) = 0, kan op dezelfde manier een geschikte γ en δ gevonden worden. Rest nog te bewijzen dat de permanent van een niet-negatieve n n-matrix A nul is als er γ en δ bestaan zodanig dat A(γ, δ) = 0 en γ + δ = n + 1. Laat A een n n-matrix zodanig dat er γ = {γ 1,..., γ r } en δ = {δ 1,..., δ s } bestaan met A(γ, δ) = 0 en r + s = n + 1. Laat nu ι = {γ 1,..., γ r 1 }. Dan geldt A(ι, δ) = 0 en ι + δ = n, dus uit gevolg 2.9 volgt dat per(a) = per(a(ι, δ c )) per A(ι c, δ)) = 0. Merk op dat A({γ r }, δ) een rij van A(ι c, δ) is, dus dat A(ι c, δ) een rij met enkel nullen bevat. De permanent van deze matrix is dus nul en dus geldt per(a) = 0. 10

11 2.2. Dubbelstochastische matrices In het algemeen is er geen boven- of ondergrens te geven voor de permanent van matrices. Omdat de permanent een continue functie is, ligt dat voor een compacte deelverzameling van de matrices anders. Eén zo n deelverzameling is die van de dubbelstochastische matrices. Definitie Een n n-matrix A 0 heet dubbelstochastisch als zowel de rijen als kolommen optellen tot 1. Oftewel, A = a ij is een dubbelstochastische matrix als n a ij = n a ij = 1. j=1 We schrijven Ω n voor de verzameling van alle n n dubbelstochastische matrices. Voorbeelden zijn permutatiematrices of een n n matrix met op elke positie 1/n. De verzameling Ω n is compact, en dus heeft de permanent binnen die ruimte een boven- en ondergrens. Claim Voor een matrix A Ω n geldt dat per(a) 1. Er geldt dat per(a) = 1 dan en slechts dan als A een permutatiematrix is. Bewijs. We zullen een sterker resultaat bewijzen, namelijk dat deze bovengrens geldt voor alle rijstochastische matrices, matrices waarvan alleen de rijen optellen tot 1. Het is duidelijk dat de permanent van een permutatiematrix gelijk is aan 1. We hoeven dus alleen te laten zien dat de permanent van een rijstochastische matrix ongelijk aan een permutatiematrix strikt kleiner is dan 1. Een rijstochastische 2 2-matrix is van de vorm A = [ λ 1 λ 1 µ µ met λ, µ < 1. De permanent hiervan is per(a) = 1 + 2λµ λ µ < 1. Stel dat de claim waar is voor alle n n-matrices met n < N. Laat A = (a ij ) een N N rijstochastische matrix zijn. Als a ij = 1, is A(i c, j c ) een enkelstochastische matrix en volgt uit de inductiehypothese dat per(a) = a ij per(a(i c, j c )) < 1. Neem nu aan dat de matrix geen 1 bevat. Merk op dat de matrix A(1 c, j c ) strikt kleiner is dan een rijstochastische matrix (namelijk de matrix verkregen door de elementen uit de eerste rij van A op te tellen bij de elementen uit de eerste rij van A(1 c, j c )). Bovendien is dit geen permutatiematrix, zodoende is de permanent hiervan kleiner dan 1. Als we de permanent van A uitrekenen door te ontwikkelen naar de eerste rij vinden we nu per(a) = ], n a 1j per(a(1 c, j c )) < j=1 n a ij = 1. j=1 11

12 Een ondergrens voor de permanent in Ω n is een stuk minder eenvoudig te bewijzen. In 1926 had de Nederlander Bartel Leendert van der Waerden [17] al het vermoeden dat die ondergrens alleen aangenomen wordt door de n n-matrix waarvan elk element gelijk is aan 1 n! (en dus gelijk is aan ). Dit werd echter pas in 1980 [8] bewezen. n n n Het is gemakkelijk na te gaan dat Ω n convex is. Elke convexe combinatie van permuatiematrices is dus dubbelstochastisch. Om het omgekeerde hiervan, dat ook elke dubbelstochastische matrix te schrijven is als convexe combinatie van permutatiematrices, te bewijzen is eerst het volgende lemma nodig. Lemma Als A Ω n dan geldt per(a) 0. Bewijs. Laat A een dubbelstochastische matrix zijn. Stel dat per(a) = 0, dan geldt volgens stelling 2.10 dat A een r s 0-deelmatrix bevat met r + s = n + 1. Zonder verlies van algemeenheid mogen we aannemen dat deze deelmatrix rechtsboven staat, dus dat A van de volgende vorm is. n s B 0 C { s D } r } n r { Omdat A dubbelstochastisch is telt elke rij op tot 1. De som van alle elementen van de deelmatrix B is dus gelijk aan het aantal rijen, r. Tegelijk telt ook elke kolom op tot 1, dus is de som van alle elementen van B en C samen gelijk aan n s. Maar dan geldt dat r n s, wat in tegenspraak is met r + s = n + 1. Uit de volgende stelling zal blijken dat elke dubbelstochastische matrix geschreven kan worden als convexe combinatie van permutatiematrices. Deze stelling is door Birkhoff in 1946 [5] bewezen en later opnieuw bewezen door Von Neumann in 1953 [14]. Stelling (Birkhoff - Von Neumann) Elke dubbelstochastische matrix kan geschreven worden als convexe combinatie van eindig veel permutatiematrices. Oftewel, als A Ω n dan zijn er λ 1,..., λ n 0 met n λ i = 1 en waarvoor geldt dat A = λ 1 Π λ n Π n. Bewijs. Laat A = (a ij ) een dubbelstochastische matrix zijn. Als A een permutatiematrix is, is de stelling bewezen. Neem aan dat A geen permutatiematrix is. Uit Lemma 2.13 weten we dat per(a) 0, dus heeft A een positieve diagonaal. Laat σ de permutatie 12

13 zijn die hoort bij deze diagonaal en Π 1 de corresponderende permutatiematrix. Definieer nu µ 1 := min{a 1σ(1),..., a nσ(n) }, A (1) := 1 1 µ 1 (A µ 1 Π 1 ). Voor λ = 1 1 µ 1 geldt dat A (1) = λa + (1 λ)π 1. Doordat Ω n convex is, is de matrix A (1) ook dubbelstochastisch. Bovendien geldt dat A = µ 1 Π 1 + (1 µ 1 )A (1), dus als A (1) een permutatiematrix is zijn we klaar. In het algemeen, als A (k 1) = (a (k 1) ij ) geen permutatiematrix is, vinden we een permutatie σ die een positieve diagonaal geeft en de bijbehorende permutatiematrix Π n. We definiëren µ n := min{a (k 1) 1σ(1),..., a(k 1) nσ(n) }, A (k) := 1 (A (k 1) µ k Π k ). 1 µ k Merk op dat A (k) een nul meer heeft dan A (k 1), dus dit proces is eindig. Bovendien blijft de matrix dubbelstochastisch, dus zal het uiteindelijk naar een permutatiematrix leiden. Stel dat we na r stappen op een permutatiematrix uitkomen, dus dat A (r) een permutatiematrix is. Definieer dan µ r+1 = 1 en Π r+1 = A (r). Voor λ k = µ k k 1 (1 µ i) geldt dan r r 1 r 1 λ k = λ k + (1 µ i ) Dus is k=1 k=1 r 2 r 2 r 2 = λ k + µ r 1 (1 µ i ) + (1 µ r 1 ) (1 µ i ) k=1 r 2 r 2 = λ k + (1 µ i ) k=1 =... 1 = λ k + k=1 A = µ 1 Π 1 + (1 µ 1 )A (1) 1 (1 µ i ) = 1. = λ 1 Π 1 + (1 µ 1 )µ 2 Π 2 + (1 µ 1 )(1 µ 2 )A (2). =... = λ 1 Π λ r Π r een convexe combinatie van eindig veel permuatiematrices. 13

14 Deze stelling is op vele manieren bewezen. Het voordeel van dit bewijs is dat het constructief is - het geeft direct een algoritme om de convexe combinatie te vinden. Hierdoor is het erg geschikt om door een computer te laten uitvoeren, zie ook Appendix D. In het volgende voorbeeld wordt nog eens zichtbaar wat er precies gebeurt. Voorbeeld Bekijk de matrix A = Deze matrix is dubbelstochastisch en dus kunnen we stelling 2.14 toepassen. Als eerste moeten we een permutatiematrix vinden die een positieve diagonaal in A geeft. We kiezen bijvoorbeeld Π 1 = Dan geldt µ 1 = min{ 8 matrix A (1) door, 5, A (1) = } = 2 en dus λ = µ 1 = 2. We maken nu de nieuwe 15 ( 1 A 2 ) 1 2/15 15 Π 1 = Nu zoeken we opnieuw een positieve diagonaal in A (1). We kiezen Π 2 = Hiermee vinden we µ 2 = min{ 6 we A (2) maken door, } = 6 en dus λ = µ 2 (1 µ 1 ) = 6. Nu kunnen 15 A (2) = 1 1 µ 2 ( A (1) µ 2 Π 2 ) = Dit proces nog twee keer herhalen levert het volgende op Stap 3: Π 3 = 1 0 0, µ 3 = 3, λ 7 3 = 3, A(3) = 0 3 1, Stap 4: Π 4 = 0 1 0, µ 4 = 3, λ 4 4 = 3, 15 A(4) =

15 We zien nu dat A (4) een permutatiematrix is, dus definiëren we Π 5 = A (4) en λ 5 = 4 (1 µ i) = 1. We zien dat er inderdaad geldt dat 15 en A = λ 1 Π 1 + λ 2 Π 2 + λ 3 Π 3 + λ 4 Π 4 + λ 5 Π 5 λ 1 + λ 2 + λ 3 + λ 4 + λ 5 = 1. We hebben A dus geschreven als convexe combinatie van eindig veel permutatiematrices Het nulpatroon van matrices Voor veel eigenschappen van de permanent doet het er niet echt toe wat de waardes van de matrixelementen zijn, maar enkel op welke plek de niet-nul elementen staan. Dit zagen we onder andere al in de stelling van Frobenius-König, Stelling Allereerst zullen we een manier definiëren, om matrices die nullen op dezelfde posities hebben staan te benoemen. Definitie Twee matrices A = (a ij ) en B = (b ij ) hebben hetzelfde nulpatroon als a ij = 0 dan en slechts dan als b ij = 0. We zeggen dat een matrix A een dubbelstochastisch patroon heeft als er een dubbelstochastische matrix bestaat met hetzelfde nulpatroon als A. [ ] 1 2 We zien bijvoorbeeld dat de matrix een dubbelstochastisch patroon heeft, namelijk hetzelfde nulpatroon als de matrix. De matrix heeft daaren- 3 [ 5 ] [ ] 1/2 1/ /2 1/2 0 1 tegen geen dubbelstochastisch patroon. We zagen al dat een (eindige) som van permutatiematrices ook een dubbelstochastisch patroon heeft. Stelling Laat A een niet-negatieve n n-matrix ongelijk aan nul zijn. Dan heeft A een dubbelstochastisch patroon dan en slechts dan als elke positieve entry in een positieve diagonaal bevat is. Bewijs. Laat A 0 een niet-negatieve n n-matrix zijn met een dubbelstochastisch patroon. Dan is er een dubbelstochastische matrix B die hetzelfde patroon als A heeft en is het voldoende de stelling te bewijzen voor B. Volgens Stelling 2.14 kan B geschreven worden als convexe combinatie van permutatiematrices. Voor elke positie waar B niet nul is, is er dan een permutatiematrix Π k in deze som die een 1 heeft op deze positie. Doordat alle λ j > 0, betekent dit dat de 1-diagonaal van Π k positief is in B. Voor de implicatie in de andere richting nemen we aan dat A een niet-negatieve n n- matrix is, waarbij elke positieve entry in een positieve diagonaal bevat is. Voor elke positieve entry a ij kunnen we dus een permutatiematrix Π vinden die 1 is op één van 15

16 deze diagonalen. De matrix gevormd door de som van al deze permutatiematrices heeft dan hetzelfde patroon als A. We zagen al dat een eindige som van permutatiematrices, en dus ook A, een dubbelstochastisch patroon heeft. Een belangrijke parameter van een matrix is de rank, het aantal lineair onafhankelijke rijen of kolommen ervan. Dit is gelijk aan de maximale grootte van een vierkante deelmatrix met determinant ongelijk aan nul. Een begrip dat hier sterk op lijkt is de term rank van een matrix. Definitie Laat A een m n-matrix. De term rank van A is gelijk aan het maximale aantal niet-nul elementen waarvan er geen twee in dezelfde rij of kolom liggen. De term rank kan, net als de rank, ook gedefinieerd worden door gebruik te maken van deelmatrices. Gevolg Voor A 0 is de term rank gelijk aan de maximale grootte van een vierkante deelmatrix van A met de permanent ongelijk aan nul. Bewijs. Als de permanent van een niet-negatieve matrix ongelijk aan nul is betekent dat dat er een diagonaal is waarvan het product ongelijk aan nul is, dus waarvan alle elementen ongelijk aan nul zijn. Een deelmatrix van A met maximale grootte en permanent ongelijk aan nul, geeft dus de diagonaal met het minste aantal niet-nul elementen. Definitie Gegeven is een matrix A = (a ij ). Twee niet-nul elementen van A, a ij en a i j heten chainable als er rijen I = (i 1,..., i k ) en J = (j 1,..., j k ) bestaan zodanig dat a ij = a i1 j 1 en a i j = a i k j k, voor alle q {1,..., k} geldt dat a iqj q 0, voor alle q {1,..., k 1} geldt ofwel i q = i q+1 ofwel j q = j q+1. Met andere woorden, er is een pad van de een naar de ander, over de matrix heen en waarbij alleen op een niet-nul element van richting gewisseld kan worden. We noemen een matrix chainable als alle niet-nul elementen chainable zijn. Bekijk de matrix uit Figuur 2.2. In Figuur 2.2a zie je dat de elementen a 22 en a 55 chainable zijn via het pad gegeven door I = {2, 2, 5, 5} en J = {2, 4, 4, 5}. In Figuur 2.2b kun je zien dat de matrix zelf niet chainable is; zo is er bijvoorbeeld geen pad van a 11 naar a 22. De matrix kan eenvoudig chainable gemaakt worden, bijvoorbeeld door a 23 te veranderen naar een 1. Definitie Een n n-matrix A heet partly decomposable als er γ, δ bestaan zodat γ + δ = n en A(γ, δ) = 0. Oftewel als A een r s deelmatrix bevat die overal nul is. Als een matrix niet partly decomposable is heet de matrix fully indecomposable. 16

17 (a) Route van a 22 naar a 55. (b) De ketens van de matrix Figuur 2.2.: Voorbeeld van een matrix die niet chainable is. In Lemma 2.7 en Gevolg 2.9 zagen we al waarom deze matrices het bestuderen waard zijn. De permanent ervan is namelijk makkelijker uit te rekenen. Daarnaast zal de volgende stelling laten zien dat het ook een manier is om te zien of een matrix dubbelstochastisch patroon heeft of chainable is. Stelling Een niet-negatieve matrix A is fully indecomposable dan en slechts dan als A een dubbelstochastisch patroon heeft en chainable is. Bewijs. Laat A een fully indecomposable matrix. Eerst zal worden aangetoond dat A een dubbelstochastisch patroon heeft. Volgens Stelling 2.17 is het voldoende te laten zien dat elk positief element in een positieve diagonaal bevat zit. De matrix A is fully indecomposable, dus geldt A 0. Laat a ij > 0 en beschouw de matrix A(i c, j c ). Omdat A fully indecomposable is, volgt uit Stelling 2.10 dat de determinant hiervan ongelijk aan nul is. Dus heeft A(i c, j c ) een positieve diagonaal. Door a ij aan deze diagonaal toe te voegen, hebben we een positieve diagonaal van A waar a ij zich in bevindt. Vervolgens zal worden aangetoond dat A chainable is. Stel dat dit niet het geval is, dan bevat A minstens twee ketens, zoals ook te zien is in Figuur 2.2b. Er bestaan dus γ 1 en γ 2 met γ 1 + γ 2 = n en δ 1 en δ 2 met δ 1 + δ 2 = n, zodanig dat de deelmatrices A(γ 1, δ 1 ) en A(γ 2, δ 2 ) niet met elkaar te verbinden zijn met een pad zoals in Definitie Dan is het zo dat A(γ 1, δ 2 ) = 0 en A(γ 2, δ 1 ) = 0. Er geldt dat γ 1 + γ 2 + δ 1 + δ 2 = 2n, dus geldt γ 1 + δ 2 n of γ 2 + δ 1 n. indecomposable zijn van de matrix A. Dit is een tegenspraak met het fully Als laatste willen we nog aan tonen dat een niet-negatieve matrix fully indecomposable is als deze een dubbelstochastisch patroon heeft en chainable is. Laat hiervoor A een dubbelstochastische, niet-negatieve matrix zijn die chainable is en neem aan dat A partly decomposable is. Dat betekent dat er γ, δ bestaan met γ + δ = n en A(γ, δ) = 0. Dan is de deelmatrix A(γ, δ c ) vierkant. Omdat A dubbelstochastisch is volgt hieruit dat A(γ c, δ c ) = 0. 17

18 2.4. De permanent binnen de grafentheorie Veel van de begrippen die tot nu toe in dit hoofdstuk behandeld zijn, vinden hun oorsprong in - of hebben in ieder geval veel toepassingen binnen - de grafentheorie. Definitie Een graaf is een tweetal G = (V, E) waarbij V een verzameling is die de knopen voorstelt en waarbij E V V lijnen tussen de knopen voorstelt. In een ongerichte graaf geldt dat (v 1, v 2 ) E impliceert dat (v 2, v 1 ) E. We noemen een graaf bipartiet als V = V 1 V 2 en E V 1 V 2. In deze paragraaf zullen we het hebben over ongerichte bipartiete grafen. Een bipartiete graaf kan geassocieerd worden met een matrix door de verbindingsmatrix. Definitie Gegeven een bipartiete graaf G = (V U, E) met V = {v 1,..., v n } en U = {u 1,..., u n }. Dan is de n n-matrix A = (a ij ) een verbindingsmatrix van G als { 1 als (v i, u j ) E a ij = 0 als (v i, u j ) E. Elke v V correspondeert met een rij van de matrix die we zullen aangeven met v, op dezelfde manier geeft elke u U de kolom u. A B C D E V W X Y Z A B C D E V W X Y Z (a) Bipartiete graaf (b) De verbindingsmatrix Figuur 2.3.: Een bipartiete graaf en bijbehorende verbindingsmatrix. In Figuur 2.3a zie je de bipartiete graaf G = (V, E), gegeven door V = {A, B, C, D, E} {V, W, X, Y, Z} en E = {(A, V ), (A, W ), (A, Y ), (B, V ), (B, X), (B, Y ), (C, W ), (C, Y ), (D, V ), (D, X), (D, Z), (E, V ), (E, Y ), (E, Z)}. Een bipartiete graaf kan voor van alles symbool staan, zo lees je in Hoofdstuk 5 een voorbeeld over een datingshow. In veel van die gevallen is het interessant of alle punten gekoppeld kunnen worden, oftewel of er een perfecte koppeling bestaat. 18

19 Definitie Gegeven een bipartiete graaf G = (V U, E). Een deelverzameling M van E heet een koppeling als geen van de lijnen uit M een gemeenschappelijke knoop hebben. Een koppeling M heet maximaal als er geen koppeling M is met M < M. Een perfecte koppeling is een koppeling M waarin voor alle knopen geldt dat er precies één lijn uit M incident aan is. Voor een koppeling geldt dat elke knoop incident is aan maximaal één lijn uit de koppeling. In de matrix zie je dit terug doordat er uit elke rij en elke kolom maximaal één niet-nulelement wordt gekozen - een deel van een diagonaal. Een koppeling is maximaal als er in de verbindingsmatrix geen diagonaal is met meer niet-nulelementen, oftewel als er geen grotere deelmatrix is met permanent ongelijk aan nul. De grootte van een maximale koppeling in een graaf is dus gelijk aan de term rank van de verbindingsmatrix zoals deze in Definitie 2.18 gedefinieerd is. Een perfecte koppeling geeft in de verbindingsmatrix een diagonaal met alleen enen zoals in Figuur 2.4 te zien is. Het aantal perfecte koppelingen van een bipartiete graaf dus gelijk is aan de permanent van de verbindingsmatrix. A B C D E V W X Y Z A B C D E V W X Y Z (a) Perfecte koppeling (b) De verbindingsmatrix Figuur 2.4.: Een perfecte koppeling in een bipartiete graaf geeft een diagonaal met enkel enen in de bijbehorende verbindingsmatrix. Stelling Laat G = (V U, E) een bipartiete graaf zijn met U = V. De graaf G bevat een perfecte koppeling als en alleen als voor alle X V geldt dat X Γ(X) Bewijs. Laat A de verbindingsmatrix zijn die hoort bij graaf G, dan bevat G een perfecte koppeling dan en slechts dan als per A 0. Volgens Stelling 2.10 is dit het geval dan en slechts dan als voor alle X V en Y U met A(X, Y ) = 0 geldt dat X + Y n. Voor alle X V geldt A(X, Γ(X) c ) = 0. Dit betekent dat X + (n Γ(X) ) n en dus X Γ(X). Anderszijds, als A(X, Y ) = 0, dan geldt Y Γ(X) c. Dus als voor alle X V geldt dat X Γ(X), dan geldt ook X + Y X + Γ(X) c n. 19

20 Een ander belangrijk begrip bij grafen is de minimale bedekking van een graaf, hoeveel knopen er nodig zijn om alle lijnen te bereiken. Definitie Gegeven een graaf G = (V, E) heet een deelverzameling van de knopen C V een knopenbedekking van G als elke lijn uit E incident is aan minstens één knoop uit C. Oftewel, als voor alle e = (v 1, v 2 ) E geldt dat ofwel v 1 C ofwel v 2 C. We noemen een bedekking C minimaal als voor elke bedekking C geldt dat C C. Merk op dat in de verbindingsmatrix elke rij en kolom voor een knoop staat. Een knopenbedekking C is dus een verzameling rijen γ en kolommen δ, zodanig dat wanneer de bijbehorende knopen -en dus ook aangrenzende lijnen- uit de graaf zouden worden gehaald er geen lijnen overblijven - oftewel, zodanig dat A(γ c, δ c ) = 0. A B C D E V W X Y Z A B C D E V W X Y Z (a) Graaf (b) De verbindingsmatrix Figuur 2.5.: In deze graaf geeft de verzameling van omcirkelde punten een knopenoverdekking. Links zie je dat deze punten weghalen inderdaad een nulmatrix overlaat. De volgende stelling is in 1931 door Egerváry [7] en König [10] gepubliceerd en is equivalent aan de stelling van Frobenius en König (Stelling 2.10, Stelling 2.26) Stelling Laat G = (V U, E) een bipartiete graaf. Dan is de grootte van een maximale koppeling gelijk aan de grootte van een minimale knopenbedekking. Bewijs. Het is duidelijk dat de grootte van een koppeling kleiner of gelijk is aan de grootte van een knopenbedenking. Om alle lijnen van een koppeling M te bedekken zijn namelijk precies M knopen nodig. Laat nu C een knopenbedekking met minimale grootte. Om te bewijzen dat er gelijkheid geldt is het voldoende om een koppeling M te kunnen construeren met M = C. Beschouw de deelgraaf G 1 gegeven door de punten V C en U \ C. In deze graaf geldt voor alle X V C dat X Γ(X), als dit niet het geval zou zijn zou de 20

21 koppeling C namelijk kleiner worden door X te vervangen door Γ(X). Dit betekent dat ook V C U \ C. Door voldoende punten toe te voegen aan de graaf en deze te verbinden met alle punten uit U \ C kunnen we zorgen dat beide kanten van de graaf evenveel punten hebben en kunnen we met behulp van Stelling 2.26 een perfecte koppeling M 1 vinden. Dit geeft vervolgens een koppeling van grootte V C in de graaf G 1. Op dezelfde manier kunnen we een koppeling M 2 in G 2 = (V \ C U C, E ) vinden van grootte U C. Maar dan is M 1 M 2 een koppeling van M met grootte V C + U C = C en daarmee is de stelling bewezen. A V C X Y A V B W B W C X D Z D Y E E Z (a) De twee deelgraven (b) De uiteindelijke koppeling Figuur 2.6.: De constructie van een koppeling zoals beschreven in het bewijs van Stelling Een voorbeeld van de constructie van een koppeling zoals in dit bewijs is te zien in Figuur 2.6. We weten nu wat de permanent is en we kennen de betekenis ervan binnen de grafentheorie. Ook hebben we gezien dat als een matrix een bepaald nulpatroon heeft, de permanent eenvoudiger is uit te rekenen. Maar de meeste matrices hebben niet zo n patroon. Om de permanent van deze matrices toch snel uit te rekenen zijn er algoritmes bekend die we in het volgende hoofdstuk zullen bekijken 21

22 3. Het uitrekenen van de permanent In het vorige hoofdstuk hebben we de permanent gedefinieerd. In Lemma 2.3 zagen we dat de permanent in enkele gevallen eenvoudiger uit te rekenen is door een geschikte rij of kolom te kiezen en daar naar te ontwikkelen. Echter, in de meeste gevallen is dat niet het geval. In dit hoofdstuk zullen we twee algoritmes bekijken en laten zien dat de permanent hiermee sneller berekend kan worden De methode van Binet-Minc In 1812 introduceerden Binet [4] en Cauchy [6] bijna gelijktijdig de permanent. Binet gaf in zijn artikel ook formules voor het berekenen van de permanent in het geval van een m n-matrix met m 4. In het kort kwam het er op neer dat hij om de permanent van een m n-matrix A = (a ij ) te berekenen eerst het product van de rijsommen nam en vervolgens voor het teveel compenseerde. Dit principe staat ook wel bekend als het principe van inclusie en exclusie. Met behulp van deze formules kon Binet de permanent uitrekenen met minder optellingen en vermenigvuldigingen dan wanneer hij de definitie zou gebruiken. De formules voor m = 2 en m = 3 worden in deze paragraaf nader bekeken. Laat A = (a ij ) R 2 n. De diagonaalproducten van deze matrix zijn van de vorm a 1s a 2t met s t. De permanent is dus gelijk aan per(a) = s t a 1s a 2t. We bekijken eerst het product van alle rijsommen, 2 n j=1 a ij = n s,t=1 a 1sa 2t. Deze som kunnen we splitsen in een gedeelte waar s = t en waar s t. Op deze manier zien we dat 2 n a ij = n a 1s a 2t + a 1s a 2s. (3.1) j=1 s t s=1 Hiermee vinden we dat voor een 2 n-matrix het volgende geldt, per(a) = 2 n n a ij a 1s a 2s. j=1 s=1 22

23 We zien nu ook waarom Binet deze formule gebruikte. Om de permanent hiermee uit te rekenen zijn er n + 1 vermenigvuldigingen en 3(n 1) + 1 optellingen nodig. Het aantal diagonalen in een 2 n-matrix is gelijk aan n(n 1), dus hiermee kost het uitrekenen van de permanent n(n 1) vermenigvuldigingen en n(n 1) 1 optellingen. Om deze uitdrukking korter te schrijven introduceren we eerst wat notatie. Hiervoor moeten we weten wat een verzamelingspartitie is. Definitie 3.1. Voor een zekere n N zeggen we dat een verzameling o = {o 1,..., o k } bestaande uit deelverzamelingen van {1,..., n} een verzamelingspartitie (vaak kortweg partitie), met lengte k, van n is als - De vereniging van alle elementen gelijk is aan de verzameling {1,..., n}, k o i = {1,..., n}. - Alle elementen paarsgewijs disjunct zijn, i, j(i j = o i o j = ø). De verzameling van alle verzamelingpartities van n noteren we met O n. Merk op dat voor een partitie o O m van lengte k geldt dat k o i = n. Definitie 3.2. Voor een m n-matrix A = (a ij ) en een verzameling q {1,..., m} definiëren we n r q = a xj. j=1 x q Hiermee definiëren we voor een verzamelingspartitie o = {o 1,..., o k } van m sr(o) = k r oi. De verzameling O 2 bestaat uit twee partities, namelijk {{1}, {2}} en {{1, 2}}. Hiermee kunnen we de uitdrukking die we net hebben gevonden voor de permanent herschrijven tot per(a) = r({{1}, {2}}) r({{1, 2}}). [ ] Voorbeeld 3.3. Laat A =. Dan vinden we per(a) = r({{1}, {2}}) r({{1, 2}}) = a 1j a 2j a 1s a 2s j=1 j=1 j=1 = ( )( ) ( ) =

24 Beschouw nu een positieve 3 n-matrix A = (a ij ) (het bewijs voor een niet-positieve matrix gaat volledig analoog). Opnieuw kijken we eerst naar het product van de rijsommen, r({{1}, {2}, {3}}). Dit bevat de diagonaalproducten, maar daarnaast ook termen met twee of drie factoren afkomstig uit dezelfde kolom. Er geldt dus dat per(a) r({{1}, {2}, {3}}) < 0. We beschouwen vervolgens de verzamelingspartities met lengte 2. Er geldt dat r({{1, 2}, {3}}) = n x,y=1 a 1xa 2x a 3y. Dit kan op dezelfde manier worden herschreven als gebeurde in uitdrukking (3.1) voor m = 2, n x,y=1 a 1x a 2x a 3y = x y a 1x a 2x a 3y + n a 1x a 2x a 3x. Hetzelfde kunnen we doen voor r({{1, 3}, {2}}) en r({{2, 3}, {1}}), zo vinden we dat de som van deze drie, r({{1, 2}, {3}}) + r({{1, 3}, {2}}) + r({{2, 3}, {1}}), gelijk is aan x=1 (a 1x a 2x a 3y + a 1x a 2y a 3x + a 1y a 2x a 3x ) + 3 x y n a 1x a 2x a 3x. Dit zijn allemaal termen die wel in r({{1}, {2}, {3}}) voorkomen, maar niet in per(a). Echter, termen uit de meest rechter som kwamen in r({{1}, {2}, {3}}) maar een enkele keer voor. Er geldt dus dat per(a) (r({{1}, {2}, {3}}) r({{1, 2}, {3}}) r({{1, 3}, {2}}) r({{2, 3}, {1}})) > 0. Dit is namelijk precies gelijk aan 2 n x=1 a 1xa 2x a 3x = 2r {1,2,3} = 2r({1, 2, 3}). Oftewel, per(a) = r({{1}, {2}, {3}}) r({{1, 2}, {3}}) r({{1, 3}, {2}}) x=1 r({{2, 3}, {1}}) + 2r({{1, 2, 3}}) Voorbeeld 3.4. Laat A = In dit voorbeeld laten we de bij vermenigvuldiging weg, we noteren dus 123 voor en zo verder. We beschouwen de verzamelingpartities van 3: O 3 = { {{1}, {2}, {3} }, { {1, 2}, {3} }, { {1, 3}, {2} }, { {2, 3}, {1} }, { {1, 2, 3} } }. Als we voor elk van deze partities r(o) uitwerken vinden we het volgende. 24

25 r({{1}, {2}, {3}}) = r({{1, 2}, {3}}) = r({{1, 3}, {2}) = r({{2, 3}, {1}}) = r({{1, 2, 3}}) = We zien dat r({{1}, {2}, {3}}) alle diagonaalproducten bevat en we die verder nergens terugvinden (aangegeven in groen / dikgedrukt). De overige termen corresponderen bijna allemaal één-op-één met de termen uit r({{1, 2}, {3}}), r({{1, 3}, {2}}) of r({{2, 3}, {1}}). De enige uitzonderingen hierop zijn de termen waarbij alledrie de factoren uit dezelfde kolom afkomstig zijn (aangegeven in rood / schuingedrukt), deze komen in zowel r({{1, 2}, {3}}) als r({{1, 3}, {2}}) als r({{2, 3}, {1}}) voor. Deze kunnen gecompenseerd worden door r({{1, 2, 3}}), die precies bestaat uit deze termen. We zien dus dat per(a) = = r({{1}, {2}, {3}}) r({{1, 2}, {3}}) r({{1, 3}, {2}}) r({{2, 3}, {1}}) + 2r({{1, 2, 3}}). We zien hier dat r(o) telkens de som is van enkele termen van r({{1}, {2}, {3}}). Dit zijn termen van de vorm 3 a iσ(i), waarbij σ een (niet noodzakelijk injectieve) functie van {1, 2, 3} naar {1, 2, 3} is. Dit geldt ook meer in het algemeen. Laat S m,n de verzameling zijn van alle functies σ : {1,..., m} {1,..., n}. Dan geldt voor alle o O m dat r(o) te schrijven is als som van enkele van de producten n a iσ(i) en wel op de volgende manier, n r(o) = λ o (σ) a i,σ(i), (3.2) waarbij λ o (σ) = { 1 als σ(i) σ(j) impliceert dat er geen o k o is zodanig dat i, j o k 0 als anders Voorbeeld 3.5. Voor o = {{1, 2}, {3}} geldt λ o (σ) = 1 voor alle σ met σ(1) = σ(2). Zo zagen we net in Voorbeeld 3.4 dat 148 = a 11 a 21 a 32 een term was in r({{1, 2}, {3}}),. 25

26 dus dat λ o (σ) = 1 voor de functie σ gegeven door 1 1, 2 1, 3 2 (we zullen dit in het vervolg schrijven als σ = (1, 1, 2)). Voor deze functie geldt dat σ(1) σ(3) en σ(2) σ(3) en we zien dat inderdaad 1 en 3 en 2 en 3 niet bij elkaar in een verzameling in {{1, 2}, {3}} zitten. Omgekeerd kunnen we, gegeven een σ S m,n, ook alle verzamelingspartities o O m beschouwen waarvoor λ o (σ) 0. Noteer deze verzameling als O (σ) := {o O m λ o (σ) = 1}. Voorbeeld Voor σ 1 = (1, 1, 2) geldt dat λ o (σ 1 ) = 1 als er geen o k o is met 1, 3 o k of 2, 3 o k. We zien dus dat O (σ 1) = { {{1, 2}, {3} }, { {1}, {2}, {3} } }. Merk op dat de positie van 1 en 2 ten opzichte van elkaar er niet toe doet, zolang ze maar niet in dezelfde verzameling met 3 zitten. Deze verzameling is dus gelijk aan {o {3} o O 2 }. Dit principe gaan we later ook gebruiken. - Laat σ 2 een injectieve functie zijn, dan geldt σ(i) σ(j) voor alle i, j {1,..., m}. Dit betekent dat als λ o (σ 2 ) = 1 moet gelden dat o = { {1},..., {m} }, dus O (σ 2) = { {{1},..., {m} } }. - Laat σ 3 een constante functie zijn. Dan geldt nooit dat σ(i) σ(j) en dus hebben we λ o (σ) = 1 voor alle o O m. Dus O (σ) = O m. Op de verzameling van verzamelingspartities kunnen we een partiële ordening definiëren. Voor twee partities o en o O n zeggen we dat o o als voor iedere o i o er een o j o bestaat zodat o i o j. Voorbeeld 3.7. De verzamelingen uit Voorbeeld 3.6 hebben allemaal een grootste element. Er geldt namelijk { O (σ1) = o O m o { 1, 2}, {3} }}, { O (σ2) = o O m o { 1},..., {m} }}, { O (σ3) = o O m o { {1,.., m} }}. In het volgende lemma zullen we zien dat O (σ) altijd een grootste element bevat. Lemma 3.8. Voor iedere σ S m,n bestaat er een o zodanig dat O (σ) = {o O m o o}. 26

27 Bewijs. Laat σ S m,n en laat o de verzamelingspartitie zijn zodanig dat voor alle i, j {1,..., m} geldt dat σ(i) = σ(j) dan en slechts dan als er een x is met i, j o x. De grootte van deze partitie is dus exact gelijk aan het aantal verschillende waardes dat σ aanneemt. We zullen laten zien dat deze o het grootste element in de verzameling O (σ) is. Laat hiertoe eerst o O (σ). Er geldt dat als i, j o k voor zekere o k o dan σ(i) = σ(j). Maar dat betekent dat deze elementen ook bij elkaar zitten in o, oftewel, er is een y zodat o x o y. Er geldt dus o o. Omgekeerd, stel dat o een opdeling is met o o. Dan geldt dat voor alle i, j met σ(i) σ(j) er geen o k o bestaat met i, j o k. Maar dat betekent dat i, j ook niet bij elkaar kunnen zitten in o, dus er is ook geen o k o zodanig dat i, j o k. In 1976 heeft Henryk Minc [12] de bestaande formules van Binet uitgebreid tot een algemene uitdrukking voor de permanent. Stelling 3.9. Laat A een m n-matrix zijn met 2 m n. Dan geldt per(a) = waar k de lengte van de opdeling is. o O m ( 1) m+k r(o) k ( o i 1)! Bewijs. Met behulp van uitdrukking (3.2) kunnen we de stelling herfomuleren tot het volgende, per(a) = k n ( 1) m+k ( o i 1)! λ o (σ) a jσ(j) o O m σ S m,n j=1 = k n ( 1) m+k ( o i 1)!λ o (σ) a jσ(j). o O m j=1 σ S m,n Herinner je Definitie 2.1 van de permanent, per(a) = σ S m,n m a iσ(i). Om de stelling te bewijzen moet dus worden aangetoond dat { k ( 1) m+k 1 als σ injectief is ( o i 1)!λ o (σ) = o O m 0 als σ niet injectief is. (3.3) 27

28 Eerst zullen we laten zien dat het linkerdeel van gelijkheid (3.3) gelijk is aan 1 als σ injectief is. We zagen al dat O (σ) = {({1},...{m}). Dit betekent o O m ( 1) m+k k ( o i 1)!λ o (σ) = o O (σ) ( 1) m+k k ( o i 1)! m = ( 1) m+m (1 1)! = 1. Nu bekijken we de uitdrukking voor σ S m,n \ S m,n, een niet-injectieve functie. Laat o het maximum zijn van O (σ). Met behulp van de opmerking in Voorbeeld 3.6 kunnen we het linkerdeel van (3.3) herschrijven tot het volgende ( 1) m+k o o k ( o i 1)! = Het is dus voldoende aan te tonen dat o O m ( 1) m+k q j=1 o O oj ( 1) m+k k ( o i 1) = 0 k ( o i 1)!. Dit zullen we bewijzen met inductie. We hebben in de voorbeelden het basisgeval al bewezen. Stel nu dat de vergelijking waar is voor alle m < M. De verzamelingspartities van M worden gevormd door het element M toe te voegen aan een verzamelingspartitie uit O M 1. Dit kan op twee manieren: als losse verzameling of in een van de bestaande verzamelingen. O M = } {(o 1,..., o k, {M + 1}) (o 1,.., o k ) O M o O M k j=1 We kunnen dan de som herschrijven tot o O M ( 1) M+k { } (o 1,..., o k ) M + 1 o j en (o 1,..., o j \ {M + 1},..., o k ) O M ). k ( o i 1)! = k 1 ( 1) M+k 1 (o i 1)! + o O M 1 k 1 ( 1) M 1+k 1 o O M 1 = k ( 1) M+k o j j=1 (o i 1)! o O M 1 (M 1)( 1) m 1+k = 0 + (M 1) 0 = 0. k ( o i 1)!. Hiermee hebben we uitdrukking (3.3) en dus de uitdrukking uit de stelling bewezen. k ( o i 1)! 28

29 3.2. De methode van Ryser Eerder, in 1963, had Ryser ook al een uitdrukking gevonden waarmee de permanent uitgerekend kon worden [15]. Ook deze is gebasseerd op het principe van inclusie en exclusie. Net als in de methode van Binet-Minc start hij met het product van de rijsommen, m r i. Dit bevat alle diagonaalproducten precies één keer, maar daarnaast ook termen waarbij twee of meer factoren uit dezelfde kolom afkomstig zijn. Om hiervoor te compenseren maakt Ryser gebruik van deelmatrices. Definitie Voor A een m n-matrix definieren we de verzameling van alle m k- deelmatrices als volgt: Λ k = {A(:, γ) 1 γ 1 <... < γ k n}. Bedenk dat voor A Λ k met k < m geldt dat m r i(a ) geen diagonalen meer bevat, maar enkel termen bestaande uit factoren afkomstig uit maximaal k verschillende kolommen. Deze gebruikt Ryser in zijn methode dan ook om te compenseren voor de termen uit het product van rijsommen. We zullen opnieuw eerst bekijken wat de aanpak is voor 2 n- en 3 n-matrices. Voor een 2 n-matrix A geldt dat de overbodige termen in m r i(a) termen zijn van de vorm a 1x a 2x, termen waarbij beide factoren uit dezelfde kolom afkomstig zijn. Om dit te compenseren beschouwen we Λ 1, dit zijn matrices die precies uit één kolom bestaan. Het product van de rijsommen van een dergelijke matrix compenseert dus precies voor één van de overbodige termen. Op deze manier vinden we per(a) = 2 r i (A) X Λ 1 2 r i (X). Merk op dat dit dezelfde formule is als Binet had gevonden zoals we ook in het volgende voorbeeld zien. [ ] Voorbeeld Laat A opnieuw gelijk zijn aan. Dan geldt Hiermee vinden we dat per(a) = Λ 1 = {[ ] 3, 2 [ ] 2, 1 2 r i (A) r 1 (X)r 2 (X) X Λ 1 [ ]} 4. 5 = ( )( ) ( ) = 44. Dit is dezelfde uitdrukking als we gevonden hadden in Voorbeeld