Kazhdan-Lusztig-Vogan polynomen voor gespleten E 8, een uitzonderlijke berekening voor een exceptionele groep

Transcriptie

1 Kazhdan-Lusztig-Vogan polynomen voor gespleten E 8, een uitzonderlijke berekening voor een exceptionele groep Marc van Leeuwen Laboratoire de Mathématiques et Applications Université de Poitiers 28 november 2007 / algemeen wiskunde colloquium, Eindhoven

2 Overzicht

3 Plan Beknopte chronologie Beperkingen voor deze voordracht

4 Beknopte chronologie Beperkingen voor deze voordracht Beknopte (persoonlijke) chronologie , Amsterdam. Ontwikkeling van LiE Congres Algorithmic Lie theory in Montréal; Vorming project Atlas of Lie groups and Representations Uitnodiging deelname Atlas, van Fokko du Cloux Fokko voltooit structuur theorie deel van atlas. november Implementatie KLV polynomen voltooid. december Atlas bijeenkomst in Boston. Fokko blijkt aan ALS te lijden. juli Atlas workshop Palo Alto. Prototype interface. 10 november Overlijden Fokko. december Modulaire versie crack E 8 van atlas. 8 januari KLV polynomen voor E 8 (R) berekend. 19 maart Resultaat wordt wereldwijd aangekondigd.

5 Beperkingen Beknopte chronologie Beperkingen voor deze voordracht In een uur valt niet alle achtergrond te bespreken. Derhalve zal ik niet spreken over de theorie van (niet compacte) reële Lie-groepen, hun (oneindig dimensionale) representaties, de betekenis van Kazhdan-Lusztig-Vogan polynomen, mogelijke toepassingen van de gedane berekening, het uiteindelijke doel van het Atlas project. Daarentegen hoop ik enigszins uit te kunnen leggen: Waar staat E 8 nou voor? Ik zal de nadruk leggen op discrete aspecten.

6 Beperkingen Beknopte chronologie Beperkingen voor deze voordracht In een uur valt niet alle achtergrond te bespreken. Derhalve zal ik niet spreken over de theorie van (niet compacte) reële Lie-groepen, hun (oneindig dimensionale) representaties, de betekenis van Kazhdan-Lusztig-Vogan polynomen, mogelijke toepassingen van de gedane berekening, het uiteindelijke doel van het Atlas project. Daarentegen hoop ik enigszins uit te kunnen leggen: Waar staat E 8 nou voor? Ik zal de nadruk leggen op discrete aspecten.

7 Beperkingen Beknopte chronologie Beperkingen voor deze voordracht manipuleert enkel discrete grootheden R Soyons discrets

8 Plan

9 Plan Lie-groepen Lie-algebras

10 Definitie Lie-groepen Lie-algebras Een Lie-groep G over R of C is een verzameling voorzien van de structuren van groep en differentieerbare varieteit over R of C, zodanig dat de samenstelling (x, y) x.y in de groep van differentieerbare klasse C 2 (G G, G) is. Elke groep kan door middel van de discrete topologie als een Lie-groep van dimensie 0 worden beschouwd; dit oogpunt is nauwelijks interessant. Het is daarom redelijk de aandacht de beperken tot samenhangende Lie-groepen.

11 Definitie Lie-groepen Lie-algebras Een Lie-groep G over R of C is een verzameling voorzien van de structuren van groep en differentieerbare varieteit over R of C, zodanig dat de samenstelling (x, y) x.y in de groep van differentieerbare klasse C 2 (G G, G) is. Elke groep kan door middel van de discrete topologie als een Lie-groep van dimensie 0 worden beschouwd; dit oogpunt is nauwelijks interessant. Het is daarom redelijk de aandacht de beperken tot samenhangende Lie-groepen.

12 Lie-algebra van een Lie-groep Lie-groepen Lie-algebras Over een samenhangende Lie-groep G kan veel informatie worden verkregen uit de studie van de raakruimte g = T e (G) aan het eenheidselement. De tweede afgeleide van de commutator (x, y) x.y.x 1.y 1 geeft aanleiding to een bilineaire afbeelding g g g die als (a, b) [a, b] wordt genoteerd. Een vectorruimte g voorzien van zo n Lie haaakje voldoet aan de axiomas van een Lie-algebra (over R of C): [b, a] = [a, b], [[a, b], c] + [[b, c], a] + [[c, a], b] = 0. G werkt op g als een groep van automorfismen.

13 Lie-algebra van een Lie-groep Lie-groepen Lie-algebras Over een samenhangende Lie-groep G kan veel informatie worden verkregen uit de studie van de raakruimte g = T e (G) aan het eenheidselement. De tweede afgeleide van de commutator (x, y) x.y.x 1.y 1 geeft aanleiding to een bilineaire afbeelding g g g die als (a, b) [a, b] wordt genoteerd. Een vectorruimte g voorzien van zo n Lie haaakje voldoet aan de axiomas van een Lie-algebra (over R of C): [b, a] = [a, b], [[a, b], c] + [[b, c], a] + [[c, a], b] = 0. G werkt op g als een groep van automorfismen.

14 Lie-algebra van een Lie-groep Lie-groepen Lie-algebras Over een samenhangende Lie-groep G kan veel informatie worden verkregen uit de studie van de raakruimte g = T e (G) aan het eenheidselement. De tweede afgeleide van de commutator (x, y) x.y.x 1.y 1 geeft aanleiding to een bilineaire afbeelding g g g die als (a, b) [a, b] wordt genoteerd. Een vectorruimte g voorzien van zo n Lie haaakje voldoet aan de axiomas van een Lie-algebra (over R of C): [b, a] = [a, b], [[a, b], c] + [[b, c], a] + [[c, a], b] = 0. G werkt op g als een groep van automorfismen.

15 Lie-groepen Lie-algebras Beschouwde klasse van Lie-groepen Twee extreme gevallen zijn relatief eenvoudig te analyseren commutatieve Lie-algebras, waarvoor [g, g] = 0, halfenkelvoudige Lie-algebras, waarvoor [g, g] = g. Om het geval G = GL(n, C) niet uit te sluiten, wordt gewerkt met een klasse van aangename Lie-groepen, waarvan de Lie-algebra slechts een mengsel van deze twee gevallen (als directe som) kan behelzen. Als uitgangspunt neemt atlas samenhangende reductieve complexe Lie-groepen.

16 Lie-groepen Lie-algebras Beschouwde klasse van Lie-groepen Twee extreme gevallen zijn relatief eenvoudig te analyseren commutatieve Lie-algebras, waarvoor [g, g] = 0, halfenkelvoudige Lie-algebras, waarvoor [g, g] = g. Om het geval G = GL(n, C) niet uit te sluiten, wordt gewerkt met een klasse van aangename Lie-groepen, waarvan de Lie-algebra slechts een mengsel van deze twee gevallen (als directe som) kan behelzen. Als uitgangspunt neemt atlas samenhangende reductieve complexe Lie-groepen.

17 Cartan-subalgebras Lie-groepen Lie-algebras Zij G een samenhangende reductieve complexe Lie-groepen. Het begrip Cartan-subalgebra van g is zodanig dat er bestaat er altijd tenminste een het zijn alle maximaal-abelse subalgebras zij vormen één baan onder de werking van G. Men kan dus zonder schuldgevoel een vaste Cartan-subalgebra h kiezen.

18 Lie-groepen Lie-algebras Werking van de Weyl-groep op h De werking van een g G die h stabiliseert kan een niet-triviale afbeelding h h induceren. Dit residu van de werking van G levert een eindige groep van transformaties van h op: de Weyl-groep W = Stab G (h)/ Z G (h). Voorbeeld. G = GL(n, C), g = M n (C), h = {diagonaal matrices}. Voor g G bestaat g h uit matrices diagonaliseerbaar op het beeld g(e) onder g van de standaardbasis E = {e 1,..., e n }. Zij CE = {Ce 1,..., Ce n } (verzameling van n rechten in C n ), dan is W = Stab G (CE)/ n i=1 Stab G(Ce i ) = S n. W = S n permuteert de diagonaal-coëfficiënten in h.

19 Lie-groepen Lie-algebras Werking van de Weyl-groep op h De werking van een g G die h stabiliseert kan een niet-triviale afbeelding h h induceren. Dit residu van de werking van G levert een eindige groep van transformaties van h op: de Weyl-groep W = Stab G (h)/ Z G (h). Voorbeeld. G = GL(n, C), g = M n (C), h = {diagonaal matrices}. Voor g G bestaat g h uit matrices diagonaliseerbaar op het beeld g(e) onder g van de standaardbasis E = {e 1,..., e n }. Zij CE = {Ce 1,..., Ce n } (verzameling van n rechten in C n ), dan is W = Stab G (CE)/ n i=1 Stab G(Ce i ) = S n. W = S n permuteert de diagonaal-coëfficiënten in h.

20 Wortels Lie-groepen Lie-algebras Omdat h commutatief is, kan men g ontbinden in simultane eigenruimtes voor de operaties ad h = [h, ] : g g voor h h. Een dergelijke eigenruimte V wordt gekarakteriseerd door zijn gewicht λ : h C, waarvoor ad h(x) = [h, x] = λ(h)x voor alle h h en x V. Voorts is dim V λ 1, behalve voor λ = 0 h (want V 0 = h). De λ 0 met dim V λ = 1 heten wortels van g in h. Deze wortels vormen een eindige verzameling Φ h. Er geldt dim G = dim g = dim h + #Φ.

21 Wortels Lie-groepen Lie-algebras Omdat h commutatief is, kan men g ontbinden in simultane eigenruimtes voor de operaties ad h = [h, ] : g g voor h h. Een dergelijke eigenruimte V wordt gekarakteriseerd door zijn gewicht λ : h C, waarvoor ad h(x) = [h, x] = λ(h)x voor alle h h en x V. Voorts is dim V λ 1, behalve voor λ = 0 h (want V 0 = h). De λ 0 met dim V λ = 1 heten wortels van g in h. Deze wortels vormen een eindige verzameling Φ h. Er geldt dim G = dim g = dim h + #Φ.

22 Wortels Lie-groepen Lie-algebras Omdat h commutatief is, kan men g ontbinden in simultane eigenruimtes voor de operaties ad h = [h, ] : g g voor h h. Een dergelijke eigenruimte V wordt gekarakteriseerd door zijn gewicht λ : h C, waarvoor ad h(x) = [h, x] = λ(h)x voor alle h h en x V. Voorts is dim V λ 1, behalve voor λ = 0 h (want V 0 = h). De λ 0 met dim V λ = 1 heten wortels van g in h. Deze wortels vormen een eindige verzameling Φ h. Er geldt dim G = dim g = dim h + #Φ.

23 Lie-groepen Lie-algebras Eigenschappen van Φ: Φ is stabiel onder actie van W op h ; voor elke α Φ bevat de actie van W een reflectie s α met s α (α) = α; de s α s brengen de actie van W op h voort; Voor elke β Φ is s α (β) β Zα (de kristallografische conditie); Φ 2Φ =. Een dergelijke verzameling heet een wortelsysteem (in de vectorruimte h voorzien van een actie van W ). Bij de studie van Φ volstaan scalairen in R (of zelfs Q).

24 Lie-groepen Lie-algebras Eigenschappen van Φ: Φ is stabiel onder actie van W op h ; voor elke α Φ bevat de actie van W een reflectie s α met s α (α) = α; de s α s brengen de actie van W op h voort; Voor elke β Φ is s α (β) β Zα (de kristallografische conditie); Φ 2Φ =. Een dergelijke verzameling heet een wortelsysteem (in de vectorruimte h voorzien van een actie van W ). Bij de studie van Φ volstaan scalairen in R (of zelfs Q).

25 Lie-groepen Lie-algebras Eigenschappen van Φ: Φ is stabiel onder actie van W op h ; voor elke α Φ bevat de actie van W een reflectie s α met s α (α) = α; de s α s brengen de actie van W op h voort; Voor elke β Φ is s α (β) β Zα (de kristallografische conditie); Φ 2Φ =. Een dergelijke verzameling heet een wortelsysteem (in de vectorruimte h voorzien van een actie van W ). Bij de studie van Φ volstaan scalairen in R (of zelfs Q).

26 Voorbeelden van rang 2 Lie-groepen Lie-algebras s α s α β β α + β s β α α s β α α β α β β β α s α α s β 2α + β A 1 A 1 β α s α α s β A 2 2α β β β B 2 = C 2 G 2

27 Plan Eindige Coxeter groepen Regelmatige convexe polytopen

28 Coxeter groepen Eindige Coxeter groepen Regelmatige convexe polytopen Voor n = dim Φ R kan men de actie van W voorstellen in R n als voortgebracht door n reflecties s i : x x 2ϕ i (x)e i, waar ϕ i een lineaire vorm is met ϕ i (e i ) = 1. Men kan bovendien ϕ i (e j ) = ϕ j (e i ) aannemen; opdat de orde van s i.s j een eindige waarde m i,j 2 zij, dient men dan te nemen ϕ i (e j ) = cos π m i,j. Deze reflecties brengen de Coxeter groep voort, bepaald door I = {1,..., n} en het symmetrische stelsel coefficiënten (m i,j ) i,j. Met m i,i = 1 voor i I, heeft deze groep de abstracte voorstelling W = s i : i I (s i s j ) m i,j = e (i, j I) Vraag: in welke gevallen is W een eindige groep?

29 Coxeter groepen Eindige Coxeter groepen Regelmatige convexe polytopen Voor n = dim Φ R kan men de actie van W voorstellen in R n als voortgebracht door n reflecties s i : x x 2ϕ i (x)e i, waar ϕ i een lineaire vorm is met ϕ i (e i ) = 1. Men kan bovendien ϕ i (e j ) = ϕ j (e i ) aannemen; opdat de orde van s i.s j een eindige waarde m i,j 2 zij, dient men dan te nemen ϕ i (e j ) = cos π m i,j. Deze reflecties brengen de Coxeter groep voort, bepaald door I = {1,..., n} en het symmetrische stelsel coefficiënten (m i,j ) i,j. Met m i,i = 1 voor i I, heeft deze groep de abstracte voorstelling W = s i : i I (s i s j ) m i,j = e (i, j I) Vraag: in welke gevallen is W een eindige groep?

30 Coxeter groepen Eindige Coxeter groepen Regelmatige convexe polytopen Voor n = dim Φ R kan men de actie van W voorstellen in R n als voortgebracht door n reflecties s i : x x 2ϕ i (x)e i, waar ϕ i een lineaire vorm is met ϕ i (e i ) = 1. Men kan bovendien ϕ i (e j ) = ϕ j (e i ) aannemen; opdat de orde van s i.s j een eindige waarde m i,j 2 zij, dient men dan te nemen ϕ i (e j ) = cos π m i,j. Deze reflecties brengen de Coxeter groep voort, bepaald door I = {1,..., n} en het symmetrische stelsel coefficiënten (m i,j ) i,j. Met m i,i = 1 voor i I, heeft deze groep de abstracte voorstelling W = s i : i I (s i s j ) m i,j = e (i, j I) Vraag: in welke gevallen is W een eindige groep?

31 Coxeter diagram Eindige Coxeter groepen Regelmatige convexe polytopen Men kan de matrix (m i,j ) i,j I visualiseren door een graaf op I, met een kant tussen i en j als m i,j > 2, voorzien van een label m i,j = m j,i. Per conventie worden labels met waarde 3 niet geschreven. De eindigheid van de Coxeter groep W is een conditie die per samenhangscomponent kan worden getest. De groep W is eindig dan en slechts dan als de symmetrische matrix ( cos π m i,j ) i,j I definiet positief is.. Zo kan, voor #W <, als deelgraaf worden uitgesloten:

32 Coxeter diagram Eindige Coxeter groepen Regelmatige convexe polytopen Men kan de matrix (m i,j ) i,j I visualiseren door een graaf op I, met een kant tussen i en j als m i,j > 2, voorzien van een label m i,j = m j,i. Per conventie worden labels met waarde 3 niet geschreven. De eindigheid van de Coxeter groep W is een conditie die per samenhangscomponent kan worden getest. De groep W is eindig dan en slechts dan als de symmetrische matrix ( cos π m i,j ) i,j I definiet positief is.. Zo kan, voor #W <, als deelgraaf worden uitgesloten:

33 Eindige Coxeter groepen Regelmatige convexe polytopen Classificatie irreducibele eindige Coxeter groepen type orde A n (n + 1)! n! 2 n B n D n n! 2 n 1 E E E F G 2 12 H H I 2 (p) 2p

34 Regelmatige polytopen Eindige Coxeter groepen Regelmatige convexe polytopen Coxeter groepen en hun reflectie-actie spelen een rol in de classificatie van de regelmatige convexe polytopen, een generalisatie van de notie van Platonische lichamen in de Euclidische ruimte. Een convex polytoop van dimensie d heet regelmatig als indien d > 0, zijn facetten regelmatige convexe polytopen van dimensie d 1 zijn (recursieve definitie), zijn symmetriegroep G alle facetten permuteert, de stabilisator in G van een facet de volledige symmetriegroep van het facet induceert.

35 Fundamentaal-gebied Eindige Coxeter groepen Regelmatige convexe polytopen Gegeven een regelmatige convexe polytoop P van dimensie d, met symmetriegroep G. Een fundamentaal-gebied voor de werking van G op het oppervlak van P kan men vinden door een facet te kiezen, dan een facet dan dat facet (d.w.z. een ribbe als d = 3), en zo voorts tot aan de keus van een hoekpunt. In totaal heeft men zo een vlag gekozen. Het fundamentaal-gebied wordt begrensd door d spiegelings-hypervlakken. Elke spiegeling stabiliseert de componenten van de vlag op één na. Deze spiegelingen brengen G voort, een eindige Coxeter groep met geordend lineair diagram. De labels van het Coxeter diagram vormen het Schäfli symbool van P.

36 Fundamentaal-gebied Eindige Coxeter groepen Regelmatige convexe polytopen Gegeven een regelmatige convexe polytoop P van dimensie d, met symmetriegroep G. Een fundamentaal-gebied voor de werking van G op het oppervlak van P kan men vinden door een facet te kiezen, dan een facet dan dat facet (d.w.z. een ribbe als d = 3), en zo voorts tot aan de keus van een hoekpunt. In totaal heeft men zo een vlag gekozen. Het fundamentaal-gebied wordt begrensd door d spiegelings-hypervlakken. Elke spiegeling stabiliseert de componenten van de vlag op één na. Deze spiegelingen brengen G voort, een eindige Coxeter groep met geordend lineair diagram. De labels van het Coxeter diagram vormen het Schäfli symbool van P. 4 3

37 Eindige Coxeter groepen Regelmatige convexe polytopen Classificatie van regelmatige convexe polytopen Schäfli symbool polytoop G #G p p-hoek I 2 (p) 2p 3 3 tetraëder A kubus B octaëder B dodecaëder H icosaëder H simplex A hyperkubus B hyperoctaëder B cel F cel H cel H in elke dimensie

38 Classificatie van wortelsystemen Eindige Coxeter groepen Regelmatige convexe polytopen Een wortelsysteem in R n bepaalt een eindige Coxeter groep, maar moet ook aan de kristallografische conditie voldoen. In tegenstelling tot de situatie voor regelmatige polytopen geeft een wortelsysteem geen ordening op het Coxeter diagram, en hoeft dat diagram niet lineair of samenhangend te zijn. Daarentegen gelden de volgende beperking: voor elke i j moet m i,j {2, 3, 4, 6}; als m i,j {4, 6} wordt de kant tussen i en j gericht, als bepaald door vergelijking van wortel-lengten. Daardoor zijn types I 2 (p) (voor p = 5 of p 7) uitgesloten, evenals H 3 en H 4. Door oriëntatie van de kant met label 4 worden types B n en C n voor n 3 onderscheiden (maar B 2, G 2, en F 4 blijven uniek).

39 Classificatie van wortelsystemen Eindige Coxeter groepen Regelmatige convexe polytopen Een wortelsysteem in R n bepaalt een eindige Coxeter groep, maar moet ook aan de kristallografische conditie voldoen. In tegenstelling tot de situatie voor regelmatige polytopen geeft een wortelsysteem geen ordening op het Coxeter diagram, en hoeft dat diagram niet lineair of samenhangend te zijn. Daarentegen gelden de volgende beperking: voor elke i j moet m i,j {2, 3, 4, 6}; als m i,j {4, 6} wordt de kant tussen i en j gericht, als bepaald door vergelijking van wortel-lengten. Daardoor zijn types I 2 (p) (voor p = 5 of p 7) uitgesloten, evenals H 3 en H 4. Door oriëntatie van de kant met label 4 worden types B n en C n voor n 3 onderscheiden (maar B 2, G 2, en F 4 blijven uniek).

40 Classificatie van wortelsystemen Eindige Coxeter groepen Regelmatige convexe polytopen Een wortelsysteem in R n bepaalt een eindige Coxeter groep, maar moet ook aan de kristallografische conditie voldoen. In tegenstelling tot de situatie voor regelmatige polytopen geeft een wortelsysteem geen ordening op het Coxeter diagram, en hoeft dat diagram niet lineair of samenhangend te zijn. Daarentegen gelden de volgende beperking: voor elke i j moet m i,j {2, 3, 4, 6}; als m i,j {4, 6} wordt de kant tussen i en j gericht, als bepaald door vergelijking van wortel-lengten. Daardoor zijn types I 2 (p) (voor p = 5 of p 7) uitgesloten, evenals H 3 en H 4. Door oriëntatie van de kant met label 4 worden types B n en C n voor n 3 onderscheiden (maar B 2, G 2, en F 4 blijven uniek).

41 Eindige Coxeter groepen Regelmatige convexe polytopen Classificatie van irreducibele wortelsystemen Dynkin diagram type #Φ index A n 1 n(n 1) n > B n 2n 2 2 < C n 2n 2 2 D n 2n(n 1) 4 E E E > F < G

42 Plan Klassieke types Exceptionele types

43 Klassieke wortelsystemen Klassieke types Exceptionele types type wortels A n 1 { e i e j i, j {1,..., n}; i j } B n { ±e i ± e j i, j {1,..., n}; i < j } ±E C n { ±e i ± e j i, j {1,..., n}; i < j } ±2E D n { ±e i ± e j i, j {1,..., n}; i < j } waar E = { e i i {1,..., n} } de standaardbasis van R n is. e 2 e 3 e 1

44 Een uitzonderlijk wortelsysteem Klassieke types Exceptionele types Aan een wortelsysteem kan men associëren de index [X : Y ] van het rooster Y = Φ Z in X = { v Φ R α Φ : s α (v) v Zα }. De verzameling Φ 0 = ±E vormt een wortelsysteem van type (A 1 ) n, dat index 2 n heeft (want Y = Z n en X = ( 1 2 Z)n ). Als men Φ 0 wil uitbreiden met nieuwe wortels van gelijke lengte tot een groter wortelsysteem, dan moet n 4. Voor n = 4 kan men vormen Φ 1 = Φ 0 { 1 2, }4, een wortelsysteem met 24 wortels. Het bestaat uit alle eenheids-vectoren in Z 4 ( ( 1 2, 1 2, 1 2, 1 2 ) + Z4).

45 Een uitzonderlijk wortelsysteem Klassieke types Exceptionele types Aan een wortelsysteem kan men associëren de index [X : Y ] van het rooster Y = Φ Z in X = { v Φ R α Φ : s α (v) v Zα }. De verzameling Φ 0 = ±E vormt een wortelsysteem van type (A 1 ) n, dat index 2 n heeft (want Y = Z n en X = ( 1 2 Z)n ). Als men Φ 0 wil uitbreiden met nieuwe wortels van gelijke lengte tot een groter wortelsysteem, dan moet n 4. Voor n = 4 kan men vormen Φ 1 = Φ 0 { 1 2, }4, een wortelsysteem met 24 wortels. Het bestaat uit alle eenheids-vectoren in Z 4 ( ( 1 2, 1 2, 1 2, 1 2 ) + Z4).

46 Een uitzonderlijk wortelsysteem Klassieke types Exceptionele types Aan een wortelsysteem kan men associëren de index [X : Y ] van het rooster Y = Φ Z in X = { v Φ R α Φ : s α (v) v Zα }. De verzameling Φ 0 = ±E vormt een wortelsysteem van type (A 1 ) n, dat index 2 n heeft (want Y = Z n en X = ( 1 2 Z)n ). Als men Φ 0 wil uitbreiden met nieuwe wortels van gelijke lengte tot een groter wortelsysteem, dan moet n 4. Voor n = 4 kan men vormen Φ 1 = Φ 0 { 1 2, }4, een wortelsysteem met 24 wortels. Het bestaat uit alle eenheids-vectoren in Z 4 ( ( 1 2, 1 2, 1 2, 1 2 ) + Z4).

47 Klassieke types Exceptionele types Dit systeem Φ 1 heeft index 4 (minder dan de index 5 van A 4, een ander systeem met wortels van gelijke lengte in R 4 ). Φ 1 is van type D 4, met als simpele wortels : α 1 (0, 0, 0, 1) α 2 (0, 0, 1, 0) α 3 (0, 1, 0, 0) α 4 (+ 1 2, 1 2, 1 2, 1 2 ) Dit is niet de gebruikelijke vorm van een wortelsysteem van type D n ; voor n = 4 is dat Φ 2 = { ±e i ± e j 1 i < j 4 }. Een bijectie Φ 1 Φ 2 kan worden gegeven onder identificatie van R 4 met de quaternionen H, door vermenigvuldiging met een willekeurig element van Φ 2, bijvoorbeeld met 1 + i. Φ 1 Φ 2 is een wortelsysteem van type F 4. De Weyl-groep van dit F 4 wortelsysteem levert de volle symmetriegroep van Φ

48 Klassieke types Exceptionele types Dit systeem Φ 1 heeft index 4 (minder dan de index 5 van A 4, een ander systeem met wortels van gelijke lengte in R 4 ). Φ 1 is van type D 4, met als simpele wortels : α 1 (0, 0, 0, 1) α 2 (0, 0, 1, 0) α 3 (0, 1, 0, 0) α 4 (+ 1 2, 1 2, 1 2, 1 2 ) Dit is niet de gebruikelijke vorm van een wortelsysteem van type D n ; voor n = 4 is dat Φ 2 = { ±e i ± e j 1 i < j 4 }. Een bijectie Φ 1 Φ 2 kan worden gegeven onder identificatie van R 4 met de quaternionen H, door vermenigvuldiging met een willekeurig element van Φ 2, bijvoorbeeld met 1 + i. Φ 1 Φ 2 is een wortelsysteem van type F 4. De Weyl-groep van dit F 4 wortelsysteem levert de volle symmetriegroep van Φ

49 Klassieke types Exceptionele types Een nog uitzonderlijker wortelsysteem Een vergelijkbare constructie is mogelijk uitgaande van een type D n wortelsysteem. Een dergelijk systeem Φ = { ±e i ± e j i, j {1,..., n}; i < j } brengt het rooster P = Φ Z = {v Z n i v i 2Z } voort. Het rooster X = { v Φ R α Φ : s α (v) v Zα } is gelijk aan Z n (( 1 2,..., 1 2 ) + Zn ), dus de index [X : P] van Φ is 4. De mogelijkheid om Φ uit te breiden met wortels in X P doet zich uitsluitend voor wanneer n = 8. In dit geval bestaat de baan van v = ( 1 2, 1 2, 1 2, 1 2, 1 2, 1 2, 1 2, 1 2 ) onder de Weyl-groep van Φ uit de 128 vectoren verkrijgbaar door een even aantal coördinaten van v van teken te laten wisselen. Samen met de = 112 wortels van Φ vormen deze de 240 wortels van een wortelsysteem Ψ van type E 8.

50 Klassieke types Exceptionele types Een nog uitzonderlijker wortelsysteem Een vergelijkbare constructie is mogelijk uitgaande van een type D n wortelsysteem. Een dergelijk systeem Φ = { ±e i ± e j i, j {1,..., n}; i < j } brengt het rooster P = Φ Z = {v Z n i v i 2Z } voort. Het rooster X = { v Φ R α Φ : s α (v) v Zα } is gelijk aan Z n (( 1 2,..., 1 2 ) + Zn ), dus de index [X : P] van Φ is 4. De mogelijkheid om Φ uit te breiden met wortels in X P doet zich uitsluitend voor wanneer n = 8. In dit geval bestaat de baan van v = ( 1 2, 1 2, 1 2, 1 2, 1 2, 1 2, 1 2, 1 2 ) onder de Weyl-groep van Φ uit de 128 vectoren verkrijgbaar door een even aantal coördinaten van v van teken te laten wisselen. Samen met de = 112 wortels van Φ vormen deze de 240 wortels van een wortelsysteem Ψ van type E 8.

51 Klassieke types Exceptionele types De simpele wortels van het systeem van type E 8 Ψ is de verzameling vectoren van lengte 2 in het rooster P ( ( 1 2, 1 2, 1 2, 1 2, 1 2, 1 2, 1 2, 1 2 ) + P) in R 8. α 1 (0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1) α 2 (0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1) α 3 (0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0) α 4 (0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0) α 5 (0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0) α 6 (0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0) α 7 (0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0) α 8 (+ 1 2, 1 2, 1 2, 1 2, 1 2, 1 2, 1 2, )

52 Klassieke types Exceptionele types De simpele wortels van het systeem van type E 8 Ψ is de verzameling vectoren van lengte 2 in het rooster P ( ( 1 2, 1 2, 1 2, 1 2, 1 2, 1 2, 1 2, 1 2 ) + P) in R 8. α 1 (0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1) α 2 (0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1) α 3 (0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0) α 4 (0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0) α 5 (0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0) α 6 (0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0) α 7 (0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0) α 8 (+ 1 2, 1 2, 1 2, 1 2, 1 2, 1 2, 1 2, )

53 EIN DE