Congruentie. Dit heb je nodig leerwerkboek p oefenboek nr geodriehoek passer groene en rode pen kleurpotloden
|
|
- Antoon van der Wal
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 4 ongruentie it kun je al 1 een figuur spiegelen, verschuiven of draaien de eigenschappen herkennen van de verschuiving, de spiegeling en de draaiing 3 de middelloodlijn en de bissectrice van een hoek tekenen met de geodriehoek 4 de afstand bepalen tussen twee punten en van een punt tot een rechte 5 hoeken berekenen met de hoekensom Test jezelf lke vraag heeft maar één juist antwoord. ontroleer je antwoord in de correctiesleutel. chter elke vraag staat een verwijzing naar extra oefeningen in je oefenboek of je vademecum. 1 Hoe wordt figuur afgebeeld op figuur? Verder oefenen? s r (O, 180 ) (fig. ) = fig. t a (fig. ) = fig. (fig. ) = fig. oef. nr. 610 Y fig. o a fig. Y Wat is geen eigenschap van de spiegeling? 3 In welke driehoek is m de middelloodlijn van een zijde? e grootte van de hoek blijft behouden. m e lengte van een lijnstuk blijft behouden. m e oriëntatie van de hoeken blijft behouden. m oef. nr. 63 ad 4 Hoe bepaal je de afstand van het punt S tot de rechte k? S S S ad 5 ereken als je weet dat = 35 k k k = 55 = 145 = 65 oef nr. 75 it heb je nodig leerwerkboek p oefenboek nr geodriehoek passer groene en rode pen kleurpotloden Inhoud M0 ongruente figuren p. 74 M1 ongruente driehoeken p. 76 M ewijzen met congruente driehoeken p. 8 M3 igenschap en constructie van de middelloodlijn van een lijnstuk p. 86 M4 igenschap en constructie van de bissectrice van een hoek p. 88 M5 ewijs: de eigenschap van de middelloodlijn van een lijnstuk p. 90 M6 ewijs: de eigenschap van de bissectrice van een hoek p
2 M0 ongruente figuren a Op verkenning ongruente figuren Welke figuur is een spiegelbeeld van figuur 1? iguur... Teken de spiegelas en noem ze a. Welke figuur is een schuifbeeld van figuur 1? iguur 3... Teken een verschuivingsvector en noem deze Y. Welke figuur is een draaibeeld van figuur 3? iguur 4... Teken het centrum O van deze draaiing. Hebben deze vier figuren dezelfde vorm en dezelfde grootte? Ja... Waaruit kun je dit met zekerheid afleiden? 1 3 ij de spiegeling, de verschuiving en de draaiing blijft de vorm en de grootte behouden Kun je figuur 1 door een spiegeling, een verschuiving of een draaiing afbeelden op figuur 5? Waarom (niet)? Neen, de figuren zijn niet even groot en een spiegeling, een verschuiving of een draaiing behoudt de lengte... van de zijden en de grootte van de hoeken. e figuren zijn wel gelijkvormig, niet congruent.... a 5 4 O Y lke figuur, behalve figuur 5, heeft dezelfde vorm en dezelfde grootte als haar beeld. ls je de figuur en het beeld zou uitknippen en op elkaar zou leggen, dan zouden ze elkaar volledig bedekken. iguren die precies op elkaar passen, zijn congruente figuren. Weetje ongruent komt van het Latijnse woord congruere dat overeenstemmen betekent. INITI Wiskundetaal definitie ongruente figuren zijn figuren die door een spiegeling, een verschuiving, een draaiing (of een samenstelling ervan) op elkaar kunnen worden afgebeeld. ongruente figuren hebben dezelfde vorm en dezelfde grootte. 1 figuur 1 figuur lees je als figuur 1 is congruent met figuur. ONTROL 4 Zijn de figuren congruent? Verklaar. = ~ Neen, de cirkels kunnen niet op elkaar worden afgebeeld. Ja, de letters kunnen door een puntspiegeling of draaiing op elkaar worden afgebeeld. 74 ongruentie
3 b ongruente veelhoeken Kun je trapezium afbeelden op trapezium KLMN Ja door een spiegeling?... Teken de spiegelas a. Welke eigenschappen blijven behouden bij het spiegelen?... e spiegeling behoudt de lengte van een... lijnstuk, de grootte van een hoek, de vorm... en de grootte van een vierhoek, de onderlinge ligging van rechten.... Zijn deze trapeziums congruent?... Welke hoek uit trapezium KLMN is het spiegelbeeld van?... M en M noem je overeenkomstige hoeken. Geef de overeenkomstige zijde van [].... [KL] Ja N K L M a GRIPPN IGNSHP SPRK Wiskundetaal begrippen en eigenschappen ongruente veelhoeken zijn congruente figuren. In congruente veelhoeken zijn overeenkomstige zijden of overeenkomstige hoeken de zijden en de hoeken die op elkaar worden afgebeeld door een verschuiving, een spiegeling of een draaiing. (of een samenstelling ervan). In congruente veelhoeken zijn alle overeenkomstige zijden even lang en alle overeenkomstige hoeken even groot. In congruente veelhoeken noteer je altijd de overeenkomstige hoekpunten in dezelfde volgorde. Δ Δ GH [] en [] zijn overeenkomstige zijden. en zijn overeenkomstige hoeken. G H Oefeningen 1 Welke figuren zijn congruent? Verklaar. Gebruik de juiste notatie. vierkant... 1 ~ = vierkant 7 driehoek... 5 ~ = driehoek 6 vierkant... ~ = vierkant 3 ~ = vierkant 4 ~ = vierkant... 9 ~ = vierkant 10 rechthoek... 8 ~ = rechthoek 11 lke... figuur is congruent met zichzelf. ef. congruente driehoeken WR? MR? Wat moet je kunnen? congruente figuren herkennen congruente figuren tekenen congruente figuren definiëren elke figuur is congruent met zichzelf def. congruente driehoeken 75
4 M1 ongruente driehoeken Op verkenning riehoek is congruent met driehoek. Vul aan. =... =... =... Ê =... =... =... IGNSHP igenschap congruente driehoeken ongruente driehoeken zijn driehoeken waarvan alle overeenkomstige zijden even lang zijn en alle overeenkomstige hoeken even groot. Δ ΔPQR = PQ = P = PR = Q = QR = R 3 4 Δ ΔQRP Moet je telkens al deze gelijkheden gebruiken om een driehoek te tekenen die congruent is met een gegeven driehoek? Onderzoek. Werkwijze: Je neemt de begindriehoek. Je tracht telkens een driehoek te tekenen die voldoet aan de gegeven gelijkheid (of gelijkheden), maar die niet congruent is met de begindriehoek. ontroleer je tekening met de transparante begindriehoek. 3,5 R 3,5 P 4 3 Q a 1 gelijkheid = = Mag je besluiten dat twee driehoeken congruent zijn als: Neen Neen 1 paar zijden even lang is?... 1 paar hoeken even groot is? ongruentie
5 b gelijkheden = en = = en = = en = Mag je besluiten dat twee driehoeken congruent zijn als: Neen Neen Neen 1 paar zijden even lang en 1 paar hoeken even groot zijn?... paar zijden even lang zijn?... paar hoeken even groot zijn?... c 3 gelijkheden 3 paar hoeken of 3 paar zijden = en = en = = en = en = Gebruik hiervoor je passer. Mag je besluiten dat twee driehoeken congruent zijn als ze: 3 paar hoeken hebben, die even groot zijn?... 3 paar zijden hebben, die even lang zijn?... paar hoeken en 1 paar zijden Hoe kun je de zijde tekenen ten opzichte van de gegeven hoeken? Neen Ja e zijde ligt tussen de hoeken of de zijde ligt niet tussen de hoeken.... = en = en = 77
6 M1 ongruente driehoeken (vervolg) ls je van twee hoeken in een driehoek de hoekgrootte kent, wat weet je dan over de grootte van de derde hoek? e som van de hoeken in een driehoek is Stel dat je in de vorige tekening de zijde niet tussen de hoeken tekent, kun je dan een driehoek tekenen die niet congruent is met driehoek? Neen.... Leg dit uit. ls je twee hoeken kent, ken je ook de derde hoek.... Mag je besluiten dat twee driehoeken congruent zijn als ze: paar hoeken hebben, die even groot zijn en als de ingesloten zijde even lang is?... paar hoeken hebben, die even groot zijn als de aanliggende zijde even lang is?... paar zijden en 1 paar hoeken Hoe kun je de hoek tekenen ten opzichte van de gegeven zijden? e hoek ligt tussen de zijden of de hoek ligt niet tussen de zijden.... = en = en = = en = en = Ja Ja Mag je besluiten dat twee driehoeken congruent zijn als ze: Ja Neen paar zijden hebben, die even lang zijn en de ingesloten hoek even groot is?... paar zijden hebben, die even lang zijn en als een aanliggende hoek even groot is?... Wat als hoek recht is? Kun je een rechthoekige driehoek tekenen die niet congruent is met driehoek als je paar zijden even lang neemt?... Neen Je ontdekte dat drie goed gekozen gelijkheden voldoende zijn om aan te tonen dat twee driehoeken congruent zijn. eze drie gelijkheden vormen een congruentiekenmerk. 78 ongruentie
7 Wiskundetaal congruentiekenmerken voor driehoeken Twee driehoeken zijn congruent als volgende elementen even groot zijn: Notatie: de drie zijden ZZZ Weetje HHH is geen congruentiekenmerk. een zijde en twee hoeken HZH ZHH HHZ Weetje twee zijden en de ingesloten hoek HZZ of ZZH zijn geen congruentiekenmerken, tenzij de hoek 90 is. twee zijden en een rechte hoek tegenover één van die zijden ZHZ ZZ90 Oefeningen Zijn de driehoeken congruent? Verklaar met een congruentiekenmerk. a b c WR? MR? Ja, ZZZ Neen, ZZH is geen congruentiekenmerk Teken een driehoek congruent met de gegeven driehoek en gebruik het kenmerk ZHZ. uid het congruentiekenmerk aan op de figuur. Ja, ZZ90 WR? 801 MR? r zijn verschillende oplossingen mogelijk afhankelijk van de zijden die je hebt gekozen. 79
8 M1 ongruente driehoeken (vervolg) WR? 804 MR? Verdeel de figuur telkens in twee congruente driehoeken. Noteer de congruente driehoeken. Noteer het congruentiekenmerk. a b c WR? Teken driehoek met = 60 en = 70. Teken driehoek als je weet dat Δ Δ. Δ ~... = Δ ZZZ Δ ~... = Δ Δ ~... = Δ ZZZ ZZZ, ZZ90, ZHZ MR? WR? 810 MR? Zijn de gegeven driehoeken congruent? Indien ja, noteer het congruentiekenmerk en noteer de driehoeken volgens overeenkomstige zijden. Indien neen, verklaar. a Voor Δ en Δ geldt: = = = Kenmerk ZZZ Δ ~ = Δ 80 ongruentie
9 b // TU T U Voor Δ en ΔSTU geldt: = TS = T = U = 90 S Kenmerk ZHH Δ ~ = ΔSTU G K L M Voor ΔG en ΔKLM geldt: G = KL G = LM = K Je kunt niet met zekerheid zeggen dat ΔG ~ = ΔKLM omdat ZZH geen congruentiekenmerk is. d S T U = R Voor ΔRS en ΔUT geldt: Â = Â Ŝ = T = 90 R = U U R Kenmerk HHZ ΔRS ~ = ΔUT e Voor Δ en Δ geldt: = = Ĉ = Ê = 90 Kenmerk ZZ90 Δ ~ = Δ Wat moet je kunnen? congruentiekenmerken van driehoeken formuleren congruentiekenmerken van driehoeken herkennen congruentiekenmerken van driehoeken illustreren door een tekening 81
10 M ewijzen met congruente driehoeken Op verkenning In de tweede eeuw na hristus bedacht de Romeinse landmeter Marcus Nipsus een methode om de breedte van een rivier te bepalen zonder die rivier te moeten oversteken. Vanuit een punt kiest hij, loodrecht op de oever, aan de overkant een herkenningspunt (bv. de boom in het punt ). Hij zet een paaltje in het punt, stapt 0 passen verder langs de oever en plaatst in het punt een tweede paaltje. Hij stapt nog eens 0 passen verder tot in het punt en plaatst er een derde paaltje. Vanuit gaat hij loodrecht van de oever weg tot hij en op één rechte lijn ziet. it punt noemt hij. Hij beweert dat de lengte van [] even lang is als de breedte van de rivier. Heeft Marcus Nipsus gelijk? STP 1 STP Verkennen Wat weet je zeker? uid dit in het groen aan op de derde tekening. - e afstanden van tot en van tot zijn gelijk. - e hoeken en zijn beiden Wat wordt er beweerd? uid dit in het rood aan op de derde tekening. e afstand van tot is gelijk aan de afstand van tot.... nalyseren: vooruitdenken terugdenken een plan maken 1 vraag antwoord verklaring Wat is gegeven? Noteer dit in symbolen. uid in het groen aan op de figuur. Wat moet je bewijzen? Noteer dit in symbolen. uid wat bewezen moet worden in het rood aan op de figuur. = = = 90 = 8 ongruentie
11 Noteer en kleur de driehoeken waarvan je vermoedt dat ze congruent zijn, elk in een andere kleur. Kun je op de figuur nog zijden of hoeken vinden waarvan je zeker weet dat ze even groot of even lang zijn? enk aan vroegere eigenschappen. Omcirkel het congruentiekenmerk dat je kunt gebruiken. Noteer de gelijkheden. Wat mag je nu besluiten? Had Marcus Nipsus gelijk? Δ en Δ Ĉ 1 = Ĉ ZHZ ZZZ HZH ZHH ZZ90 H = = 90 Z = H Ĉ 1 = Ĉ Δ ~ = Δ = Overstaande hoeken zijn even groot. Je kent twee hoeken en de tussenliggende zijde. Gegeven Gegeven ig. overstaande hoeken ls twee driehoeken congruent zijn, dan zijn alle overeenkomstige zijden even lang. Marcus Nipsus had dus gelijk. STP 3 ewijs ewijs congruente driehoeken Gegeven: = = = 90 1 Te bewijzen: = ewijs: Voor Δ en Δ geldt: H = = 90 (gegeven) Z = (gegeven) H 1 = (eig. overstaande hoeken) HZH Δ Δ ig. overeenkomstige zijden in congruente driehoeken = Weetje In een bewijs met congruente driehoeken noteer je alle elementen van de ene driehoek links van het gelijkheidsteken. e elementen van de andere driehoek noteer je rechts van het gelijkheidsteken. e congruentiekenmerken van driehoeken kun je vaak gebruiken om aan te tonen dat in een figuur twee lijnstukken even lang of twee hoeken even groot zijn. 83
12 M ewijzen met congruente driehoeken (vervolg) Oefeningen WR? MR? ewijs dat je de vlieger kunt opsplitsen in twee congruente driehoeken en. Wat weet je nu over en? Verklaar. is een vlieger Gegeven: Δ ~ = Δ Te bewijzen:... ewijs: Verbind de punten en. Zo bekom je de driehoeken... en.... Voor Δ... en Δ... geldt: Z = (def. vlieger) Z = (def. vlieger) Z = (gemeenschappelijke zijde) ZZZ Δ ~ = Δ = ig. Overeenkomstige hoeken in congruente driehoeken. WR? MR? ewijs via congruentie dat in de onderstaande figuur M = M. M Gegeven: M = M = Â = = 90 Te bewijzen: M = M ewijs: Voor ΔM en ΔM geldt: Z = (gegeven) H Â = = 90 (gegeven) Z M = M (gegeven) ZHZ ΔM ~ = ΔM ig. Overeenkomstige zijden in congruente driehoeken M = M 84 ongruentie
13 9 Toon aan dat het grondvlak en het bovenvlak van dit driezijdig prisma congruent zijn. Gegeven: Prisma met grondvlak Δ en bovenvlak Δ Te bewijzen: Δ Δ WR? 830 MR? Verkenning: e zijvlakken van een prisma zijn parallellogrammen (def. prisma). e overstaande zijden zijn dus steeds even lang. Je duidt dit aan in het groen op de figuur. r wordt beweerd dat de twee driehoeken congruent zijn. nalyseren: Uit het gegeven leer je dat =, = en =. Te bewijzen is dat Δ ~ = Δ. ls je deze driehoeken inkleurt, zie je al dat de drie overeenkomstige zijden even lang zijn. Het congruentiekenmerk is dus ZZZ. ewijs: Voor Δ en Δ geldt: Z = (in een parallellogram zijn de overstaande zijden even lang) Z = (in een parallellogram zijn de overstaande zijden even lang) Z = (in een parallellogram zijn de overstaande zijden even lang) ZZZ Δ ~ = Δ Wat moet je kunnen? congruentie van driehoeken bewijzen aan de hand van de congruentiekenmerken gelijke lengten van lijnstukken en gelijke grootte van hoeken bewijzen aan de hand van de congruentiekenmerken van driehoeken 85
14 M3 igenschap en constructie van de middelloodlijn van een lijnstuk Op verkenning a igenschap van de middelloodlijn van een lijnstuk Phoebe en Robinah hebben elk een schooltje in een dorp in frika. Je belooft hen te helpen om een waterput te bouwen die langs de weg ligt maar die ook even ver ligt van het schooltje van Phoebe (punt P) en het schooltje van Robinah (punt R). Waar bouw je de waterput? Teken de afstand tussen het schooltje in P en het schooltje in R in vogelvlucht. Snijdt de weg dit lijnstuk in het midden?... onstrueer een punt op 4 cm van P en R en een punt op 3 cm van P en R. Teken een rechte m door de punten en. de middelloodlijn Neen m is... van [PR]. Teken nog twee verschillende punten op de rechte m. Liggen deze punten op gelijke afstand van P en R?... Teken twee verschillende punten die niet op de rechte m liggen. Liggen deze punten op gelijke afstand van P en R?... Waar denk je dat de punten moeten liggen opdat de afstanden tot de punten P en R gelijk zouden zijn?... epaal de plaats waar je de waterput gaat bouwen. Ja Neen e punten moeten op de middelloodlijn van [PR] liggen. P Weetje e afstand in vogelvlucht is de kortste afstand tussen twee punten. m waterput R igenschap middelloodlijn van een lijnstuk en punt ligt op de middelloodlijn van een lijnstuk a.s.a. het punt op gelijke afstand ligt van de grenspunten van het lijnstuk. Z is een punt op de middelloodlijn m van [Y]. Z = ZY m Z Het bewijs van deze eigenschap vind je in les M5. M Y b onstructie van de middelloodlijn van een lijnstuk Welke eigenschap hebben de punten die op de middelloodlijn van [] liggen? Ze liggen op gelijke afstand van de grenspunten van dat lijnstuk.... Met een passer Hoe kun je gelijke afstanden bepalen zonder te meten?... Twee Hoeveel punten heb je nodig om een rechte te kunnen tekenen? ongruentie
15 Stappenplan een middelloodlijn van een lijnstuk construeren Neem een passeropening groter dan de helft van []. onstrueer twee cirkelboogjes met middelpunten en, en met dezelfde straal. uid de twee snijpunten P en Q aan die je bekomt. P Teken door de snijpunten P en Q de rechte m. eze rechte is de middelloodlijn van []. Q m P Plaats de nodige merktekens. Q Het bewijs van de contructie van de middelloodlijn vind je in het oefenboek: oef Oefeningen WR? Verdeel [Y] in twee even lange lijnstukken. 11 onstrueer alle punten die even ver liggen van Gebruik alleen passer en liniaal. en. WR? MR? m MR? d M Y Wat moet je kunnen? de eigenschap van de middelloodlijn van een lijnstuk verwoorden de eigenschap van de middelloodlijn van een lijnstuk toepassen de middelloodlijn van een lijnstuk met de passer construeren 87
16 M4 igenschap en constructie van de bissectrice van een hoek Op verkenning a igenschap van de bissectrice van een hoek en houtfabriek wil zich vestigen in de buurt van twee belangrijke autosnelwegen. Vier vestigingsplaatsen komen in aanmerking. Welke vestigingsplaats ligt even ver van de twee snelwegen? Hoe meet je de afstand van een punt tot een rechte? e afstand van een punt tot een rechte is de afstand van dat punt... tot het voetpunt van de loodlijn uit dat punt op die rechte. Meet telkens de afstand van de punten tot de benen van de hoek. Wat stel je vast voor:... punt? e... afstanden van tot de benen zijn verschillend. punt? e... afstanden van tot de benen zijn verschillend. punt? e... afstanden van tot de benen zijn gelijk. punt? e... afstanden van tot de benen zijn gelijk. Teken in het groen door en een rechte b. Wat is b van de hoek? Wat vermoed je? e rechte b is de bissectrice van de hoek.... Wat denk je over de punten die op b liggen? e punten op de bissectrice b liggen op gelijke afstanden van de benen van de hoek.... b igenschap de bissectrice van een hoek en punt ligt op de bissectrice van een hoek P is een punt op de bissectrice b van. a.s.a. b P het punt op gelijke afstand ligt van de benen van de hoek. d( P,[ ) = d( P,[ ) Het bewijs van deze eigenschap vind je in je oefenboek: oef b onstructie van de bissectrice van een hoek Welke punten liggen op de deellijn van? lle punten die op gelijke afstand liggen van de benen van Â.... Hoe bepaal je de afstand van een punt tot de benen van een hoek? oor een loodlijn te tekenen vanuit dat punt op de benen van de hoek.... Wat weet je van de afstanden van de voetpunten van die loodlijnen tot het hoekpunt? ie afstanden zijn gelijk.... Hoe kun je gelijke afstanden bepalen zonder te meten? Met een passer.... Stappenplan een bisscetrice van een hoek construeren onstrueer een cirkelboog door elk been met als middelpunt en een willekeurige straal. 88 ongruentie
17 uid de twee snijpunten en Y aan die de cirkelboogjes maken met de benen van hoek. Y Teken in en Y telkens een cirkelboog met dezelfde straal. eze cirkelbogen snijden in het punt Z. Z Y Teken de rechte door Z en het hoekpunt. eze rechte is de bissectrice van. Z Plaats de nodige merktekens. Het bewijs van deze constructie vind je in het oefenboek: oef Y Oefeningen 1 onstrueer alle punten die even ver liggen van de benen van hoek. WR? b MR? onstrueer alle bissectrices van de snijdende rechten a en b. a Hoeveel hoeken vormen twee snijdende rechten?... b Hoeveel bissectrices heb je getekend?... c Wat stel je vast? e bissectrices van de overstaande hoeken vallen samen omdat de overstaande hoeken even groot zijn. d Wat is op deze tekening de onderlinge ligging van de twee bissectrices? e bissectrices staan loodrecht op elkaar. a Vier c d Twee (want bissectrices vallen samen) WR? 858 MR? Wat moet je kunnen? de eigenschap van de bissectrice van een hoek verwoorden de eigenschap van de bissectrice van een hoek toepassen de bissectrice van een hoek met de passer construeren b 89
18 M5 ewijs: de eigenschap van de middelloodlijn van een en lijnstuk Op verkenning igenschap de middelloodlijn van een lijnstuk en punt ligt op de middelloodlijn van een lijnstuk Z is een punt op de middelloodlijn m van [Y]. Z m a.s.a. het punt op gelijke afstand ligt van de grenspunten van het lijnstuk. Z = ZY M Y STP 1 Verkennen Vul aan. In de eigenschap zie je een dubbele pijl. it betekent... dat de eigenschap uit twee delen bestaat. eel1: ls een punt op de middelloodlijn van een lijnstuk ligt, dan zijn de afstanden van dat punt tot de grenspunten van het lijnstuk gelijk.... Noteer voor deel 1 het gegeven. en punt ligt op de middelloodlijn van een lijnstuk.... Noteer voor deel 1 het te bewijzen. e afstanden van dat punt tot de grenspunten van het lijnstuk zijn gelijk.... eel: ls een punt op gelijke afstand ligt van de grenspunten van een lijnstuk, dan ligt dat punt op de middelloodlijn van het lijnstuk.... Noteer voor deel het gegeven. e afstanden van een punt tot de grenspunten van een lijnstuk zijn gelijk.... Noteer voor deel het te bewijzen. Het punt ligt op de middelloodlijn van het lijnstuk.... Je bewijst eerst deel 1 (basis) en dan deel (verdieping). L 1 eigenschap ls een punt op de middelloodlijn van een lijnstuk ligt, dan zijn de afstanden van dat punt tot de grenspunten van het lijnstuk gelijk STP nalyseren: vooruitdenken terugdenken een plan maken m Z Weetje Punt Z ligt op de middelloodlijn m en kun je symbolisch noteren als Z m, want m is een rechte en dus een verzameling van punten. Z is een element van deze verzameling. 1 M Y 90 ongruentie
19 vraag antwoord verklaring Wat is gegeven? Noteer dit in symbolen. uid het gegeven in het groen aan op de figuur. m is de middelloodlijn van [Y]. Z ligt op m Wat moet je bewijzen? Noteer dit in symbolen. uid wat bewezen moet worden in het rood aan op de figuur. Hoe kun je bewijzen dat afstanden gelijk zijn? Noteer en kleur de driehoeken waarvan je vermoedt dat ze congruent zijn, elk in een andere kleur. Welk congruentiekenmerk kun je gebruiken? Noteer de gelijkheden. Is dit wat je moet bewijzen? Indien niet, welke stap moet je nog zetten? Z = YZ Via congruente driehoeken Δ ZM en Δ YZM ZHZ Z M = YM H M 1 = M = 90 Z ZM = ZM ΔZM ~ = ΔZMY Neen In congruente driehoeken zijn de overeenkomstige zijden even lang. def. middelloodlijn def. middelloodlijn Gemeensch. zijde e even lange overeenkomstige zijden kun je afleiden uit de congruente driehoeken. STP 3 ewijs ewijs eigenschap van de middelloodlijn van een lijnstuk (deel 1) ls een punt op de middelloodlijn van een lijnstuk ligt, dan zijn de afstanden van dat punt tot de grenspunten van het lijnstuk gelijk. Gegeven: m is de middelloodlijn van [Y]. Z is een punt van de middelloodlijn m (Z m). Z m Te bewijzen: Z = ZY ewijs: Voor ΔZM en ΔYZM geldt: Z M = YM (def. middelloodlijn) H M 1 = M = 90 (def. middelloodlijn) Z ZM = ZM (gemeenschappelijke zijde) 1 M Y ZHZ ΔZM ΔYZM ig. overeenkomstige zijden in congruente driehoeken Z = ZY 91
20 M5 ewijs: de eigenschap van de middelloodlijn van een lijnstuk (vervolg) L eigenschap ls een punt op gelijke afstanden ligt van de grenspunten van een lijnstuk, dan ligt dat punt op de middelloodlijn van het lijnstuk STP nalyseren: vooruitdenken terugdenken een plan maken m Z 1 M Y vraag antwoord verklaring Wat is gegeven? Noteer dit in symbolen. uid het gegeven in het groen aan op de figuur. Wat moet je bewijzen? Noteer dit in symbolen. Welke bijzondere rechte m verdeelt de driehoek in twee driehoeken waarvan je vermoedt dat ze congruent zijn? Je hebt verschillende mogelijkheden. Teken m en noem M het snijpunt met [Y]. Wat weet je nu nog meer door deze tekening? Welk congruentiekenmerk kun je gebruiken? Noteer de gelijkheden. Is dit wat je moet bewijzen? Indien niet, welke stap moet je nog zetten? [Y] Z = ZY Z is een punt van de middelloodlijn m van [Y]. e hoogtelijn m uit Z met voetpunt M dus m = ZM ZM = ZM M 1 = M = 90 ZZ90 Z Z = ZY Z ZM = ZM 90 M 1 = M ΔZM ~ = ΔZMY M = YM oor de hoogtelijn krijg je twee driehoeken die een zijde gemeenschappelijk hebben en elk een rechte hoek hebben. Gegeven Gemeensch. zijde ef. hoogtelijn Uit de congruentie kun je andere gelijkheden afleiden: ZM snijdt [Y] in het midden en staat loodrecht op [Y] bijgevolg is ZM de middelloodlijn van [Y]. 9 ongruentie
21 STP 3 ewijs ewijs eigenschap van de middelloodlijn (deel verdieping) ls een punt op gelijke afstanden ligt van de grenspunten van een lijnstuk, dan ligt dat punt op de middelloodlijn van het lijnstuk. Gegeven: [Y] m Z = ZY Z 1 M Y Te bewijzen: Z is een punt van m (Z m), met rechte m de middelloodlijn van [Y]. ewijs: Je hebt drie mogelijkheden: v. 1 Je gebruikt in de driehoek de hoogtelijn uit Z. ZM is een hoogtelijn M is het snijpunt van ZM en Y. Voor ΔZM en ΔYZM geldt: Z Z = ZY (gegeven) Z ZM = ZM (gemeenschappelijke zijde) H M 1 = M = 90 (def. hoogtelijn) ZZ90 ΔZM ΔYZM M = MY ig. overeenkomstige zijden in congruente driehoeken ef. zwaartelijn m is de zwaartelijn uit Z op [Y] Uit & volgt: ZM is de middel - loodlijn van [Y]. Wat moet je kunnen? de eigenschap van de middelloodlijn van een lijnstuk bewijzen 93
22 M6 ewijs: de eigenschap van de bissectrice van een hoek Op verkenning igenschap de bissectrice van een hoek en punt ligt op de bissectrice van een hoek P is een punt op de bissectrice b van. a.s.a. het punt op gelijke afstand ligt van de benen van de hoek. d( P,[ ) = d( P,[ ) b P STP 1 Verkennen Vul aan. In de eigenschap zie je een dubbele pijl. it betekent... dat de eigenschap uit twee delen bestaat. eel 1: ls een punt op de bissectrice van een hoek ligt, dan zijn de afstanden van dat punt tot de benen van de hoek gelijk.... Noteer voor deel 1 het gegeven. en punt ligt op de bissectrice van een hoek.... Noteer voor deel 1 het te bewijzen. e afstanden van dat punt tot de benen van de hoek zijn gelijk.... eel : ls een punt op gelijke afstand ligt van de benen van een hoek, dan ligt dat punt op de bissectrice van de hoek.... Noteer voor deel het gegeven. e afstanden van een punt tot de benen van een hoek zijn gelijk.... Noteer voor deel het te bewijzen. Het punt ligt op de bissectrice van de hoek.... L 1 STP Je bewijst eerst deel 1 (basis) en dan deel (verdieping). eigenschap ls een punt op de bissectrice van een hoek ligt, dan zijn de afstanden van dat punt tot de benen van de hoek gelijk nalyseren: vooruitdenken terugdenken een plan maken 1 P vraag antwoord verklaring Wat is gegeven? Noteer dit in symbolen. uid het gegeven in het groen aan op de figuur. Wat moet je bewijzen? Noteer dit in symbolen. uid wat bewezen moet worden in het rood aan op de figuur. b is de bissectrice van hoek. P ligt op b (P b). Â 1 = Â d(p, [) = d(p, [) 94 ongruentie
23 Hoe kun je bewijzen dat afstanden gelijk zijn? Noteer en kleur de driehoeken waarvan je vermoedt dat ze congruent zijn, elk in een andere kleur. Zijn er in deze driehoeken nog zijden die even lang zijn of hoeken waarvan je weet dat ze even groot zijn? Welk congruentiekenmerk kun je gebruiken? Noteer de gelijkheden. Is dit wat je moet bewijzen? Indien niet, welke stap moet je nog zetten? Via congruente driehoeken Δ P en Δ P = Ĉ = 90 P = P HHZ H = Ĉ = 90 H Â 1 = Â Z P = P ΔP ~ = P Neen. In congruente driehoeken zijn de overeenkomstige zijden even lang. ef. afstand van een punt tot een rechte Gemeensch. zijde ef. afstand van een punt tot een rechte ef. bissectrice Gemeensch. zijde Uit de congruente driehoeken de gevraagde even lange overeenkomstige zijden afleiden. STP 3 ewijs ewijs eigenschap van de bissectrice van een hoek (deel 1) ls een punt op de bissectrice van een hoek ligt, dan zijn de afstanden van dat punt tot de benen van de hoek gelijk. Gegeven: b is bissectrice van. P is een punt van de bissectrice b (P b) 1 P b Te bewijzen: d( P, [ ) = d( P, [ ) ewijs: Uit P worden loodlijnen getekend op de benen van hoek. e voetpunten noem je en. d( P, [ ) = P d( P, [ ) = P Voor ΔP en ΔP geldt: H = = 90 (def. afstand van een punt tot een rechte) H 1 = (def. bissectrice) Z P = P (gemeenschappelijke zijde) HHZ ΔP ΔP ig. overeenkomstige zijden in congruente driehoeken P = P = = 90 d( P, [ ) = d( P, [ ) ef. afstand punt rechte 95
24 M6 ewijs: de eigenschap van de bissectrice van een hoek (vervolg) L eigenschap ls een punt op gelijke afstand ligt van de benen van een hoek, dan ligt dat punt op de bissectrice van een hoek STP nalyseren: vooruitdenken terugdenken een plan maken 1 P vraag antwoord verklaring Wat is gegeven? Noteer dit in symbolen. uid het gegeven in het groen aan op de figuur. Wat moet je bewijzen? Noteer dit in symbolen. Teken de rechte P. Noteer en kleur de driehoeken waarvan je vermoedt dat ze congruent zijn, elk in een andere kleur. Zijn er in deze driehoeken nog zijden die even lang zijn of hoeken die even groot zijn? Welk congruentiekenmerk kun je gebruiken? Noteer de gelijkheden. Is dit wat je moet bewijzen? Indien niet, welke stap moet je nog zetten? d(p, [) = d(p, [) en zijn de voetpunten van de loodlijnen op de benen van hoek, dus P = P P is een punt op de bissectrice b. Â 1 = Â Δ P en Δ P = Ĉ = 90 P = P ZZ90 Z P = P Z P = P 90 = Ĉ = 90 ΔP ~ = ΔP Neen ef. afstand van een punt tot een rechte. Gemeensch. zijde Gegeven ef. afstand van een punt tot een rechte Uit het voorgaande afleiden dat P de bissectrice van is. 96 ongruentie
25 STP 3 ewijs ewijs eigenschap van de bissectrice van een hoek (deel ) ls een punt op gelijke afstand ligt van de benen van een hoek, dan ligt dat punt op de bissectrice van de hoek. Gegeven: hoek b = P d( P, [ ) = d( P, [ ) en zijn de voetpunten van de loodlijnen op de benen van hoek. b 1 P Te bewijzen: P is een punt van de bissectrice b van hoek (P b). 1 = ewijs: Voor ΔP en ΔP geldt: Z P = P (gemeenschappelijke zijde) Z P = P (gegeven) H = = 90 (def. afstand van een punt tot een rechte) ZZ90 ΔP ΔP ig. overeenkomstige hoeken in congruente driehoeken 1 = P ligt op de bissectrice b van hoek. Oefeningen 14 e bissectrices c en d van snijdende rechten a en b staan steeds loodrecht op elkaar. ewijs dit. Verkenning:... Welke meetkundige elementen? issectrices van snijdende rechten.... In het snijpunt vind je 4 hoeken. Gegeven:... a b c en d zijn bissectrices Te... bewijzen: c d ewijs:... M is het snijpunt van a en b.... M 1 + M = 180 (def. nevenhoeken) d M 1 a c WR? MR? c is biss. v. M 1 d is bissectr. v. M 1 M M = " " is distr. t.o.v. " + " in q [ M 1 + M ] = def. loodrechte stand. c d b Wat moet je kunnen? de eigenschap van de bissectrice van een hoek bewijzen 97
26 Problemsolving 1 en aantal ringen wordt geschakeld tot een ketting als in de figuur. e totale lengte van de ketting is 1,7 m. Uit hoeveel ringen bestaat de ketting? cm 3 cm 1,7 m ij één schakel is de totale diameter 6 cm. Vanaf de tweede schakel komt er telkens 4 cm bij (6 cm tweemaal de dikte van de ring). Plaats de gegevens in de tabel en zo ontdek je regelmaat. n n (170 ) : 4 = 4 lengte in cm 6 cm 10 cm 14 cm 18 cm 4n Hieronder zijn een aantal ontwikkelingen van een kubus getekend. Welke ontwikkelingen zijn congruent? iguur 1 en figuur 3 ig. 3 is spiegelbeeld van fig. 1. iguur en figuur 6 ig. is combinatie van draaibeeld (over een hoek van 90 ) en spiegelbeeld van fig. 6. iguur 3 en figuur 4 ig. 3 is draaibeeld (over een hoek van 90 ) van fig. 1. iguur 1 en figuur 4 ig. 4 is combinatie van draaibeeld (over een hoek van 90 ) en spiegelbeeld van fig e diameter Y van de cirkel is 10 cm. Hoe lang is de omtrek van de groene figuur? a = 5 cm (de helft van de middellijn) a =,5 cm Totale omtrek van de figuur is 8a. 8a = 8,5 cm = 0 cm Y... 4 Hoeveel procent van de volledige figuur is grijs gekleurd? ls je de grijze cirkelsectoren naar binnen plooit, dan wordt het binnenste vierkant helemaal met grijs gevuld. Het binnenste grijze vierkant is 1 van de totale oppervlakte. ijgevolg is 4 1 = 5 % van het oppervlak grijs 4 gekleurd problemsolving
Eigenschappen van driehoeken
5 igenschappen van driehoeken it kun je al een hoek meten de verschillende soorten driehoeken definiëren 3 de verschillende soorten hoeken definiëren 4 de eigenschappen van de verschillende soorten hoeken
Nadere informatieINHOUDSTABEL. 1. TRANSFORMATIES (fiche 1) SYMMETRIE (fiche 2) MERKWAARDIGE LIJNEN IN EEN DRIEHOEK (fiche 3)...6
INHOUDSTBEL 1. TRNSFORMTIES (fiche 1)...3 2. SYMMETRIE (fiche 2)...4 3. MERKWRDIGE LIJNEN IN EEN DRIEHOEK (fiche 3)...6 4. VLKKE FIGUREN: DRIEHOEKEN (fiche 4)...7 5. VLKKE FIGUREN: BIJZONDERE VIERHOEKEN
Nadere informatieOverzicht eigenschappen en formules meetkunde
Overzicht eigenschappen en formules meetkunde xioma s Rechten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken 5 e cirkel 6 Veelhoeken 7 nalytische meetkunde Op de volgende bladzijden vind je de eigenschappen en formules
Nadere informatieDriehoeken. 18 m 2 18 dm 2 90 dm 2 oef. 694. 24 dm 3 96 dm 3 240 dm 3 oef. 704
4 riehoeken it kun je al 1 ruimtefiguren herkennen hoeken meten en tekenen 3 oppervlakte berekenen van vierhoeken 4 volume berekenen van balk en kubus Test jezelf lke vraag heeft maar één juist antwoord.
Nadere informatieVlakke meetkunde. Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting.
Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande hoeken,
Nadere informatieHoofdstuk 2 : VLAKKE FIGUREN
1 / 6 H2 Vlakke figuren Hoofdstuk 2 : VLAKKE FIGUREN 1. Wat moet ik leren? (handboek p. 46-74) 2.1 Herkennen van vlakke figuren In verband met een veelhoek: a) een veelhoek op de juiste wijze benoemen.
Nadere informatieSTELLINGEN & BEWIJZEN 5VWO wiskunde B 1 e versie
STELLINGEN & BEWIJZEN 5VWO wiskunde B 1 e versie Euclides van Alexandrië (ca. 265-200 v.chr.) Thales van Milete (ca. 624 v.chr. - 547 v.chr.) INHOUDSOPGAVE Algemene begrippen..blz. 1-3 - Stelling en bewijs
Nadere informatieLijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen
Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden
Nadere informatieVoorkennis meetkunde (tweede graad)
Voorkennis meetkunde (tweede graad) 1. Vlakke meetkunde Lengten van de zijden en grootte van de hoeken van driehoeken en vierhoeken - De som van de hoeken van een driehoek is 180 - Bij een rechthoekige
Nadere informatieHoofdstuk 5 - Meetkundige plaatsen
oderne wiskunde 9e editie vwo deel Voorkennis: Eigenschappen en ewijzen ladzijde 138 V-1a Gegeven: Driehoek met hoeken :, en Te ewijzen: 180 ewijs: 1 3 Teken lijn door die evenwijdig loopt met : lijn door
Nadere informatieHoofdstuk 5 : De driehoek
Hoofdstuk 5 : De driehoek - 89 1. Congruente figuren Figuren die elkaar volkomen kunnen bedekken noemen we congruente figuren. Congruente figuren hebben dezelfde vorm (~ ) en dezelfde grootte (=). Als
Nadere informatie1 Het midden van een lijnstuk
Inleiding Deze basisconstructies worden aan de leerlingen gegeven in de vorm van werkbladen voor zelfstandig werken. Met behulp van een beginschets van de gegevens en de constructiebeschrijving maken de
Nadere informatieAtheneum Wispelberg - Wispelbergstraat 2-9000 Gent Bijlage - Leerfiche (3 e jaar 5u wiskunde): Meetkunde overzicht
Hoofdstuk 1 : Hoeken -1 - Complementaire hoeken ( boek pag 7) Twee hoeken zijn complementair als... van hun hoekgrootten... is. Supplementaire hoeken ( boek pag 7) Twee hoeken noemen we supplementair als...
Nadere informatieEindexamen wiskunde B vwo 2010 - I
Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande
Nadere informatieVlakke Meetkunde. Les 20 Nadruk verboden 39. Het construeren van figuren
Vlakke Meetkunde. Les 20 Nadruk verboden 39 20,1. De cirkel Het construeren van figuren Een cirkel of cirkelomtrek is een gesloten kromme lijn, waarvan alle punten in hetzelfde vlak liggen en even ver
Nadere informatieBasisconstructies, de werkbladen 1 Het midden van een lijnstuk
Basisconstructies, de werkbladen 1 Het midden van een lijnstuk Basisconstructie 1 Het lijnstuk AB Neem vanuit A een afstand tussen de benen van de passer die wat groter is dan van A tot het geschatte midden
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VWO 2010 tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor elk
Nadere informatieVlakke Meetkunde. Les 1 Congruentie en gelijkvormig
Vlakke Meetkunde Les 1 Congruentie en gelijkvormig (Deze les sluit aan bij het paragraaf 1 van Vlakke Meetkunde van de Wageningse Methode. Vlakke Meetkunde kun je downloaden vanaf de site van de Open Universiteit.
Nadere informatieEindexamen wiskunde B vwo II
Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande
Nadere informatieRuimtelijke oriëntatie: plaats en richting
Ruimtelijke oriëntatie: plaats en richting 1 Lijnen en rechten Hoe kunnen lijnen zijn? gebogen of krom gebroken recht We onthouden: Een rechte is een rechte lijn. c a b Een rechte heeft geen begin- en
Nadere informatiePQS en PRS PS is de bissectrice van ˆP
OEFENINGEN 1 Kleur de figuren die congruent zijn met elkaar in dezelfde kleur. 2 Gegeven: PQS en PRS PS is de bissectrice van ˆP Gevraagd: Zijn de driehoeken congruent? Verklaar. 3 Gegeven: Gevraagd: Is
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VWO 0 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatiewiskunde B vwo 2016-I
wiskunde vwo 06-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte
Nadere informatie2.1 Cirkel en middelloodlijn [1]
2.1 Cirkel en middelloodlijn [1] Hiernaast staat de cirkel met middelpunt M en straal 2½ cm In het kort: (M, 2½ cm) Op de zwarte cirkel liggen alle punten P met PM = 2½ cm In het rode binnengebied liggen
Nadere informatieVl. M. Nadruk verboden 1
Vl. M. Nadruk verboden 1 Opgaven 1. Hoeveel graden, minuten en seconden zijn gelijk aan rechte hoek? van een rechte hoek resp van een 2. Als = 25 13 36, = 37 40 56, = 80 12 8 en = 12 36 25, hoe groot is
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VW 06 tijdvak woensdag 8 mei 3:30-6:30 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. it eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VW 06 tijdvak woensdag 8 mei 3:30-6:30 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. it eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat
Nadere informatie8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [1] Willem-Jan van der Zanden
8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [1] 1 8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [1] Twee evenwijdige lijnen worden gesneden door een derde lijn. De twee rode hoeken (F-hoeken) zijn gelijk.
Nadere informatieVerdieping - De Lijn van Wallace
Verdieping - e Lijn van Wallace ladzijde 4 ac - d Nee, want als ijvooreeld en samenvallen dan geldt = op en = op, dus = = maar dan moet ook S met samenvallen, dus ligt S niet uiten de driehoek en dat is
Nadere informatieHZH: c, α en β ZZR: a, b en β
EETKUNE e hoekpunten van een driehoek of vierhoek geven we met HOOFLETTER aan. Lijnen krijgen een kleine letter en voor hoeken gebruiken we vaak Griekse letters. Het Griekse alfabet begint met de letters
Nadere informatieDiagnostische toets. AMB stelling van de omtrekshoek AMB ˆ ANB. AQB ARB ˆ 180 koordenvierhoekstelling =
P Q M N R l M ˆ N M ˆ N 4M ˆ 4N ZZZ dus M ˆ N ˆ QP ˆ P ˆ M stelling van de omtrekshoek M ˆ N Q R ˆ 80 koordenvierhoekstelling R ˆ N stelling van de omtrekshoek Q PQ ˆ 80 gestrekte hoek Hieruit volgt dat
Nadere informatieExtra oefeningen wiskunde 3lawe 3wet Transformaties, Stelling van Thales, Homothetie. Meetkunde. Transformaties en Stelling van Thales.
Etra oefeningen wiskunde 3lawe 3wet Transformaties, Stelling van Thales, Homothetie. Meetkunde Transformaties en Stelling van Thales.. Waar of niet waar? a. Het beeld van een rechte door de projectie op
Nadere informatieDEEL I. Vlakke figuren. Hoofdstuk 1. Vlakke figuren 6 Hoofdstuk 2. Rechten 20 Hoofdstuk 3. Lijnstukken 39 Hoofdstuk 4. Hoeken 57
DEEL I Vlakke figuren Hoofdstuk. Vlakke figuren 6 Hoofdstuk. Rechten 0 Hoofdstuk. Lijnstukken 9 Hoofdstuk. Hoeken 57 Vlakke figuren OP VERKENNING! Sneeuwvlokjes zijn een mooi voorbeeld van meetkunde in
Nadere informatieHoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren
Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren 141 Eventjes herhalen : Wat is een homothetie? h (o,k) : Een homothetie met centrum o en factor k Het beeld van een punt Z door de homothetie met centrum O en factor
Nadere informatieHoofdstuk 6 Driehoeken en cirkels uitwerkingen
Kern Meetkundige plaatsen a Zie afbeelding rechts. b In het niet-gearceerde deel. c Op de middenparallel. l m 2 a Teken lijn m en lijn n, beide evenwijdig aan l en op een afstand van 3 cm van l. b Punten
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
V-a Voorkennis: ijzondere figuren ladzijde 30 50 60 = 80 50 60 = 70 d V-a Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen Ja, de zwaartelijnen gaan door één punt: het zwaartepunt Ja, de hoogtelijnen gaan door één
Nadere informatieKleur de congruente vierhoeken in onderstaand mozaïek in eenzelfde kleur.
VRAAG 1 Kleur de congruente vierhoeken in onderstaand mozaïek in eenzelfde kleur. VRAAG 2 Duid in de onderstaande figuur de overeenkomstige zijden en hoeken van de congruente driehoeken aan met eenzelfde
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat
Nadere informatieEindexamen vwo wiskunde B 2014-II
Eindeamen vwo wiskunde 04-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte
Nadere informatieHoofdstuk 5 - Definities en stellingen
Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen Voorkennis: ijzondere figuren ladzijde 30 V-a 50 60 = 80 50 60 = 70 d Ja, de zwaartelijnen gaan door één punt: het zwaartepunt Ja, de hoogtelijnen gaan door één punt:
Nadere informatieSamenvatting. Hoofdstuk 4. Machtsfunctie De functie f x x n heet een machtsfunctie. Het verloop van de grafiek hangt af van de waarde van n.
Hoofdstuk Samenvatting Machtsfunctie De functie f n heet een machtsfunctie. Het verloop van de grafiek hangt af van de waarde van n. Gebroken functie Machtsfuncties waarbij n een negatief geheel getal
Nadere informatie10 Afstanden. rood. even ver van A als van C even ver van A, van C en van E. 10 m. blauw
28 1 10 fstanden even ver van als van C even ver van, van C en van E 10 m Q ligt even ver van P als van Q, net zo. Dus is middelloodlijn van lijnstuk PQ, dus lijn staat loodrecht op lijn. 180 + = 90 2
Nadere informatieHoofdstuk 1 : Hoeken ( Zie ook : boek pag 1 tot en met pag 33)
- 1- Hoofdstuk 1 : Hoeken ( Zie ook : boek pag 1 tot en met pag 33) Hoekeenheden (boek pag 1) Hoofdeenheid om hoeken te meten is de grootte van de rechte hoek de graad :...... notatie :... de minuut :...
Nadere informatieLijst van alle opdrachten versie 13 mei 2014
Lijst van alle opdrachten versie 13 mei 2014 Punt Pu1 Zorg dat Toon assen aan staat. Teken een punt in het vlak. Wijzig de naam naar X (hoofdletter!) (rechtsklikken op het punt voor openen snelmenu). Sleep
Nadere informatieVerwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting.
Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande
Nadere informatiewiskunde B vwo 2017-II
Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande
Nadere informatieSamenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw)
Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw) Meetkunde, Moderne Wiskunde, pagina 1/10 Rechthoekige driehoek In een rechthoekige driehoek is een van de hoeken in 90.
Nadere informatieSoorten lijnen. Soorten rechten
Soorten lijnen ik zeg ik teken ik noteer ik weet een punt A A een rechte a a Een rechte heeft geen begin- en eindpunt. een halfrechte [A een halfrechte heeft B] een beginpunt of een eindpunt een lijnstuk
Nadere informatieEindexamen vwo wiskunde B 2013-I
Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande
Nadere informatie1 MEETKUNDE. Wat vindt u van deze preview? www.plantyn.com/integraal. Laat het ons weten op. http://wiskunde.plantyn.com/mijnmeningoverintegraal
INTEGRL www.plantyn.com/integraal INTEGRL SNEK PREVIEW DEEL HOOFDSTUK MEETKUNDE LEERWERKOEK Wat vindt u van deze preview? Laat het ons weten op http://wiskunde.plantyn.com/mijnmeningoverintegraal WISKUNDE
Nadere informatiePARATE KENNIS & VAARDIGHEDEN WISKUNDE 1 STE JAAR 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE. a) Begrippen uit de getallenleer ...
PARATE KENNIS & VAARDIGHEDEN WISKUNDE 1 STE JAAR 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE a) Begrippen uit de getallenleer Bewerking optelling aftrekking vermenigvuldiging Symbool deling : kwadratering... machtsverheffing...
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VWO 0 tijdvak woensdag 8 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 8 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieExamen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VWO 203 tijdvak woensdag 22 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 9 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatie12 Bewijzen in de vlakke meetkunde
ewijzen in de vlakke meetkunde bladzijde 54 a ' b Gegeven: e gelijkzijdige driehoek met zijn omgeschreven cirkel. unt ligt op de kortste boog en ligt op het verlengde van zo, dat =. riehoek is gelijkzijdig.
Nadere informatieWiskunde Leerjaar 2 - Periode 1 Meetkunde
Wiskunde Leerjaar 2 - Periode 1 Meetkunde Vierhoeken Vierkant Rechthoek Parallellogram Ruit Trapezium Vlieger Vierhoek 1. Vierkant zijde zijde Een vierkant is een vierhoek met vier rechte hoeken én vier
Nadere informatieCabri-werkblad Negenpuntscirkel
Cabri-werkblad Negenpuntscirkel 0. Vooraf - Bij dit werkblad wordt kennis verondersteld van de eigenschappen van parallellogrammen, rechthoekige driehoeken en van de elementaire eigenschappen van de koordenvierhoek.
Nadere informatieDan is de afstand A B = lengte van lijnstuk [A B]: AB = x x )² + ( y ²
1 Herhaling 1.1 Het vlak, punten, afstand, midden Opdracht: Teken in het vlak de punten: A ( 1, 2) B(3,6) C( 5,7) Bepaal de coördinaat van het midden van (lijnstuk) [A B]: M [B C ]: N Bepaal de afstand
Nadere informatieTentamen Wiskunde B CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE. Datum: 16 januari uur Aantal opgaven: 5
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 16 januari 2015 Tijd: 13.30 16.30 uur Aantal opgaven: 5 Lees onderstaande aanwijzingen s.v.p. goed door voordat u met het tentamen begint.
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 21 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VWO 07 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 4 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 7 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieMeetkundige constructies Leerlingmateriaal
Meetkundige constructies Leerlingmateriaal Nynke Koopmans Roeland Hiele Historical Aspects of Classroom Mathematics Universiteit Utrecht, juni 2013 Inleiding Inleiding Een meetkundige constructie is een
Nadere informatiewiskunde B vwo 2017-I
wiskunde vwo 017-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek,
Nadere informatieEindexamen vwo wiskunde B 2014-I
Eindexamen vwo wiskunde B 04-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte
Nadere informatiewiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Eamen VWO 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30 uur - 6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen
Nadere informatie1 Junior Wiskunde Olympiade : eerste ronde
1 Junior Wiskunde Olympiade 2008-2009: eerste ronde 1 Hoeveel is 2 5 7? (A) 10 21 (B) 25 7 (C) 7 10 (D) 1 15 (E) 29 21 2 Welke van volgende sommen is gelijk aan 10? (A), + 5,555 (B) 2,222 + 6,666 (C),
Nadere informatiewiskunde B bezem vwo 2018-II
wiskunde bezem vwo 08-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte
Nadere informatieAchter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Eamen VWO 018 tijdvak 1ti maandag 14 mei 13.30-16.30 uur oud programma wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Nadere informatieBijkomende Oefeningen: Les 1
1 Inhoudstafel ijkomende Oefeningen: Les 1...2 ijkomende Oefeningen: Les 2...3 ijkomende Oefeningen: Les 3...4 ijkomende Oefeningen: Les 4...5 ijkomende Oefeningen: Les 5...6 ijkomende Oefeningen: Les
Nadere informatieSpelen met passer en liniaal - werkboek
Spelen met passer en liniaal - werkboek Basisconstructie 1: het midden van een lijnstuk (de middelloodlijn) Gegeven: lijnstuk AB. Gevraagd: het midden van lijnstuk AB. Instructie Teken (A, r) en (B, r)
Nadere informatieE = mc². E = mc² E = mc² E = mc². E = mc² E = mc² E = mc²
E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² De boom en het stokje staan loodrecht op de grond in het park. De boom is 3 en het stokje 1. Hoe lang is de schaduw van het stokje
Nadere informatieZESDE KLAS MEETKUNDE
ZESDE KLAS MEETKUNDE maandag 1. Het vierkant. Eigenschappen. 2. Vierkanten tekenen met passer en lat vanuit zeshoek 3. Vierkanten tekenen met passer en lat binnen cirkel 4. Vierkanten tekenen met passer
Nadere informatieLaat men ook transversalen toe buiten de driehoek, dan behoren bij één waarde van v 1 telkens twee transversalen l 1 en l 2. Men kan ze onderscheiden
Lesbrief 6 Meetkunde 1 Hoektransversalen in een driehoek ABC is een driehoek. Een lijn l door een hoekpunt A van de driehoek heet een hoektransversaal van A. We zullen onderzoeken onder welke voorwaarden
Nadere informatieEigenschappen van vierhoeken
6 Eigenschappen van vierhoeken it kun je al de verschillende benamingen van de vierhoeken de congruentiekenmerken van driehoeken verwoorden 3 hoeken bij evenwijdige rechten en een snijlijn herkennen 4
Nadere informatieAntwoordmodel - Vlakke figuren
Antwoordmodel - Vlakke figuren Vraag 1 Verbind de termen met de juiste definities. Middelloodlijn Gaat door het midden van een lijnstuk en staat er loodrecht op. Bissectrice Deelt een hoek middendoor.
Nadere informatieHoofdstuk 8 : De Cirkel
- 163 - Hoofdstuk 8 : De Cirkel Eventjes herhalen!!!! De cirkel met middelpunt O en straal r is de vlakke figuur die de verzameling is van alle punten die op een afstand r van O liggen. De schijf met middelpunt
Nadere informatieMEETKUNDE 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN
120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN een rechte lijn A het punt A a de rechte a een kromme lijn of een kromme een gebroken lijn a A b a B het lijnstuk [AB] evenwijdige rechten a // b een plat oppervlak of een
Nadere informatieKatern 3. Meetkunde. Inhoudsopgave. Inleiding. 1 Hoeken 2. 2 Congruentie en gelijkvormigheid 4. 3 Driehoeken 8. 4 Vierhoeken 12
Katern 3 Meetkunde Inhoudsopgave 1 Hoeken 2 2 Congruentie en gelijkvormigheid 4 3 Driehoeken 8 4 Vierhoeken 12 5 Lijnen in een driehoek 15 Inleiding De vlakke meetkunde is de meetkunde die zich afspeelt
Nadere informatieOpen het programma Geogebra. Het beginscherm verschijnt. Klik voordat je verder gaat met je muis ergens in het
Practicum I Opgave 1 Tekenen van een driehoek In de opgave gaan we op twee verschillende manieren een driehoek tekenen. We doen dit door gebruik te maken van de werkbalk (macrovenster) en van het invoerveld.
Nadere informatieHoofdstuk 4: Meetkunde
Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde Getallen Assenstelsel Lineair
Nadere informatieDe constructie van een raaklijn aan een cirkel is, op basis van deze stelling, niet zo erg moeilijk meer.
Cabri-werkblad Raaklijnen Raaklijnen aan een cirkel Definitie Een raaklijn aan een cirkel is een rechte lijn die precies één punt (het raakpunt) met de cirkel gemeenschappelijk heeft. Stelling De raaklijn
Nadere informatieHerhalingsles 5 Meetkunde Weeroefeningen
Herhalingsles 5 Meetkunde Weeroefeningen HB1.5 1 Teken de vierhoek die aan de opgesomde eigenschappen voldoet. Geef de best passende naam. eigenschappen teken best passende naam vier gelijke vier rechte
Nadere informatiewiskunde B vwo 2015-II
Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande
Nadere informatieUITWERKINGEN VOOR HET VWO
UITWKINGN VOO HT VWO HOOFTUK IHOKN & VIHOKN Kern N IKL O N IHOK a) chets van om a) 6 5 3 mll 0 (,5 3) mll 0 b) iddelpunt in 3 traal is 3 5 c) is het snijpunt van de middenloodlijnen van O en O Om de radius
Nadere informatieVlakke meetkunde en geogebra
Vlakke meetkunde en geogebra Open de geogebra-app. Kies het algebra- en tekenvenster. Aan de linkerkant zie je het algebravenster en rechts daarvan het tekenvenster met een x-as en een y-as. Om een rooster
Nadere informatieLesbrief GeoGebra. 1. Even kennismaken met GeoGebra (GG)
Lesbrief GeoGebra Inhoud: 1. Even kennismaken met GeoGebra 2. Meetkunde: 2.1 Punten, lijnen, figuren maken 2.2 Loodlijn, deellijn, middelloodlijn maken 2.3 Probleem M1: De rechte van Euler 2.4 Probleem
Nadere informatieMEETKUNDE 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN
120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN een rechte lijn A het punt A a de rechte a een kromme lijn of een kromme een gebroken lijn a A b a B het lijnstuk [AB] evenwijdige rechten a // b een plat oppervlak of een
Nadere informatieHoofdstuk 1 LIJNEN IN. Klas 5N Wiskunde 6 perioden
Hoofdstuk LIJNEN IN Klas N Wiskunde 6 perioden . DE VECTORVOORSTELLING VAN EEN LIJN VOORBEELD. Gegeven zijn de punten P (, ) en Q (, 8 ). Gevraagd: de vectorvoorstelling van de lijn k door P en Q. Methode:
Nadere informatie2 Hoeken en bogen 77
2 Hoeken en bogen 77 1 De stand van zaken In deze paragraaf wordt je gevraagd wat je weet van de zijden, hoeken en diagonalen van verschillende soorten vierhoeken. En omgekeerd, wat voor speciaal type
Nadere informatieHandig met getallen 4 (HMG4), onderdeel Meetkunde
Handig met getallen 4 (HMG4), onderdeel Meetkunde Erratum Meetkunde Je vindt hier de correcties voor Handig met getallen 4 (ISBN: 978 94 90681 005). Deze correcties zijn ook bedoeld voor het Rekenwerkboek
Nadere informatieTentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 januari Tijd: 9. -. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening
Nadere informatiehandleiding pagina s 434 tot Handleiding 1.2 Huistaken huistaak 12: bladzijde Werkboek
week 13 les 5 toets en foutenanalyse handleiding pagina s 434 tot 443 nuttige informatie 1 Handleiding 1.1 Kopieerbladen pagina s 374 en 375: vierhoeken pagina 376: eigenschappen van diagonalen in vierhoeken
Nadere informatieLijnen van betekenis meetkunde in 2hv
Lijnen van betekenis meetkunde in 2hv Docentenhandleiding bij de DWO-module Lijnen van betekenis Deze handleiding bevat tips voor de docent bij het gebruiken van de module Lijnen van betekenis, een module
Nadere informatieCabri-werkblad. Driehoeken, rechthoeken en vierkanten. 1. Eerst twee macro's
Cabri-werkblad Driehoeken, rechthoeken en vierkanten 1. Eerst twee macro's Bij de opdrachten van dit werkblad zullen we vaak een vierkant nodig hebben waarvan alleen de beide eindpunten van een zijde gegeven
Nadere informatieAntwoorden De juiste ondersteuning
ntwoorden De juiste ondersteuning a. De straal van de cirkel waarover het beweegt is 5. De maximale hoogte van het is dus 5. Het moet dus dm omhoog. b. Het van het tweede blok beweegt over een cirkel met
Nadere informatie1 Junior Wiskunde Olympiade 2010-2011: tweede ronde
1 Junior Wiskunde Olympiade 2010-2011: tweede ronde 1. Het quotiënt 28 is gelijk aan 82 (A) 2 0 () 2 1 (C) 2 2 (D) 2 3 (E) 2 4 2. Het resultaat van de vermenigvuldiging 1 3 5 7 9 2011 eindigt op het cijfer
Nadere informatieTentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 8 juli 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een
Nadere informatieHoofdstuk 1 Spiegelen in lijn en in cirkel. Eigenschappen.
Hoofdstuk 1 Spiegelen in lijn en in cirkel. Eigenschappen. Jakob Steiner (Utzenstorf (kanton Bern), 18 maart 1796 - Bern, 1 april 1863) was een Zwitsers wiskundige. Hij wordt beschouwd als een van de belangrijkste
Nadere informatiePienter 1ASO Extra oefeningen hoofdstuk 7
Extra oefeningen hoofdstuk 7: Vlakke figuren 1 Teken binnen een cirkel met straal 6 cm een tweede cirkel met straal 2 cm. Wat is de kleinste en wat is de grootst mogelijke afstand tussen beide middelpunten?
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VWO 017 tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 14 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 69 punten te behalen. Voor elk
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde.
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1997-1998: Tweede ronde De tweede ronde bestaat eveneens uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem is hetzelfde als dat voor de eerste ronde, dwz per goed antwoord krijgt
Nadere informatie14.0 Voorkennis. sin sin sin. Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel:
14.0 Voorkennis Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel: a b c sin sin sin Voorbeeld 1: Gegeven is ΔABC met c = 1, α = 54 en β = 6 Bereken a in twee decimalen nauwkeurig. a c sin sin a 1 sin54 sin64
Nadere informatie