Eigenschappen van vierhoeken

Transcriptie

1 6 Eigenschappen van vierhoeken it kun je al de verschillende benamingen van de vierhoeken de congruentiekenmerken van driehoeken verwoorden 3 hoeken bij evenwijdige rechten en een snijlijn herkennen 4 de eigenschap van de middelloodlijn verwoorden Test jezelf Elke vraag heeft maar één juist antwoord. ontroleer je antwoord in de correctiesleutel. chter elke vraag staat een verwijzing naar extra oefeningen in je oefenboek of je vademecum. In welke vierhoek is een diagonaal getekend? Verder oefenen? ad Uit welke drie gegevens kun je geen congruentie afleiden? 3 In welke tekening zijn de verwisselende binnenhoeken aangeduid? HZH ZZZ HHH oef. nr. 795 oef. nr. 73 a a a b b b 4 In welke tekening ligt het punt op de middelloodlijn van het lijnstuk Y? a // b a // b a // b oef. nr. 834 Y Y Y it heb je nodig leerwerkboek p oefenboek nr geodriehoek kleurpotloden een groene en rode pen Inhoud M35 Eigenschappen van vierhoeken p. 0 M36 lassificatie van vierhoeken p. 4 M37 ewijs: de eigenschap van de som van de hoeken in een vierhoek p. 8 M38 ewijs: de eigenschappen van de zijden, hoeken en diagonalen in een vierhoek p. 30 9

2 M35 Eigenschappen van vierhoeken Op verkenning a e som van de hoeken in een vierhoek Teken in elke vierhoek één diagonaal. Uit hoeveel driehoeken bestaat je vierhoek?... e som van de hoeken in een driehoek is gelijk aan... e som van de hoeken van de twee driehoeken is gelijk aan... twee Elke vierhoek bestaat uit... driehoeken. e som van de hoeken van een vierhoek is dus gelijk aan Eigenschap de som van de hoeken in een vierhoek e som van de hoeken in een vierhoek is gelijk aan 360. is een vierhoek = = 360 Het bewijs van deze eigenschap vind je in les M37. b iagonalen, zijden en hoeken Gebruik de tekeningen in de tabel om de eigenschappen van vierhoeken te onderzoeken. Zet een kruisje op de juiste plaats in de tabel. minstens één paar evenwijdige zijden twee paar evenwijdige zijden de overstaande zijden zijn even lang de overstaande hoeken zijn even groot de vier zijden zijn even lang alle hoeken zijn rechte hoeken de diagonalen snijden elkaar middendoor de diagonalen zijn even lang de diagonalen staan loodrecht op elkaar 0 Eigenschappen van vierhoeken

3 Wiskundetaal definitie EFINITIE Een trapezium is een vierhoek met minstens één paar evenwijdige zijden. [] // [] Wiskundetaal definitie en eigenschappen EFINITIE Een parallellogram is een vierhoek met twee paar evenwijdige zijden. is een parallellogram. [] // [] en [] // [] EIGENSHP In een parallellogram: zijn de overstaande zijden even lang; zijn de overstaande hoeken even groot; delen de diagonalen elkaar middendoor. is een parallellogram. = en = = en = M = M en M = M M Wiskundetaal definitie en eigenschappen EFINITIE Een ruit is een vierhoek met vier even lange zijden. is een ruit. = = = EIGENSHP In een ruit: zijn de overstaande zijden evenwijdig; zijn de overstaande hoeken even groot; delen de diagonalen elkaar middendoor; staan de diagonalen loodrecht op elkaar. is een ruit. // en // = en = M = M en M = M [] [] M is het snijpunt van de diagonalen. M Wiskundetaal definitie en eigenschappen EFINITIE Een rechthoek is een vierhoek met vier rechte hoeken. is een rechthoek. EIGENSHP In een rechthoek: zijn de overstaande zijden evenwijdig; zijn de overstaande zijden even lang; zijn de diagonalen even lang; delen de diagonalen elkaar middendoor. = = = = 90 is een rechthoek. // en // = en = = M = M = M = M M is het snijpunt van de diagonalen. M

4 M35 Eigenschappen van vierhoeken (vervolg) Wiskundetaal definitie en eigenschappen EFINITIE Een vierkant is een vierhoek met vier even lange zijden en vier rechte hoeken. is een vierkant. = = = = 90 en = = = EIGENSHP In een vierkant: zijn de overstaande zijden evenwijdig; zijn de diagonalen even lang; delen de diagonalen elkaar middendoor; staan de diagonalen loodrecht op elkaar. is een vierkant. // en // = M = M en M = M [] [] M e bewijzen van de eigenschappen vind je in les M38 en in het oefenboek: oef Oefeningen WEER? Van een vierhoek zijn drie hoekgrootten gegeven. ereken de grootte van de vierde hoek WEER? 97 MEER? 97 ereken de hoekgrootten. Toon je berekening. a? 50 0 b E F WEER? MEER? = = = ereken de onbekende hoekgrootten in a vierhoek met // en // en  =00. Maak eerst een schets In een parallellogram zijn de overstaande hoeken even groot. =... =... = H 5? G... G = 80 5 = 9... In een parallellogram zijn de overstaande hoeken even groot en de... som van twee aanliggende hoeken (binnenhoeken aan dezelfde kant) is Eigenschappen van vierhoeken

5 b vierhoek KLMN met M = 60 en K = L = N. ( ) : 3 = 300 : 3 = K =... L =... N =... c vierhoek YZQ met = 5 en Y = en Z = 3 Y. 5 = = = 35 Y =... Z =... Q =... 4 Onderzoek de regelmaat bij de som van de hoeken in een veelhoek. a Teken alle diagonalen die vertrekken vanuit het hoekpunt. b Vul de tabel verder aan. F H WEER? 977 MEER? 978 E E G F E antal hoekpunten antal driehoeken Som van de hoeken c Vul de tabel aan. Weetje In een regelmatige veelhoek zijn alle hoeken even groot en alle zijden even lang. aantal hoekpunten n aantal driehoeken waarin de veelhoek kan worden verdeeld 5 ereken de ontbrekende hoekgrootten in het trapezium. Verklaar.... e hoeken tussen de evenwijdige zijden... zijn binnenhoeken aan dezelfde kant... van de snijlijn en zijn dus supplementair.... = = 0... = = 80 of = = som van de hoeken 70 grootte van elke hoek in een regelmatige veelhoek 80 = : 3 = = : 4 = = : 5 = = : 6 = = : 0 = = : 5 = 56 n (n ) 80 (n ) 80 n 00 WEER? MEER? 98 Wat moet je kunnen? de eigenschappen van de vierhoeken verwoorden de eigenschappen van de vierhoeken gebruiken 3

6 M36 lassificatie van vierhoeken Op verkenning Elke mus is een vogel maar niet elke vogel is een mus! Geef de meest nauwkeurige benaming van de vierhoeken. Vierhoek Trapezium Parallellogram Rechthoek Vlieger Ruit Vierkant Noteer de cijfers van:, 3, 4, 6 en 7 4 en 7 6 en 7 5, 6 en 7 alle trapeziums:... alle rechthoeken:... alle ruiten:... alle vliegers:... Weetje Een vierhoek waarvan twee paar aanliggende zijden even lang zijn, is een vlieger alle vierhoeken met loodrecht op elkaar staande diagonalen: 5, 6 en en 7 alle vierhoeken met even lange diagonalen:... 7 Wat is de betekenis van de pijlen tussen de vierhoeken? Er komt telkens een extra kenmerk bij. Waarvoor staat de pijl tussen figuur 3 en figuur 6? e eigenschap even lange zijden komt bij de figuur. Waarom staat er geen pijl tussen figuur 5 en figuur 3? Figuur 5 heeft geen evenwijdige zijden, figuur 3 wel. Tussen welke twee figuren is de pijl getekend die staat voor de eigenschap vier rechte hoeken? Tussen figuur 3 en 4 en tussen figuur 6 en 7. Zet de cijfers van de vierhoeken in de juiste verzameling. V = de verzameling van alle vierhoeken. T = de verzameling van alle trapeziums. P = de verzameling van alle parallellogrammen. Ru = de verzameling van alle ruiten. Re = de verzameling van alle rechthoeken. Vi = de verzameling van alle vierkanten. 6 Ru 7 Vi 3 4 Re P T V 5 4 Eigenschappen van vierhoeken

7 Volgend schema leidt je naar de meest passende naam van een vierhoek. Is er een paar evenwijdige zijden? NEEN Twee paar aanliggende zijden even lang? NEEN vierhoek J J vlieger Zijn er twee paar evenwijdige zijden? NEEN trapezium J Zijn alle zijden even lang? NEEN Zijn er vier rechte hoeken? J NEEN parallellogram J rechthoek Zijn er vier rechte hoeken? NEEN ruit J vierkant 5

8 M36 lassificatie van vierhoeken (vervolg) WEER? 983 MEER? 984 Oefeningen 6 Om de deur van de schatkamer te openen moet je op de juiste vierhoek drukken. Je hebt echter maar een stukje van de figuur meegekregen. Vul de onderstaande tabel in en maak dan je keuze zeker geen de vierhoek waarop je moet drukken is naam vierhoek vierkant waarom? Geen 4 rechte hoeken Geen 4 even lange zijden rechthoek Geen 4 rechte hoeken ruit Geen even lange zijden misschien een zeker een vlieger parallellogram gelijkbenig trapezium rechthoekig trapezium trapezium iagonalen kunnen niet loodrecht op elkaar staan. Onderste zijde kan evenwijdig zijn met de bovenste zijde. Onderste zijde kan even lang zijn als de bovenste zijde. Onderste zijde kan loodrecht staan. e vierhoek heeft een paar evenwijdige zijden. WEER? 985 MEER? Wanneer heeft een tovenaar zijn toverkracht nodig? Geef steeds een verklaring. e tovenaar heeft toverkracht nodig als hij a alle vierkanten omzet naar rechthoeken. Geen toverkracht nodig, want elk vierkant is al een rechthoek. b alle rechthoeken omzet naar vierkanten. Wel toverkracht nodig, want niet elke rechthoek is een vierkant. c alle ruiten omzet naar vierkanten. Wel toverkracht nodig, want niet elke ruit is een vierkant. d alle vierkanten omzet naar ruiten. Geen toverkracht nodig, want elk vierkant is reeds een ruit Eigenschappen van vierhoeken

9 8 Geef de meest correcte benaming. a Een parallellogram met een rechte hoek is een.... b Een parallellogram met vier even lange zijden is een... c Een vierhoek met de eigenschappen van een ruit en van een rechthoek is een... d Een parallellogram met even lange diagonalen is een... e Een ruit waarin twee opeenvolgende hoeken even groot zijn, is een... f Een parallellogram waarvan twee opeenvolgende zijden even lang zijn, is een... 9 Symmetrische vierhoeken. a Teken alle symmetrieassen in de symmetrische vierhoeken. rechthoek ruit vierkant rechthoek vierkant ruit WEER? 988 MEER? WEER? MEER? b Vul in met één, twee, drie of vier. vier Elk vierkant heeft... symmetrieas(sen). twee twee één Elke rechthoek heeft ten minste... symmetrieas(sen). Elke ruit heeft ten minste... symmetrieas(sen). Elke vlieger heeft ten minste... symmetrieas(sen). Waarom wordt 'ten minste' vermeld in bovenstaande uitdrukkingen? Sommige rechthoeken en ruiten zijn vierkanten. eze figuren hebben meer symmetrieassen. Sommige vliegers zijn ruiten of vierkanten. Wat moet je kunnen? vierhoeken classificeren op basis van eigenschappen van hoeken en zijden vierhoeken classificeren op basis van de eigenschappen van hun diagonalen vierhoeken classificeren op basis van het aantal symmetrieassen 7

10 M37 ewijs: de eigenschap van de som van de hoeken in een vierhoek Op verkenning eigenschap e som van de hoeken in een vierhoek is gelijk aan 360 STP Verkennen Lees de eigenschap aandachtig. Welke meetkundige elementen komen erin voor? Een vierhoek. e som van de hoeken van een vierhoek is Noteer de eigenschap in symbolen. is een vierhoek  = STP nalyseren: vooruitdenken terugdenken een plan maken Wat is gegeven? Wat moet je bewijzen? Noteer dit in symbolen. vraag antwoord verklaring Vierhoek  = 360 Welke eigenschap (van driehoeken) kun je gebruiken om deze eigenschap te bewijzen? Noteer deze eigenschap in symbolen. Teken diagonaal. Hoeveel driehoeken ontstaan er? e diagonaal verdeelt in en en in en. Noteer in symbolen de som van de hoeken voor de twee driehoeken. Hoe groot is de som van de hoeken van de twee driehoeken? Noteer dit in symbolen.  + + = 80 Twee driehoeken  + + = 80  + + =  =  = 360 eide leden van de gelijkheden optellen. Mag je de grootte van de twee delen van hoek en van hoek bij elkaar optellen? Welke eigenschappen van de optelling heb je gebruikt? Noteer dit in symbolen. Ja, in een optelling mag je de termen van plaats verwisselen en haakjes toevoegen.  +  = 360 (  +  ) + + ( + ) + = 360 Het optellen is commutatief en associatief in Q. 8 Eigenschappen van vierhoeken

11 Reken uit. Is dit wat je moet bewijzen? Indien niet, welke stap moet je nog zetten? Â = 360 Ja STP 3 ewijs Eigenschap de som van de hoeken in een vierhoek is 360 Gegeven: is een vierhoek. Te bewijzen: = 360 ewijs: Teken de diagonaal. Noem de hoeken die gevormd worden, en en. In Δ geldt: + + = 80 (eig. som van de hoeken in een driehoek) In Δ geldt: + + = 80 (eig. som van de hoeken in een driehoek) = = 360 Eig. het optellen is commutatief in q = 360 Eig. het optellen is associatief in q ( + ) + + ( + ) + = = en + = = 360 Oefeningen 0 ewijs dat de som van de hoeken in een vijfhoek gelijk is aan 540. WEER? 03 Je kunt een vijfhoek verdelen in een vierhoek en een driehoek. ΔE + + E = 80 (Eig. som v.d. hoeken in een driehoek.) E E = 360 (Eig. som van de hoeken in een vierhoek) beide leden optellen E Wat moet je kunnen? + + E + E = = 540 het optellen is commutatief in q E + E = 540 het optellen is associatief in q + [ + ] [ E + E ] = = E + E = E = 540 de eigenschap van de som van de hoeken in een vierhoek bewijzen 9

12 M38 ewijs: de eigenschappen van de zijden, hoeken en diagonalen in een vierhoek Op verkenning eigenschap Vierhoek is een parallellogram als en slechts als de overstaande zijden even lang zijn STP Verkennen Lees de eigenschap aandachtig. Welke meetkundige elementen komen er in voor? Vierhoek is een parallellogram. e overstaande zijden zijn even lang. Maak een schets en duid de informatie aan. Vul aan. In de eigenschap zie je de notatie als en slechts als. it betekent dat... eel : ls... dan... eel : ls... dan... Je bewijst eerst deel (in het leerwerkboek) en dan deel (in het oefenboek). de eigenschap uit twee delen bestaat. vierhoek een parallellogram is zijn de overstaande zijden even lang. in een vierhoek de overstaande zijden even lang zijn is de vierhoek een parallellogram. EEL eigenschap ls vierhoek een parallellogram is dan zijn de overstaande zijden even lang STP nalyseren: vooruitdenken terugdenken een plan maken vraag antwoord verklaring Wat is gegeven? Vierhoek is een parallellogram. // en // Wat moet je bewijzen? Noteer dit in symbolen. uid wat bewezen moet worden in = en = het rood aan op de tekening. Hoe kun je bewijzen dat lijnstukken even lang zijn? Via congruente driehoeken Hoe kun je twee congruente driehoeken bekomen? Teken dit. oor een diagonaal te tekenen. 30 Eigenschappen van vierhoeken

13 Noteer en kleur de driehoeken waarvan je vermoedt dat ze congruent zijn, elk in een andere kleur. Welk congruentiekenmerk kun je gebruiken? Noteer de gelijkheden. Is dit wat je moet bewijzen? Indien niet, welke stap moet je dan nog zetten? Δ en Δ HZH H Â = Z = H Â = Neen, maar hieruit volgt: = en =. Verwisselende binnenhoeken: // met snijlijn Gemeensch. zijde Verwisselende binnenhoeken: // met snijlijn Overeenkomstige zijden in congruente driehoeken STP 3 ewijs Eigenschap als vierhoek een parallellogram is dan zijn de overstaande zijden even lang Gegeven: is een parallellogram. Te bewijzen: = en = ewijs: Teken de diagonaal. Noem de hoeken die gevormd worden, en,. Voor Δ en Δ geldt: H = (eig. verwisselende binnenhoeken van // met snijlijn ) Z = (gemeenschappelijke zijde) H = (eig. verwisselende binnenhoeken van // met snijlijn ) HZH Δ Δ Eig. overeenkomstige zijden in congruente driehoeken = en = Het bewijs van deel vind je in je oefenboek: oef

14 M38 ewijs: de eigenschappen van de zijden, hoeken en diagonalen in een vierhoek (vervolg) eigenschap ls vierhoek een ruit is, dan staan de diagonalen loodrecht op elkaar STP STP Verkennen Lees de eigenschap aandachtig. Welke meetkundige elementen komen er in voor? Vierhoek is een ruit. e diagonalen staan loodrecht op elkaar.... Formuleer de omgekeerde bewering. ls in een vierhoek de diagonalen loodrecht op elkaar staan, dan is deze vierhoek een ruit.... Is deze bewering een eigenschap? Geen eigenschap: bij een vlieger staan de diagonalen ook loodrecht op elkaar.... nalyseren: vooruitdenken terugdenken een plan maken vraag antwoord verklaring Wat is gegeven? Wat leer je uit de definitie van een ruit? Noteer dit in symbolen. uid het gegeven in het groen aan op de tekening. Wat moet je bewijzen? Noteer dit in symbolen. uid wat bewezen moet worden in het rood aan op de tekening. Hoe liggen de punten en ten opzichte van de punten en? Op welke rechte liggen de punten en? Hoeveel rechten kun je tekenen door twee verschillende punten? Vierhoek is een ruit. = = = e diagonalen staan loodrecht op elkaar. [ ] [ ] e punten en liggen op gelijke afstand van de punten en. e punten en liggen op de middelloodlijn van []. Juist één = (ef. ruit) en = (ef. ruit) Eigenschap middelloodlijn: als een punt op gelijke afstand ligt van de grenspunten van een lijnstuk, dan behoort dat punt tot de middelloodlijn van dat lijnstuk. Een rechte wordt bepaald door twee verschillende punten. 3 Eigenschappen van vierhoeken

15 Wat is de onderlinge ligging van [] en []? Loodrecht ef. middelloodlijn Noteer dit in symbolen. [] [] STP 3 ewijs ewijs in een ruit staan de diagonalen loodrecht op elkaar Gegeven: is een ruit. Te bewijzen: [] [] ewijs: Voor de ruit geldt: = (def. ruit) en = (def. ruit) (eig. van de middelloodlijn) ligt op de middelloodlijn [] en (eig. van de middelloodlijn) ligt op middelloodlijn van [] Een rechte wordt bepaald door twee verschillende punten. is de middelloodlijn van [] ef. middelloodlijn [] [] Je kunt deze eigenschap ook met congruentie bewijzen. Oefeningen ewijs dat in een parallellogram de overstaande hoeken even groot zijn. Er zijn verschillende mogelijkheden WEER? 04 MEER? Wat moet je kunnen? de eigenschappen van vierhoeken bewijzen 33

16 Problemsolving In de figuur hiernaast is de oppervlakte van de ruit gelijk aan 6 cm. Hoe groot is de oppervlakte van de rechthoek? 4 cm. Elke driehoek is een halve ruit. In het totaal heb je dus de oppervlakte van 4 ruiten e twee regelmatige zeshoeken zijn even groot. Welk deel van het parallellogram is lichtgekleurd? Van een gelijkzijdige driehoek kun je een trapezium maken door er een hoekje af te snijden. Vervolgens maak je nog zo n even groot trapezium en je legt dit omgekeerd tegen het eerste trapezium aan zodat je een parallellogram bekomt. e omtrek van dit parallellogram is 0 cm meer dan de omtrek van de eerste gelijkzijdige E driehoek waar je mee begon. Wat is de omtrek van die gelijkzijdige driehoek? E Kun je niet weten. riehoek met zijde z Omtrek driehoek = 3z riehoek EF met zijde x Omtek dubbel trapezium: (z + x + z x) = z = 4z 3 Omtrek dubbel trapezium Omtrek driehoek = 4z - 3z = z Omtrek driehoek is 3z = 3 0 cm = 30 cm E z z x x z x G F... 4 e driehoeken en E zijn even groot. en zijn, en E zijn 4. e oppervlakte van vierhoek F is... keer zo groot als de oppervlakte van driehoek e driehoeken F en F hebben dezelfde hoogte en basis is 4 keer basis. us is de oppervlakte van F 4 keer de oppervlakte van F. Hetzelfde geldt voor EF en F. F en F hebben dezelfde oppervlakte, beiden deel van driehoek F dus deel van driehoek Vierhoek F is van driehoek. 5 5 Een gelijkzijdige driehoek is verdeeld in een ruit, een kleine gelijkzijdige driehoek en twee trapeziums. e ruit heeft oppervlakte 8, de kleine gelijkzijdige driehoek heeft oppervlakte. Wat is de oppervlakte van een van de trapeziums? Je kunt de ruit opdelen in twee gelijkzijdige driehoeken, beide met oppervlakte e zijde van de bovenste driehoek is dan 3 keer zo groot als de zijde van de kleine driehoek vermits de oppervlakte 9 keer zo groot is. e hoogte van de grote driehoek is ook... 3 keer zo groot. e hoogte van de gehele driehoek is dan = 7 keer zo groot.... it betekent dat de oppervlakte van de grote driehoek 49 keer zo groot is als de oppervlakte van het kleine driehoekje. e oppervlakte van de grote driehoek de oppervlakte van het kleine driehoekje en de oppervlakte van de ruit is = 30. e oppervlakte van één trapezium is dan 30 : = ,5 5 6 E 8 E 3 F E 34 problemsolving

17 Thema's Thema Wiskunde, boeiend en fascinerend: is het toveren? p. 36 Thema Erfenissen, waterputten, gorilla's, een benefietconcert en... meetkunde p

18 Weetje Thema - Wiskunde, boeiend en fascinerend: is het toveren? Een heel bijzondere verhouding in de meetkunde Over een vierkant, een driehoek, een cirkel en een heel bijzondere verhouding In het vierkant zie je een gelijkbenige driehoek en daarin de ingeschreven cirkel. E' G K E K' G' Meet en bereken in de eerste figuur de verhouding. GK KE =,9 cm... Meet en bereken in de tweede figuur G'K' K'E'. Wat is het resultaat? G'K',5 cm K'E',8 cm =,6... = 0,9 cm Over een knoop, een ster en een heel bijzondere verhouding Maak een gewone knoop in een reep papier, trek hem voorzichtig aan terwijl je hem plat drukt, en er verschijnt een pentagon. Wat is een synoniem voor het woord pentagon? Regelmatige vijfhoek =,66... (opnieuw ongeveer,6) Maak op de figuur het pentagon zichtbaar. In elk pentagon kun je een vijfpuntige ster tekenen (een pentagram). Meet en bereken de verhouding: S S = cm..., cm =,66... epaal op het lijnstuk E een punt dat het lijnstuk in dezelfde verhouding verdeelt. Je kunt kiezen, de twee getekende punten zijn allebei goed. E S Euclides was een Griekse wiskundige (ca 35 v.. 65 v.). Van zijn leven is niet veel meer bekend dan dat hij onderwees in lexandrië. Toen de koning hem vroeg of er geen eenvoudige behandeling van de meetkunde mogelijk was, antwoordde Euclides: Sire, er is geen koninklijken weg naar de meetkunde. Zijn boek e Elementen behoort tot de mooiste en meest invloedrijke wetenschappelijke werken. e schoonheid ervan ligt in de logische opbouw van de meetkunde en enkele andere takken van de wiskunde. Het voldoet ook aan de door de grote filosoof Plato gestelde eis Wiskundige kennis wordt alleen door denken verkregen en dient losgemaakt te worden van het materiële. Het boek bestaat uit 3 delen en begint met een aantal definities zoals Een punt is datgene wat geen delen heeft en Een lijn is een lengte zonder breedte. Veel van de meetkunde uit zijn boeken gebruiken we nu nog altijd. 36 Thema - Wiskunde boeiend en fasinerend: is het toveren?

19 3 Over een driehoek, een driehoek en een heel bijzondere verhouding In de gelijkbenige driehoek : = 36. is de bissectrice van. Meet en bereken de verhouding: =, cm...,4 cm =,57 Waar zit in de vijfhoek een driehoek verborgen die dezelfde eigenschappen bezit als driehoek? Vb driehoek... We keren terug in de tijd Rond 300 voor hristus worstelt de Griekse wiskundige Euclides met een meetkundig probleem. Hoe kun je een lijnstuk in twee delen verdelen zodat de verhouding van het grootste deel tot het kleinste deel gelijk is aan de verhouding van de som van de delen tot het grootste deel? Hoe lang moeten die twee delen dan zijn? (Euclides zelf sprak over: een lijn in uiterste en middelste reden verdelen ) Vertaal dit probleem in wiskundetaal. Euclides zoekt een punt S op het lijnstuk zodat: S = S S [S] is het grootste deel [S] is het kleinste deel. ontroleer op [] of het punt S op de juiste plaats staat (op 0, cm).... S ontroleer opnieuw op [] of het punt S op de juiste plaats staat (op 0, cm).... S ereken S S =... S =... Hoe vind je op het lijnstuk de juiste plaats voor dit speciale punt S? In de rechthoekige driehoek : =. Maak in de driehoek de volgende constructie. Neen 6, cm 0 cm =,6 3,8 cm 6, cm =,6 Ja S Teken een cirkelboog met middelpunt en straal. is het snijpunt van deze boog met de zijde. Teken een cirkelboog met middelpunt en straal. S is het snijpunt van deze boog met de zijde. 37

20 Thema - Wiskunde, boeiend en fascinerend: is het toveren? (vervolg) 3 ereken in de constructie de volgende verhoudingen. e verhouding tussen de lengten van de volgende lijnstukken S S = 3,4 cm..., cm =,6 S = 5,4 cm... 3,4 cm =,6 e verhoudingen zijn ongeveer,6! Wat stel je vast?... Omschrijf in woorden wat je net berekend en getekend hebt.,6 maal groter,6 maal groter Weetje Φ =,68034 Een meer nauwkeurige waarde voor de Gulden Verhouding is, it getal noemt men Phi (uitgesproken als fie en een letter uit het Grieks alfabet). Het symbool voor Phi is Φ, ter nagedachtenis van de Griekse bouwheer Phidias.» e lengte van het lijnstuk is... dan de lengte van het lijnstuk S.» e lengte van het lijnstuk S is... dan de lengte van het lijnstuk S. Je maakte zonet een heel belangrijke meetkundige constructie! Het punt S verdeelt het lijnstuk in de Gulden Verhouding of Gulden Snede. Naar dit punt S was Euclides en waren wij op zoek. e Gulden Verhouding ontstaat als je een lijnstuk in twee delen verdeelt zodat de verhouding van het grootste deel (Major) tot het kleinste deel (minor) gelijk is aan de verhouding van de som van de delen (de lengte van het gehele lijnstuk) tot het grootste deel. major S minor S verdeelt [] in de Gulden Verhouding Het symbool voor de Gulden Verhouding is Φ. S S = S Phi is overal...!? Phi duikt op de meest onverwachte plaatsen op. Het lijkt wel of het magische eigenschappen bezit Tal van toepassingen vind je in de architectuur. Vb het Parthenon in thene Ook in de schilderkunst vind je Φ vaak terug. Een mooi voorbeeld zie je bij e man van Vitruvius van Leonardo a Vinci. Het pentagram, de vijfpuntige ster, is één van de oudste heilige symbolen ter wereld. In de magische wetenschappen van de Middeleeuwen was het pentagram ook een symbool dat bescherming bood tegen heksen en boze geesten. Spiegeltje, spiegeltje aan de wand 38 Thema - Wiskunde boeiend en fasinerend: is het toveren?

21 Waar is Φ? ereken in de bovenstaande afbeeldingen telkens de verhouding tussen de lengten van het grootste en het kleinste lijnstuk. Lengte van het grootste lijnstuk Lengte van het kortste lijnstuk Verhouding van de lengten Wat valt je op in je berekeningen? e verhouding benadert telkens het getal:...,6 Toeval of niet? Parthenon Man van Vitruvius vijfhoek vrouw 3,7 cm 4,3 cm 4,4 cm cm,3 cm,7 cm,8 cm 0,5 cm,6,6,6,0 (ehalve de laatste verhouding. Niemand is perfect!) Leonardo da Vinci en andere kunstenaars zijn gefascineerd door wiskunde en door Phi. Zij zijn overtuigd dat het begrip schoonheid veel samenhang vertoont met de Gulden Snede. ls we iets mooi vinden, zou de Gulden Snede erin terug te vinden zijn Eens controleren in de klas? Meet en bereken de verhouding van je totale lengte tot de afstand van je navel tot de grond. Vergelijk je resultaat met dat van je klasgenoten. enaderen jullie lichaamsmaten de Gulden Verhouding? Mijn totale lengte =... eigen antwoord leerling fstand van mijn navel tot mijn voeten =... eigen antwoord Verhouding =... berekening leerling e verhoudingen van de lichaamsmaten van mijn klasgenoten: Het gemiddelde van deze verhoudingen is... e gulden rechthoek Een rechthoek waarvan de zijden de Gulden Verhouding hebben, noemt men een gulden rechthoek. Sommige kunstenaars noemen de gulden rechthoeken opnieuw de mooiste rechthoeken die er bestaan. Teken een gulden rechthoek. Neem voor de langste zijde een lengte van 8 cm. ereken de lengte van de kortste zijde van deze gulden rechthoek. 8 cm,6 = 5 cm... Teken heel nauwkeurig de gulden rechthoek. cm 8 cm 5 cm 3 cm 5 cm 3 cm 39

22 Thema - Wiskunde, boeiend en fascinerend: is het toveren? (vervolg) Een gulden rechthoek is heel speciaal, hij lijkt wel een toverrechthoek Neem van de gulden rechthoek een zo groot mogelijk vierkant af en arceer dit vierkant. Is de overgebleven rechthoek ook een gulden rechthoek? Reken dit na. lengte langste zijde = 5 cm lengte kortste zijde = 3 cm verhouding =,6 oe dit nog eens opnieuw. Wat kun je zeggen van de rechthoek die nu overblijft? e rechthoek is opnieuw een gulden rechthoek. ls je deze stappen met steeds kleiner wordende rechthoeken blijft herhalen, merk je dat er een spiraalvormig patroon kan ontdekt worden. eze gulden spiraal lijkt misschien wel sterk op de nautilusschelp Gulden rechthoeken, vierkanten en een bijzondere rij van getallen Kijk naar de figuur: e figuur ontstaat door telkens specifieke vierkanten aan elkaar te rijgen. 4 Je begint bij vierkant, de zijde heeft een maatgetal. an wordt vierkant getekend, vervolgens vierkant 3, vervolgens vierkant 4, vervolgens de vierkanten 5 en 6. Vervolledig de figuur met vierkant 7. Je vervolledigde de figuur met een vierkant 7 en het eindresultaat is een rechthoek. eze rechthoek benadert een gulden rechthoek! Verklaar. e afmetingen van de rechthoek verhouden zich als 3 =, Vervolledig de tabel en verklaar hoe je de twee laatste cijfers berekende. Nr. van het vierkant Maatgetal van een zijde (door jou getekend) 8 (niet getekend) 9 (niet getekend) 3 34 = en 34 = Thema - Wiskunde boeiend en fasinerend: is het toveren?

23 Een héél bijzondere getallenrij Vervolledig de rij van de maatgetallen van de zijden van de vierkanten uit de vorige opgave Vul de rij aan met de drie volgende getallen Hoe ontstaan de getallen in deze rij? Elk getal in de rij (behalve de twee eerste getallen) is gelijk aan de som van de voorgaande getallen. eze bijzondere rij blijkt ook op te duiken bij de studie van een bijzondere konijnenpopulatie. Een paartje jonge konijntjes wordt vruchtbaar na maanden en daarna produceert zo n paartje elke maand een nieuw paartje jonge konijntjes. Stel dat we met paartje jonge konijntjes beginnen, hoeveel konijnenpaartjes zijn er dan na,, 3, 4 maanden? In dit verhaal gaan de konijntjes niet dood. e ste maanden heb je alleen maar paartje. aarna krijg je steeds de konijntjes die je al had (dat is het vorige aantal) plus de nieuwe babykonijntjes die geboren worden. koppel koppel koppels 3 koppels 5 koppels Vervolledig de tabel: antal maanden antal konijnenpaartjes Noteer de getallenrij van het aantal konijnenpaartjes:,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55, Je ontdekte zonet een merkwaardige rij van getallen e rij van Fibonacci is een getallenrij waarin elk getal (behalve de eerste twee) gelijk is aan de som van de twee voorgaande getallen. (afhankelijk van het probleem kan deze rij in toepassingen beginnen met de getallen,,,3, of 0,,,,3, ) Weetje e beroemde rij van Fibonacci werd ongeveer 800 jaar geleden ontdekt door Leonardo Fibonacci uit Pisa in Italië. 4

24 Thema - Wiskunde, boeiend en fascinerend: is het toveren? (vervolg) Een merkwaardig verband ereken ver genoeg in de rij de verhouding van twee opeenvolgende getallen uit de rij van Fibonacci: 34 = = =... e resultaten benaderen meer en meer de waarde,68. Herhaal deze berekening nog keer. Neem telkens de verhouding van opeenvolgende getallen in de rij. Wat stel je vast? 44 89,69,68,68 33 =,68 44 =,68 Een merkwaardig verband! e verhouding van twee opeenvolgende getallen, ver genoeg in de rij van Fibonacci is gelijk aan Phi of de Gulden Verhouding. 3 e Fibonacci-rij zit vol met eigenaardigheden Elke optelsom van tien opeenvolgende getallen uit de rij is deelbaar door elf. Probeer dit maar eens uit! Tel de eerste tien getallen uit de reeks op = eel door. 54 : = 4... Tel het tweede t.e.m. de getal op = 4... eel door. 4 : =... Fibonacci is overal Fibonacci duikt op heel wat plaatsen op. Toeval of niet? ekijk aandachtig de foto van een piano. Vul de ontbrekende getallen in de tekst aan. Een octaaf op een piano bestaat uit... toetsen:... witte toetsen 5 en... zwarte toetsen. e zwarte toetsen worden opgesplitst in 3 groepjes van... en... llemaal Fibonacci-getallen! ekijk de affiche van de Vlaamse Wiskunde Olym piade van 000. Wat zie je op de foto? een zonnebloem Geef een ander woord voor bochten. spiralen... Waarom gebruikt de Vlaamse Wiskunde Olympiade deze affiche denk je? 3 8 en 34 zijn Fibonacci-getallen... Waarom......vormen zonnebloempitten bochten in de ene richting en 34 in de andere? Vlaamse Wiskunde Olympiade Wiskunde. Van verwondering tot logisch inzicht. eleef het mee! Kijk alvast op Een wedstrijd in samenwerking met de Katholieke Universiteit Leuven, de Katholieke Universiteit Leuven ampus Kortrijk, het Limburgs Universitair entrum, de Universiteit ntwerpen, de Universiteit Gent, de Vrije Universiteit russel, de Vlaamse Vereniging Wiskunde Leraars, het elgisch Wiskundig Genootschap, Uitgeverij e Sikkel, Standaard Educatieve Uitgeverij, Rhombus. bron: z.w., Etienne Sabbelaan 53, 8500 Kortrijk. 4 Thema - Wiskunde boeiend en fasinerend: is het toveren?

25 ekijk de volgende foto. een dennenappel en 3 zijn Fibonacci-getallen! Wat zie je op de foto?... Hoeveel groene spiralen tel je?... Hoeveel gele spiralen tel je?... Wat valt je op?... Een kritische noot. Je hoeft het helemaal niet eens te zijn met de theorie dat de Gulden Verhouding en Fibonacci overal aanwezig zijn. Onder meer in het boek e ontstelling van Pythagoras, over de geschiedenis van de goddelijke proportie van lbert van der Schoot heeft de auteur toch wel een andere kijk op het verhaal. lijkbaar bestaat er ook een Fibonacci-gedicht! it type gedichten is een beetje vergelijkbaar met de Japanse haiku s. e lettergreepverdeling in een haiku is gebaseerd op priemgetallen en heeft 7 lettergrepen. In het Fibonaccigedicht is de lettergreepverdeling gelijk aan de rij van Fibonacci. it betekent meestal zes regels met telkens,,, 3 enz. lettergrepen. Schrijf jouw Fibonacci-gedicht! 43

26 Thema - Erfenissen, waterputten, gorilla's, een benefietconcert en... meetkunde Een erfenisprobleem Tomas en Teo, twee elgische kinderen zijn helemaal niet zeker of ze later van hun ouders een stuk grond zullen krijgen om een huis op te bouwen. In Uganda, hoewel het land niet zo rijk is als elgië, doen ouders daar heel hard hun best voor. Jozeph en mina uit Namwendwa, een dorpje in Uganda, hebben 3 kinderen, twee zonen en een dochter: nthony, Jonas en Mebra. Een vierde kind, Martha, is zeer jong gestorven (ongeveer 89 kinderen per 000 sterven voor ze 5 jaar zijn). nthony is tot 5 jaar naar school geweest, zijn broer Jonas helemaal niet. Een jaar school lopen kost ongeveer 60 euro. Te veel geld voor deze familie! Mebra, hun grote zus, is al getrouwd en behoort nu tot een andere familie (lees: zij krijgt geen grond). Jozeph en mina willen heel graag hun twee zonen een stuk grond geven bij hun huwelijk. Na hard werken en sparen kopen zij een stuk grond dat de vorm heeft van een rechthoekig trapezium : = 50 m = 80 m = 40 m. e figuur is een afbeelding van de grond op schaal 000. weg Kaliro - Namwendwa Kun jij de oppervlakte van de grond berekenen? Noteer eerst de formule. ( + b) h ( 50m + 80m ) 40 m... Jozeph wil de grond eerlijk verdelen tussen zijn twee zonen en stelt hen voor de scheidingslijn te trekken evenwijdig aan de grenslijnen [] en [] en halfweg de punten en. a Krijgen Jonas en nthony nu elk een even groot deel? b S = Neen = ( + ) =... ereken het verschil en arceer dit op de figuur.... methode Zoon krijgt: opp rechthoek FI + opp Δ GF... Zoon krijgt: opp rechthoek IFE + opp trapezium FGE = opp rechthoek IFE + (opp Δ GH + opp rechthoek FGHE).... Δ GF en Δ GH hebben dezelfde opp. (Δ GF ~ = Δ GH (HHZ)) Het verschil is de oppervlakte van de gearceerde rechthoek FGHE. weg Kaliro - Namwendwa opp. rechthoek FGHE = FE EH = ( ) ( ) = (40 m 30 m) = 300 m 4 of methode Zoon krijgt: opp rechthoek FI + opp Δ GF Zoon krijgt: opp rechthoek IFE + opp trapezium FGE = opp rechthoek IFE + opp Δ FGE + opp Δ EG Het verschil is de oppervlakte van de gearceerde driehoek EG Opp Δ EG = E FE = ( ) FE = (30 m) (0 m) = 300 m² 44 Thema - Erfenissen, waterputten, gorilla's, een benefietconcert en... meetkunde I = 600 m F E G H

27 3 Omdat beide zonen hun grond moeten kunnen bereiken vanaf de weg besluiten ze de scheidingslijn loodrecht op de twee evenwijdige zijden [] en [] te trekken en zo de oppervlakte in twee gelijke delen te verdelen. Vader Jozeph stelt ditmaal voor om de afstand te verdelen in gelijke delen. T U E weg Kaliro - Namwendwa a onstrueer de middelloodlijn van []. Noem T het snijpunt van de middelloodlijn met [] en U het snijpunt van de middelloodlijn met [] b rceer het deel van zoon (////) en van zoon (\\\\) op de figuur hierboven c Kleur het verschil tussen de twee oppervlaktes. Noem het verschil S en bereken S. 4 e helft van het verschil moet ik bij de ene weghalen, de helft van het verschil moet er bij de andere bijkomen redeneert Jozeph. Is dit een juiste redenering?... a b Zoon : opp. TU Zoon : opp. TEU + opp. Δ E het verschil is opp. Δ E = S. S = opp E = E E = ( ) = 40 m 30 m = 600 m² Ja Over welke afstand moet lijnstuk TU evenwijdig (naar rechts) verschoven worden om de oppervlaktes gelijk te maken? Probeer dit ook op de tekening. enk na wat er gebeurt als TU opschuift. Wat gebeurt er met het oppervlak voor zoon (///)? Het oppervlak wordt groter.... Wat gebeurt er intussen met het oppervlak van zoon (\\\)? Het oppervlak wordt kleiner. e rechte TU moet opschuiven naar rechts zodat er bij rechthoek TU een rechthoekje... bijkomt die een oppervlakte heeft gelijk aan de helft van de oppervlakte van het driehoekige deel E ereken waar de juiste scheidingslijn moet komen en teken op de figuur de juiste verdeling van de grond. Het rechthoekje dat erbij moet komen noem je TURP.... opp. TPRU = opp. Δ E... TP TU = ( E ( )) 4... TU =... TP = 4 ( ) = 7,5 m... Merk op: de afstand waarover je moet... verschuiven is van het 4... verschil van de grote en de kleine basis van het trapezium. T S P U R E S weg Kaliro - Namwendwa 45

28 Thema - Erfenissen, waterputten, gorilla's, een benefietconcert en... meetkunde (vervolg) c d ereken de oppervlakte van de delen van beide zonen. Zoon krijgt: opp. PR = (5 m + 7,5 m) 40 m = 300 m²... zoon krijgt: opp. PER + opp. Δ E 40 m 30 m = (5 m 7,5 m) 40 m + = 700 m² m² = 300 m² Hoe zou je in de praktijk (d.w.z. op het stuk land) de scheidingslijn construeren? Je hebt enkel een stuk touw en een stok om de klus te klaren. Meerdere antwoorden mogelijk: in het punt P (of R) een evenwijdige construeren aan of in het punt P (of R) de loodlijn construeren op (of ). 5 Jonas twijfelt en zegt dat de vorm wel een trapezium is, maar dat de hoek in misschien geen rechte hoek is. Hij stelt een controle voor: vanuit de hoekpunten en pas je een gelijke afstand af op de evenwijdige grenslijnen [] en [] en noem je de punten respectievelijk N en L. an controleer je of de diagonalen van de ontstane vierhoek even lang zijn. a Gebruikt Jonas een juiste methode om te controleren of de hoek in een rechte hoek is? Verklaar. Ja, N = L (constructie) en N is evenwijdig aan L (de fig is een trapezium). us is NL een parallellogram. ls de diagonalen in een parallellogram even lang zijn, dan is het parallellogram een rechthoek. Jonas meet de diagonalen, ze zijn even lang en dus is NL een rechthoek en is = 90 (def. rechthoek). b Zijn de diagonalen niet even lang dan is de vierhoek NL geen rechthoek en is 90. Teken de handelingen die ze uitvoeren. N L weg Kaliro - Namwendwa 6 e ouders hakken de knoop door en beslissen dat ze de grond zullen verdelen zoals in oplossing 4. Ze zuchten: het waren zuur verdiende centen waarmee ze de grond kochten. Zuur verdiend? Lees de volgende probleemstelling. Probleemstelling: is elgië rijker dan Uganda of is Uganda rijker dan elgië? Vergelijk. a e grondprijzen In Uganda kost de grond ongeveer 00 per hectare. In elgië is dat 00 per m². Hoeveel betaal je in elgië per hectare? ² ha is... m. In elgië betaal je... per hectare, in Uganda... per hectare duurder In elgië is de grond... maal... dan in Uganda! Uganda scoort beter/slechter dan elgië? Omcirkel je antwoord. 46 Thema - Erfenissen, waterputten, gorilla's, een benefietconcert en... meetkunde

29 Neen. Met het inkomen van een gezin Mag je hieruit besluiten welk land het rijkst is?... Waarmee moet je nog rekening houden?... b c d Het inkomen van een gezin In Uganda verdien je gemiddeld 300 per jaar. In elgië verdien je (bruto) ongeveer per jaar. ereken voor beide landen de verhouding van de grondprijs t.o.v. je inkomen. Hoeveel ha kan een gezin in Uganda kopen van jaarinkomen? En een gezin in elgië? Wat kun je besluiten? 00 In Uganda: = In elgië: = 00 3 Uganda scoort beter/slechter dan elgië. Omcirkel je antwoord. e schoolkosten Om een jaar naar school te gaan betaalt een gezin in Uganda 60 per kind. Maar in Uganda heeft men geen mooie schoolgebouwen, niet voldoende of geen computers. In elgië betaalt een gezin (via de belastingen) ongeveer 5000 per jaar per kind. Vergelijk opnieuw het gemiddelde inkomen met de jaarlijkse schoolkosten in beide landen. Wat kun je besluiten? 300 In Uganda: = 30 6 = In elgië: = 30 5 = 6 Hier liggen de verhoudingen ongeveer gelijk, maar een schoolgebouw, de didactische uitrusting zijn in elgië veel beter. In Uganda kunnen leerlingen misschien wel spelen op grote voetbalvelden en in tuinen met ananasplanten en passievruchten, maar hun scholen zijn enkel heel elementair uitgerust. Een bibliotheek, labo's en computerlokalen zijn er meestal niet. e benzinekosten enzine voor auto s kost in Uganda even veel als in elgië. uto s, fietsen en alle andere niet inheemse goederen zijn in Uganda meestal duurder dan in elgië. ikwijls zijn goederen er ook niet te verkrijgen (denk aan water, elektriciteit, gezondheidszorg, wegen, computers ) esluit Nu je dit allemaal weet, waar lijkt het voor jou het leukste om te wonen? Voor welk land zou jij kiezen? espreek dit met klasgenoten. Vrije keuze Een waterput boren In Uganda heeft slechts 50 % van de bevolking toegang tot drinkbaar water. e school Kidiki Parents Secundary School heeft een waterput nodig. Gelukkig worden de mogelijke plaatsen waar je een waterput kunt boren opgespoord en doorgegeven. Een landmeter duidt de juiste plaats voor het boren van een put aan door een steen in de grond te verankeren. Helaas spoelt in het regenseizoen de steen van Kidiki weg en moet de werkman Tamali de plaats opnieuw zoeken. Hij telefoneert de landmeter. ie geeft hem de plaatsbepaling zoals landmeters dat doen. Tamali noteert alles snel op een stukje papier, maar helaas vergeet hij de eerste hoek te noteren die de landmeter opgeeft. e plaatsbepaling van de landmeter luidt als volgt. Vertrek aan het gemeentehuis (punt G) op de weg Kamuli-Namwendwa en kijk naar het oosten. Maak met deze richting een hoek van in tegenwijzerzin (deze hoek vergeet Tamali te noteren). Ga in die richting 300 m verder. Je bent nu in punt P. Vanaf punt P ga je verder onder een hoek van 60, gemeten in tegenwijzerzin met het lijnstuk PG. Leg 450 m af. Je staat nu in het punt W waar je de waterput kunt boren. Tamali kan de landmeter niet meer bereiken (elektriciteitspanne) om de eerste hoek opnieuw te vragen. Het schooljaar gaat beginnen. e tijd dringt. Help Tamali om de plek te zoeken waar de waterput moet komen. 47

30 Thema - Erfenissen, waterputten, gorilla's, een benefietconcert en... meetkunde (vervolg) W N O W 3 00m cm Z oom W P P 60 P 3 w W GSM mast G weg Kaliro - Namwendwa Tamali noteerde de eerste hoek niet. Er zijn dus meerdere mogelijkheden. Volg de aanduidingen van de landmeter en test die uit door 3 mogelijke hoeken te tekenen. Laat de grootte van de eerste hoek 30 zijn en teken de plaats die erbij hoort. Noem het punt (W). Neem voor de grootte van de eerste hoek 45 en teken de plaats die erbij hoort. Noem het punt W. Kies voor de grootte van de eerste hoek 60 en teken de plaats die erbij hoort. Noem het punt W3. Kijk goed naar de verschillen en de overeenkomsten tussen de mogelijkheden die je probeerde. ls je al die mogelijke punten W bekijkt, kun je dan iets zeggen over hun ligging? Kun je zeggen waar overal kan geboord worden? e mogelijke punten liggen op het deel van de cirkel (met middelpunt G en straal GW ) dat binnen het schoolterrein valt Tamali herinnert zich wel nog dat de steen op de verbindingslijn tussen de grote boom met de reigers en de gsm-zendmast ligt. Teken de verbindingslijn tussen de gsm-mast en de boom. 3 Lokaliseer de plaats waar Tamali moet boren. Wilde dieren lokaliseren Een toeristisch hoogtepunt in Uganda is een bezoek aan de berggorilla s. e zoektocht naar de dieren door het ( ondoordringbaar ) oerwoud is één groot avontuur. Een van de zilverruggen, Georges, (00 kg wegend mannetje) draagt een zendertje. aby Nana ook. e gids bepaalt met een antenne de richting (*) waarin de dieren zich bevinden, hij weet niet op welke afstand ze zitten. In 006 kon de gids zeggen: in die richting (*) moeten we zoeken. Na een paar jaren keert toerist Karel terug en nu weet de gids bovendien te zeggen: de gorilla zit op een afstand van ongeveer km. Karel denkt na, maar begrijpt niet hoe de gids nu niet alleen de richting (*) kan bepalen, maar ook de afstand. Tot er een tweede groep toeristen met een tweede gids opdaagt. Karel ziet hoe beide gidsen met elkaar in verbinding staan via hun gsm. Het wordt hem stilaan duidelijk. Karel neemt een plan van de omgeving en zet zich aan het denken. Volg zijn denkpatroon mee. 48 Thema - Erfenissen, waterputten, gorilla's, een benefietconcert en... meetkunde

31 N rinkplaats plaats dieren dieren W O Z 0 30 cm Gids Gids eide gidsen bepalen met hun antenne in welke richting zij gorilla Georges moeten zoeken. Volgens gids zit de gorilla op 30 in tegenwijzerzin ten opzichte van het noorden. Teken op bovenstaande figuur de lijn die vanuit de plaats van gids deze richting (*) aangeeft. Weet gids waar de gorilla exact zit? Neen... Gids meet dat de gorilla zich op 0 in wijzerzin ten opzichte van het noorden bevindt. Teken de lijn waarop de gorilla te vinden is voor gids. Waar bevindt zich de gorilla? Teken op de figuur. Op het snijpunt van beide rechten. Vertrek nu vanuit een andere positie voor gids. Stel dat gids zich op de kaart cm meer naar het noorden bevindt. Teken op de kaart in welke richting (*) gids nu de gorilla opspoort. Kan een gids de juiste positie van de gorilla s bepalen als hij alleen is (dit betekent: als hij de plaats van een andere gids niet kent en ook niet de richting waarin de andere gids de gorilla meet)? Neen. Welke informatie moeten de gidsen via gsm aan mekaar doorgeven om de exacte plaats van de groep gorilla s te bepalen? e gidsen moeten elkaars plaats kennen en moeten de richting (*) weten waarin ze elk met hun antenne de gorilla detecteren. Pas dan kunnen ze zoals op de figuur het snijpunt bepalen. (*) Zou een professor in de wiskunde hier ook telkens spreken over in die richting? Neen, voor een wiskundige moet naast de richting ook de zin aangeduid worden

32 Thema - Erfenissen, waterputten, gorilla's, een benefietconcert en... meetkunde (vervolg) Een benefietconcert voor Kidiki Je school organiseert een benefietconcert voor Kidiki Secundary School. e geluidsinstallatie van de school bestaat uit enorme grote luidspreker (woofer W) die de lage tonen uitstuurt binnen een hoek α (zie figuur). Hogere tonen worden door twee kleinere luidsprekers S en S uitgezonden. Om het geluid optimaal te horen: a sta je best op gelijke afstand van de benen van de hoek waaronder de woofer W geluid uitzendt; b (voor de hogere tonen) sta je best op gelijke afstand van de twee kleinere luidsprekers S en S. onstrueer op de figuur op welk plaatsje P de organisatoren voor jou zouden moeten reserveren. Welke strategie gebruik je om dit punt P te construeren? Strategie onstrueer de bissectrice van de hoek α.... onstrueer de middelloodlijn van het lijnstuk dat de twee kleinere luidsprekers verbindt.... Het snijpunt P van beide rechten geeft het beste plaatsje.... Verklaring... Eigenschap van een bissectrice: alle punten op de bissectrice van een hoek liggen op gelijke afstand van de benen van de hoek.... Eigenschap van de middelloodlijn: alle punten op de middelloodlijn van een lijnstuk liggen op gelijke afstand van de grenspunten van dat lijnstuk.... Het snijpunt P ligt op beide rechten 3 onstructie S α P Woofer W S 50 Thema - Erfenissen, waterputten, gorilla's, een benefietconcert en... meetkunde

33 Register leerwerkboek pagina aanliggende hoeken 46 aanzicht 8 basishoeken 00 bissectrice van een hoek construeren 88 binnenhoeken 5 binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn 5, 56 bol 4 buitenhoek driehoek 04 buitenhoeken 5 buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn 5, 56 bewijs van de driehoeksongelijkheid 7 bewijs van de eigenschap van de basishoeken in een gelijkbenige driehoek, 3 bewijs van de eigenschap van de bissectrice van een hoek 95, 97 bewijs van de eigenschap van de diagonalen in een ruit 33 bewijs van de eigenschap van de middelloodlijn van een lijnstuk 9, 93 bewijs van de eigenschap van de overstaande zijden in een parallellogram 3 bewijs van de eigenschap van de som van de hoeken in een driehoek 7 bewijs van de eigenschap van de som van de hoeken in een vierhoek 9 bewijs van de eigenschap van een buitenhoek van een driehoek 5 bewijs van de eigenschap van overstaande hoeken 64 bewijs van de eigenschappen van hoeken gevormd door evenwijdige rechten en een snijlijn 67, 69 bewijs van het verband tussen de hoeken en zijden in een driehoek 6 cavalièreperspectief 9 centrum van een draaiing 36 classificatie driehoeken 07 classificatie vierhoeken 4 complementaire hoeken 44 congruente driehoeken 76 congruente figuren 74 congruente veelhoeken 75 driehoeken construeren 06 draaibeeld 36 draaihoek 36 draaiing 37 driehoeksongelijkheid 09 leerwerkboek pagina E eigenschap van de basishoeken in een gelijkbenige driehoek 00 eigenschap van de bissectrice van een hoek 88 eigenschap van de middelloodlijn van een lijnstuk 86 eigenschap van de som van de hoeken in een driehoek 58 eigenschap van de som van de hoeken in een vierhoek 0 eigenschap van een buitenhoek van een driehoek 05 eigenschap van overstaande hoeken 47 eigenschappen parallellogram eigenschappen rechthoek eigenschappen ruit eigenschappen van hoeken gevormd door evenwijdige rechten en een snijlijn 55, 56 eigenschappen vierkant F formule volume bol 8 formule volume kegel 7 formule volume piramide 6 G grensvlak 8 I isometrisch perspectief 9 K kegel 3 M middelloodlijn van een lijnstuk construeren 87 N natuurlijk perspectief 0 nevenhoeken 46 O overeenkomstige hoeken 5, 75 overeenkomstige zijden 75 overstaande hoeken 47, overstaande zijden P parallellogram piramide puntspiegeling 40 register 5