Ontwerponderzoek Paper 2: Ontwerp

Transcriptie

1 Ontwerponderzoek Paper 2: Ontwerp Naam auteur: Eveline Schaaf Vakgebied: Wiskunde Titel: Differentiëren om vwo niveau te behouden Onderwerp Een tweefasen vwo klas met havisten Opleiding Interfacultaire Lerarenopleiding, Universiteit van Amsterdam Doelgroep 4 e jaars vwo van het tweefasen vwo Sleuteltermen tweefasen-vwo, havo en vwo, Bibliografische referentie Schaaf, E. (2014). Differentiëren om vwo niveau te behouden. Amsterdam: Interfacultaire Lerarenopleidingen UvA. Studentnummer Begeleiders Mariska Min, Lidy Wesker Beoordelaars Lidy Wesker, Rijkje Dekker Datum 20 oktober 2014

2 1. Samenvatting ontwerpplan Op de Openschoolgemeenschap Bijlmer (OSB) te Amsterdam Zuidoost is besloten om met dit schooljaar het tweefasen vwo te starten: een leerroute naar het vwo-examen met onderweg een havo-diploma. In de les van vwo 4 wiskunde A/C zijn de prestaties van de leerlingen in de klas laag. De lichting vwo leerlingen vanuit het vorige jaar 3 de klas zijn zwak in wiskunde en van de 15 leerlingen in de klas zijn er 6 twee-fasen kandidaten in de groep: kans havisten die niet gewend zijn aan vwo lesniveau. Zowel de vwo als de havo kans leerlingen hebben extra aandacht nodig bij de uitleg van de leerstof. Als resultaat is de tempo van de lessen traag en de lesstof moet veel herhaald worden. Goed presterende leerlingen worden niet uitgedaagd terwijl minder goed presterende leerlingen worstelen met de lesstof. Het niveau van de klas dient verhoogd te worden. Dit heeft geleid tot de volgende ontwerphypothese: Als ik het probleem van lage prestaties van de leerlingen en trage tempo in de les in vwo 4 wiskunde A/C aanpak door activerende didactiek toe te passen door een hele taak eerst aan te bieden zullen de prestaties en motivatie van alle leerlingen verbeteren. Het resultaat zal zijn dat de leerlingen beter de leerstof begrijpen en betere toets resultaten behalen. Mijn aanpak bevat de volgende ontwerpregels: Ø de lessenserie zal uitgevoerd worden in de vwo 4 wiskunde A/C klas met zowel vwo als twee-fasen kandidaten; Ø de lessenserie zal uitgevoerd worden in 4 lessen, wanneer het hoofdstuk over exponentiële functies wordt behandeld; Ø de lessen bevatten een activerende didactiek in de vorm van een hele taak ; Ø leerlingen maken (of proberen) de hele taak eerst zelf; Ø leerlingen kunnen voor een hint vragen wanneer zij moeite hebben met de hele taak ; Ø leerlingen leggen hun aanpak of uitwerking uit aan elkaar; Ø daarna wordt dit klassikaal besproken: de essentie van de opdracht met een korte uitleg van de docent. Het resultaat van de lessen zal geëvalueerd worden door middel van een Learner Report om inzicht te krijgen op de attitudes van de leerlingen. Na de lessenserie zal ik een open vorm vragenlijst uitdelen onder de leerlingen. Hierin kunnen zij vertellen wat ze hebben geleerd en ontdekt tijdens de lessen, wat ze daarvan vonden en hoe ze het hebben ervaren. Deze gegevens zal ik ook vergelijken met de eerder afgenomen enquête. Daarnaast zal ik de toets 2

3 resultaten van dit hoofdstuk vergelijken met de eerder gemaakte toetsen van dit schooljaar, om te zien of er een verbetering is bereikt. 2. Lesopzet Voor dit onderzoek heb ik een lessenserie van vier lessen ontworpen. Aan het begin van de lessenserie vertel ik aan de klas dat wij de komende lessen anders zullen aanpakken door de les te beginnen met een hele taak : een opdracht waarvoor de leerlingen zelf de leerstof onderzoeken van de betreffende les en nodig hebben om deze taak succesvol te voltooien. Zij mogen eerst zelfstandig aan het werk, onderzoek doen met hun eigen lesboek, om de taak te voltooien. Wanneer zij moeite ervaren kunnen zij aan de docent voor een hint vragen die op aparte kaarten staan. Voor elk hint die een leerling vraagt is de consequentie dat zij een extra huiswerk opgave moeten maken van de betreffende les. De leerlingen worden vervolgens willekeurig verdeeld in groepjes van 2 of 3 om de hele taak met elkaar te bespreken en elkaars werk te controleren. Tot slot wordt de hele taak ook klassikaal besproken om eventuele misverstanden in groepjes te verbeteren en te controleren dat alle groepjes tot de juiste uitkomst zijn gekomen. (Zie bijlage 1: de lesplannen MDA format voor uitgebreide lesplannen van gehele lessenserie.) Les 1 Als eerste les dient de voorkennis van exponentiële functies geactiveerd te worden. Als eerste hele taak zal elke leerling twee kwartetten maken: een voor een functievoorschrift die is uitgedeeld en een tweede kwartet voor een functievoorschrift dat zij zelf verzinnen. De leerlingen bedenken zelf vier kenmerken van exponentiële functies om een kwartet te maken. Dit kunnen zij zelf vorm geven en op de kaarten weergeven. Als zij moeite hebben om een kenmerk te benoemen kunnen zij bij mij tijdens de individuele werkfase een hint kaart (zie bijlage 2: leerlingenmateriaal voor alle hint kaarten) vragen. Die zal ik uitdelen aan de hand van wat zij al zelf wel of niet hebben benoemd / opgeschreven (in hun aantekeningen). Vragen voor een hint heeft wel de consequentie van een extra huiswerk opgave. Na een korte tijd individueel werken bespreken de leerlingen in groepjes wat voor kwartetten zij hebben gemaakt, welke vier eigenschappen zij hebben benoemd. De leerlingen controleren elkaars werk en leggen aan elkaar uit en verklaren welke kenmerken zij hebben gekozen. Daarna bespreken wij enkele kwartetten centraal in de les. In de laatste 10/15 minuten van de les krijgen de leerlingen de optie om een spelletje kwartet in groepen te spelen of alvast aan het huiswerk te beginnen. Als huiswerk krijgt de hele klas maar een opgave vanuit de lesmethode mee. Leerlingen die een hint hebben gehaald krijgen per hint een extra huiswerk opgave vanuit de lesmethode. 3

4 Les 2 In de tweede les beginnen wij eerst samen als groep. Als hele taak stel ik de vraag: Hoeveel keer moet het papier gevouwen worden om bovenuit de langste leerling van de klas uit te komen?. Voor dat zij zelfstandig aan het werk gaan vraag ik elke leerling eerst een schatting te maken. De antwoorden schrijf ik op het bord. Vervolgens geef ik het A4 papier aan een leerling en vraag of hij/zij het papier steeds doormidden wil vouwen. Ik vraag aan de leerlingen of zij een verband zien - Wat gebeurt er wanneer wij het papier steeds doormidden vouwen? en vraag of zij een formule hiervoor kunnen opstellen. Dit doen zij zelfstandig. Leerlingen die worstellen met het opstellen kunnen een of meerdere hints bij mij op vragen, met de consequentie dat zij extra huiswerk krijgen. Ik stel een vervolg vraag: Hoeveel keer moet ik vouwen om bovenuit de Eifel toren te komen?. Na een tijdje mogen de leerlingen in kleine groepen hun oplossingen met elkaar bespreken. Daarna bespreken wij de opgave centraal in de les. Ik controleer of elke groepje de juiste formule heeft kunnen opstellen en geef extra uitleg indien nodig. Vervolgens, indien er genoeg tijd over is, laat ik twee youtube filmpjes zien: Myth Busters Folding Paper en Folding Paper World Record (BBC). Deze twee filmpjes bespreken het probleem van het formaat papier en de moeilijkheid van het vouwen. Je kan per slotte een A4 vel maximaal 7 keer doormidden vouwen. Ik sluit de les af met het opgeven van 1 huiswerk opdracht vanuit de relevante paragraaf uit het lesboek, die verder thuis wordt gemaakt. Leerlingen die een hint hebben gehaald krijgen per hint een extra huiswerk opgave vanuit het lesboek. Les 3 In de derde les, na dat er kort wordt herhaald wat er in les 2 is geleerd en vragen over het huiswerk zijn beantwoord kunnen de leerlingen gelijk zelfstandig aan de hele taak beginnen. De hele taak is nu in de vorm van een stencil met 2 opgaven die vanuit lesmateriaal onbekend voor de leerlingen komt: een duidelijke opgave A als instap en een wat complexer opgave B (zie bijlage 2: leerlingenmateriaal). De opgaven zijn zodanig geformuleerd dat de leerling zelf de stappen moeten bedenken om tot de oplossing te komen. De opgave is niet opgebouwd met hulp stappen zoals zie gewend zijn van de lesmethode. Ik vertel nogmaals dat zij vooral hun eigen boek, schrift en grafische rekenmachine kunnen gebruiken om de opdrachten te maken. Leerlingen die de opgaven toch lastig vinden en niet verder komen kunnen bij mij een hintkaartje vragen, met de consequenties van extra huiswerk. Na een tijdje individueel werken mogen de leerlingen in kleine groepen hun oplossingen met elkaar bespreken en eventueel de moeilijker opgave B samen maken als die niet al is gemaakt. Daarna worden de opgaven klassikaal besproken en geef ik extra uitleg indien nodig. Ik sluit de les af met het opgeven van 1 huiswerk opdracht uit het lesboek die verder thuis gemaakt 4

5 wordt. Leerlingen die een hint hebben gehaald krijgen per hint een extra huiswerk opgave vanuit het lesboek. Les 4 De vierde les volgt het zelfde als de derde les. De leerlingen kunnen gelijk zelfstandig aan de hele taak beginnen nadat de stencil met 2 opgaven is uitgedeeld. Leerlingen die moeite hebben met de opgaven en niet verder komen kunnen bij mij een hintkaartje vragen, met de consequenties in acht. Na een tijdje mogen de leerlingen in kleine groepen hun oplossingen met elkaar bespreken. Daarna worden de opgaven klassikaal besproken en geef ik extra uitleg indien nodig. Ik sluit de les af met het opgeven van 1 huiswerk opdracht uit het lesboek. Leerlingen die een hint hebben gehaald krijgen per hint een extra huiswerk opgave vanuit het lesboek. 3. Verantwoording lesopzet De lessenserie is opgebouwd op een activerende didactiek door een hele taak eerst aan te bieden. Leerlingen gaan zelfstandig op onderzoek om de opgaven succesvol te kunnen maken en worden zodoende gemotiveerd meer te leren over het betreffende onderwerp. Zoals Marzano het voorstelt, draaien wij het om en begint de les met een opgave stellen aan de leerlingen en niet met instructie of uitleg. In plaats van een uitleg met aanpak en stappenplan voordoen, stellen de leerlingen die aanpak en stappenplan zelf op. In deze nul fase kunnen de leerlingen zich bewust worden van het nut van de vaardigheden en het effect ervan zodat ze enig idee hebben van het moment waarop de vaardigheid wordt ingezet en het doel waarmee dat gebeurt (2013). De les wordt met de hele taak eerst omgebouwd tot een gedifferentieerd les. Leerlingen krijgen hulp naar behoefte. Sterke leerlingen worden uitgedaagd de hele opgave zelfstandig af te maken. Zwakkere leerlingen kunnen voor hulp vragen in de vorm van hintkaarten, maar worden gedwongen, door middel van extra huiswerk consequentie als vervolg van het opvragen van een hintkaart, toch eerst zelf onderzoek te doen. Vervolgens kunnen leerlingen tijdens groepswerk uitwisselen en elkaars werk controleren. Wanneer de leerlingen met elkaar overleggen naar hun oplossingen en aanpak, komen, volgens Ebbens & Ettekoven (2013) de hogere denk-/leerniveaus aan bod wat betreft de leeractiviteiten opstellen en berekenen en het toepassen van kennis van de formules, maar ook het uitleggen aan elkaar over de keuzes die gemaakt worden om de hele taak op te lossen. Deze activerende didactiek heeft veel aspecten volgens Marzano om de leerlingen betrokkenheid te voelen bij taken. Het zijn vooral authentieke leertaken die met het echte leven buiten school te maken heeft en een relatie met hun eigen wereld. Zo wordt de opdracht waardevol en relevant. Ze vinden het interessant en uitdagend want het is in eerste 5

6 instantie niet te gemakkelijk. Deze activerende didactiek helpt de leerlingen de stof te concretiseren (2013). Volgens Pólya is de belangrijkste doelstelling van wiskunde onderwijs leerlingen leren reële situaties vertalen tot wiskundige termen. Zo ervaren de leerlingen zelf dat wiskundige begrippen in verband gebracht kunnen worden met de werkelijkheid (genoemd in van Streun, 2013). 6

7 Literatuurlijst Van Dijk, B., Hoeven, P. van der, Reijenga, R., Schaberg, G., Sinkeldam, R. & Stolwijk, R. (2007). Moderne wiskunde, vwo A/C deel 1. 9 e editie. Groningen: Noordhoff. Ebbens, S., & Ettekoven, S. (2013). Effectief leren. Basisboek. Groningen/ Houten: Wolters- Noordhoff. Kwaliteitskaart. (2012) Een praktisch basismodel voor het verhogen van de prestatie en motivatie van alle leerlingen. Gebaseerd op onderzoek van Fred Janssen (2012) Goed vakonderwijs maken en geven. Universiteit Leiden. Den Haag: School aan Zet. Math 4 all. (n.d.) Vwo bovenbouw, vwo A, Exponentiële functies. Gevonden op 2 oktober 2014, op Marzano, R., & Miedema, W. (2013). Leren in Vijf Dimensies. Moderne didactiek in het voortgezet onderwijs. Assen: Koninklijke van Gorcum. Van Steun, A., & Kop, P. (2012) Wiskundige Denkactiviteiten. In P. Drijvers, A. van Streun & B. Zwaneveld (Eds.), Handboek wiskundedidactiek. (p ). Utrecht: Epsilon. 7

8 Bijlage 1: De lesplannen MDA format 30 oktober 2014 lesplan wiskunde 4 e jaar vwo lokaal: B 104 Les 1- voorkennis activeren klas: 4 vwo wis A/C aantal lln: 15 lesonderwerp: herkennen van exponentiële functies: formules met exponentiële groei beginsituatie: voorkennis exponentiele formules vanuit 3 de jaars wiskunde en eerder gemaakte hoofdstuk 1: functies en de rekenmachine (plotten op GR, asymptoten, domein en bereik). leskern: kenmerken van een exponentiële functie herkennen en benoemen. leerdoelen*: -1.) leerlingen kunnen herhalen grafiek van een exponentiële functie plotten en schetsen; -2.) leerlingen kunnen eigenschappen van een exponentiële functie benoemen, zoals: grafiek, bereik en domein, asymptoot, coördinaten van de grafiek (kennis vanuit H1), stijgend of dalend (kennis van 3 de jaar) docentdoelen: voorkennis activeren; leerlingen aan elkaar vertellen en verklaren kenmerken van exponentiele functies boek: Moderne Wiskunde, 9e editie, vwo wis.a/c - deel 1, hoofdstuk 3, paragraaf voorkennis, blz media, spullen, hulp: lesboek, 15x A4 karton met 9 speelkaarten en 15x verschillende exponentiële functies (net zoveel als leerlingen), evt. scharen, whiteboard en stiften tijd lesfase leerdoel* wat ik doe en zeg wat zij doen (werkvorm) leeractiviteit 1-7m. beginkring (voor)kennis A4 gedeeld in 9 vakjes functie goed bekijken, samenvatten, activeren uitdelen, incl. voor elk stappenplanen bedenken; verkennen lln een eigen functie; voorkennis activeren. vertellen dat zij 2x een kwartet gaan maken: vier eigenschappen voor uitgedeelde functie en eigen bedachte functie, (gesp.kring) eerst zelfstandig werken. 7-20m. werkfase 1.), 2.) lln werken, mogen boek in stilte werken benomen, opzeggen gebruiken, afwachten onderzoek doen met tekenen/schetsen voor lln met moeite tips boek en GR, geven: gebruik H1/GR, kenmerken bedenken, of hintkaarten aanbieden. kaarten maken, (met consequentie hw.) evt. vragen stellen/ hint vragen. (individueel) 20-35m. werkfase 1.), 2.) aangeven werken lln aan elkaar vertellen aangeven/ verklaren in groepjes van 2/3. over gemaakte kwartetten, uitleggen (aan elkaar) elkaars werk controleren. aanpassen (groepjes v. 2/3) 35-45m. werkfase 1.), 2.) centraal bespreken, lln aan klas vertellen, verklaren, uitleggen enkele kwartetten kenmerken benoemen, bespreken. vragen beantwoorden. (gesp.kring) 45-60m werkfase/ oefenen huiswerk opgeven: opschrijven in agenda; oefenen, verkennen afsluiting opgaven vanuit boek. Kwartetspel spelen en/of keuze: rondje kwartet huiswerk opgaven maken. spelen of huiswerk beginnen. (indiv./ tafelgroepjes) 8

9 oktober 2014 lesplan wiskunde 4 e jaar vwo Les 2 pakkende start klas: 4 vwo wis A/C aantal: 15 lesonderwerp: exponentiële functies opstellen; groeipercentages en groeifactoren. beginsituatie: voorkennis exponentiele formules (kenmerken) geactiveerd in vorige les. leskern: een exponentiële functie opstellen en met het verschil tussen groei percentage en groeifactor omgaan. leerdoelen: -1.) leerlingen kunnen groei percentage, zowel toename als afname omzetten tot de groeifactor en toepassen in het functievoorschrift en er meerekenen; -2.) leerlingen kunnen een exponentiële functie opstellen, en de formule daarvoor benoemen; -3.) leerlingen kunnen toename en afname als een stijgende of dalende grafiek herkennen en benoemen. docentdoelen: leerling eerst zelf uitproberen, daarna met mede leerlingen overleggen en verklaren. boek: Moderne Wiskunde, 9e editie, vwo wis.a/c - deel 1, hoofdstuk 3, paragraaf 3-1, blz media, spullen, hulp: lesboek, 1 vel A4 papier voor elk leerling, evt. whiteboard en stiften, internet: internet: Youtube films: myth busters paper folding en Paperfolding World Record tijd lesfase leerdoel* wat ik doe en zeg wat zij doen (werkvorm) leeractiviteit 1-7m. beginkring (voor)kennis A4 papiertje laten zien; A4 bekijken, dikte papier verkennen, activeren lengte van langste lln overwegen, verband leggen benoemen, van de klas vragen; vouwen van papier met verbanden leggen vraag stellen: hoeveel groei, verband met keer papier vouwen om lengte lln maken. bovenuit lln te komen? lln schatting vragen; (valkuilen bedenken, zoals papier steeds doormidden vouwen van klein vel papier) vouwen, vragen verband; kunnen wij een formule (gesp.kring) hiervoor opstellen? 7-20m. werkfase 1.), 2.) afwachten: lln zelf- onderzoek doen met verkennen, standig laten werken, boek, eigenschappen benoemen, opstellen evt. hints geven=consequentie] bedenken, formule opstellen evt. vragen: hoeveel keer evt. vragen stellen/ hint ontvangen meer vouwen om bovenuit Eifel toren te komen (individueel) 20-32m. werkfase 1.), 2.) aangeven werken lln aan elkaar vertellen aangeven/ verklaren in groepjes van 2/3 over opstellen formule, uitleggen (aan elkaar) elkaars werk controleren. (groepjes v. 2/3) 32-45m. werkfase 1.),2.), 3.) centraal bespreken, lln aan klas vertellen, verklaren, uitleggen stappenplan voor kenmerken benoemen, formule opstellen vragen beantwoorden. (controle of iedereen opstelling heeft) 45-55m. 2 korte filmpjes laten zien (gesp.kring) 55-60m werkfase/ oefenen huiswerk opgeven: opschrijven in agenda oefenen, verkennen afsluiting 1.), 2.), 3.) opgaven vanuit boek opgaven maken, evt. als huiswerk (indiv./ tafelgroepjes) 9

10 november 2014 lesplan wiskunde 4 e jaar vwo Les 3 klas: 4 vwo wis A/C aantal lln: 15 lesonderwerp: berekenen met negatieve en gebroken exponenten. beginsituatie: voorkennis en nieuwe kennis opstellen en berekenen van exponentiele functies geactiveerd in vorige lessen. leskern: exponentiële functies berekenen met negatieve en gebroken exponenten. leerdoelen: -1.) leerlingen kunnen exponentiële functies met negatieve exponenten berekenen en begrijpen wat dit betekent; -2.) leerlingen kunnen exponentiële functies met gebroken exponenten berekenen en begrijpen wat dit betekent; docentdoelen: leerling eerst zelf uitproberen, daarna met mede leerlingen overleggen en verklaren. boek: Moderne Wiskunde, 9e editie, vwo wiskunde A/C - deel 1, hoofdstuk 3, paragraaf 3-2, blz media, spullen, hulp: lesboek, hele taak A4 stencil (2 opgaven) voor elk leerling, evt. whiteboard en stiften tijd lesfase leerdoel* wat ik doe en zeg wat zij doen (werkvorm) leeractiviteit 1-7m. beginkring (voor)kennis Herhalen kennis les 2; Vragen huiswerk behandelen. A4 stencil uitdelen. Doelen en kennis les 2 benoemen. Vragen huiswerk stellen. A4 bekijken, aanpak overwegen. verkennen, benoemen verbanden leggen 7-22m. werkfase 1.), 2.) afwachten: lln zelfstandig laten werken, opgave A maken, daarna opgave B. evt. hints geven (=consequentie hw) m werkfase 1.), 2.) aangeven werken in groepjes van 2/3 Overleg A. - opgave B maken als die niet af is m werkfase 1.), 2.) centraal bespreken, stappenplan voor aanpak bespreken m werkfase/ afsluiting oefenen 1.), 2.) huiswerk opgeven: (2)opgaven vanuit boek (gesp.kring) onderzoek doen met boek, berekening maken, formule opstellen evt. hint vragen. (individueel) lln aan elkaar vertellen over opstellen/toepassen, elkaars werk controleren. Opgave B eventueel samen maken. (groepjes v. 2/3) lln aan klas vertellen, aanpak verklaren, vragen beantwoorden. Stencil inleveren. (gesp.kring) opschrijven in agenda, opgaven maken, evt. als huiswerk (indiv./ tafelgroepjes) verkennen, benoemen, opstellen aangeven/ verklaren uitleggen (aan elkaar verklaren, uitleggen oefenen, verkennen 10

11 november 2014 lesplan wiskunde 4 e jaar vwo Les 4 klas: 4 vwo wis A/C aantal lln: 15 lesonderwerp: rekenen met groeifactoren beginsituatie: voorkennis en nieuwe kennis opstellen en berekenen van exponentiele functies geactiveerd in vorige lessen. leskern: rekenregels voor het rekenen met machten en de betekenis hiervan voor de berekening van een exponentieel groeiproces. leerdoelen: -1.) leerlingen kunnen rekenregels voor machten van groeifactoren toepassen; -2.) leerlingen kunnen bij een exponentieel groeiproces het groeipercentage voor een andere tijdseenheid berekenen. docentdoelen: leerling eerst zelf uitproberen, daarna met mede leerlingen overleggen en verklaren. boek: Moderne Wiskunde, 9e editie, vwo wis.a/c - deel 1, hoofdstuk 3, paragraaf 3-3, blz media, spullen, hulp: lesboek, hele taak stencil A4, evt. whiteboard en stiften tijd lesfase leerdoel* wat ik doe en zeg wat zij doen (werkvorm) leeractiviteit 1-7m. beginkring (voor)kennis Herhalen kennis les 3; Vragen huiswerk behandelen. A4 stencil uitdelen. Doelen en kennis les 3 benoemen. Vragen huiswerk stellen. A4 bekijken, aanpak overwegen. verkennen, benoemen verbanden leggen 7-22m. werkfase 1.), 2.) afwachten: lln zelfstandig laten werken, pgave A maken, daarna opgave B. evt. hints geven (=consequentie hw) m werkfase 1.), 2.) aangeven werken in groepjes van 2/3 Overleg A - opgave B maken als die niet af is m werkfase 1.), 2.) centraal bespreken, stappenplan voor aanpak bespreken m werkfase/ afsluiting oefenen 1.), 2.) huiswerk opgeven: opgaven vanuit boek (gesp.kring) onderzoek doen met boek, eigenschappen bedenken, berekeningen maken;evt. hints vragen. (individueel) lln aan elkaar vertellen over opstellen/toepassen, elkaars werk controleren. Opgave B eventueel samen maken. (groepjes v. 2/3) lln aan klas vertellen, aanpak verklaren, vragen beantwoorden. Stencil inleveren. (gesp.kring) opschrijven in agenda, opgaven maken, evt. als huiswerk. (indiv./ tafelgroepjes) verkennen, benoemen, opstellen aangeven/ verklaren uitleggen (aan elkaar verklaren, uitleggen oefenen, verkennen 11

12 Bijlage 2: leerlingenmateriaal lessenserie les 1 A4 papier, van dikkere kwaliteit, gedeeld in 9 vakken, bedoeld als speelkaarten voor een kwartetspel. (eventueel een aantal scharen om de kaarten uit te knippen na het beschrijven) 15 verschillende exponentiële functies, een voor elk leerling, zoals S(t) = 150 1,25 t h(t) = 24 0,65 t P(t) = ,3 t D(t) = 24 3 t L(t) = 80 1,061 t A(t) = - 4 0,3 t g(t) = 125 0,75 t B(t) = 650 1,03 t m(t) = 720 1,025 t s(t) = t l(t) = 20 0,2 t k(t) = ,25 t Z(t) = 81 0,3 t M(t) = 35 0,85 t h(x) = x f(t) = t g(x) = 9 2 x f(x) = -2 0,92 x N(t) = 1/5 5 t Hints op aparte kaarten - verschillende kenmerken van een exponentiële functie: - Hoe ziet de grafiek er uit? Plot de grafiek op je GR, neem als een schets over in een assenstelsel; vergeet niet de vensterinstelling over te nemen in je tekening / assenstelsel. (zie: H1-2, H1-3) - Wat is de exponentiële groei? Geef de groeifactor aan per tijdseenheid. Gebruik de tabel van de GR, of stel zelf een tabel op met enkele punten en onderzoek wat de groeifactor is tussen de stappen in de tabel. Waar vermenigvuldig je mee (de functie waarde / y-waarde) om van een stap tot de volgende te komen? Laat dit zien door middel van een tabel of in een schets van de grafiek; vergeet niet de vensterinstelling over te nemen in je tekening / assenstelsel. (zie: H3-voorkennis) - Is de functie stijgend of dalend? Is er sprake van afname of toename van groei? Plot de grafiek op je GR, hoe ziet de helling van de grafiek er uit? Benoem dit ( stijgend of dalend / afname) en laat dit zien in een schets van de grafiek; vergeet niet de vensterinstelling over te nemen in je tekening / assenstelsel. (zie: H3-1) - Wat is de beginhoeveelheid? Waar snijdt je functie de verticale-as / y-as? Onderzoek dit voor wanneer x = 0 of t = 0. Laat dit zien in een schets met je grafiek; vergeet niet de vensterinstelling over te nemen in je tekening / assenstelsel. (zie: H3-1) - Heeft de grafiek een asymptoot? Zoek de limiet waarde van je functie: wat gebeurt er als je een heel groot/klein getal voor de exponent invult? Laat dit zien in een schets met je grafiek; vergeet niet de vensterinstelling over te nemen in je tekening / assenstelsel. (zie: H1-4, H3-1) - Wat is het bereik of domein? Onderzoek alle mogelijke waarden van x/t en alle functie waarden waarvoor de functie bestaat en die bij de functie kunnen voor komen. Noteer dit als intervalnotatie. (zie: H1-5) - Wat zijn enkele coördinaten? Zoek enkele punten van je functie door de tabel van je GR te gebruiken, OF door willekeurig x/t waarden in je functie in te vullen voor een y (=functie) waarde. Laat de punt(en) zien in een tabel of in een schets van de grafiek; vergeet niet de vensterinstelling over te nemen in je tekening / assenstelsel. (zie: H3-voorkennis) 12

13 les 2 A4 papier voor elk leerling, om te vouwen door midden, om rekenwerk en functie voorschrift op te schrijven. Hints op aparte kaarten: - Hoe ziet de functievoorschrift er uit? Bij een exponentieel proces hoort de volgende functievoorschrift: N(t) = b g t Wat betekenen N, b, g en t voor onze opdracht? (zie: H3-1) - Waar staat N voor in onze opdracht? N, de totale hoeveelheid, staat voor de totale lengte van de gekozen leerling. Vergeet niet de zelfde afmeting (millimeters, centimeters, of meters) in de gehele functie toe te passen.(zie: H3-1) - Waar staat b voor in onze opdracht? In onze opdracht staat de b voor de beginhoeveelheid, wanneer t = 0. Onze opdracht begint met de dikte van een vel papier. Een A4 vel papier 0,1 millimeter ( = 0,001 meter ) dik. (zie: blz 72) - Waar staat g voor in onze opdracht? In onze opdracht staat de g voor de groeifactor per t. Het vouwen van het papier is een groeiproces. Elke keer als het papier doormidden wordt gevouwen verdubbelt het, wat betekent 2 ; er is een toename van 200%, een groeifactor van 2. (zie: H3-voorkennis, H3-1) - Waar staat t voor in onze opdracht? Het vouwen van het papier is een groeiproces; de dikte van het papier groeit met elke vouw. In onze opdracht staat de t voor het aantal vouwen die er gemaakt wordt (en dus niet voor tijd!) - want het maakt niet uit wanneer of hoe snel wij vouwen, maar juist hoe veel er gevouwen wordt. (zie: H3-1) 13

14 les 3 A4 stencil met hele taak opgaven a en b ( deels gevonden op website Math4all.nl): Opgave A: Thomas Robert Malthus leefde in het begin van de 19 e eeuw. Hij dacht dat de groei van de wereldbevolking wel eens exponentieel zou kunnen zijn. In deze tabel zie je het aantal mensen op aarde in de negentiende eeuw: jaartal aantal mensen* *aantal mensen in miljoenen - Stel een model op voor de bevolkingsgroei in die tijd in de vorm van een passend functievoorschrift. Maak er een grafiek bij. - Bereken hoeveel mensen er in 1600 en in 2000 volgens dit model hadden moeten zijn. Opgave B: In een vijver is sterke algengroei. Op het tijdstip dat men begint met meten zit er in een liter water 10 gram algen. Deze concentratie algen blijkt per week met 15% toe te nemen. Neem aan dat ook vóór de meting de concentratie algen groeide met 15% per week. - Hoeveel bedroeg de concentratie drie weken voor het begin van de meting? Rond af op een decimaal. - Hoeveel bedroeg de concentratie twee dagen voor het begin van de meting? Geef het antwoord weer in een decimaal nauwkeurig. Hints op aparte kaarten: - A1,2.) Wat is de exponentiële groei? Gebruik de tabel. Bereken de groeifactor tussen 1800 en Controleer dat dit voor elke volgende periode van 20 jaar ook ongeveer zo is / constant is. Bereken vervolgens g de groeifactor per jaar: g per jaar = g per 20jaar 1/20 - A3.) Stel de formule op: N(t) = b g t. Neem de tijd t in jaren met t = 0 in 1800 en het aantal miljoenen mensen N, vanuit het tabel als t beginhoeveelheid. Dan is: N(t) = 1000 g per jaar -> g = 1,005 - A4.) Bereken hoeveel mensen er in 1600 waren. Bereken N(t) voor 1600, 200 jaar vóór 1800: N(t) = 1000 g per jaar > g = 1,005 - A5.) Bereken hoeveel mensen er zouden moeten zijn in Bereken N(t) voor 2000, 200 jaar na 1800: N(t) = 1000 g per jaar -> g = 1,005 (Maar er waren in werkelijkheid veel meer, namelijk meer dan 6000 mln!) - B1.) Behoud het groeipercentage per week. toename percentage 15% is: g per week = 1,15 g per dag = 1,15 1/7 hoeft niet uitgerekend worden want de vragen kunnen uitgerekend worden op basis van een week / weken. - B2.) Stel een formule waarmee je concentratie algen kunt berekenen. A(t) = b g t Neem A(t ) als de hoeveelheid algen waar t is de tijd in weken. b = beginhoeveelheid: aan het begin was er 10 gm algen. Zet toename percentage 15% om tot een groeifactor: toename is > 1. Neem t = 0 als tijdstip waarop men begon met meten, per week. 14

15 - B3.) Bereken de concentratie 3 weken vóór de meting. Gebruik t = -3, 3 weken vóór de meting, in de formule: A(t ) = b g t - B4.) Bereken de concentratie 2 dagen vóór de meting. Gebruik t = -2/7, 2 dagen van een week vóór de meting, in de formule: A(t ) = b g t 15

16 les 4 A4 stencil met hele taak opgave a en b (deels gevonden op website Math4all.nl): Opgave A: Een spaartegoed staat op de bank tegen een rente van 5% per jaar. De bank kan de rente per half jaar bijschrijven of zelfs maandelijks. Met welke rentpercentages moeten ze dan werken? (Geef beide percentages in twee decimalen nauwkeurig.) Als er een startinleg van 1000 euro is geweest, hoeveel geld is er gespaard na 8 maanden? En na 30 maanden? Opgave B: Een kolonie bacteriën groeit exponentieel. In drie uur tijd is het aantal gegroeid van 1200 naar Op welk moment waren er nog 600 bacteriën? Hints op aparte kaarten: - A1.) Bereken het groeipercentage per half jaar. De groeifactor per half jaar is: g g = g 2 = 1,05 of g = 1,05 of g = 1,05 1/2 Vergeet niet dit om te zetten tot een groeipercentage! - A2.) Bereken de groeifactor g per maand. Gegeven is de groeifactor per jaar is: g = 1,05 Er zijn twaalf maanden in een jaar, dus per maand: g = 1,05 1/12 Vergeet niet dit om te zetten tot een groeipercentage! - A3.) Stel de formule op: S(t) = b g t voor het spaartegoed. - A4.) Bereken met t is 6/12, 8/12 en 33/12 wanneer g = 1,05 (groeifactor per jaar). of met t is 1, 1 1/3 en 5 wanneer g = groeifactor per half jaar (zie A1) of met t is 6, 8 en 33 wanneer g = groeifactor per maand (zie A2). - B1.) Hoeveel bedraagt de groeifactor per 3 uur? bereken g 3 uur = 3000/ B2.) Bereken het groeipercentage per uur. bereken g 1 uur = (3000/1200) 1/3 - B3.) Stel een formule op voor de groei van deze kolonie. Neem H(t ) als de hoeveelheid bacteriën en t de tijd in uren. Neem t=0 op het moment dat er 1200 bacteriën zijn. - B4.) Zet H(t ) gelijk aan 600 en los op voor t. Gebruik je GR en vindt intersect. Vergeet niet om het antwoord om te zetten tot uren en minuten. 16