Ontwerponderzoek Paper 2: lesontwerp

Transcriptie

1 Denkstappen maken bij het werken met vergelijkingen Ontwerponderzoek Paper 2: lesontwerp Naam auteur Vakgebied Titel Onderwerp Opleiding Doelgroep Sleuteltermen Dickens van der Werff, ir Wiskunde Denkstappen maken bij het werken met vergelijkingen Wiskundige denkactiviteit Interfacultaire Lerarenopleidingen, Universiteit van Amsterdam Havo-4 klas Wiskunde B Wiskunde, denkactiviteit, vergelijkingen, plan van aanpak, vragen stellen Links - Bibliografische referentie Van der Werff, D. (2014). Denkstappen maken bij het werken met vergelijkingen Amsterdam: Interfacultaire Lerarenopleidingen UvA. Studentnummer Begeleider(s) Beoordelaar(s) Peter Uylings Lidy Wesker, Erik Joling Datum 19 januari 2014 Inhoudsopgave: pagina Samenvatting paper 1, Literatuur 2 Beschrijving opzet lessenserie 3 Verantwoording didactische keuzen 4 Bijlage A: De 4 lesplannen 5 t/m 8 Bijlage B: Docentenhandleiding 9 t/m 12 Leerlingen materiaal 13 t/m 23 1

2 Samenvatting Paper 1 Ontwerphypothese: Als de leerlingen bij het oplossen van een opgave zich meer vragen stellen die gericht zijn op het ontwikkelen van een plan van aanpak zullen zij beter in staat zijn om hun wiskundige denkactiviteit gaande te houden en een oplossing te vinden. Het ontwerp moet voldoen aan de volgende regels: De lessenserie wordt ontwikkeld voor een 4-Havo klas Wiskunde B De lessen richten zich op het maken van een plan van aanpak bij een opgave van kwadratische en hogeregraadsvergelijkingen De lessen zijn gericht op het oefenen van complexe opgaven waarbij meer aandacht gaat naar proces dan naar het resultaat De denkstappen van Pólya (1945) worden in de lessen verwerkt De leerlingen begrijpen dat voor een lastige opgave denkstappen nodig zijn De leerlingen kunnen het probleem ook op een andere manier laten zien (in geschreven en/of getekende vorm) Onderzoeksopzet: In het onderzoek richt ik mij zowel op de resultaten als op het leergedrag van de leerlingen. Dit doe ik met behulp van een inhoudsanalyse van een voor- en nameting. Aan het eind van de lessenserie zal bovendien door een learner-report worden nagegaan hoe de leerlingen de lessenserie hebben ervaren. Literatuur Craats, J. van de (2011). Basisboek wiskunde. Amsterdam, Pearson Education Drijvers, P. & Kop, P. (2012). Variabelen en vergelijkingen, de veelheid van algebraïsche vaardigheden. In: Drijvers, P., van Streun, A. & Zwaneveld, B. (2012). Handboek wiskundedidactiek. Utrecht: Epsilon Uitgaven Pólya, G. (1945). How to solve it, a new aspect of mathematical method. Princeton, New Jersey: Princeton University Press Pólya, G. (1974). Heuristiek en wiskunde, een andere kijk op de werkwijze van de wiskunde. Vertaald in het Nederlands door drs. K. Morcus. Den Bosch, Malmberg Reichard, L.A. (2006). Getal en ruimte, havo wiskunde B deel 1. Houten, EPN Streun, A. van (2012) Leren en onderwijzen van wiskunde. In: Drijvers, P., van Streun, A. & Zwaneveld, B. (2012). Handboek wiskundedidactiek. Utrecht: Epsilon Uitgaven 2

3 Beschrijving opzet lessenserie Les 1 Het lesmateriaal bij de eerste les bestaat uit een vertaalde en bewerkte vragenlijst (Pólya, 1974) zodat de leerlingen bij elke denkstap het oplossingsproces gaande kunnen houden. Veel van deze vragen kunnen niet alleen door de docent, maar juist door de leerling zelf of door een helpende medeleerling worden gebruikt om een plan van aanpak op te stellen. De methode zal in alle vier lessen worden ingezet, bij de eerste les wordt deze gebruikt bij een aantal opgaven die de voorkennis uit hoofdstuk 1 ophalen. Het werk van de leerlingen wordt gebruikt voor de voormeting-inhoudsanalyse. Les 2 Om meer vanuit inzicht kunnen handelen, om juist Havo-leerlingen meer practisch zicht te kunnen geven op de werking van vergelijkingen, en om na het voltooien van de opdracht refectie mogelijk te maken is een lesontwerp gemaakt waarbij de leerling zelf kwadratische en hogeregraadsvergelijkingen construeert door deze te tekenen als het product van een aantal lineaire functies. Daarbij gaan de leerlingen de afbeeldingen van het resultaat onderzoeken en vergelijken op verschillende niveau s: - bij het opzetten van de afbeeldingen worden door kleuren de verschillen aangegeven (rood: positieve waarden, blauw: negatieve waarden, groen: de getekende functie) - de vorm en benaming van de grafieken worden vergeleken - het ontstaan van nulpunten kan worden geanalyseerd - het belang van ontbinden in factoren wordt duidelijk (het omgekeerde proces) - de principes van het vermenigvuldigen van negatieve factoren worden zichtbaar - de drie algebraïsche notaties van kwadratische functies kunnen worden bepaald Les 3 - bij hogeregraadsfuncties kan aandacht worden besteed aan het verschil in vorm tussen even en oneven machtsfuncties. - vanuit de kennis van de vorm van grafieken kan door de leerlingen een principeschets worden gemaakt van het aantal te verwachten snijpunten van een opgave. - terugkijkend en samenvattend kan een uitspraak worden gedaan over de te verwachten vorm van zowel positieve als negatieve hogeregraadsfuncties. Het leerlingenmateriaal is door mij ontwikkeld en vervolgens getekend met het grafische tekenprogramma VectorWorks 2008, een architectuur-tekeningenprogramma. Les 4 Deze les richt zich op het maken van een plan van aanpak bij een opgave van vergelijkingen. Door middel van vragen worden steeds denkstappen gezet, deze worden expliciet benoemd door zowel de docent als de leerlingen. Na het analyseren en integreren van de verschillende oplossingsmethoden voor kwadratische- en hogeregraadsvergelijkingen wordt gereflecteerd op de toepasselijkheid van de drie gereedschappen voor het tekenen ervan: 1.ontbinden in factoren: 2. algemene formule met termen: 3. de abc-formule / kwadraatafsplitsing: het bepalen van nulpun(en bepalen complexiteit vorm grafiek het bepalen van extreme waarde(n) Het werk van de leerlingen wordt gebruikt voor de nameting-inhoudsanalyse. aan het eind van de les zal door middel van een learner-report worden nagegaan hoe de leerlingen de lessenserie hebben ervaren. 3

4 Verantwoording didactische keuzen Citaat George Pólya (1945): Als een wiskundeleraar de nieuwsgierigheid van zijn leerlingen prikkelt door hen problemen op te geven die zij voor wat hun kennis betreft aankunnen en hen vraagstukken helpt op te lossen door stimulerende vragen te stellen kan hij ervoor zorgen dat zij plezier in, en enkele hulpmiddelen voor het onafhankelijke denken krijgen. Door gestructureerd vragen te stellen komt het redenatie-proces op gang, en kunnen denkstappen gemaakt worden. Het stimuleert de wiskundige denkactiviteit van leerlingen om zelf wat te bedenken. Pólya (1945) benoemt daarbij de volgende vier te nemen stappen: 1. Eerst het probleem begrijpen 2. Een plan maken 3. Het plan uitvoeren 4. Terugkijken op je werk en nadenken hoe het beter kan Leerlingen hebben aan het begin van het hoofdstuk 3 van Getal en Ruimte vergelijkingen en ongelijkheden als voorkennis het hoofdstuk 1 formules en grafieken. Vaardigheden en inzichten die de leerlingen hebben opgedaan betreffen het omgaan met lineaire- en kwaddratische verbanden waarbij voornamelijk de grafische rekenmachine wordt ingezet om nulpunten, maxima en minima en snijpunten te berekenen. In het hoofdstuk wordt zwaar geleund op het gebruik van de grafische rekenmachine, een eigenlijk al verouderd product dat zijn uitgebreide technische mogelijkheden moeizaam toegankelijk maakt door een weinig gebruikersvriendelijke bediening. De methode van Getal en Ruimte kiest voor een op het eindoel gerichte eenduidige aanpak, die als voordeel heeft dat een vaardigheid door herhaling kan worden aangeleerd, het nadeel lijkt mij dat er te veel wordt aangestuurd op het oplossen door middel van een maniertje door de leerling. Voor het vinden van een oplossing van een opgave wordt weinig betekenis toegekend aan de feitelijke werking van vergelijkingen. Het maniertje lijkt een uitweg voor havisten om op korte termijn het einddoel te bereiken. De methode van de twee hoofstukken is daarbij sterk gericht op het product, en weinig op het denkproces. Het risico dat daarbij wordt genomen is dat de methode op de korte termijn wel in het werkgeheugen van de leerling werkt, maar niet beklijft in het langetermijn geheugen. Er is weinig ruimte voor het zelfstandig algebraïsch opbouwen van een uitwerking, voor het maken van een plan van aanpak of het stellen van vragen door de leerling om vervolgens denkstappen te kunnen maken. De eenduidige oplossingsmethode lijkt ook voorbij te gaan aan het opbouwen van inzicht over de werking van vergelijkingen. De nadruk ligt op de verschillen tussen lineaire, kwadratische en hogeregraads vergelijkingen, de onderlinge relatie tussen deze laten zien kan wellicht meer samenhang en inzicht voor de onderwerpen bieden. Met deze aanpak heb ik invulling willen geven aan de aanbevelingen bij het onderzoek naar algebraïsche vaardigheden van Drijvers en Kop (2012): - een vergelijking is in feite een vraag - aanknopingspunten voor het oplossingsproces bieden - aandacht voor visuele kenmerken van vergelijkingen - expliciet over oplossingsstrategieën praten - betekenisontwikkeling stimuleren 4

5 Docent: Dickens van der Werff Datum: 11 nov 2013 Bijlage A: Lesplannen Tijd: 14:00 uur Klas: 4 Havo Leerlingen: 23 Lesonderwerp Les 1/4: De vragenlijst van Pólya, kwadratische formules Beginsituatie Leerlingen kunnen de grafieken van lineaire en kwadratische functies als lijnen en parabolen schetsen Leskern Met de leerlingen de vragen van Pólya toepassen Leerdoelen Leerlingen kunnen denkstappen onderscheiden. Leerlingen kunnen voorbeelden noemen van hulpproblemen of tussenstappen maken om een oplossing te vinden. Docentdoelen Leerlingen helpen door vragen te stellen. Boek (+ blz.) Getal en Ruimte WiB havo deel 1, hfdst 3.1, blz Media, spullen, hulp Bijlage B6: Toets 1 Bijlage B1: G. Polya, Heuristiek en wiskunde Tijd Lesfase Leerdoel Wat ik doe en zeg Wat zij doen werkvorm 0:05 Aanvang Leerlingen nemen plaats Werken met de 0:20 Toets Meten van Opgaven toets 1 opgaven. Met aanvangsniveau uitdelen. denkstappen naar oplossing zoeken 0:05 0:05 0:10 0:20 0:05 1,2 Introductie 2,3,4 Verwerken 4 Voorkennis ophalen 4,5 Zelfstandige verwerking 6 Afsluiting en huiswerk opgeven Kennis hebben van de vier denkstappen van Pólya Met vragen stellen het denkproces gaande houden Drie algebraïsche schrijfwijzen voor een kwadratische formule kennen Probleem en mogelijke oplossing analyseren volgens Polya Reflecteren op de toepassing van vragen stellen Uitdelen en toelichten vragenlijst van Pólya Uitleggen wat heuristiek inhoudt. Voorbeeld geven van een hulpprobleem Uitleg bij voorbeelden geven, resultaat bespreken, vragen stellen Hoofdstuk 3.1 blz opgaven 2,3,4 opgaven maken. Volgende keer lineaal en (kleur)potloden meenemen, huiswerk opgeven Lesfasen: 1. Oriënteren op doel, voorkennis diagnosticeren/activeren 2. Informeren over begrippen / instrueren over vaardigheden 3. Check & feedback 4. Verwerking instrueren 5. Verwerking begeleiden 6. Afronden (evalueren en reflecteren) Luisteren, vragen stellen, meedenken Luisteren, vragen stellen Definities opschrijven, meedenken bij de voorbeelden Werken met de opgaven. Zoeken naar oplossing mbv stappenplan Luisteren,huiswerk G&R blz. 76 de opgaven 5,6,7 Leeractiviteit specifiek Voorspellen, beargumenteren kenmerken analyseren Begrijpen en onthouden Voorbeelden kunnen geven van denkstappen bij een opgave Leerlingen kunnen de drie schrijfwijzen herkennen De leerlingen analyseren het probleem en proberen een oplossing te vinden Reflecteren 5

6 Docent: Dickens van der Werff Lesonderwerp Beginsituatie Leskern Leerdoelen Datum: 15 nov 2013 Tijd: 14:00 uur Klas: 4 Havo Leerlingen: 23 Les 2/4: Een stappenplan maken, tekenen van grafieken kwadratische functies Leerlingen hebben in de vorige les kennis gemaakt met de vragenlijst van Pólya. Het toepassen van het stappenplan van Pólya. Het tekenen, onderzoeken en vergelijken van kwadratische functies als het product van twee lineaire functies Leerlingen kunnen de vier hoofdstappen van Pólya noemen. Leerlingen kunnen deze toepassen. Het ontstaan van de vormkenmerken van grafieken van kwadratische functies Docentdoelen Leerlingen helpen door vragen te stellen. Boek (+ blz.) Getal en Ruimte WiB havo deel 1 hfdst. 3.1 blz. 77 Media, spullen, hulp Tijd Lesfase Leerdoel 0:05 Aanvang 0:10 0:05 0:20 0:15 0:10 0:05 1 Bespreken vorige les 2,3 Introductie 4,5 Zelfstandig werken 4,5 Zelfstandig werken 5 Toelichten 6 Afsluiting Voorkennis Polya ophalen Onderzoeken en vergelijken Tekenen van vormkenmerken grafieken van kwadratische functies Uitproberen kwadraatafsplitsen Afleiding abcformule door kwadraatafsplitsen Grafische rekenmachine, lineaal en (kleur)potloden Bijlage B2 en B3: Opgaven 1 t/m 4 grafieken Bijlage B7: Kwadraatafsplitsen en afleiding abc-formule Wat ik doe en zeg Uitwerking deelvragen denkstappen Polya Toelichten 1 t/m 4 opgaven; tekenen van kwadratische functies Uitleg bij de vragen 3: kun je een tweetal andere formules geven? Voorbeelden geven. Helpen met vragen Toelichting kwadraatafsplitsen zie Bijlage B7 Huiswerk opgeven Lesfasen: 1. Oriënteren op doel, voorkennis diagnosticeren/activeren 2. Informeren over begrippen / instrueren over vaardigheden 3. Check & feedback 4. Verwerking instrueren 5. Verwerking begeleiden 6. Afronden (evalueren en reflecteren) Wat zij doen werkvorm Leerlingen nemen plaats Vertellen, vragen beantwoorden. Luisteren, vragen stellen Uitproberen. verschillende notaties toepassen analyseren resultaat Toepassen mbv stappenplan Polya Luisteren, vragen stellen Huiswerk G&R blz.78 de opgaven 8 en 9 Leeractiviteit specifiek Begrijpen en onthouden Begrijpen en onthouden Toepassen van kennis en analyseren van kenmerken Leerlingen kunnen kwadraat afsplitsen Leerlingen kunnen afleiding volgen 6

7 Docent: Dickens van der Werff Lesonderwerp Beginsituatie Leskern Leerdoelen Datum: 18 nov 2013 Tijd: 14:00 uur Klas: 4 Havo Leerlingen: 23 Les 3/4: Tekenen grafieken kwadratische- en hogeregraads functies Leerlingen hebben in de vorige les kwadratische functies als het product van twee lineaire functies getekend, onderzocht en vergeleken Het tekenen, onderzoeken en vergelijken van kwadratische functies en hogeregraads functies als het product van lineaire functies Leerlingen kunnen het ontstaan van de vormkenmerken van grafieken van kwadratische functies en hogeregraads functies verklaren en analyseren, controleren met grafische rekenmachine Docentdoelen De leerlingen helpen door vragen te stellen Boek (+ blz.) Getal en Ruimte WiB havo deel 1 hfdst. 3.2 blz Media, spullen, hulp Grafische rekenmachine, lineaal en (kleur)potloden Bijlage B4 en B5: Opgaven 5 t/m 8 grafieken Tijd Lesfase Leerdoel Wat ik doe en zeg Wat zij doen werkvorm 0:05 Aanvang Leerlingen nemen plaats 0:10 0:10 0:20 0:20 0:05 1,2,3 Bespreken vorige les 2,3 Toelichting 3,4,5 Zelfstandig werken 2,4,5 Zelfstandig werken 6 Afsluiting Voorkennis ophalen Onderzoeken en vergelijken Tekenen van vormkenmerken grafieken van kwadratische en hogeregraads functies Toepassing van vergelijkingen grafischnumeriek oplossen Verbinden van tekenaanpak en denkstappen maken Toelichten van opgaven grafieken 5 t/m 8; tekenen van hogeregraads functies Voorbeeld geven, vragen van Polya bij de leerlingen stellen differentieren door leerlingen eigen opgave te laten maken Uitleg voorbeelden uit Getal en ruimte Hfdst 3.2 blz mbv stappenplan Polya Huiswerk opgeven Lesfasen: 1. Oriënteren op doel, voorkennis diagnosticeren/activeren 2. Informeren over begrippen / instrueren over vaardigheden 3. Check & feedback 4. Verwerking instrueren 5. Verwerking begeleiden 6. Afronden (evalueren en reflecteren) Vertellen, vragen beantwoorden Luisteren, aantekeningen maken, vragen stellen Creatief toepassen controleren uitkomsten met behulp van de grafische rekenmachine opgave 8 en 9 Getal en Ruimte blz.78 Meekijken, luisteren, aantekeningen maken Huiswerk opgave 10,11,12 Getal en Ruimte blz.80 Leeractiviteit specifiek Begrijpen en onthouden De leerlingen kunnen volgen en uitleggen hoe de vorm van deze functies ontstaat Leerlingen kunnen analyseren, het resultaat kritisch toetsen Leerlingen kunnen werken met deze principes 7

8 Docent: Dickens van der Werff Datum: 20 nov 2013 Lesonderwerp Les 4/4: Toepassen Beginsituatie Leskern Tijd: 14:00 uur Klas: 4 Havo Leerlingen: 23 Leerlingen kunnen het ontstaan van de vormkenmerken van grafieken van kwadratische functies en hogeregraads functies verklaren en analyseren, controleren met grafische rekenmachine Toepassen van inzicht in de verschijningsvorm van grafieken van hogeregraads functies Leerdoelen Leerlingen kunnen toepassen. Docentdoelen Leerlingen helpen door vragen te stellen Boek (+ blz.) Getal en Ruimte WiB havo deel blz Media, spullen, hulp Grafische rekenmachine Bijlage B6: Toets 2 en learner report Tijd Lesfase Leerdoel Wat ik doe en zeg Wat zij doen werkvorm 0:05 Aanvang Leerlingen nemen plaats 0:10 0:10 0:20 0:20 1,2,3 Bespreken vorige les 4,5 Verwerking 6 Toets 6 Evaluatie Voorkennis ophalen Toepassen Polya Toepassen van inzicht Terugkijken Vergelijken van verschillende oplossingsmethoden Voorbeeldopgave Bijlage B9: derdegraads functie, vragen stellen Opgaven toets 2 uitdelen. Uitdelen learner report 0:05 Afsluiting Huiswerk opgeven Vertellen, vragen beantwoorden Luisteren, aantekeningen maken, vragen stellen Werken met de opgaven. Met denkstappen naar oplossing zoeken Invullen learner report. Huiswerk G&R blz 81 opgave 13 Leeractiviteit specifiek Leerlingen kunnen samen evalueren Een plan van aanpak ontwikkelen Voorspellen, beargumenteren kenmerken analyseren Reflecteren Lesfasen: 1. Oriënteren op doel, voorkennis diagnosticeren/activeren 2. Informeren over begrippen / instrueren over vaardigheden 3. Check & feedback 4. Verwerking instrueren 5. Verwerking begeleiden 6. Afronden (evalueren en reflecteren) 8

9 Bijlage B: Docentenhandleiding Inleiding Deze serie van vier lessen heeft als doel het inzicht van de leerlingen te vergroten bij de aanpak van complexere opgaven. De lessen zijn ontwikkeld voor klas 4-Havo Wiskunde B en sluiten aan op hoofdstuk 3 van Getal en Ruimte, waarin vergelijkingen en ongelijkheden worden behandeld. Als de leerlingen bij het oplossen van een opgave zich meer vragen stellen die gericht zijn op het ontwikkelen van een plan van aanpak zullen zij beter in staat zijn om hun wiskundige denkactiviteit gaande te houden en een oplossing te vinden. Leerlingen hebben aan het begin van het hoofdstuk 3 van Getal en Ruimte Vergelijkingen en ongelijkheden als voorkennis het hoofdstuk 1 Formules en grafieken. Vaardigheden en inzichten die de leerlingen hebben opgedaan betreffen het omgaan met lineaire en kwadratische verbanden waarbij voornamelijk de grafische rekenmachine wordt ingezet om nulpunten, maxima/minima en snijpunten te berekenen. Voor deze lessen heb ik aanvullend lesmateriaal ontwikkeld, waarbij de leerlingen hun creativiteit kunnen inzetten en plezier kunnen ontwikkelen in het oplossen van opgaven. In de woorden van Pólya: wanneer je als wiskundeleraar de nieuwsgierigheid van je leerlingen prikkelt door hen problemen op te geven die zij voor wat hun kennis betreft aankunnen en hen vraagstukken helpt op te lossen door stimulerende vragen te stellen kan je ervoor zorgen dat zij plezier in, en enkele hulpmiddelen voor, het onafhankelijke denken krijgen. Handleiding les 1 Het lesmateriaal bij de eerste les bestaat uit een door Pólya ontwikkelde vragenlijst. (zie bijlage B1), zodat de leerlingen bij elke denkstap het oplossingsproces gaande kunnen houden. Pólya heeft een stappenplan ontwikkeld dat in deze lessenserie wordt toegepast: 1. Eerst het probleem begrijpen 2. Een plan maken 3. Het plan uitvoeren 4. Terugkijken op je werk en nadenken hoe het beter kan Eerst aandacht besteden aan de hoofdstappen, in les 2 kunnen deelstappen aan de orde komen. Heuristiek (Grieks heuriskein = vinden, vergelijk heurèka = ik heb het gevonden) is de wetenschap, de leer of de kunst van het vinden. Heuristieken zijn informele, intuïtieve en speculatieve oplossingstrategieën, die mensen ontwikkelen om bepaalde problemen aan te pakken. Het verschijnsel serendipiteit is verwant: hierbij zoekt men niet bewust naar iets, maar vindt men het "bij toeval". Feitelijk staat men open voor de oplossing. Iets dergelijks treedt soms ook op in onze dromen: wij gaan slapen met een probleem en worden wakker met de oplossing (Bron: Wikipedia: Heuristiek). 9

10 Een voorbeeld van het toepassen van een hulprobleem is de volgende opgave: =0 Als we bedenken dat: =( ) dan kunnen we stellen dat: = Dan kan een nieuw probleem worden geformuleerd met: =0 Door dit hulpprobleem op te lossen zijn we opeens een vierdegraadsfunctie de baas. Drie algebraïsche schrijfwijzen van kwadratische formules met hun toepassingen zijn: omschrijving: algebraïsche formule: toepassing: ontbinden in factoren =( + )( + ) nulpunten bepalen abc formule in termen = + + nulpunten met abc-formule kwadraat afsplitsen = ( ) + bepalen van de top (p,q) Leerlingen werken met het stappenplan van Polya bij de opgaven uit het boek. Handleiding les 2 Met een klassengesprek aandacht besteden aan de deelvragen van Polya. Zie bijlage B1: Vragenlijst van Polya Om meer vanuit inzicht te kunnen handelen, om juist Havo-leerlingen meer praktisch zicht te geven op de werking van vergelijkingen, en om na het voltooien van de opdracht reflectie mogelijk te maken is lesmateriaal gemaakt waarbij de leerling zelf kwadratische en hogeregraadsvergelijkingen construeert door deze te tekenen als het product van een aantal lineaire functies. Daarbij gaan de leerlingen de afbeeldingen van het resultaat onderzoeken en vergelijken op verschillende niveau s: - bij het opzetten van de afbeeldingen worden door kleuren de verschillen aangegeven (rood: positieve waarden, blauw: negatieve waarden, groen: de getekende functie) - de vorm en benaming van de grafieken worden vergeleken - het ontstaan van nulpunten kan worden geanalyseerd - het belang van ontbinden in factoren wordt duidelijk (het omgekeerde proces) - de principes van het vermenigvuldigen van negatieve factoren worden zichtbaar - de drie algebraïsche notaties van kwadratische functies kunnen worden bepaald bijlage B2 en B3: opgaven 1 t/m 4 grafieken Een voorbeeld van een uitwerking van opgave 3: 10

11 Kwadraatafsplitsen Deze les gaan we proberen om er niet (x + a)(x + b) van te maken, maar een "echt" kwadraat zoals (x + a) 2. We zullen zien dat ook hier het stappenplan van Polya goed van pas komt. Eerst een lijstje met zulke kwadraten bekijken: (x + 1) 2 = x 2 + 2x + 1 (x + 2) 2 = x 2 + 4x + 4 (x + 3) 2 = x 2 + 6x + 9 (x + 4) 2 = x 2 + 8x + 16 In dit lijstje zie je meteen dat dat blauwe getal het dubbele is van het rode. Dat komt natuurlijk door de regel: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Neem bijvoorbeeld x x + 10 Dan komt het niet uit, want als je probeert (x + 18) 2 dan krijg je x x De oplossing is erg simpel: Als het niet klopt dan máák je het gewoon kloppend! x x + 10 = x x = (x x + 324) + ( ) = (x + 18) Oefenopgaven Schrijf in de vorm a(x + b) 2 + c a. 2x 2-48x + 60 oplossing: 2( 12) 228 b. x 2 + 4x 12 oplossing: ( +2) 16 c. -5x 2-20x 10 oplossing: 5( +2) +10 d x 2 + 2x oplossing: ( 1) +19 Voor een verdere uitwerking van de afleiding van de abc-formule met kwadraat afsplitsen zie Bijlage B7. Handleiding les 3 Na een korte herhaling van de stof behandeld in les 2 wordt het grafisch onderzoeken van hageregraads functies door de leerlingen voortgezet: Bijlage B4 en B5: opgaven 5 t/m 8 grafieken 11

12 - bij hogeregraadsfuncties kan aandacht worden besteed aan het verschil in vorm tussen even en oneven machtsfuncties - vanuit de kennis van de vorm van grafieken kan door de leerlingen een principeschets worden gemaakt van het aantal te verwachten snijpunten van een opgave - terugkijkend en samenvattend kan een uitspraak worden gedaan over de te verwachten vorm van zowel positieve als negatieve hogeregraadsfuncties Met de leerlingen een klassengesprek houden over de deelvragen van Polya bij de fase EEN PLAN MAKEN. Handleiding les 4 Deze les richt zich op het maken van een plan van aanpak bij een opgave van kwadratische - en hogeregraadsvergelijkingen. Door middel van vragen worden steeds denkstappen gezet, deze worden expliciet benoemd door zowel de docent als de leerlingen. Na het analyseren en integreren van de verschillende oplossingsmethoden voor kwadratische en hogeregraadsvergelijkingen wordt gereflecteerd op de toepasselijkheid van de drie gereedschappen voor het tekenen ervan: 1. ontbinden in factoren: 2. algemene formule met termen: 3. de abc-formule / kwadraatafsplitsing: het bepalen van nulpunt(en) bepalen complexiteit vorm grafiek het bepalen van extreme waarde(n) Voor het toepassen en oefenen zijn opgaven opgenomen in Bijlage B9. Leerlingen kunnen in groepjes van 4 aan de opgave werken, het spiegelen ronde de x-as en de y-as is nog nieuw voor ze, de kunst is om antwoorden te vinden door een goed plan van aanpak te maken, door vragen te stellen en denkstappen te maken. Antwoorden oefenopgave Bijlage B9: a. Deze derdegraads functie is het product van drie eerstegraadsfuncties b. Neem punt (0,-5), invullen in de functei levert a=1/3 c. Alle waarden van y wisselen van teken, = ( 1)( 3)( 5) d. Nulpunten komen op = 1, = 3, = 5, dus: = ( +1)( +3)( +5) e. Nulpunten komen op = 2, =0, =2, dus: = ( +2)( 2) Leestip - How to Solve It, G. Pólya, 1945, Princeton University Press Leerlingenmateriaal Bijlage B1: Vragenlijst Polya Bijlage B2: Opgaven 1 2 grafieken Bijlage B3: Opgaven 3 4 grafieken bijlage B4: Opgaven 5 6 grafieken bijlage B5: Opgaven 7 8 grafieken bijlage B6: Toets 1 en Toets 2 bijlage B7: Kwadraatafsplitsen bijlage B8: Antwoorden Toets1 en Toets2 bijlage B8: Oefenopgave derdegraadsfunctie 12

13 Bijlage B1 13

14 Bijlage B2 14

15 Bijlage B3 15

16 Bijlage B4 16

17 Bijlage B5 17

18 Bijlage B6 18

19 19

20 20

21 Bijlage B7 21

22 Bijlage B8 22

23 Bijlage B9 23